Analise de Fourier HSU

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náise
e Fourier
Hwei P. Hsu
COLECAO
TECNicA
,
CONTEUDO
CAPITULO 1 Série de Fourier
1.1 Funções Periódicas, .
1.2 Série de Fourier, . 4
1.3 Propriedades dos Senos e Co-Senos: Funções Or toqoneis , 5
.4 Determinação dos Coeficientes de Fourier, . 7
.5 Aproximação por Série de Fourier Finita, .. 13
1 .6 Condições de Dirichiet,..... 16
1 .7 Diferenciação e Integração da Série de Fourier,...... 17
1.8 Problemas Suplementares,...................... . 21
CAPITULO 2 Análise das Formas Ondulatórias Periódicas
2. 1 Simetria Ondulatória,. 24
2. 1a Funções Pares e Funções rmpares, .. 24
2.1b Simetria de Meia-Onda, . 27
2. 1c Simetria de Quarto de Onda, ... 27
2. 1d Simetria Oculta, ..... 27
2.2 Coeficientes de Fourier para as Formas "de Ondas Si-
métricas, .. 28
2.3 Desenvolvimento de Fourier de uma Função em um
Intervalo Finito, . 33
2.3a Expansões em Metade do Domínio, ..
2.4 Função Impulso, ...
34
37
2.4a Derivadas da Função Delta (Il),. 40
2.5 Séries de Fourier das Derivadas de Funções Periódicas
Descontínuas, . 43
2.6 Cálculo dos Coeficientes de Fourier por Diferenciação, 45
2.7 Problemas Suplementares, . 48
CAPITULO 3 Espectros de Freqüências Discretos
3.1 Intrcdução, 52
3.2 Forma Complexa das Séries de Fourier, . 52
3.3 Ortogonalidade das Funções Séries de Fourier Com-
plexas, . 57
3.4 Espectros de Freqüências Complexas,. . . . . . . . . . . . . . . 58
3.5 Determinação dos Coeficientes de Fourier Complexos
Empregando a Função 8,......... . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.6 Potência Latente de uma Função Periódica: Teorema
de Parseval,.................................... 65
3.7 Problemas Suplementares,........................ 68
CAPfTULO 4 Integral de Fourier e Espectros Contínuos
4. 1 Intrcdução,.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.2 Da Série de Fourier à Imegral de Fourier,. . . . . . . . . 71
4.3 Transformadas de Fourier,....................... 74
4'.4 Transformadas Seno e Co-Seno de Fourier,......... 79
4.5 Interpretação das Transformadas de Fourier,........ 81
4.6 Propriedades das Transformadas de Fourier,.. . . . . . . . 82
4.7 Convc.lução,.................................... 88
4.8 Teorema de Parseval e Espectro de Energia,. . . . . . . . . 92
4.9 Funções Correlações,............................ 94
4. 10 Problemas Suplementares,......................... 99
CAPfTULO 5 Transformada de Fourier de Funções Especiais
5.1 Introdução, ..................................... 102
5.2 Transformada de Fourier da Função Impulso, ........ 102
5.3 Transformada de Fourier de uma Constante, ........ 104
5.4 Transformada de Fourier da Funçãc Degrau Unitário, 106
5.5 Transformada dê Fourier de uma Função Periódica, 110
5.6 Transformada de Fourier de Funções Generalizadas, 114
5.7 Problemas Suplementares, ........................ 118
Aplicações aos Sistemas LinearesCAPfTULO 6
6. 1 Sistemas Lineares,............................... 121
6.2 Funções Operacionais dos Sistemas,............... 121
6.3 Respostas a Funções Excitadoras Exponenciais e Fun-
ções Sistemas de Autofunções, :....... 123
6.4 Respostas Senoidais em Regime Permanente,..... . . . . 125
6.5 Aplicações acs Circuitos Elétricos,................ 127
6.5a Cálculo da Potência Permanente,........... 129
6.6 Aplicações aos Sistemas Mecânicos,............... 131
6.7 Resposta de um Sistema Linear a uma Função Sistema
Impulso Unitário, ·. 133
6.7a Função Sistema, · 134
6.7b Sistema Causal,........................... 137
k ---------------
6.8 Resposta de um Sistema Linear a uma Função Degrau
Unitário - Integral de Superposição,.............. 138
6.9 Transrnis sãc sem Distorções,...................... 142
6.10 Filtros Ideais, 144
6.11 Problemas Suplementares,........................ 147
CAP[TULO 7 Aplicações à Teoria das Comunicações
7.1 Teoria da Amostragem,.......................... 151
7.2 Modulação em Amplitude,........ .. .. .. . .. .. .. .. . 156
7.3 Modulação em Ângulo,. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
7.4 Modulação em Pulsos,........................... 164
7.5 Função Correlação Média,........................ 166
7.6 Identificação do Sinal Empregando Correlação,....... 169
7.7 Espectros de Poténcias Médias: Sinal Aleatório,..... 171
7.8 Relação Excitação-Resposta: Cálculo do Ruído,. . . . . . . . 175
7.9 Problemas Suplementares,,,...... . . . . . . . . . . . . . • . • . 178
CAP[TULO 8 Aplicações a Problemas com Valôres de Contôrno
8.1 Separação de Variáveis e Série de Fourier,. . . . . . . . . . 183
8.2 Vibração,...................................... 189
8.3 Condução de Calor,........... 199
8.4 Teoria do Potencial,............................. 205
8.5 Problemas Suplementares,,,....................... 212
CAP[TULO 9 Aplicações Diversas da Transformada de Fourier
9.1 Transfcrmada de Fourier na Difração e For.neção de
Imagens,,,............. 215
9.1 a Transformada de Fourier a Duas Dimensões,.. 219
9. 1b Transformada de Fourier a Três Dimensões,.. 221
9.2 Transformada de Fourier na Teoria das Probabilidades, 221
9.2a Função Distribuição de Probabilidades e Função
Densidade de Probabilidades,............... 221
9.2b Expectativa e Momentos,................... 223
9.2c Função Característica,,,.................... 224
9.3 O Princípie da Incerteza na Análise de Fourier,...... 228
9.4 Fórmula do Somatório de Poisson, ' '236
9.5 Causalidade e a Transformada de Hilbert,......... 239
9.6 Cálculo de Algumas Integrais, : . . . . . 243
9.7 Problemas Suplementares,........................ 244
AP~NDICE A Convergência da Série de Fourier e Fenômeno de GIBB
A.l Convergência da Série de Fourier,............... 247
A.2 Fenômeno de GIBB,.. .. .. . . . .. .. .. . . . .. .. .. .. .. . 253
APE:NDICE B Relação Entre as Transformadas de Laplace e Fourier
B. 1 Definições e Propriedades Básicas da Transformada de
Laplace, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
B . 2 Relação Entre a Transformada de Laplace e a de Fourier, 259
APE:NDICE C Três Formas da Série de Fourier,.. . ... . .. . .. 263
APE:NDICE D Resumo das Condições de Simetria,. . . . . . . . .. 264
APE:NDICE E Propriedades da Transformada de Fourier,. . . .. 265
APE:NDICE F Lista de Símbolos,. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 268
rNDICE AlFABnlCO - 271
,
SERIE DE FOURIER
CAPíTULO
1
1.1 Funções Periódicas
As funções periódicas podem ser definidas como aquelas para as quais
f(t) = f(t + T)
para qualquer t. A menor constante T que satisfaz (l.l) é chamado periodo da
função. Por iteração de (l.l), temos:
f(t) = f(t + nT), n = O, ± 1, ± 2, ....
A Fig. 1.1 mostra um exemplo de função periódica.
PROBLEMA 1.1 Ache o período da função f(t) = cos -1- + cos ; .
Solução: Se a função f(t) fôr periódica com um período T, então, de (l.l).
Resulta:
1 1 t t
cos - (t + T) + cos - (t + T) = cos - + cos -.
3 4 3 4
Desde que cos (8 + 2rrm) = cos 8 para qualquer inteiro m, então:
1
- T = 27Tm,
3
1
- T = 27Tn,
4
onde m e n são inteiros. Portanto, T = Sttm = 8rrn. Quando m = 4 e n = 3,
obtemos o menor valor de T. (Isto pode ser visto mediante um processo de ten-
~a). Então, T = 24rr.
Em geral, se a função
fôr periódica com período T, deverá ser possível, então, achar dois inteiros m e n,
tais que
O)IT = 2nm,
w2T = 2nn.
o quociente de (1.3) por (1.4) é
0)1 m
W2 n
isto é, a razão 0)1/0)2 deve ser um número f~'
PROBLEMA 1.2 A função f(t) = cos 10t + cos (10 + rr) t é periódica?
(l.l)
(1.2)
Fig. 1.1 Função peri6dica.
(1.3)
(1.4)
(1.5)
2 S'RIE DE FOURIER CAPo 1
Solução: Neste caso, Clh = 10 e <02 = 10 + n. Como
Cú1 10
Cú2 = 10 + 11
não é um númeroracional, é impossível achar um valor T para o qual (1.1) seja
satisfeita. Portanto,/(t) não é periódica.
PROBLEMA 1.3 Ache o período da função 1(/) =; (10 cos t)2.
Solução: Usando a identidade trigonométrica cos2() = ~ (1 + cos 2(),
f(t) = (10 COS t)2 = 100 cos2t = 100 ~ (1 + cos 2t):: 50 + 50 cos 2t.
2
Desde que uma constante é função periódica de período T para qualquer valor
de T e o período de cos 21 é n, concluímos que o período de 1(/) é ti,
PROBLEMA 1.4 Mostre que se 1(1+ T) = 1(1), então
la+Tl2 lTI2• f(t) dt = f(t) dt,B-TI2 -T12 (1.6)
lT+t f(t) dt = lt f(t) dto
Solução: Se I(t + T) = I(t), fazendo 1=. - T, teremos
t(L:'" T + T) = feL) = feL - T).
(1. 7)
(1.8)
Considerando a integral
Jf3 f(t) dto
o:
Substituindo 1=. - T, e usando (1.8), vem:
J13 (13+T J f3+Tf(t) dt = J_ feL - T) dL = feL) dL.a a+T a+T
Visto que qualquer símbolo pode representar a variável de integração na substi-
tuição acima,
ff3 if3+Tf(t) dt = f(t) dtoa O:+T (1.9)
Podemos então escrever o primeiro membro de (1.6) como
a+TIZ -T12 a+T121 f(t) dt = f .f(t) dt + ( f(t) dtoa-T12 a-T12 J-TI2
Aplicando o resultado de (1.9) à primeira integral do segundo membro da equação
acima, vem
a+T12 lT/2 r: r. [T12r, f(t) dt =. f(t) dt + f(t) dt = f(t) dt + f(t) di
J•.-TI2 a+T12 -T12 -T12 a+T12
LTI2= f(t) dto-T 12
)
1.1 FUNÇOES PERIOOICAS 3
Em (1.9), se IX = O e fJ = t, então (1.9) torna-se
lt f(t) dt = LTt't l(t) dto
Em (1.6), se a = T12, (1.6) transforma-se em:r iT/2l(t) dt =
o -T/2
l(t) dto (1.10)
PROBLEMA 1.5 Seja I(t + T) = I(t) e
g(t) = lt 1('C) d'C.
Mostre que g(t + T) = g(t) se, e somente se.
lT/2 l(t) dt = O.
-T /2
Solução: Desde que g(t) = { I(r:) dt;
g(t + T) = it+T 1('C) d'C = iT f('C) d'C + lT+t f('C) d'C.
De (1.10) e (1.7) vem
iT fT/2 J
T/2I ('C) d'C = f('C) d'C = l(t) dt,
o -T/2 -T/2 lT+t ltT l(t) dt = o l(t) dto
Então,
iT/2 itg (t + T) = I (t) dt + I (t) dt-T/2 o
fT'2e g(t + T) = g(t) se, e somente se, I(t) dt = O.
-Tlz
PROBLEMA 1.6 Seja I(t + T) = I(t), e
lt 1F(t) = 1('C) d'C - -aot,o 2
2 fT'2
onde ao = T I(t) dto Mostre que F (t + T) = F (t).
-T12
f
I 1
Solução: Desde que F (t) = o I(r:) dt - 2" aot,
lt+T 1F(t+T)= 1('C)d'C--ao.(t+T)o 2
iT iT+t 1 1= 1(L)d'C+ 1(L)d'C--a t--a T.2 o 2 oo . T
4 S~RIE DE FOURIER CAPo 1
De (1.10) e (1.7),
iT lTI2 1f('r:) dT = f(T) dT = "2 aoT,o -T /2
lT+t 11T f(T) a: = o f(T) dT.
