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Prof. Cristiano Foli
UNIDADE I
Complementos de 
Resistência dos Materiais
Forças internas
 As forças internas podem ser divididas em:
Força normal Força cortante Momento fletor
Fonte: livro-texto
Diagrama de força cortante e momento fletor
 Exemplo: Construa o diagrama de força cortante (V) e momento fletor (M) para a 
seguinte estrutura.
Fonte: livro-texto
Diagrama de força cortante e momento fletor
Resolução:
 1º passo – reações de apoio.
kNRby
kNRay
Rbx
200
150
0



  0Fx
0Rbx
  0Fy 350 RbyRay
  0MB
kNRay
xRayx
150
033006


Diagrama de força cortante e momento fletor
 2º passo: fazer os cortes na estrutura.
Fonte: livro-texto
Diagrama de força cortante e momento fletor
Intervalo 
20  x
  0Fy
0150 V
kNV 150
  0aMa
xM
Mx
.150
0.150


Fonte: livro-texto
Diagrama de força cortante e momento fletor
Intervalo 
42  x
  0Fy
050150  V
kNV 100
  0bMb
100.100
0100.50.150
0)2.(50.150



xM
Mxx
Mxx
Fonte: livro-texto
Diagrama de força cortante e momento fletor
Intervalo
64  x
  0Fy
0600.15050150
0)4.(15050150


Vx
Vx
700.150  xV
  0cMc
)2.(50.150  xx
 .4.150  x 0
2
)4(


M
x
  016875100.50.150 2  Mxxxx
1100.700.75 2  xxM
Diagrama de força cortante e momento fletor
Intervalo
86  x
  0Fy
030050150  V
kNV 200
  0dMd
1600.200
01500.300100.50.150
0)5.(300)2.(50.150



xM
Mxxx
Mxxx
Diagrama de força cortante e momento fletor
Resumindo
67,4
700.1500
700.150



x
x
xV
mkNM
M
xxM
.3,533
110067,4.700)67,4.(75
1100.700.75
2
2



Fonte: livro-texto
Interatividade​ 
Construa o diagrama de força cortante (V) e momento fletor para a seguinte estrutura.
Na estrutura da figura, podemos 
afirmar ​o valor do momento 
fletor máximo ​e onde ocorre 
(a partir do ponto A). Despreze 
o peso da viga.​ 
a) M = 330 kN.m e ocorre em x = 3 m.
b) M = 480 kN.m e ocorre em x = 3 m.
c) M = 480 kN.m e ocorre em x = 6 m.
d) M = 580 kN.m e ocorre em x = 10 m.
e) M = 250 kN.m e ocorre em x = 5 m.
Fonte: livro-texto
Resposta​ 
Construa o diagrama de força cortante (V) e momento fletor para a seguinte estrutura.
Na estrutura da figura, podemos 
afirmar ​o valor do momento 
fletor máximo ​e onde ocorre 
(a partir do ponto A). Despreze 
o peso da viga.​ 
a) M = 330 kN.m e ocorre em x = 3 m.
b) M = 480 kN.m e ocorre em x = 3 m.
c) M = 480 kN.m e ocorre em x = 6 m.
d) M = 580 kN.m e ocorre em x = 10 m.
e) M = 250 kN.m e ocorre em x = 5 m.
Fonte: livro-texto
Resposta​ 
 Comentário da resposta.
kNRby
kNRay
Rbx
120
130
0



Fonte: livro-texto
Flexão 
Para análise do comportamento de uma peça ou estrutura, sujeita à flexão será 
considerada uma viga simplesmente apoiada, submetida a uma força concentrada.
Fonte: livro-texto
Flexão 
Essas deformações causam internamente na viga tensões de compressão e tração.
Convenção de sinais para flexão 
Fonte: livro-texto
Flexão 
 A determinação das tensões normais de tração e compressão ao longo do corpo 
sólido, em função do momento de inércia, é:
Em que:
 M é o momento fletor.
I é o momento de inércia.
y é a distância da linha neutra.
até o ponto que se quer calcular a tensão.
y
I
M
.
Pode-se relacionar o momento de inércia de figuras 
planas com o Módulo Resistente (W).
y
I
W 
W
M

