Matrizes Teoria

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Matrizes - Teoria 
 
 
Matriz Retangular 
 
Matriz Retangular de ordem m por n é um quadro formado por nm ⋅ elementos dispostos em m linhas e n colunas. 
Representaremos uma matriz A de m linhas e n colunas por ( )
nmij
aA ×= , ou seja, 
 
( )
⎟⎟
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
== ×
mn3m2m1m
n2232221
n1131211
nmij
a...aaa
.........................
a...aaa
a...aaa
aA 
 
 Os elementos da matriz A serão identificados por uma letra com dois índices, o primeiro índice indica a linha e o 
segundo índice a coluna à que pertence o elemento. 
 
 
1. Igualdade 
 
A igualdade de matrizes é definida para matrizes de mesma ordem e duas matrizes são iguais se, e somente se seus 
termos correspondentes são iguais, ou seja, 
Dadas ( ) ( )
nmijnmij
bBeaA ×× == , 
n...,,2,1j
m...,,2,1i
,baBA ijij
=∀
=∀
=⇔=
 
 
Ex.1: 
Determine o valor de x para que as matrizes abaixo sejam iguais 
 
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
+
−−=
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛ +
6x1
3x3x
01
5x
32
1x1
2
2
 
Solução: 
 
Devemos ter 
{ }.1S1x
1x
1xou1x
2xou1x
1x
6x5
1x
x3x2
01x
2
2
−=⇒−=⇒
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−=
−==
−=−=
−=
⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+=
=
−−=
=+
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Adição 
A adição de matrizes é definida para matrizes de mesma ordem e a soma de duas matrizes é por definição uma matriz 
de mesma ordem que as iniciais e cada termo da nova matriz é a soma dos termos correspondentes das matrizes iniciais, ou 
seja, 
Dadas nmijnmij )b(Be)a(A ×× == , 
n...,,2,1j
m...,,2,1i
,bac
onde,)c(CBA
ijijij
nmij
=∀
=∀
+=
==+ ×
 
 
Propriedades da Operação Soma de Matrizes 
 
A adição de matrizes possui as seguintes propriedades: 
 
S1. Associatividade: (A + B) + C = A + (B + C) 
 
S2. Comutatividade: A + B = B + A 
 
S3. Existência do elemento neutro: .A,AAMMA:M ∀=+=+∃ 
 
 
Obs.: O elemento neutro da operação soma de matrizes do tipo nm× é chamada matriz nula. 
n...,,2,1j
m...,,2,1i,0m
)m(M
ij
nmij
=∀
=∀=
= ×
 
 
 
S4. Elemento simétrico: .MA)A()A(A:A,A =+−=−+−∃∀ 
 
 
Ex.2: 
 
Sejam 
 
jib
)b(B
jia
)a(A
ij
32ij
ij
32ij
⋅=
=
+=
=
×
×
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
 
.
1185
753
BA
654423
342312
BA
642
321
543
432
BA
Logo
.
642
321
bbb
bbb
B
e
543
432
aaa
aaa
A
,matrizesascalcularvamoseimeiramentPr
232221
131211
232221
131211
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛=+⇒
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
+++
+++=+⇒
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛=+
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛=
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛=
 
 
 
3. Multiplicação de Números e Matrizes 
 
 A multiplicação de uma matriz por um número é por definição uma matriz de mesma ordem que a inicial e cada 
termo da nova matriz é o termo da matriz inicial multiplicado pelo número, ou seja, 
 
Dados Cke)a(A nmij ∈= × , 
n...,,2,1j
m...,,2,1i
akb
onde,)b(BAk
ijij
nmij
=∀
=∀
=
== ×
 
 
Obs.: A partir das definições acima a diferença de duas matrizes nmijnmij )b(Be)a(A ×× == , está automaticamente 
definida, por 
B)1(ABA −+=− 
Ex.3: Sejam 
⎩⎨
⎧
≠
=−=
=
+=
=
−=
=
×
×
×
jise,0
jise,1
c
)c(C
j2ib
)b(B
jia
)a(A
ij
32ij
ij
32ij
ij
32ij
 
Calcule a matriz X , tal que ( )BACX2XB2A −−−=−+ . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
 
Primeiramente vamos explicitar a matriz X em função das matrizes A, B e C. 
( )
C
3
2B
3
4AX
C2B4A3X3
B2A2C2X2XB2A
BACX2XB2A
++=
++=
−−−=−+
−−−=−+
 