Então,
1 LI 1 1F(t+T)=-a T+ f(T)dT--a t--a T2 o 2 o 2 o
o 11 1f(T) dT - -aot = F(t).o 2
1.2 Séries de Fou rier
Seja a função f(t) periódica com período T. Esta função pode, então, ser
representada pela série trigo no métrica
1 <X>
= -2 ao + L (ancos nOJot + bnsen nOJot),
n=!
(1.11 )
onde OJo = 2n/T.
Séries como esta (1.11) são chamadas séries trigonométricas de Fourier. Po-
demos também escrevê-Ia sob a forma
<X>
fel) = C,+ L C« cos (nOJot - (}n).
n=l
(1.12)
PROBLEMA 1.7 Deduza (1.12) de (1.11) e exprima C; e (}n em têrmos de ar.
e b;
Solução: Podemos escrever
Aplicando uma identidade trigonométrica, teremos
anCOSnúJot + bnsen nWot = Cn (cos en cos núJot + sen en sen núJot)
= Cn cos (núJot - en), (1.13)
onde
(1.14)
e então,
en = are tg (!:). (1.15)ou
1.3 PROPRIEDADES DOS SENOS E Co..SENOS 5
Novamente, pondo
(1.16)
obtemos
1 00 00
f(t) = 2" ao +L (ancos nWot + bnsennwot)= Co +L Cn cos (nw~t - 8n)· (1.17)
n= I n= 1
É óbvio, de (1.12), que a representação em série de Fourier de uma função
periódica representa tal função como soma de componentes senoidais de freq üên-
cias distintas. A componente senoidal de freq üência Wn = nos; é chamada o n-ésimo
harmônico da função periódica. O primeiro harmônico é chamado comumente de
componente fundamental, porque êle tem o mesmo período que a função, e 0)0 =
= 27tfo = 2nlT é chamada freqüência angular fundamental. Os coeficientes Cn e
os ângulos 8n são conhecidos como amplitudes harmônicas e ângulos de fases, res-
pectivamente.
1.3 Propriedades dos Senos e Co-Senos: Funções Ortogonais
Dizemos que um conjunto de funções {tPk(t)} é ortogonal em um intervalo
a < t < b, se para duas funções quaisquer tPm(t) e tPn(t) no conjunto {tPk(t)},
para m =/= n
(1.18)
para m = n
existe.
Consideremos, por exemplo, um conjunto de funções senoidais. Pelo cálculo
elementar podemos mostrar que
J
T/2
cos (mwot) dt = °
-T12
para m =/= 0, (1.l9a)
J
TI2
sen (mwot) dt = °
-T12
para todo m, (1.l9b)
JTI2 1°'
m =/= n
cos (mwot) cos (nwot) dt =
-T12 T12, m=n=/=O,
JTI2 10, m =/= nsen (mwot} sen (nwot) dt =
-T12 T12, m=n=/=O,
(1.l9c)
(1.l9d)
J T/2 sen ~mwot) cos (nwot) dt = ° para todo m e n,-T12 (1.1ge)
onde co, = 2n1T.
Estas relações mostram que .as funções {l, cos wol, cos 2Wol, ... , cos nWol, .... ,
sen wol, sen 2wol, ... , sen nWol, ... } formam um conjunto ortogonal de funções em
um intervalo - TI2 < I < T12.
6 S~RIE DE FOURIER CAPo 1
PROBLEMA 1.8 Verifique (1.l9c)
Solução: Em vista da identidade trigonométrica
1
cos A cos B == - [cos (A + B) + cos (A - B)] ,
2
e
temos
1 LTI2== 2' [cos [(m + n) úJot] + cos [(m - n) úJotll dt
-T12
1 1 I TI2= - sen [Im + n)úJot]
2 (m + n) úJo -T12
1 1 ITI2+- sen[(m-n)úJotl
2 (m - n)wo -T12
1 1
= - [sen [(m + n)"J + sen [( m + n)"l!
2 (m + n)úJo
1 1
+ - [sen [(m - n)"] + sen[(m-n)"l!2 (m - n) úJo .
=0 selm/'n.
Se m = n =F O, pela identidade trigonométrica cos2(} = ~ (1 + cos 2(}), temos:
1 LTI2= _ [1 + cos 2múJotl dt
2 -T12
1 ITI2 1 I
T
I2= -t + --. - sen 2múJot .
2 _ T I 2 4múJ o - T I 2
PROBLEMA 1.9 Verifique (1.lge).
Solução; Usando a identidade trigonométrica
1
sen A cos B = '2 [sen (A + B) + sen (A - B)],
temos
1.4 DETERMINAÇÃO DOS COEFICIENTES DE FOURIER
[T/2 sen (mwot) cos (nwot) dt
-T 12
1 {T12=2" \sen[(m+n)wot] + sen[(m-n)wotll dt
-T12
1 -1 ITI2 1 -1= - cos [em + n}wotl + - --;------:--
2 (m + n) Wo -T12 2 (m - n) Wo I
TI2
cos [em - n) wot]
-T12
= O. sem.fon.
Se m = n "# O. usando a identidade trigonométrica sen 20 = 2 sen O cos O, temos:
l
TI2 lTI2sen (mwot) cos (nwot) dt = sen (mwot) cos (mwot) dt
-T12 -T12
1 jTI2
= 2" sen (2mwot) dt
-T12
1 I TI 2= - -- cos (2mwot)
4mwo -T12
== O.
Evidentemente para m = n = 0, a integral é igual a zero:
1.4 Determinação dos Coeficientes de Fourier
Usando as relações de ortogonalidade (I.19a-e), podemos agora determinar
os coeficientes a; e b.; das séries de Fourier
I '"
f(t) = 2" ao + ];1 (ancos núJot + bnsennúJot). [1.11]
Multiplicando ambos os membros da equação acima por cos múJót e integrando
no intervalo [- T12, Tl2], temos:
f
TI2 1 fTI2
f(t) cos (múJot) dt = 2"lfJu
-T12 -T12
cos (múJot) dt
fTI2 [t ancos (núJot) ] cos (múJot) dt+
-T12 n-1
fTI2 [i: bnsen (núJot) ] cos (múJot) dto+
~T12 n-1
Permutando os sinais de integração e somatório, vem
f
TI2 1 fTI2
f(t) cos (múJot) dt = 2" ao cos (múJot) dt
-ffl . -ffl
cc IT/2+ L: a cos (nwot) cos (múJot) dt
n=l n -T/2
cc ITI2+ L: b sen (núJot) cos (múJot) dto
n=l n -T12
7
S~RIE DE FOURIER CAPo 18
Em virtude das relações de ortogonalidade (1.19),
f1'/2 Tf(t) cos (mOJot) dt =2 amo
-1'/2
Então,
2 f1'/2 .
am =T f(t) cos (mOJot) dto
-1'/2
Integrando (1. II ) em [- T12, T12] e usando (1.19), temos:
f
1'/2 1 f1'I2 f1'I2 [ cc ]
f(t) dt = 2" ao dt + l: (ancos nou: + bnsen nOJot) dt
-1'12 _ -1'12 -1'12 n=1 .
1 '" f1'I2 eo fTI2
= 2" «r + t;1 an -T12 COS(nOJot) dt + t;1 bn -T12 sen (nOJot) d:
1= 2"aoT.
Então,
1 1 f1'I2
2" ao = T f(t) dt,
-1'12
I'
ou
2 f1'I2
ao = T f(t) dto
-T12
(1.22)
(1.23)
(1.24) I
Notemos que aol2 é o valor médio de f(t) em um período.
A Eq. (1.24) mostra que (1.21), que permite calcular os coeficientes da série
de co-senos, dá também o coeficiente ao corretamente, desde que cos mout Im =0= 1.
Anàlogamente, se(1.1I) fôr multiplicada por sen mcos: e integrada têrmo a
têrmo no intervalo [- T12, T12] , temos:
f
TI2 I fTI2
f(t) sen (mOJot) dt = 2" ao sen (mOJot) dt
-M -M
cc fTI2+ l: an . cos (nOJot) sen (mOJot) dt
n -I -1'12
'" fTI2+ l: b; sen (nOJot) sen (mOJot) dto
n -I' -1'/2
No caso, as relações de ortogonalidade (1.19) fornecem:
f
TI2 7'
f(t) sen (mOJot) dt = 2- b.;
-T12
Então,
2 fTI2
bm = -T f(t) sen (mOJot) dto
. -T12
Substituindo m por n, podemos também escrever (1.21) e (1.26) como
2 fT/2
an = T f(t) cos (nOJot) dt,
-T12 .
n = 0,1,2, ... ,
(1.25)
(1.26)
(1.27)
1.4 DETERMINAÇAO DOS COEFICIENTES DE FOURIER
2 fT'2
b; = - fel) sen (nwol) dt,
T -T12
n = 1,2, .... (1.28)
Emgeral, não é necessário que o intervalo de integração de (1.27) e (1.28) seja si-
métricoem relação à origem. Em virtude de (1.6), a única exigência é que a
integralseja considerada em todo o período.
PROBLEMA 1.10 Ache a série de Fourier para a função f(/) definida por
{
-L
E (O =
1,
e .l(t + T) = fel). (Veja Fig. 1.2).
T--<t<O
2
O<t<!..
2
Solução: Dei (1.27) e de wot I = 2
T
TT (± ,T2 ) = ±TT,
t=± T / 2
2 iT/2a = - E(t) cos (nwoO dt
n T
-T /2
2 [10 iT/2 1=_ -cos(nwot)dt+ cos(nwoOdt
T -T/2 o ~
2 ( 1 1
0
1 I T/2 )=_ ~sennwot +--sennwot
T nwo -T/2 nwo o
=2{~ [sen O -sen (-nTT)J +._1_ [sen In») - sen OJ}
T nwo nwo
= ° para n =1=0,
desde que sen ° = sen (nn) = O.
Para n = 0,
1 1 JT!2- ao = - E (t) dt = O2 T
-T/2
(1. 29)
(1.30)
(1.31)
desde que o valor médio de f(/) em um período é zero. De (1.28) e de woT =
= (2n/T) T = 2n, temos:
2 iT/2bn = T E(i) sen (nwot) di .
-T /2
2 [10 lT/2 ]=- - sen (nwot) dt + sen (nwot) dt .
T -V2 o
2[1 10-1= - - cos (nwot) + - cos (nwoi)
T nwo -T/2 nwo
= _2_{[1-COs(-nTT)l-[cos (nTT)-lJ}
nWoT .
2
= -.(1 - cos nTT).
nTT (1.32)
9
f(t)
-, Ih ,-
I 1 I I
I I IT :
I I Iz--T-+I----~'I~O------TI~----~:~t
--I 1 1 1
2 1 I 1 1
1 1;..1--r-r-l ;..1 __ --..;1
Fig. 1.2 Forma de onda do Probl. 1.10.
f (t)
1
Fig. 1.3 Forma de onda do Probi. 1.11:
(1.33)
10 SI!RIE DE FOURIER CAP. 1
Desde que cos nn = (- 1)",
{
O, npar
bn = 4
_ , .n ·lmpar.
n17
Então
4
00
1
f(t) = -;; L ;;sen núJot
n=,linpar
4 ( 1 1 )= - sen úJot+ - sen 3úJot+ - seu 5úJot+. .. .
17 3 5
(1.34)
"'--PROBLEMA 1.11 Desenvolva em série de Fourier a função cuja forma de onda
está indicada na Fig. 1.3.
Solução: A função f(t) pode ser expressa analiticamente como:
{
4t1+-,
f(t) = T
4t1--,
T
T
-- <t<O2 -
T
O<t<-.- 2
Como o valor médio de f(t) sôbre um período é igual a zero,
1 1 lT/2- ao = - f(t) dt = O.
2 T -T/2
De (1.27) e de (1.35),
2 lT/2an = - f(t) cos (núJot) dt
T -T/2
2 lT/2 2 10 4= - cos (núJot) dt + - -t cos (núJot) dt
T T T-T/2 -T/2
2 lTr2 4+ _ - -t cos (núJot)dt.
T o T
(1.35)
(1.36)
A primeira integral do segundo membro é igual a zero. Fazendo t = - r na
segunda integral, vem:
8 o 8 lT/2a =-1 (-T)cos [núJ (-T)](-dT) - - t cos (núJot) dt
n T2 o T2
T/2 o
8 10 8 lT/2= - T cos (núJoT) dT - - t cos (núJot) dt
T2 T/2 r o
8 lT/2 8 lT'2= - - T cos (nco , T) â : - - t cos (núJot) dt
T2 T2o o
16 iT/2= - - t cos (núJot) dto
T2 o
1.4 DETERMINAÇAO DOS COEFICIENTES DE FOURIER 11
Integrando por partes, vem:
lTI2 1 ITI2 __ 1_ITI2t cos (nwoO dt = - t sen (nwoO o sen (nwoO dto nwo o nwo
1
(n217/T)2 (cos n17 - 1).