Flexão 
Módulos de inércia e resistente para seções retangular e circular.
Flexão 
 Exemplo: Determine a tensão na viga da figura, sabendo que ela possui um perfil 
retangular com largura de 15 cm e altura de 50 cm.
Fonte: livro-texto
Flexão 
 Para o cálculo da tensão, tem-se que determinar o máximo momento na viga. Daí 
vem a necessidade de se construir o diagrama de momento fletor para viga.
Fonte: livro-texto
Flexão 
 Cálculo do módulo resistente.
33
22
10.25,6
6
50,0.15,0
6
.
m
hb
W 
Pa
W
M 6
3
3
10.25
10.25,6
10.25,156


 MPa25
Flexão 
 Exemplo: Uma viga de concreto armado deverá suportar uma parede de 
alvenaria, cuja altura deseja determinar. Sabe-se que a tensão de ruptura do 
concreto é de 30 MPa e que o coeficiente de segurança para a aplicação é 2.
Dados: viga de concreto armado: b = 1 m; h = 2 m
Peso específico 
Parede de alvenaria: e = 0,8 m
Peso específico: 
3/25 mkNcon 
;/20 3mkNalv 
Flexão 
Solução:
Cálculo da carga total:
alvconcT QQQ 
mkNQvig /50)2.1.(25 
HHQalv 16).8,0.(20 
HQT 1650
8
2QL
Mmáx 
H
H
Mmáx 6482025
8
18).1650( 2



W
M
adm 
3
22
67,0
6
2.1
6
.
m
hb
W 
23 /10.1515
2
30
2
mkNMPa
rup
adm 

67,0
6482025
10.15 3
H

mH 4,12
seçAQ .
Interatividade 
Exemplo: A viga de concreto armado da figura é apoiada nas suas extremidades por 
dois pilares iguais, com seção quadrada de 25 cm de lado, a viga suporta uma 
parede de alvenaria com 25 cm de espessura e 8 m de altura. A viga tem seção 
transversal retangular, com 25 cm de base e 50 cm de altura, sendo 12 m o seu 
vão. Calcular a tensão máxima de compressão na viga.
Fonte: livro-texto
Interatividade 
Dados: viga de concreto armado:
Peso específico =
Parede de alvenaria:
Peso específico =
3/5,2 mtfcon 
3/0,2 mtfalv 
2/0,8500) mtfa 
2/5,3312) mtfb 
2/4,8455) mtfc 
2/3,7445) mtfd 
2/2,6232) mtfe 
Resposta 
Resposta
2/3,7445) mtfd 
Resposta
Solução:
O cálculo da carga total (QT) é a soma das cargas causada pela alvenaria e pelo 
peso próprio da viga de concreto.
alvconcT QQQ 
seçAQ .
mtfQvig /31,0)50,0.25,0.(5,2 
mtfQalv /0,4)8.25,0.(0,2 
mtfQT /31,431,04 
Fonte: livro-texto
Resposta
Para o cálculo do momento, pode-se usar a seguinte equação:
8
2QL
Mmáx 
mtfMmáx .58,77
8
12.31,4 2

33
22
10.42,10
6
50,0.25,0
6
.
m
hb
W 
310.42,10
58,77


W
M
2/3,7445 mtf
Flexão composta 
A flexão composta é a ação combinada de força normal e momentos fletores. Na 
prática, a flexão composta ocorre frequentemente em pilares, em vigas protendidas 
e em muros de arrimo.
W
M
A
F

Flexão composta 
Exemplo: Determinar as tensões normais na seção transversal de uma barra com 
20 cm de base e 40 cm de altura sujeita aos esforços:
Flexão composta 
Solução:
 Alterando os esforços para kgf e cm tem-se:
kgfF 000.50
cmkgfM .000.000.1
280040.20. cmhbA 
3
22
33,5333
6
40.20
6
.
cm
hb
W 
W
M
A
F