O próximo passo é calcular as matrizes A, B e C, para então obtermos a matriz X. 
.
329326319
32231731
X
0320
0032
3328316
3283201
101
210
X
010
001
3
2
864
753
3
4
101
210
X
Logo
010
001
ccc
ccc
C
e
864
753
bbb
bbb
B
,
101
210
aaa
aaa
A
232221
131211
232221
131211
232221
131211
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛=⇒
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
−
−+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
−
−−=⇒
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
−
−+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
−
−−=
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
−
−=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛=
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛=
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
−
−−=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛=
 
 
4. Produto de Matrizes 
 
A multiplicação de matrizes é definida para matrizes cujo número de colunas do primeiro fator é igual ao 
número de linhas do segundo fator e o produto de duas matrizes é por definição uma matriz cujo número de linhas 
coincide com o número de linhas do primeiro fator e o número de colunas coincide com o número de colunas do 
segundo fator e cada termo da nova matriz é a soma dos produtos dos termos da linha e da coluna correspondente aos 
índices do termo, ou seja, 
Dadas pnkjnmji )b(Be)a(A ×× == , 
p...,,2,1k
m...,,2,1i,bac
)c(CBA
n
1l
klliki
pmki
=∀
=∀=
==
∑
=
×
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Propriedades da Operação Produto de Matrizes 
 
 A multiplicação de matrizes possui as seguintes propriedades: 
 
P1. Associativa: C)BA()CB(A = 
 
P2. Distributiva à direita em relação à adição: CABA)CB(A +=+ 
 
P3. Distributiva à esquerda: ACABA)CB( +=+ 
 
Ex.4: 
Sejam 
 
jib
)b(B
j2i3a
)a(A
ij
13ij
ij
32ij
−=
=
−=
=
×
×
 
Calcule AB 
 
Solução: 
.
2
7
BA
201204
2)3(1)1(01
BA
Logo.
2
1
0
b
b
b
B
e
024
311
aaa
aaa
A
31
21
11
232221
131211
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛−=⋅⇒⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
⋅+⋅+⋅
⋅−+⋅−+⋅=⋅
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −−=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛=
 
Ex.5: (ITA) Dadas as matrizes reais A = 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
131
28y
0x2
 e B = 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
− 2x3x
280
y32
. Analise as afirmações: 
I. A = B ↔ x = 3 e y = 0 
II. A + B = 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
163
4161
154
 ↔ x = 2 e y = 1 
II. A 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
0
1
0
 = 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
3
3
1
 ↔ x = 1 
e conclua: 
(A) Apenas a afirmação II é verdadeira. 
(B) Apenas a afirmação I é verdadeira. 
(C) As afirmações I e II são verdadeiras. 
(D) Todas as afirmações são falsas. 
(E) Apenas a afirmação I é falsa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
 
{ }
{ }
{ }.S
3
3
1
3
8
x
3
3
1
0
1
0
131
28y
0x2
.III
.)1,2(S
1y
2x
11x
3x1
1y
1y
5x3
163
4161
154
1x6x1
416y
yx34
BA
.II
.S
1x
3x
e0y
2x1
x1
0y
y0
3x
2x3x
280
y32
131
28y
0x2
BA
.I
=⇒
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
⇔
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
⋅
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=⇒
⎩⎨
⎧
=
=⇔
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
=−
=+
=
=
=+
⇔
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−+
+
=+
=⇒
⎩⎨
⎧
=
==⇔
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
−=
=
=
=
=
⇔
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
⇔=
 
 
Opção (A) 
 
 
Matriz Transposta 
 
 A transposta de uma matriz nmij )a(A ×= é a matriz obtida de A, na qual cada uma de suas colunas são as 
linhas de A e cada uma de suas linhas são as colunas de A, ou seja, 
mnji
t )a(A ×= . 
 
 
Propriedades 
 
 A transposição de matrizes possui as seguintes propriedades: 
 
T1. A)A( tt = 
 
T2. ttt BA)BA( +=+ 
 
T3. IRk,Ak)Ak( tt ∈∀= 
 
T4. ttt AB)BA( = 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ex.6: 
 (ITA) Sejam A e B matrizes quadradas de ordem n tais que AB = A e BA = B. Então, [(A + B)t]2 é igual a 
(A) (A + B)2(B) 2(At . Bt) 
(C) 2(At + Bt) 
(D) At + Bt 
(E) AtBt. 
 