Então,
16 1
a = - - (cos n17 - 1)
n T2 (n217/T)2
(1.37)
Como cos me = (- 1r.
{
O, n par
an = 8
-r-r-r-Ór n Ímpar.
n2172
(1.38)
Anàlogamente, de (1.28) e de (1.35),
2 lTI2bn = T f(t) sen (nwot). dt
-T12
2 lTI2 2 {O 4 .
= - sen (nwoO dt + - - t sen (nwot) dt
T T T-T12 -T12
2 iTI2 4+ - - - t sen (nwo t) dt
T o T
8 50 8 ITI2=- . (-T)sen[nw (-T)] (-dT)-- o tsen(nwot)dtT2 o T2
Til
8 1T I 2 r 8 IT I 2
= - t sen (nwot) dt - - t sen (nwot) dt
T2 T2o o
(1.39)
Então,
8 ( 1 1 )f(t) = - cos w"t + - cos 3wot + - cos 5wot + •...172 32 52
(1.40)
~PROBLEMA 1.12 Ache a série de Fourier para a função 1(/) definida por
T
{
O, -2"<t<O
fCt) = T (1.41)
A sen wot, 0< t <"2'
e l(t + T)= 1(/), os; = 2n/T. (Veja Fig. 1.4).
12 SIltRIE DE FOURIER CAPo 1
f (t)
__~ -L ~ ~ L- ~~t '
T T
2 2
Fig. 1.4 Forma de onda do Probl. 1.12.
Solução: Desde que f(/) = O quando - TI2 < I < O, mediante (1.27) e (1.28)",
2 iT/2 2A T2ao = - A sen (wot) dt = --- (-cos wot)! /
T o 'Two
A= _ (1 - cos 77)
77
2A (1.42)
77
A iT/2= - lsen ((1+ n) wotl + sen [(1- n) wotll,dt.
T o
(1.43)
Quando n = I,
a
1
= A lT/2 sen (2wot) dt = A '(__ 1_ COS 2wot)IT/2 = ~[1 ~ COS (277)]
T o T 2wo o 477
A .
= - (1-1)
477
(1.44)
Quando n = 2, 3, ....
a = A {_ cos [(1 + n) wotl _ cos [(1 - n) wotl }IT /2
n T (1+n)wo (1-n)wo b
= ~ {1 - [cos (1 + n) 77] + 1 - cos [(1 - n) 77]1
277 1+ n 1 - n r
{
Q.
= A
277
n ímpar
( 2 2) 2A__ +__ __ n par.1 + n 1 - n - (n - 1) (n + 1) 77' (1.45)
Anàlogamente,
A lT/2= - \cos [(1 - n) wot] - cos [(1 + n) wotll dt.
T o
(1.46)
1.5 APROXIMAÇAO POR S~RIE DE' FOURIER FINITA 13
Quando n == 1,
bl=~iT/2 dt_~lT/2 cos(2Ci,lot)dt=A_A sen2Ú>ot lT/2 A.
roTo 2 T2ú>o o - 2'
(1.47)
Quando n =2, 3, ••• ,
b
n
~ ~ {sen [(1 -:-.n) Ú>otl _ seu [(1 + n) Ú>ot1}IT /2
T (l-n)ú>o (l+n)ú>o o
= ~{ sen [(1 - n) 77] - senO_ ~en[(1 + n) 77] - se~}
277 1 - n 1 + n
= O. (1.48)
Então,
A A 2A( 1 1 )f(t)=-+-senú> t....,- -, cos2wot+-cús4ú> t+···.
77 '} o 77 1. 3 3 . 5 o '
(1.49)
PROBLEMA 1.13 Desenvolva f(t) = sen'r em série de Fourier.
Solução: Em vez de procedermos como no Probl. 1.12, usaremos _as identidades
e±Jne = cos nO ±j sen nO, (1.50)
e Jne + e -/n e
cosnO=----~---
2
(1.51)
eJne_e-/ne
sen nO=-----
2j
(1.52)
Então,
senSt = (eJt - e-it)S = _l_(e/St _ 5eJ3t + 10eJt _ 10e-Jt + 5e-J3t _ e-1St)
2j 32j
5 5 1
= - sen t - -- sen 3t + -- sen 5t. (1.53)
8 16 16
No caso considerado, a série de Fourier tem somente três têrmos.
1.5 Aproximação por Série de Fourier Finita
Seja
(1.54)
a soma dos primeiros (2k + 1) termos de uma série de Fourier que representa
f(t) em - T/2 < t < T/2.
Quando f(t) é representada aproximadamente por S",(t), isto é,
, k
f(t) = a
2
0 + L: (an cos nWot + b« sen nWot) + 8k(t), (1.55)
n-1
I fT'2 1 fT'2
Ele = T [eJ.(t)]2 dt = T [f(t) - Sk(t)]2 dto-T12 -T/2 (1.57)
14 S~RIE DE FOURIER CAPo 1
e ek(t) é o êrro ou diferença entre f(t) e seu valor aproximado, então o êrro médio
quadrático E; é definido por
PROBLEMA 1.14 Mostre 'que, dada uma aproximação de uma função f(t) por
uma série finita de Fourier Sk(t), esta aproximação tem a propriedade de possuir
um êrro quadrático mínimo.
Solução: Substituindo (1.54) em (1.57),
(1.58)
Consideremos E, como função de ao, an e b.; Então, para têrmos um mmimo
para o êrro médio quadrático Ek, suas derivadas parciais em relação a ao, an e b;
devem ser iguais a zero, isto é,
aEk = O
aao '
aEk = O (n = 1, 2, . , -).
abn
Permutando a ordem de diferenciação e integração,
st: 1 1TI 2 [ a k ]aa k = - T l(t) - i:-L (an cos nWot + bn sen nwot) dt,
o -T/2 n=l
(1.59)
aE 2 (T/2 [k ~aa k = - T L l(t) - a; - L (an cos nWot + bn sen nwot) cos (nwot) dt ,
n -T/2 n=l (1.60)
aE 2 (TI 2 [ a k ]abk = - T L l(t) - ; - L (an cos nWot + bn sen nwot) sen (nwot) dt .
n -T/2 n=l (1.61)
Usando as propriedades de ortogonalidade (1.19), (1.27) e (1.28) dos senos e
co-senos, as integrais (1.59), (1.60) e (1.61) se reduzem a
ez a 1 {T12_k = ...E.. _ _ l(t) dt = O,
aao 2 T -T 12
(1.62)
se 2 [T12
__ k = an - - l(t) cos (nwot) dt = O,
aan T -T12
(1.63)
st: 21T/2__ k = bn - - l(t) sen (nwot) dt = O.
ab T
n -T 12
(1.64)
PROBLEMA 1.15 Mostre que o êrro médio quadrático E; na aproximação de
f(t) dada por Sk(t), definidapor (1.57), se reduz a
I fT'2 2 1 te
s, = T -T12 [f(t)]2 dt - ~ - '2 ];1 (a~+ b~). (1.65)
1.5 APROXIMAÇAO POR S~RIE DE FOURIER FINITA 15
Solução: De (1.57),
1 [T/2Ek = - (f(t) - Sk (t))2 dt
T -T/2
(1.66)
Portanto,
2 T/2 2 fT/2 2 k iT/2-i f(t) Sk (t) dt = - ao f(t) dt + - '\' an f(t) cos (nwot) dt
T T 2 TL·
-T/2 -T/2 n=1 -T/2
•2 k (T /2 .
+ TL bn L f(t) sen (nwot) dto
n=1 -T/2
Em virtude de (1.27) e (1.28),
T /2 a2 k 2 2~i f(t) Sk(t) dt = ; + L (an + bn)·
-T/2 n=1
(1.67)
Usando as relações de ortogonalidade (I. 19), vem:
1 lT / 2 1 JT /2 [ k ] 2T. [Sk (t))2 dt = T a; +L (an cos nWot + bn sen nwot) dt
-T/2 -T/2 n=1
2 1 k
ao L ( 2=-+- a +b2)4 2 n n i»
n=1
(1.68)
--- -
Substituindo-se (1.67) e (1.68) em (1.66), temos
1 lT/2 2 k 2 1 ke, = T [I(t))2 dt - a; - L (a; + b;) + a; +"2L (a; + b;)
-T/2 n=1 n=1
1 iT/2 2 1 k= - [I(t))2 dt - ao __ '\' (a2 + b2)
T 4 2L n n'
-T/2 n=1
PROBLEMA 1.16 Estabeleça a seguinte desigualdade:
(1.69)
Solução: Mediante (1.57),
1 lT/2e, = T (f(t) - Sk(t))2 dt 2. O.
-T/2
Além disto, de (1.65) deduzimos que
(1. 70)
2 IT/2 2 k- (f(t)P dt 2. ao + '\' (a; + b;).
T .. 2 L
-T /2 n=1
(1. 71)
o teorema de Parseval afirma que se ao,an e bn, para n = 1,2,3, ... , forem
os coeficientes de um desenvolvimento em série de Fourier de uma função periódica
f(t) de período T, então
fT'2 2 a>_1 [f(t)]2 dt = ~ + ~ L (a! + b~).T -T12 . 4 2 n= 1 (1.72)
16 S~RIE DE FOURIER CAPo 1
PROBLEMA 1.17 Prove o teorema de Parseval.
Solução: Em virtude de (1.65)
(1. 73)
De acôrdo com (1.70) e (1.73), a seqüência {Ek} contém somente têrmos não nega-
tivos e é não crescente. A seqüência então converge. Além disto, em vista de (1.56),
lim êk(t)=f(t)- limSk(t)=O. (1.74)
k~oo k~oo
Então,
lim Ek = O.
k-+OO
(1. 75)
Conseqüentemente, de (1.65) concluímos que
1 iT/2 a2 1 00
- [f(t)Fdt=.~+-" (a;+b;).T 4 2 L...
-T/2 n=1
1.6 Condições de Dirichlet
Anteriormente tratamos da determinação das séries de Fourier de funções dadas,
supondo que as funções dadas podem ser representadas por séries de Fourier.
Investigaremos agora a convergência das séries de Fourier para f(t).
O estudo da convergência é um dos assuntos mais elegantes da teoria de
Fourier. Estabeleceremos aqui simplesmente as condições conhecidas como con--
dições de Dirichlet, mediante as quais é possível a representação em série de Fourier
para uma dada função.
As condições de Dirichlet são as seguintes:
(1) A função f(t) tem um número finito de descontinuidades num período.
(2) A função f(l) tem um número finito de máximos e mínimos num período.
(3) A função f(t) é absolutamente integrável em um período, isto é:
fT'2 If(l) I dt = finita < oo ,-T/2 . (1.76)
Dizemos que uma função f(l) é secionalmente contínua no intervalo finito
[- T12, T12] se ela satisf izer às condições (l) e (2).
fel)
Fig. 1.5 Função secionalmente contínua e limites laterais.
1.7 DIFeRENCIAÇAO E INTEGRAÇAO DA .S~RIE DE FOURIER 17
Em um ponto de descontinuidade; como o mostrado na Fig. 1.5, o qual pode
ser t = tu à série de Fourier converge para
1 . .'2 [f(ll -) + f(11 + n, (1.77)
ondef(h -) é o limite de f(t) quando t se aproxima de It pela esquerda, e f(tl +)
é o limite de f(t) quando t se aproxima de II pela direita. A razão desta proprie-
dade das séries de Fourier é discutida no Ap. A.
PROBLEMA 1.18 Se {an} e ~{bn} forem as seqüências de coeficientes de
Fourier de f(/), mostre então, que
lim an = lim b.; = O.
n--+co n~co
(1.78)
Solução: Em virtude de (1.69),
00 TI 2
~ a~ + " (a; + b;) s ~ r [l(t)F dto2 ~ T J_ .
n=l -T12
Desde que a série do primeiro membro é convergente, é necessário que
lim (a; + b;) = 0,
n->OO
o que implica lim an = lim bn = O.
n ....•OO n--J>OO
PROBLEMA 1.19 Mostre que se f(t) fôr secionalmente contínua e absoluta-
mente integrável sôbre - TI2 < t < T12, então
JTf2 ITf2lim f(t) cos (núJot) at = lim f(t) sen (núJot) dt = O.n-r+ee -Tf2 n-r+ec -Tf2 (1.79)
Solução: Desde que f(t) é absolutamente integravel sôbre [- T12, Tf2], seus
coeficientes de Fourier a.; e b; existem. Em vista de (1.78), (1.79) decorre da defi-
nição dos coeficientes de Fourier, isto é,
{
an 2 iT 12 {cos (nwot)
lim lim - l(t) dt = O.
n->oo b n->OO T . (
n -T 12 sen nwot)
Então,
lim JT /2 {cos (nwot)-l(t) dt = O.-T/2 sen (nwot)
1.7 Diferenciação e Integração da Série de Fourier
Vamos agora considerar a diferenciação e integração da série de Fourier de
uma função. Notemos que a diferenciação têrrno a têrmo de uma série trigono-
métrica
ao cc
2"" + !;l (an cos núJol + bn sen núJot)
multiplica os coeficientes a.; e b.; por + nco.: Então, a diferenciação tende a ate-
18 S~RIE DE FOURIER CAP. 1
nuar a' convergência e pode resultar em divergência. Por outro lado an e b; são
divididos por t nou e o resultado é uma série cuja convergência fica aumentada.