33,5333
000.000.1
800
000.50

5,1875,62 
2/250 cmkgfcompressão
2/125 cmkgftração 
Flexão composta 
Exemplo: Determine as tensões na seção transversal do engastamento da estrutura:
Fonte: livro-texto
Flexão composta 
Solução:
 Cálculo da Força Normal:
kgftfF 000.4848408 
Cálculo do momento no engaste:
cmkgfmtfM .000.000.2.205,2.8 
260050.12. cmhbA 
3
22
000.5
6
50.12
6
.
cm
hb
W 
W
M
A
F

000.5
000.000.2
600
48000

40080
2/480 cmkgfcompressão
2/320 cmkgftração 
Interatividade
Determine as tensões na seção transversal do engastamento da estrutura:
2/550.35 cmkgfcompressão2/450.42 cmkgftração 
a)
2/550.65 cmkgfcompressão 2/500.90 cmkgftração 
b)
2/550.33 cmkgfcompressão 2/450.32 cmkgftração 
c)
2/000.74 cmkgfcompressão 2/200.39 cmkgftração 
d)
2/500.22 cmkgfcompressão 2/500.22 cmkgftração 
e)
Fonte: livro-texto
Resposta
Determine as tensões na seção transversal do engastamento da estrutura:
2/550.33 cmkgfcompressão 2/450.32 cmkgftração 
c)
Resposta:
Fonte: livro-texto
Resposta​ 
Solução:
kgftfF 000.22022060160 
cmkgfmtfM .000.000.44.4404.304.602.160 
240020.20. cmhbA 
3
22
33,333.1
6
20.20
6
.
cm
hb
W 
W
M
A
F
 000.33550  2/550.33 cmkgfcompressão
2/450.32 cmkgftração 
Fonte: livro-texto
Flexão composta 
 Exemplo: A estrutura da figura é composta por dois pilares de seção retangular e 
devem suportar uma carga de 1tf presa por cabos. Sabendo que a resistência à 
compressão e a tração são de 150 kgf/cm2 e que a altura (h) da seção transversal 
dos pilares é de 50 cm, determinar o valor da base (b) da seção transversal no 
engaste do pilar, trabalhando com um coeficiente de segurança igual a 2,5.
Fonte: livro-texto
Flexão composta 
Solução:
 Cálculo da força nos cabos:
  0Fx
21
21 )º30cos()º30cos(
FF
FF


  0Fy
kgfFF
senFsenF
FF
senFsenF
1000
1000)º30()º30(
01000)º30()º30(
21
11
21
21




Flexão composta 
Nos pilares:
kgfsenFF x 02,866)º60(11 
kgfFF y 500)º60cos(11 
cmkgfFM x .010.433500.1 
2/60
5,2
150
cmkgfadm 
bhbA 50. 
b
bhb
W 67,416
6
50.
6
. 22

W
M
A
F

bb 67,416
010.433
50
500
60 
 22,103910
1
60 
b
cmb 5,17
Interatividade​ 
Determinar o comprimento máximo (L) que a barra de alumínio deve ter para 
suportar um painel digital de informações. A barra possui seção transversal circular 
vazada com diâmetro externo de 16 cm e espessura de 2 cm, considere que a falha 
irá ocorrer na seção do engastamento.
Dados:
Coeficiente de segurança 2,0.
a) L = 5,0 m.
b) L = 15,0 m.
c) L = 9,5 m.
d) L = 8,2 m.
e) L = 1,5 m.
MPaioealu 70min   
D
dD
W
.32
44 


Informações
Resposta​ 
Determinar o comprimento máximo (L) que a barra de alumínio deve ter para 
suportar um painel digital de informações. A barra possui seção transversal circular 
vazada com diâmetro externo de 16 cm e espessura de 2 cm, considere que a falha 
irá ocorrer na seção do engastamento.
Dados:
Coeficiente de segurança 2,0.
MPaioealu 70min   
D
dD
W
.32
44 


Resposta:
c) L = 9,5 m
Informações
Resposta
Solução:
 
160.32
120160 44 


W 3274750 mmW 
 22 rRA 
28792mmA 
W
M
A
F
 274750
.1000
8792
1000
2
70 L

mmmL 5,99585 
Informações
ATÉ A PRÓXIMA!