Solução: 
 
[ ] [ ]
).BA(2
BBAA
)B()B()A()A(
)B()AB()BA()A(
)B(ABBA)A(BA)BA(
Então
BBABAB)AB(BBB)BA(BBA
AAAABA)BA(AAA)AB(AAB
tt
tttt
t2t2t2t2
t2ttt2
2ttttt2t2tt2t
2222
2222
+=
+++=
+++=
+++=
+++=+=+
=⇔=⇔=⇔=⇒=
=⇔=⇔=⇔=⇒=
 
 
Opção (C) 
 
 
Matriz Quadrada 
 
É a matriz retangular na qual o número de linhas é igual ao número de colunas, ou seja, .nm = Representaremos 
uma matriz quadrada A de n linhas e n colunas por ( )
nnij
aA ×= , ou seja, 
( )
⎟⎟
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
== ×
nn3n2n1n
n2232221
n1131211
nnij
a...aaa
.........................
a...aaa
a...aaa
aA 
 
 
 Os Elementos principais de uma matriz quadrada são aqueles que estão localizados em uma linha e coluna de 
mesma ordem, ou seja, são aqueles em que ji = . 
 
 Os Elementos secundários de uma matriz quadrada são aqueles que estão localizados em uma linha e coluna cuja 
soma das ordens seja a ordem da matriz mais um, ou seja, são aqueles em que 1nji +=+ . 
 
 A Diagonal principal de uma matriz quadrada é a disposição dos elementos principais na matriz quadrada. 
 
 A Diagonal secundária de uma matriz quadrada é a disposição dos elementos secundários na matriz quadrada. 
 
 Matriz diagonal é uma matriz quadrada em que os elementos que não pertencem à diagonal principal são nulos, 
ou seja, em os elementos que não são principais são nulos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Matriz unidade ou Matriz Identidade é toda matriz diagonal em que os elementos da diagonal principal são 
iguais a 1, ou seja, 
.
jise,0
jise,1
a
onde,)a(I
ij
nnijn
⎩⎨
⎧
≠
==
= ×
 
 Então 
⎟⎟
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
=
1...00
............
0...10
0...01
In . 
 
Obs.: 
 
 A Matriz Identidade de ordem n é o elemento neutro do conjunto de matrizes quadradas de ordem n em relação a 
operação multiplicação de matrizes, ou seja, 
 
nnijnn )a(A,AAIIA ×=∀== 
 Os Elementos Conjugados de uma matriz quadrada são aqueles que ocupam posições simétricas em relação à 
diagonal principal, ou seja, o elemento simétrico do elemento ija é o elemento jia . Os elementos principais são auto-
conjugados. 
 
 Matriz simétrica é toda matriz quadrada em que os elementos conjugados são iguais, ou seja, jiij aa = . 
t
nnij AAsimétricaé)a(A =⇔= × . 
 
Ex.7: 
 (ITA) Sejam A e B matrizes n x n, e B uma matriz simétrica. Dadas as afirmações: 
(I) AB + BAT é simétrica 
(II) (A + AT + B) é simétrica 
(III) ABAT é simétrica 
temos que: 
(A) apenas (I) é verdadeira 
(B) apenas (II) é verdadeira 
(C) apenas (III) é verdadeira 
(D) apenas (I) e (III) são verdadeiras 
(E) todas as afirmações são verdadeiras. 
 
Solução: 
.ABAAB)A()ABA(
.III
.BAAB)A(A)BAA(
.II
.ABBAB)A(AB)BA()AB()BAAB(
.I
BBsimétricaéB
ttttttt
ttttttt
ttttttttttt
t
==
++=++=++
+=+=+=+
=⇔
 
 
Opção (E) 
 
 
 
 
 
 Matriz Antisimétrica é toda matriz quadrada em que os elementos conjugados são simétricos, ou 
seja, jiij aa −= . 
t
nnij AAicaantisimétré)a(A −=⇔= × . 
 
Obs.: Como os elementos principais são auto-conjugados a diagonal principal de uma matriz antissimétrica é nula, ou seja, 
todos os elementos principais são nulos. 
 
 
 A Matriz inversa de uma matriz quadrada nnij )a(A ×= , se existir, é uma matriz B, quadrada e de mesma ordem 
que matriz A, tal que, 
nIABBA == 
Propriedades 
 
 A inversão de matrizes, caso possível, possui as seguintes propriedades 
 
I1. A matriz inversa de uma matriz se existir é única. 
 
I2. ( ) AA 11 =−− 
 
I3. ( ) 111 ABBA −−− = 
 
Ex.8: 
 (IME) Determine uma matriz não singular P que satisfaça à equação matricial P-1 A = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−10
06
, onde 
A = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
45
21
. 
 
Solução: 
 
 
.
465
261
P
10
061
45
21
10
06
AP
10
06
PA
10
06
PAI
10
06
PA)PP(
10
06
P)AP(P
10
06
AP
1
2
1
1
1
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−
−=⇔⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−=
⇔⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−=
⇔⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−=
⇔⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−=
⇔⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−=
⇔⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−=
−
−
−
−