PROBLEMA 1.20 Prove: o .seguinte teorema sôbre diferenciação da série de
Fourier:
Se f(t) fôr contínua em - TI2 ::; t ::; TI2 com f(- T12) = f(Tf2) e se sua
derivada fõr secionalmente contínua e diferenciável, então a série de Fourier
a '"
f(t) = -20 + L: (~cos nWot + h,. sen nWot)
n_l
pode ser diferenciada têrmo a têrmo e seu valor é:
cc
j'(t) = L: noi; (- a" sennwot + b; cos nWot).
n_l
(1.81)
Solução: Visto que I'(t) é secionalmente contínua e diferenciável, sua série de
Fourier converge para ela; então sua representação em série de Fourier é
00
f'(t) = ~o + L(CXncOS nC:Uot+ f3n sen nC:Uot),
n= 1
(1.82)
onde
21TI2CXn= - f'(t) cos (nC:Uot).dt,
T -T12
21TI2f3n = - f'(t) sen (nc:uot) dto
T -T12
Integrando (1.83) e (1.84) por partes, vem:
(1.84)
2 ~ I
TI2 iT!2 ]cxn = T (cos nC:Uot)f(t) + nc:uo f(t) sên (nC:Uot) dt
-T12 -T12
(1.85)
2 [ jTI2f3n = - (sen nC:Uot)f(t) - nc:uo
T -T12 LTI2 ]f(t) cos (nc:uoO dt-T12
= - nc:uoan
(1.86)
desde' que f(--. T12) = f(TI2) .
. Observando que !X.o = O. Então,
00
f'(t) =L nc:uo(-ansen nC:Uot+ bn cos nC:Uot),
n=1
a qual pode ser obtida da série de Fourier de f(t), derivando-se têrmo a têrmo.
(A diferenciação de uma função que tenha descontinuidades de salto será discutida
na Seç. 2.5.) .
PROBLEMA 1.21 Seja f(t) secionalmente contínua para - TI2 < t < TI2 e
f(t + T) = f(t). Mostre que a série de Fourier
I '"
f(t) = -2 ao+ L: (an cos ncoa + b; sen nwot)
~-l
(1.87)
1.7 DIFERENCIAÇAO E INTEGRAÇAO DA S~RIE DE FOURIER 19
pode ser integrada têrmo a têrmo, sendo seu valor
f
~ 1 - 1
f(t) dt = -2 00 (t2 - ft) + 2: -- [- bn (cos nWoh - cos nWoft)
I . n-·l nwo
1 .
(1.88)
Solução: Como f(t) é secionalmente contínua e tendo em vista o resultado do
Probl. 1.6, a função F(t) definida por
(1.89)
é contínua e periódica com período T. Como, então,
(1.90)
P(t) é também contínua. Seja o desenvolvimento em série de Fourier de F(t)
1 00
F(t) = 2" ao +L (an cos nWot + f3n sen nwot).
n= 1
(1. 91)
Então, para n ~ I,
2 [T12
(Xn = - F(t) cos (nwot) dt
T -T12
2 lTI2 1
= - -- [l(t) - - ao] seu (nwot) dt
nWoT -T12 2 .
(1.92)
2 [T12f3n = - F(t) sen (nwot) dt
T -T12
(1.93)
Então,
(1.94)
. 1 cc
f(t) = -2 ao + L: ta; cos ncoet + b; sen nOJot)
n=1
(1.97)
20 S~RIE DE FOURIER CAPo 1
Mas,
F(t2) - FCt) = Jt2 f('r) dT- ~ao (t2 - tI)'
tI
(1. 95)
Então,
+ an (sennwot2 - sen,nwot1)]
a qual pode ser obtida da série de Fourier de f(t), .pela integração têrmo a têrmo.
.PROBLEMA 1.22 Mostre que a integral de' uma função periódica cujo valor
médio difere de zero não é uma função periódica.
Solução: De acôrdo com o resultado do Probl. 1.21,
o têrmo t aot não é periódico e, por conseguinte, a integral não é periódica.
Note-se que, integrando-se a série de Fourier de f(t), têrmo a têrmo, resultará a
série de Fourier da integral de f(t) somente se ao = O, isto é, somentese o valor
médio de f(t) fôr zero. Isto foi provado no Probl. 1.5.
PROBLEMA 1.23 . Seja f(t) contínua e f'(t) secionalmente contínua em ~ Tj2 <
< t < T12. Multiplique
por f(t), integre têrmo a têrmo e mostre que
1 f Tf2· 1 2 1 ec 2T [f(t)]2 dt = 4 ao + 2 L: (an + b~.
-T/2 . n-1
(1.98)
(Cf. Teorema de Parseval - Probl. 1.17.)
Solução: Usando (1.27) e (1.28),
lT/2 1 lT/2 00 [. .. [ECt)F dt = 2" ao f(t) dt +L an-T/2 -T/2 n=1
lT/2 ]+ bn f(t) sen (nwot) dt-T /2
(T/2L f(i) cos (nwoi) dt
-T/2
(1. 99)
Então,
1 iT /2 1 1 00
- [E(i)F dt = - a; + - \' (a; + b;).
T 4 2 L
-T/2 n=1
1.8 PROBLEMAS SUPLEMENTARES I):}T
1.& Problemas Suplementares
PROBLEMA 1.24 Ache os períodos das seguintes funções:
(a) cos nt, (b) cos 2nt, (c) sen (21tt/k), (d) sen t + sen (t/3) + sen (t/5),
(e) 1 sen COot1 .
Resp.: (a) 2n/n, (b) 1, (c) k, (d) 30n, (e) nko«.
PROBLEMA 1.25 Mostre que a função f(t) = constante é uma função periódica
de período T para qualquer valor positivo de T.
PROBLEMA 1.26 Se f(t) fôr uma função de t com período T, mostre que f(at)
para a #- O é uma função periódica de t com período T]a.
PROBLEMA 1.27 Se fel) fôr uma função periódica de t com período Te inte-
f- .grável, mostre que faCt) =+ f(r) dt é também periódica com período T.a l-a
PROBLEMA 1.28 Mostre que, se f(t) e g(t) são secionalmente contínuasmo
intervalo (- T/2, T/2) e periódicas com período T; então a função
, T/2
h (t) ~ ~ f f(t - T)g(T)dT
T -T /2 .
é contínua e periódica com período T.
PROBLEMA 1.29 Ache a série de Fourier para a função f(t) definida por f(/) = 1
para - n < t < 0, f(t) = O para o < l < t: e f(l + 2n) == f(t). (Veja Fig. 1.6).
Resp.: 1. _1. f: sen (2n - 1) t
2 TT n = 1 2n-1
PROBLEMA 1.30 Ache a série de Fourier da função definida por f(t) = l para
o intervalo (-n, n) e f(t + 2n) = fel). (Veja Fig. 1.7) ..
bc
Resp: 2 L (-1r-1 sen nt .
n=l
PROBLEMA 1.31 Ache a série de Fourier para a função f(t) definida por fel) = t
para o intervalo (-n, n) e f(t + 2n) = fel). (Veja Fig. 1.8).
Resp.:
1 2 4 [00 (_l)n
- TT + -- cos ttt .
3 n2
n = 1
PROBLEMA 1.32 Ache a série de Fourier para a função fel) definida por f(t) = el
para o intervalo (-n, n) e f(t + 2n) = f(t). (Veja Fig .. 1.9).
Resp.: 2 senh TT [I + ~ (_1)n (cos nt _ n sen nn] .
TT 2 l-;;\ 1 + n2
PROBLEMA 1.33 Ache a série de Fourier para a função fel) = 1 A sen coolI.
(Veja Fig. 1.10).
21
Fig. 1.6 Função l (t) 'do Probl!. 1.29.
l(t)
Fig. 1.7 Função i (t) do Probl. 1.30.
l(t)
_ 77'2
Fig. 1.8 Função l( t)' do Probl'.1.31.
lU)
~~~"
-2TT -TT O TT 217
Fig. '1.9 Função l(t) do Prob.1. 1.32.
l(t)
, A
Fig.. 1.10 função l (t) do Probl.1.33.
22 SIliRIE DE FOURIER CAPo 1
Resp.: 2A 4A-+-
17 17
00
[
n= 1
PROBLEMA 1.34 Desenvolva f(t) = sen-r cos-r em série de Fourier.
Resp.: l (2 cos t - cos 3t - cos St).
16
PROBLEMA 1.35 Desenvolva f(t) = e" cos t cos (r sen t) em série de Fourier.
[Sugestão: Use a série de potências para ez quando z = reit].
00
Resp.: 1+ L Tn cos nt.
n= 1 n!
PROBLEMA 1.36 Ache uma aproximação para a função f(t) = t no intervalo
(-n, n) por meio de uma série de Fourier finita com cinco têrmos não nulos.
Calcule o êrro quadrático nesta aproximação.
Resp.: 5 [< 1)n-1 ]2 n~1 - n sen nt , Es = 0,363.
PROBLEMA 1.37 Usando o desenvolvimento em série de Fourier do Probl. 1.10,
n 111
mostre que 4 = 1- 3 + "5- 7"+
1
[Sugestão: Faça t = 4 T em (1.34)].
PROBLEMA 1.38 Prove que
~1 ~2 = 1 + i+ i + 116 + ... = ~2 •
[Sugestão: Faça t = n no resultado do Probl. 1.31].
00
PROBLEMA 1.39 Ache a soma L 1
n= 1 (2n _1)2
[Sugestão: Faça t = ° em (1.40) do Probl. 1.11].
Resp.: n2f8.
PROBLEMA 1.40 Se a função periódica f(t) tem derivadas contínuas de ordem
superior a k e uma derivada secionalmente contínua de ordem k + 1, mostre que
existe um limite B dependente somente de f(t) e k, tal que
B BIa« I < 'k+"l e Is, I < k+l"'n n
onde an e b; são os coeficientes de Fourier de f(t).
PROBLEMA 1.41 Sejam f(t) e g(t) secionalmente contínuas com período T, e
a", b; e CXn, Pn os respectivos coeficientes de Fourier de f(t) .e g(t). Mostre que
J
1.8 PROBLEMAS SUPLEMENTARES 23
PROBLEMA 1.42 Se f(t) fôr uma função periódica integrável com período T,
mostreque
1..1T l(t)(K - t)dt = t~,
T o 2 n = 1 núJo
ondeb; é um coeficiente de Fourier de f(t) e úJo= 2n/T.
[Sugestão: Desenvolva ( ~ T - t) em série de Fourier para O < t < T.]
PROBLEMA 1.43 Integre a série de Fourier de t2 do Probl. 1.31 para obter
e
OQ
L n16 - 9~~ .
n=1
PROBLEMA 1.44 Use o teorema de Parseval (1.72) para provar que
f" 1 772h
l
(2n_1)2 ="8 .
[Sugestão: Use o resultado do Probl. 1.10].
PROBLEMA 1.45 Um conjunto infinito de funções reais {cPn(t)}, onde n = 1,
2, ... , é chamado ortonormal no intervalo (a, b) se
J b CPn (1) CPm (t) dt = «: r
"
onde bmn é o delta de Kronecker. Seja uma função f(t) definida no intervalo (a, b)
e suponhamos que f(t) possa ser representada como
OQ
I (t) = C1 cpl (t) + C2 cp2 (t) + ... + Cn CPn(r) + ... = L c., CPn(t)
n=1
em qualquer ponto de (a, b) onde c; são constantes. Mostre que
Cn =fb l{t) CPn(t) dt, n = 1, 2, ....
B
Os coeficientes Cn são chamados coeficientes de Fourier da f(t) relativos ao conjunto
ortonormal {cPn(t)}.
k
PROBLEMA 1.46 Se fk(t) = 2: CncPn(t), fôr uma aproximação para f(t) do
n-l b
Probl. 1.45, mostre que o êrro médio quadrático b I a J. [f (I) - fk(t)]2 dt é um
mínimo.
PROBLEMA 1.47 Mostre que se Cn são os coeficientes de Fourier de f(t) rela-
tivos ao conjunto ortonormal {cPn(t)}, então
A expressão acima é conhecida como a identidade de Parseval.
o
(a)
f(t)
(b)
Fig. 2.1 (a) Função par.
(b) Função ímpar.
CAPíTULO
2 ,ANALISE DAS FORMAS, ,
ONDULATORIAS PERIODICAS
2.1 Simetria Ondulatõrla
Vimos no Capo 1 que qualquer função periódica f(t) com período T que satis-
faça às condições de Dirichlet, isto é, a função f(t) seja secionalmente contínua e
integrável em qualquer intervalo, pode ser representada em têrmos de uma série
de Fourier .
1 cc
f(t) = "2 ao + J;l (an cos nWot + b; sen nwct), (2.1)
onde Wo = 2njT.
Neste capítulo discutiremos o· efeito da simetria ondulatória numa série de
Fourier, e o emprêgo dos impulsos para o cálculo das séries de Fourier de algumas
ondas. .
2.1a Funções Pares e Funções ímpares
Uma função f(t) é dita par quando ~atisfaz à condição
f(- t) = f(t), (2.2)
e impar, se
f(- t) = - f(t). (2.3)
A Fig. 2.1 ilustra tais funções.
Notemos que as funções pares são simétricas em relação ao eixo dos y. Por
outro lado, as funções ímpares são anti-simétricas em relação a tal eixo. Veremos
agora algumas propriedades das funções pares e ímpares.
PROBLEMA 2.1 Mostre que o produto de duas funções pares .ou ímpares é uma
função par, e que o produto de uma função par e uma função ímpar é uma função
ímpar. .
Solução: Seja f(t) = f1(t) f2(t). Se fl(t) e h(t) forem funções pares, então
u- t) = I, (- t)f2 (- O = I, (t)f2 (t) = «»,
e se f1(t) e f2(t) forem funções ímpares, então
1(-O = I, (- tH (- t) == - I, (t) [- 12(t)] = I, (t)f2 (t) = I (t).
Isto prova que f(t) é uma função par.
Anàlogamente, se fl(t) fôr uma função par e h(t) ímpar, então
1(- O =, I, (- t) 12(- t) = I, (t) [- 12(O] = - I, (t)f2 (t) = - I(t);
Isto prova que f(t) é uma função ímpar.
2.1 SIMETRIA ONDULATORIA
PROBLEMA 2.2 Mostre que qualquer função fel) pode ser expressa como a soma
deduas funções componentes, das quais uma é par e a outra é. ímpar.
Solução: Qualquer função fel) pode ser expressa como
1 1 1 1
f(t).= 2 f(l) + 2«: t) + 2 f(t) - 2 f(-t)
1 1
= 2 [t(t) + ti- t)] + 2 [t (t) - u- o].
Seja
1
2[f(t) + f(-t)] = fl'(t),
1
2[f(t) - f(-t)] = fi (t). (2.6)
Entâo,
Portanto,
f(t) = t; (t) + fi (t),
ondeh(t) é a componente par de uma dada função f(t) e /;.(t) é acomponente
ímpar de f(t).
Outra solução: Suponhamos que f(t) possa ser expressa como
f(t) = I p(t) + fi (t), (2.7)
ondeh(t) e /;.(t) representam as componentes par e ímpar de f(t), respectivamente.
Conforme as definições de função par e função ímpar, dadas por (2.2) e (2.3), segue
que
f(- t) = f" (t) - li (r).
A adição e a subtração de (2.7) e (2.8) dão, respectivamente,
1
f p (r) = 2 [f(t) + f(- t)],
1
fi (t) = 2 [f(t) - f(- t)].
(2.8)
PROBLEMA 2.3 Ache as componentes par e ímpar da função definida pela [Fig.
2.2(a)] :
{
-I
f(t) = e,
O,
t> O
(2.9)
t < O.
Solução: De (2.9), temos
{
O,
f (- t) =
e',
t> O
(2.10)
t < O.
Portanto, de (2.5) e (2.6),
25
(2.4)
(2.5)
[(t)
___ t<=-.,
(o)
--=~=--~_. t
(b)
[i (t)--=+ .,
(c)
Fig. 2.2 (a) A função f(t) do ~robJ. 2.3(b)
A componente' par da Fig. 2.2 (a).
(c) A componente ím.par da Fig. 2.2(a).
l(t)
J1~J
, : I :
, , , I
T: ' T I 'T__ ! : _. ' I
2~ 2~
Fig. 2.3 Simetria de meia onda.
26 ANÁLISE DAS FORMAS ONDULATÓRIAS PERiÓDICAS CAPo 2
{
I -t t> O2"e ,
f p(t) = ~ [f(t) + «: t)] = .
1 t O2"e. t < ,
(2.11)
{
~e-t, t > O
f (t) = !..[f(t) _ f(-t)] = 2, 2
1
- - et t < O.2 '
As componentes par e ímpar de f(t) são representadas nas Figs. 2.2(b-c).
(2.12)
PROBLEMA 2.4 Se f(t) fôr par, mostre então que
fa f(t) dt = 2 faf(t) dto-a O (2.13)
Solução: O primeiro membro de (2.13) pode ser escrito do seguinte modo:
1: f(tr dt = 1: f(t) dt + iB f(t) dto
Fazendo 1= -.X na primeira integral do segundo membro, vem:
10f(t) dt = 10f(-x) (-dx) = 1Bf(-x) dx,-B B o
Como f(l) é par, isto é, f(- x) =f(x),
lB f(- x) dx = ia f(x) dx = ia f(t) dto
Isto é válido, porque podemos usar qualquer símbolo para a variável de integração.
Então,
ia f{t) dt = 1Bf(t) dt +1af(t) dt = 2 1af(t) dto-B O O C
PROBLEMA 2.5 Se f(l) fôr ímpar, mostre então que,
La/«() dt = O,
f(O) = O.
(2.14)
(2.15)
Solução: Podemos escrever o primeiro membro de (2.14) como:
t
•
1: f(t) dt = L: f(t) dt + ia f(t) dt
= ia f(- t) dt + ia f(t) dto
Visto que f(t) é ímpar, isto é, f(- t) = - f(t),
,
2.1 SIMETRIA ONDULATÓRIA
ia l(t) dt = - (a I(l) dt + Ia I(t) dt = O.-a Jo O
Emparticular
1(-0) = -1(0);
portanto,
1(0) = o.
2,1b Simetria de Meia-Onda
Se uma função f(t) fôr periódica de período T, então dizemos que a função f(t)
temsimetria de meia-onda quando a mesma satisfaz à condição
f(t) = - f (t + ~ T). (2.16)
A Fig. 2.3 mostra uma forma de onda com simetria de meia-onda. Observamos
quea parte negativa da onda é a imagem, num espelho, da parte positiva deslocada
horizontalmente de um semiperíodo.
PROBLEMA 2.6 Se uma função periódica j'(r) tiver simetria de meia-onda, mostre
que
f(t) = - f (I - ~ T). (2.17)
Solução: Se f(t) tem simetria de meia-onda, então, de acôrdo com (2.16),
1(t)=-/(t+}T).
Vistoque f(/) é periódica com período T,
I (t - .} T) = I (t + T - } T) = I (t + } T) .
Portanto,
I(t) = - I (t + } T) = - I (t - } T).
2.1c Simetria de Quarto de Onda
Se uma função f(/) tiver simetria de meia-onda, e além disto, fôr par ou ímpar,
dizemosque f(t) tem simetria de quarto de onda par ou ímpar, respectivamente. A
Fig.2.4 mostra formas de onda com simetria de quarto de onda.
2.1d Simetria Oculta
Muitas vêzes a simetria de uma função periódica é obscurecida por Um têrmo
constante. O exemplo seguinte ilustra o fato.
PROBLEMA 2.7 Na Fig. 2.5(a), mostre que, se construirmos uma nova função,
subtraindo uma constante Aj2 de f(t), obteremos uma função ímpar.
Solução: A subtração de uma constante Af2 de f(/) simplesmente desloca o eixo
horizontal para cima, de uma distância Af2. Como se vê na Fig. 2.5(b), é óbvio que
a nova função g(t) = f(t) - A/2 é uma função Ímpar.
27
(a)
(b)
Fig. 2.4 (a) Simetria de quarto de onda pl
(b) Simetria de quarto de onda ímpar.
f (I)
(b)
Fig. 2.5 (a) Simetria oculta.
(b ) Simetria ímpar.
28 ANÁLISE DAS FORMAS ONDULATÓRIAS PERiÓDICAS CAP. 2
2.2 Coeficientes de Fourier pa.a as Formas de Ondas Simé-
tricas
A aplicação das propriedades de simetria simplifica o cálculo dos coeficientes
de Fourier.
PROBLEMA 2.8 Se f(t) fôr uma função periódica par com período T,mostre que
sua série de Fourier consiste somente em uma constante e de têrmos em co-senos,
isto é,
1 '"
f(t) = -2 ao + I: a; cos nOJot,
n-l
(2.18)
onde
21t
OJo = T'
e a; é dado por
4 fT'2a; = T o f(t) cos (nOJot) dto (2.19)
Solução: O desenvolvimento em série de Founer de f(t) é
1 00
f(t) = 2' ao +L (an cos,nwot + bn sen nwot).
n=l
De (1.27) e (1.28), vem
2 [T12an = - f(t) cos (nwot) dt,
T -T12
n = O, 1, 2, ... ,
21TI2bn = T f(t) sen (nwot) dt,
-T 12
n = 1,> 2, •...
Visto que sen nOJot é ímpar e f(t) é par, o produto f(t) sen ncos: é uma função ímpar.
Portanto, conforme (2.14),
b; =0.
Além disto, desde que cos nOJot é uma função par, o produto f(t) cos nOJot é uma
função par. Portanto, de (2.13), vem:
4 {T12an = - f(t) cos (nwot) dto
T o
PROBLEMA 2.9 Se f(t) fôr uma função periódica ímpar de período T,mostre que
sua série de Fourier consta somente de têrmos em senos, isto é,
'"(t) = E s; sen nOJot,
n-!
(2.20)
onde
21t
OJo =T'
e b« é dado por
2.2 COEFICIENTESDE FOURIER PARA AS FORMAS DE ONDAS SIM~TRICAS 29
4 fT'2
b; = 'T o f(l) sen (nwot) dto (2.21)
Solução: Visto que f(t) é uma função ímpar, o produto f(t) cos ncos: é uma função
ímpar,e o produto f(t) sen nWot é uma função par. Portanto, conforme (2.13) e
(2.14),
4 lT/2bn == - f(t) sen (núlot) dto
T o
PROBLEMA 2.10 Mostre que a série de Fourier de qualquer função periódica
[(I) que tenha simetria de meia-onda contém somente harmônicos ímpares.
Solução: O coeficiente an no desenvolvimento em série de Fourier de uma função
periódicaf(t) é
2 iT/2-an == - . l(t) cos (núlot) dtT .
-T/2
2 [10 lT/2== - f(t) cos (núlot) dt + l(t) cos (núlot)
T -T/2 o
Substituindo a variável t por (t - t T) na primeira integral, vem
an == ~ {lT/2 I (t - ~ T) cos [núlo (t - ~ T)] dt
+ iT/2 l(t) cos (núlot) dt}.
Já que f(t) tem simetria de meia-onda, aplicando a propriedade f(t) = -/(1 - t T)
de (2.17) e com base em que sen me = 0,
2 iT/2 .an == - [- f(t) cos (núlot) cos ntt + I (t) cos (núlot)] dt
T o
(2.22)
2 lT/2~-[1 - (_I)n] l(t) cos (núlot) dt
T o
== {~ lT/2T o l(t) cos (núlot) dt para n ímpar.
para n par
,2.23)
Uma investigação semelhante mostra que
{
O .
bn == 4 T /2
T 1 f(t) sen (nwot) dt
para n par
para n ímpar.
(2.24)
PROBLEMA 2.11 Mostre que a série de Fourier de qualquer função periódicaf(t)
quejenha simetria par de quarto de. onda, consta somente de harmônicos ímpares
dos têrmos em co-senos, isto é,
.,
f(t) = E a2n-l cos [(2n -'- 1) wolJ,
n-l
(2.25)
30 ANÁLISE DAS FORMAS ONDULATORIAS PERiÓDICAS CAP. 2
2lt
Wo = T'
onde
8 fT/4'
a2n-l = T f(t) cos [(2n - 1) wot] dto
o
(2.26)
f(t) = tt- t),
Solução: Visto que f(t) tem simetria par de quarto de onda,
Portanto, dos resultados dos Probls. 2.8 e 2.10, vem:
bn = 'O} para todo n (incluindo ao),
a2n = O .
(2.27)
4 iT/2a2n-1 = - f(t) cos [(2n - 1) wotJ dt
T o
4 {(T /4
= T J
o
f(l) cos [(2n - 1) wotJ dt
. T/2 }
+ ( f(t) cos [(2n - 1) wotJ dt .
JT/4
(2.28)
Substituindo a variável t por (t + !T) na segunda integral, vem:
4 {lT/4
a2n-1 = T o f(t) cos [(2n - 1) wotJ dt
(2.29)
Usando a propriedade f(t) = - f(t + !T), temos:
a2n-1 = ~ {lT/4 f(t) cos[(7.n -1)wot] dt + i:/4 f(t) cos [(2n - 1) wotJ dt}
4 iT/4= T f(t) cos [(2n - 1) wotJ dto
-T /4
(2.30
Como f(- t) = f(t) e f(t) cos [(2n - l)wot] é par, obtemos de (2.13).
8 iT/4a2n-1 = - f(t) cos [(2n -1)wot]dt.
T o
PROBLEMA 2.12 Mostre que a série de Fourier de qualquer função periódica
f(t) que tenha simetria ímpar de quarto de onda, consiste somente de harmônicosímpares dos têrmos em senos, isto é,
2.2 COEFICIENTES DE FOURIER PARA AS FORMAS DE ONDAS SIMÉTRICAS
ec
f(t) = 2: b2n-1 sen [(2n - 1) (Oot],
n-l
onde
2n
(00 =r'
8 IT/4b2n-1 =T f(t) sen [(2n - 1) (Oot] dto
, o
(2.31)
(2.32)
Solução: Como f(t) tem simetria ímpar de quarto de onda,
f(-t)=-f(t) e f (t+~T) =-f(t).
Portanto, dos resultados dos Probls. 2.9 e 2.10, vem:
a - O}
n - para todo n, incluindo ao,
b2n = °
4 LT/2b2n-1 = - f(t) sen [(2n - 1) wotJ dto
T o
Calculando esta integral Como no Probl. 2.11, temos:
8 LT/4b2n-1 =- f(t) sen[(2n-l) wotJ dto
T o
(2.33)
(2.34)
o4lROBLEMA 2.13 Ache a série de Fourier para a função f(t) do tipo onda qua-
drada mostrada na Fig. 2.6.
Solução: Da Fig. 2.6, segue-se:
u- t) = I(t) e I (t + ~ T) = - I(t),
istoé, a função f(t) tem simetria par de quarto de onda.
Portanto, do resultado do Probl. 2.11 vem:
I (t) = L a2n-1 cos [(2n - 1) wotJ,
n=l
217
Ú>O = -,
T
8 lT/4
a2n-l = - I(t) cos [(2n - 1) wotJ dt
T o
81T/4= - co s [(2n - 1) wotJ dt
T o
8 ITO/4=---:-:---sen[(2n - 1) wotJ
(2n - 1) woT
= 4 sen r(2n - 1) :!..]
(2n - 1) 17 l 2
{
4 para(2n _ 1) = 1,5, ...
(2n - 1) 17
-4 para (2n - 1) = 3,7, ....
(2n - 1) 17
(2.35)
(2.36)
(2.37)
31
f (t)
--, l-
I I
I I <t
I
T
2 I 4 2I
Fig. 2.6 Função onda quadrada do Probl. 2.13.
f (I)
--I J, , ,--
I , , ,, , I I, + , T I , •.TI , 'T :T--I I - 1-
21 I !2 I4 I-l 4 ,
Fig. -2.7 Função Onda Quadrada
do Probl. 2.14.
f (I)'
-'T To
(o)
g (I)
32 ANÁLISE DAS FORMAS ONDULATORIAS PERIODICAS CAP. 2
Então,
4 ( 1 1 ji(t) = - cos wot - - cos 3wot + ...:...cos Swot - ..•.
17 3 5
(2.38)
I, PROBLEMA 2.14 Ache a série de Fourier para a função l(t) onda quadrada,
mostrada na Fig. 2.7.
Solução: Da Fig. 2.7, decorre
00
217
'W =-
o T ' (2.39)
i(-t) = -i(t),
i(t+~T) =-i(t),
isto é,/(t) tem simetria ímpar de quarto de onda.
Então do resultado do Probl. 2.12, vem:
i(t) =L b2n-1 sen [(2n - 1) wot],
n= 1
8jT/4b2n-1 = - i(t) sen[(2n - 1) wotl dtT (
8 iT/4 .= - sen [(2n - 1) wotl dt
T o
-8 . IT/4
= (2n- 1) woT cos [(2il- 1) wotl o
= 4 {I _ cos r(2n _ 1) !:.]}
(2n - 1) 17 l 2
4 (2.40)
= (2n - 1) -;;.
Portanto,
4 (.. 1 1 )i(t) = - sen wJf + '- sen 3wot + - sen Swot + ..•.
17 3 5
Note que êste resultado é idêntico ao do Probl. 1.10.
(2.41)
Pelos Probls. 2.13 e 2.14, notamos que para adequadas escolhas da origem, isto
é, mediante deslocamentos na abscissa tempo, podemos desenvolver a função tanto
em série de co-senos como em série de senos. A .origem pode, certamente, ser esco-
'lhida em outro ponto, resultando uma série -em senos e co-senos,
PROBLEMA 2.15 Ache a série de Fourier para a função mostrada na Fig. 2.8(a).
-~--!-~.-f7-~-+~.--_ t Solução: Como mostra a Fig. 2.8(b), a função g(t) 7= [f(t) -l] é uma função
ímpar; então,
(I:!)
Fig. 2.8 Ia) Função f(t) do Probl. 2.15.
(b) A componente Impar de f(t)
da Flg. 2.8(a).
00
g(t) =L bn sen nwot,
n=l
(2.42)
21T/2bn = T' . g (r) sen (nwot) dt.
-T/2
(2.43)
2.3 DESENVOLVIMENTO DE FOURIER DE UMA FUNÇAO EM UM INTERVALO FINITO 33
Visto que g(t) sen ncos: é uma função par, de (2.13),
4 iT/2bn = - g (r) sen (nwot) dt,
T o
(2.44)
Mas,
1 1
g(t) = -- - t para O < t < T.2 T.
Então,
b 4 iT/2 (_1 __1 t) sen (nwot) dt.
n T 2 T
o
Integrando por partes, vem:
b = ~ L(~_~t)
n T l 2 T
1 (2.45)
nTT
Logo,
1
f(t) = 2+ g(t)
1 1 00 1
= -+ - ~ -Isen nWot
2 TT L n
n= 1
. ).1 1 ~ 1 1= - + - 'sen wot + - sen 2wot + - sen 3wot + .2 TT 2 3 (2.46)
PROBLEMA 2.16 Usando o resultado do Probl. 2.15, ache a série de Fourier
para a função mostrada na Fig. 2.9(a).
Solução: Da Fig. 2.9(b) e do resultado do Probl. 2.15, vem:
1 1 00 1
fi (t) = 1- f(l) = 2+ -;L ;-sen nO)ot.
n=l
(2.47)
Portanto,
f(t) = 1- fi (t)
1 1 00 1
= 1- 2- -;L ;-sen nWot
n= 1
. ).(11,sen wot + - 8en 2wot + - sen oWot + .2 31 1= --"-2 TT (2.48)
f (t)
o T
(a)
fi (t)=l-f(l)
o T
(b)
2.3 Desenvolvimento de Fourier de uma Função em um Fig. 2.9 (a) Função f(t) do Probl.2.1.6.
Intervalo Finito (b) Função f,(I) do Prob.l.2.16.
Uma função não periódicaf(t) definida em um certo intervalo finito (0,1') pode
serdesenvolvida numa série de Fourier que seja definida somente no intervalo (O, 1').
Podemos desenvolver f(t) em uma série de Fourier com qualquer freqüência funda-
34 ANÁLISE DAS FORMAS ONDULATORIAS PERIOOICAS CAP. 2
mental desejada. Além disto, fel) pode ser representada somente por têrmos em
senos ou co-senos, Podemos fazer isto, construindo uma função periódica adequa-
da que seja idêntica a f(t) no intervalo (O, r), e que, satisfazendo às condições de si-
metria, conduza à forma desejada da série de Fourier. Isto se acha ilustrado na
Fig. 2.10
1 cc nn
f(t) = -2 ao + L a; cos - t
n=l r
(2.49)
~_l~~._.1
T ". ,, " T " T=2T"(a) (b) (e)
(d) (e)
T
(d)
Fig. 2.10. (a) Função i(l) dada.
(b) Simetria par: têrmos em ea-senas,
euo= n/ T_ (c) Simetria ímpar: têrmos em senos, euo= n/ T.
Têrmos em senos e co-senos, euo= zv/t: (T: arbitrário).
(e) Simetria de meia-onda: têrmos em senos e co-senos,
e. harmô~icos ímpares, euo= -rr/ T.
(f) Simetria par de quarto de onda: têrmos em
co-senos e harmônicos ímpares, euo= rr/(2 T).
(9) Simetria ímpar de quarto de onda: têrmos em
senos e harmônicos ím.pares,. euo= rr/(2 T).
(9)
2.3a Expansões em Metade do Domínio
Sejaf(t) com período T = 2r. Sef(t) fôr par, então de (2.18) e (2.19) obtemos
a série de Fourier de co-senos
com coeficientes
2 fr (mr )a" = t o f(t)cos 7 t dto
cc ntt
f(t) = L b; sen - t,,=1 r (2.51)
(2.50)
Se f(t) fôr Ímpar, então de (2.20) e (2.21) temos a série de Fourier de senos
com
(2.52)
2.3 DESENVOLVIMENTO DE FOURIER DE UMA FUNÇAO EM UM INTERVALO FINITO 35
Ambas as séries (2.49) e (2.51) representarr a mesma função dada I(t) no intervalo
(O,r), Fora dêste intervalo, a série (L.49) representa a extensão periódica par de
I(t) tendo período T = 2. [Fig. 2.1O(b)], e (2.51) representa a extensão periódica
ímpar de I(t) com período T = 2. [Fig. 2. 19(c)]. As séries (2.49) e (2.51) com coe-
ficientes dados por (2.50) e (2.52) são chamadas expansões em metade do domínio
da função f(t) dada.
PROBLEMA 2.17 Dada a função (Fig. 2.11)
"-
O Jpara < t < ~17
2
(2.53)
1para -17<t<172 '
desenvolva I(t) em uma série de Fourier de co-senos e faça o gráfico da correspon-
dente extensão periódica de I(t).
Solução: O gráfico da extensão periódica par de J;,(t) está representado na Fig. 2.12.
Para a extensão par de I(t),
n = 1, 2, ..
De (2.50), vem
, an = ~ r 1T f(t) cos (nr) dt = ~]1T cos (nr) dt
17 Jo 17 1T/2
2 11T= - sennt
n17 7T/2
2 n17=--sen-;
n17 2
(2.54)
isto é,
O, n par (n ~ O)
2 n = 1, 5, .--, . .
'8n = n17
2
-', n = 3, 7, .
n17
Para n = O,
2 i1Ta=- dt=1.
o 17 1T/2
(2.55)
Portanto,
1 2( 1 1 )lp(t) = -- - cos t - - cos 3t + - cos 5t - ...
2 17 3 5
(2.56)
para O< t < tt.
PROBLEMA 2.18 Desenvolva I(t) de (2.53) em uma série de Fourier de senos e
faça o correspondente gráfico da extensão periódica de 1(1).
Solução: O gráfico da extensão periódica ímpar de fi(t) vem representado na Fig. 2.13.
17
2
17
Fig. 2.11 A função f(t) do Probl.2.17.
1(
r-------1 -,------:
: : ~ I
: L "--_'-: _-+-_--'1_1
'TT • ir-1T o
2 2
Fig. 2.12 Extensão periódica par de f (I)
da Fig. 2.11.
.---.
I '
I '
I I
-1
,--,, ,, ,
! '
I 7T :--;- O
• 1--
: '2!...---_:
1T'
I
I
~--_..!2
Fig. 2.13 Extensão periódica fmpar de f(l)
da Fig. 2.11.
l(t)
Fig. 2.14 Função l(t) do Probl. 2.19.
I,
I ,,,,
-1
2
I 21
, I
, I
,I
Fig. 2.15 Extensão periódica ímpar
da Fig. 2.14.
36 ANÁLISE DAS FORMAS ONDULATORIAS PERIOOICAS CAPo 2
Como se trata da extensãoímpar de l(t),
an = O, n = 0,1,2""
De (2.52), vem
b
n
= ~ (1 f (t) sen (nt) dt
11 Jo
21'"= _ sen (nr) dt
11 '"/2
2 \ tt= - -cos nt
n 11 '"/2
=- ~ (cos n 11- COS ~ n 11),
n 11 \ 2
(2.57)
isto é,
2
n=1,3,5;';'-r--r-r
n11
bn =
4
n = 2,6,10," .. '--,
n11
O, Jl = 4,8,12,
Conseqüentemente,
2 ( 1 1 )f. (t) = - sen t + -'sen 3t + -sen 5t + ...
'11 3 5,
2 ( 1 1 )- - sen 2t + - sen 6t + - sen 10t + ...
11 3 5 '
(2.58)
para 0< t < ti.
I,
I ,
I
I
I
PROBLEMA' 2.19 Dada a função (Fig. 2.14)
{
2k ' 1
-t paraO<t<-1
1 2
f(t) =
2k (I _ t) para ~ 1 < t < 1
1 2"
desenvolva I(t) em uma série de Fourier de senos.
Solução: A extensão periódica ímpar de I(t) está representada na Fig. 2.15.
Desde que se trata de uma extensão periódica ímpar,
(2.59)
an = O, n = 0,1,2,' ...
De (2.52), vem
2i
l
(n11 )bn = T o f(t) sen T t dt
2 [2kll! 2 (n11) 2k II (n11) ]= - -, t sen - t dt + - (l - t) sen ---.:.t dt .
I I o I 1 1/2 1
(2.60)
2.4 FUNÇAO IMPULSO 37
Assimsendo, integrando por partes, vem:
11/2 (n tr )o t sen -1- t 1 t n trdt= --cos-tnrr 1 lI! 2 1 li! 2 (n tt )+ - cos -t dto tt tt o 1
12 1 12 1
= - --cos -nrr + -- sen -n rr.
2n tr 2 n2rr2 2
(2.61)
Anàlogamente,
fi (1- t) sen (nrr t) dt= ~cos .!:.nrr + ~!sen.!:.nrr.1 2n tt 2 n2rr2 2i!2 (2.62) .
Substituindo(2.61) e (2.62) em (2.60), vem:
8k 1
b = -- sen - n rr
n n2rr2 . 2 . (2.63)
Portanto,
8k ( tr 1 tr 1 tr )f (t) = - sen- t - - sen 3 - t + - sen 5 - t - ....
rr2 1 32 1 52 1
(2.64)
2.4 Função Impulso
.A função impulso unitário c5(t), conhecida também como função delta, pode ser
definidade vários modos. Usualmente ela é expressa pela relação
se t -:F0,
se t = 0, (2.65)
f~",c5(t) dt = f~6 c5(t)dt = 1, 6> O. (2.66)
AEq. (2.65). indica que c5(t) é zero, exceto em t = 0, onde ela se torna infinita,
demodo que (2.66) seja satisfeita.
. A função delta pode ser definida, também. somente em têrmos das propriedades
desua integral. Esta será a definição que usaremos. No que se segue, c5(t) será
definidano sentido ~a chamada função generalizada (ou simbólica).
Assim sendo, seja a função cjJ(t) (chamada função teste) contínua e idêntica-
mentenula fora de certo intervalo finito. Então, a função delta é definida como
umafunção simbólica pela relação
f ~ ",c5(t)cjJ(t)dt = cjJ(O). (2.67)
Aexpressão(2.67) não tem significado como uma integral ordinária. A integral e
a funçãoc5(t) são. simplesmente definidas pelo número 4>(0)associado à função cjJ(t).
Mediante a interpretação anterior, vê-se que c5(t) pode ser tratada corno se fôsse
umafunção ordinária, desde que nunca falemos sôbre o valor de c5(t). Considera-
mos,entretanto, os valôres das integrais que envolvem c5(t).
.. ."'"
PROBLEMA 2.20 Prove as seguintes relações:
f ., '"c5(t- to} cjJ(t) dt = f .. '"c5(t)cjJ(t+ to) dt = 4>(to), (2.68)
(2.70)
38 ANÁLISE DAS FORMAS ONDULATORIAS PERIODICAS CAPo 2
f'" . 1 f'" ( t ) 1_ cc J(at) 4>(t) 'dt = Vi _cc J(t) 4> -;; dt = ~ 4>(0). (2.69)
Solução: Com uma simples mudança da variável independente, isto é, t - to = r
e, portanto, t = t + ta~dt = dt,
l~o (t - to) cp(t) dt = i~o ('r) cp(r + to) a: = l~o (t) cp(t + to) dt;
então, em virtude de (2.67).
l~o (t) cp(t + to) dt = cp(t + to) I t= o = cp(to).
Anàlogamente, com at = T, t = T/ a, dt = .!.. dT, teremos, se a > O,
a
l~o (at) cp(t) dt = ~ i~O(T)cp (:) dT
•• (00 O(t)CP(.!.-)dt=~cp(!.)1
a J-oo a a a t=O
1
=~cp(O);
se a < O,
100 1i-oo (T)-00 o (at) cp(t) dt =:; 00 O(T)cp -;; dT
= _~ i~o(t) cp CO dt
1
= ~ cp(O).
PROBLEMA 2.21 Consideremos a função g(t) contínua em I = to. Se a < b,
mostre que
J
b 1 g(to)
a J(t - to) g(t) dt = O
para a < 10 < b
para b < 10 < a.
Solução: No caso, a expressão
lb s« - to)gCt) dt
a
pode ser interpretada como segue: Façamos a função 4>(/) tal que
{
g(t)
cp(t)= O
pãraa<t<b
(2.71)
pãra b < to < a,
então, de (2.68) vem:
para a < to < b
para b < to < a.
2.4 FUNÇÃO IMPULSO 39
PROBLEMA 2.22 Se a < b, mostre querb fJ(t - to) dt = 1~ para a < to < b (2.72)
para b <. to < a.
Solução: Novamente escolheremos a função teste do seguinte modo: Considere-
mos a integral
e façamos rjJ(t) tal que
{
I paraa<t<b
cf> (t) =
O para b < to < a;
(2.73)
portanto, de (2.68), vem
b 1001 o (t - to) dt = _ 00 o « - to) 1> (t) dt
= 1> (to)
para a < to < b
para b < to < a.
PROBLEMA 2.23 Mostre que
f(t) fJ(t) = f(O) o(t), (2.74)
ondel(t) é contínua em t = 0, e também que
t fJ(t) = 0,
1
fJ(at) = ~ fJ(t)
fJ(- t) = fJ(t).
(2.75)
(2.76)
(2.77)
Solução: Se f(t) é uma função contínua, então
i~[f (t) o (t)] 1> (t) dt = i~o (i) [f (t) 1> (t)] dt
= f (O) 1> (O)
= f (O) i~o (t) 1> (t) dt
= i~(t (O) o (t)] 1> (t) dto '(2.78)
Vistoque rjJ(t) é uma função teste arbitrária, concluímos que f(t) o(t) = f(O) t5(t).
Dêsteresultado torna-se óbvio que
to(i)=O.
De (2.69), vem
{
OO 1 1 100 r 1o (ai) 1> (t) dt = -; 1> (O) = -; o (t) 1> (t) dt = L R o (t) 1> (t) dto
-00 I I I I -00 -00
40 ANÁLISE DAS FORMAS ONDULATORIAS PERIODICAS CAP. 2
Então,
1
S(at) = - S(t).
\a\
Fazendo a = - 1 no resultado acima, vem:
1
S.(-t) = - S(t) = S(t);
\-1\
o que mostra que o(t) é uma função par.
2.4a Derivadas da Fu nção Delta (ó)
A derivada 8'(t) de o(t) é definida pela relação
f .. a> o'(t) 4>(t) dt = - f .. a> o(t) 4>'(t) dt = - 4>'(0), (2.79)
onde
o'(t) = d o(t)
dt '
4>'(0) = d4> I .
dt I-O
(2.80)
A Eq. (2.79) mostra que o'(t) = d o(t)/dt é uma função generalizada que associa o
valor -4>'(0) a uma função teste 4>(t).
A n-ésima derivada da função delta
o(n) (r) = dn o(r)
dtn
pode igualmente ser definida pela aplicação repetida de (2.79), isto é,
onde
(2.81)
4>(n)(O) = dn4>~t) I :
dt I~O
PROBLEMA 2.24 Mostre que a expressão
f~a>f'(t)4>(t)dt =,- f~oof(t) 4>'(t)dt· (2.82)
é consistente para uma definição ordinária de uma derivada de f(t), se f(t) fôr uma
função ordinária com primeira derivada contínua.
Solução: Consideremos a integral dada por
l~f'(t) cp (t) dto
Integrando por partes, vem:i:f' (t) cp (t) dt = f (t) cp (t) 1:00 - l~f (t) cp' (t) dto (2.83)
Recordando que a função teste 4>(t) é tal, que é nula fora do intervalo conside-
rado, isto é, é igual a zero em t = + co,
2.4 FUNÇAO IMPULSO 41
i~f' (t) ifJ (t) dt = - i~I (t) ifJ' (O dto
Observar que a derivada I'(t) de uma função generalizada arbitrária f(t) é defi-
nidapor (2.82).
PROBLEMA 2.25 Se f(t) fôr uma função continua e diferenciável, mostre que a
regra do produto
[f(/) <5(t)]' = f(/) <5'(t)+j'(t) <5(t) (2.84)
permanece válida.
Solução: Fazendo uso de (2.82),
i~[I (t) o (t)] , ifJ (t) dt = - i~[I (t) o (t)] ifJ' (t) dt
= - i~o (t) [I (t) ifJ' (t)] dt
= - i~o(t)I[f(t)ifJ(t)]'- ftt)ifJ(t) ldt
=-i~0(0 [f(t)ifJ(t)]' dt + i~0(0 [f'(t)ifJ (t)] dt
= i~o' (t) [I (t) ifJ (t)] dt + i~[o (t) f' (t)] ifJ (t) dt
= l~[o'(t)f(t) + o(t) f'(t)] ifJ(t)dt. (2.85)
Portanto,
[f(t) o (t)] , = l(t) o'(t) + f'(i) o (t).
PROBLEMA 2.26 Prove que
. f(t) <5'(/) = f(O) <5'(t)- 1'(0) "(t). (2.86)
Solução: De (2.84), vem:
I(i) o'(t) = [/(t) o(t)]' - f'(t)o(t).
Mas, de (2.74), resulta f(i)o(t) = I(O)o(t),
f'(t) o (t) = f'(0) o (t) ,
[1(0) o(t)]' = 1(0) o'(t).
(2.87)
Substituindo em (2.87), vem
f(t)o'(t) = I(O)o'(t) - f'(O)o(t).
PROBLEMA 2.27 Mostre que a função <5 é a derivada da função u(t), definida
pela relação:
f ., u(t) <p(t) dt =f o'" <p(t) dto (2.88)
,:1
u (I)
_11-"1
o
Fig. 2.16 Função unitária de
Heaviside ou função degrau unitário.
f (I) ,
Fig. 2.17 Uma função secionalmente contínua
ten-lo descontinuidades em saltos.
42 ANÁLISE DAS FORMAS ONDULATORIAS PERIODICAS CAPo 2
Solução: De (2.82),
i~u '(t) 1> (t) dt = .: l~u (t) 1>' (t) dto
Mas, de (2.88), decorre
100u'(t) 1>(t) dt = - ioo c/>'(t) dt = - [1> (00) - 1> (O)] = 1> (O),-00 o
pois 4J( co) = O. Então,
(2.89)
Conseq üentemente,
u'(t) = du(t) = ô(t).
dt .
(2.90)
A função generalizada (ou simbólica) u(t) definida por (2.88) é conhecida como
função unitária de Heaviside ou função degrau unitário. Ela é, de costume, definida
como (Fig. 2.16)
u(t) = 1 ~
para t >-0
(2.91)
para t < O.
Não é definida em t = O.
Observe que a derivada da função u(t) é zero para t < O e para I > O.
PROBLEMA 2.28 Seja fel) uma função secionalmente contínua tendo desconti-
nuidades de saltos aI, a2, ... em ts, 12, ... (Fig. 2.17). Seja f'(l) definida em
qualquer ponto, exceto nos pontos de descontinuidades, supostas em número finito.
Ache a função generalizada de f(t).
Solução: Consideremos a função
g(t) = f(t) - [ak u(t - tk),
k
(2.92)
onde
{
I para t > tk
u (t - tk) =
O para t < tk•
A função g(t) é, obviamente, contínua em qualquer ponto, e tem, exceto em um nú-
mero finito de pontos, uma derivada igual a f'(l).
Então, a diferenciação de (2.92) dá:
g'(t) = nt) - [ak ô(t - tk)
k
(2.93)
com o emprêgo de (2.90).· De (2.93), temos
(2.94)
2.5 S~RIES DE FOURIER DAS DERIVADAS DE FUNÇOES PERIODICAS DESCONTINUAS 43
A Eq. (2.94) mostra que a derivada generalizada de uma função diferen-
ciávelsecionalmente contínua com saltos é a derivada ordinária, onde ela existe,
maisa soma das funções () nas descontinuidades, multiplicadas pelas amplitudes
dossaltos.
2.5 Séries de Fou rier das Derivadas de Fu nções Periód icas
Descontínuas
Uma seqüência de uma função generalizada {fn(t)} , n = 1,2, .. " converge
paraa função generalizada f(t), se e somente se,
!~f~/n(t) <jJ(t) dt = f~/(t) <jJ(t) dt (2.95)
paracada função teste <jJ(t).
Anàlogamente, uma série
defunções generalizadas que converge para a função generalizada f(t) pode ser dife-
renciada têrmo a têrmo. Noutras palavras,
k
I'(t) = E fn'(t).
n-l
(2.96)
Neste caso, dizemos que a série converge no sentido das funções generalizadas,
embora no sentido ordinário de convergência, a derivada de uma série convergente
de funções diferenciáveis possa não convergir, em geral. Isto está ilustrado no
Probl. 2.29.
No Probl. 1.20, mostramos que, se f(t) fôr periódica e contínua e dada por
1 '"
f(t) = -2 00 + E (a; cos nOJot + b; sen nOJot),
n-l
(2.97)
entãof' (t) é também periódica e pode ser obtida diferenciando (2.97) têrmo a têr-
mo, isto é,
'"
I'(t) = E (- nco« On sen nOJot + nOJo bn cos nOJot).
n-l
(2.98)
Com os conceitos de função () e de derivadas generalizadas, podemos, agora,
investigar as séries de Fourier das derivadas das formas de onda com um número
finito de descontinuidades num só período. .'
f (t)
1 1 00 1
f (t) = - + - \' - sen nWot
2 TT L n
n=1
PROBLEMA 2.29 Ache a série de Fourier da derivada da função com a forma
de onda da Fig. 2.18.
Solução: Em virtude do Probl. 2.15, a série de Fourier de f(t) é dada por
-T o T 2T
Fig. 2.18 Forma de onda do Probl. 2.29.
(2.99)
s« + T) S(t) sCt - T) SCt - 2T)
J [ 1 L
-T T 2To
Fig.. 2.19 Trem periódico de impulsos
unitários.
44 ANÁLISE DAS FORMAS ONDULATÓRIAS PERIÓDICAS CAP. 2
Diferenciando (2.99) têrmo a têrmo, vem:
2 00
J'(t) = T L
n= 1
n217
cos --to
T
(2.100)
Por outro lado, de (2.94),
f'(t)=-~+
T
00
o(t-nT). (2.101)
n=-oo
Observamos que a série de Fourier (2.1(0) não é uma série convergente no sentido
ordinário, mas podemos dizer que a série (2.100) converge para a função generalí-
zada (2.101) no sentido de uma função generalizada.
Igualando (2.100) e (2.101), obtemos interessante resultado, a saber, a série de
Fourier que exprime uma seqüência de impulsos unitários (Fig. 2.19), isto é,
1 co 2 '" n2n- - + L: b(t-nT) = -. L: cos-- t.
T n--... T n-I T (2.102)
Portanto, .
'" 1 2 '"
n~ •••b(t-nT) = T + T x;.l cosn(1)ot, (2.103)
onde
2n
(1)0 =T'
A Eq. (2.103) mostra que uma seqüência de impulsos periódicos unitários
é constituída de um têrmo constante 1fT e de uma soma de harmônicos, todos exa-
tamente com a mesma amplitude de 2fT.
A seqüência periódica de impulsos unitários é uma função muito útil e, por-
tanto, é conveniente representá-Ia por um símbolo especial bT(t). Desta forma,
(2.104)'"bT(t) = L: so-: nT).
n-- G:)~-----------------------
PROBLEMA 2.30 Deduza a série de Fourier de uma seqüência periódica de im-
pulsos unitários bT(t) mediante aplicação formal de (1.27) e (1.28).
Solução: Suponhamos que
1 00
OT (t) = 2" ao +L (an cos nWot + bn sen nwot).
n=1
(2.105)
Se aplicarmos (1.27) e (1.28), usando (2.70) e (2.72), vem:
1 1 lT / 2 1 T:;2 1
- ao = - °T (t) dt = - I o (t) dt = -
2 T T T'
-T/2 -T/2
(2.106)
-21T/2 21T/2 2 Ian = - OT (t) cos (nwot) dt = - ~(t) cos (nwot) dt = - cos nWot
.T -T/2 T -T/2 - T 1=0
2
= T' (2.107)
2,6 CÁLCULO DOS COEFICIENTES DE FOURIER POR DIFERENCIAÇAO 45
2 iT/2 2 LT/2bn = - BT (r) .sen (ncuot) dt = -T B (r) 'sen (ncuoO dt
T -T/2 . -T/2
= ~ seu ncuot I
T . tocO
= O. (2.108)
Portanto,
00 1 2 00L B(t-nT)=T+TL cosncuot,
n=-OO n= 1
211
CUo=-·
T
(2.109)
2.6 Cálculo dos Coeficientes de Fourier por Diferenciação
o uso da função b em conexão com a diferenciação pode facilitar o cálculo
doscoeficientes da série de Fourier de certas funções.
PROBLEMA 2.31 Ache a série de Fourier da forma de onda da Fig. 2.20(a) por
dferenciação de f(t).
Solução: Seja
1 00
f (r) = 2" ao +L (Sn cos ncuot + bn sen ncuoO,
ne 1
(2.110)
1 00
f'(t) = 2" CXo +L (CXn cos ncuot + {3nsen ncuoO,
. n=l
(2.111) [ io
A'--I '--I, I I ,
I , , ,, , , I t
-T T d O d T T
2 2 2 2
(o)
(2.:112)
onde
211
CUo=-'
T
Diferenciando têrmo, a.têrmo (2.110) e igualando a (2J1l1l);,temos,:
Então,
(2.113)
Visto que I'(t) é uma função generalizadà: ímpar [Fig. 2.20(b)],
n = 1,2, •.. , (2.114)
(b)
Fig. 2.20 . (a) Forma de onda do Probl.2.31.
(b) Primeira Derivada
da forma de onda da Fig. 2.20(a).
= _ '4 A sen (frcuod )'\'
T 2' (2.115)
46 ANÁLISE DAS FORMAS ONDULATÓRIAS PERiÓDICAS CAP. 2
De acôrdo com (2.113), segue
(nw d)seu T
(n~od)
(nTTd)sen - T2Ad
T (n;d)
(2.116)
(2.117)
Visto que o têrmo constante tao se anula por diferenciação, usando (1.23), vem:
Portanto,
1 1 lT/2 Ad2" ~o = T I(t) dt = T·
-T/2
(2.118)
(nTTd)
I(t) = Ad + 2Ad f-. sen T coJn 2TT~.r T f:-: (n;d) '\ T 'J
PROBLEMA 2.32 Empregando a série de Fourier da seqüência periódica de im-
pulsos unitários (2.103), refaça o Probl. 2.31.
Solução: A derivada f'(t) da Fig. 2.20(b) pode ser expressa como:
f'(t)-A [t 8(t+~d-nT)] -A [.t8(t-~d-nT)]
De (2.103), vem
(2.119)
(2.120)
(2.121)
(2.122)
onde aJo = 2;. Substituindo (2.121) e (2.122) em (2.110) e usando a identidade
trigonométrica cos (A + B) - cos (A - B) = - 2 sen A sen B, vem:
, 2A.ç:., [( nTTd)· (, nTTd)]I (t) =T L... cOS' nWot +T -cos \nwot - T
n= 1
4A f. (nTTd)
= - T L... sen T sen (nwot)·
n=1
Portanto,
4A (nTTd)f3n = - T sen T '
(2.123)
(2.124)
2.6 CÁLCULO DOS COEFICIENTES DE FOURIER POR DIFERENCIAÇAO 47
Então,
ZA '(nrrd)= - sen --nrr T
. (nrrd)sen --
2Ad T
T (n~d)
(2.125)
(2.126)
'/-pROBLEMA2.33 Ache a série de Fourier para a forma de onda da Fig. 2.2l(a)
por diferenciação,
tU)
A
-T _L -d2 -d, o d, d2 T
2 2
T
(o)
t'( t)
- - A r---d2-d,
o
A'-- --- '-- '---d2 -d,
(b )
Fig. 2.21
(c)
(a) Forma de onda do Probl. 2.33. (b) Derivada primeira da forma
de onda da Fig. 2.21(a). (c) Função par generalizada t"(tl.~~ tU)
da Fig. 2.21 ( a ) .
Solução: Se f(t) fôr desenvolvida em série de Fourier
1 00
f(t) = 2' Bo + [ (an cos nWot + i; sén nwot),
n= 1
(2.127)
48 ANÁLiSE'" DAS FORMAS ONDULATORIAS PERIODICAS CAPo 2
00
f"(t) =L [-(núJo)2 an cos núJot - (núJo)2 bn sen núJotl.
n=1
(2.129)
onde Wo= 2rrfT, então
00
f'(t) =[ (--núJo an sen núJot + núJo b., cos núJoi),
n;l
(2.128)
[Veja Fig. 2.21(b)]. Mas, em virtude da Fig. 2.21 (c), f"(t) é uma função generali-
zada par e
r(i) = _A_[_ô(t - d,) + ô(t - d2)1,
d2 - d,
1
0< t < 2" T. (2.130)
Por conseguinte,
(2.131)
__ 4_A_-:-1T/2 [-ô(t - d,) + ô'(t - d2)] cos (núJoi) dt
T(d2 - d,)
(2.132)
(2.133)
o têrrno constante tao pode ser obtido como
1 1 jT/2 A
- ao = - f(t) dt = - (d, + d2).
2 T T-T/2
(2.134)
Portanto,
A AT
f (I) = - (d, + d2) + 2 ( )T tr d2 - d,
00
L (2.135)
n;1
2.7 Problemas Suplementares
PROBLEMA 2.34 Prove que a função zero é a única função simultâneamente
par e ímpar.
PROBLEMA 2.35 Se uma função f(t) fôr ímpar, prove que If(t) I é par.
PROBLEMA 2.36 Seja uma função f(t) diferenciável no intervalo (- a, a). Mos
tre que sua derivada f'(t) é ímpar quando f(t) é par, e par quando f(t) é ímpar.
2.1 PROBLEMAS SUPLEMENTARES 49
PROBLEMA 2.37 Ache as componentes par e ímpar das seguintes funções:
(a) e', (b) l..±..l (c) t sen t - sen 2t.
t - 1 '
.. t2 + 1 .( ) 2 tResp.: (a) fp{t)=cosh t, li{t)=~enht, (b) fp(t) =-2--1 ' li t = -2-1'
t - t -
(c) fp(t)=tsent, f.(t)=-sen2t. ~
PROBLEMA 2.38 Ache o d:senvolVimento em série de Fourier da função f(t)
definidapor f(t) = I t I para (-n, n) e f(t + 2n) = f(t). (Veja Fig. 2.22).
t
00 :-.--......- ".1 \' 1 -217 -rr o 17 217Resp.:.!L L cos (2n -1) t .
2 17 n =1 (2n _1)2 . Fig. 2.22 Função f(t) do Probo. 2.38.
PROBLEMA 2.39 Seja f(t) uma função periódica com período T, definida em
(- T12, T12) e cuja série de Fourier é
00
f(t) = ~ + \' (an cos núJo t + bn sen núJo r ),2 L .
n=1
217
úJo =-.T
Se/p(t) e fi(t) forem as componentes par e ímpar de f(t), mostre que f,,(t) e fi(t) têm
sériesde Fourier
00
fp(t) = ~o + L an cos núJot e
n=1
00
fi(t) = L bn sén núJo t.
n =1
PROBLEMA 2.40 Utilizando o resultado do Probl. 2.39, ache o desenvolvimento
em série de Fourier de cada uma das seguintes funções definidas em (-n, rr) e com
período2n: (a) cosh t, (b) senh t.
[Sugestão: Use o resultado do Probl. 1.32].
Resp.: (a) 2 senh 17 [1 Loo (_I)n t]- + -- cos n ,
17 2 n = 1 1 + n2
(b) 2 senh 17
17
00 (_I)n+1L -'---'--::-n sen nt .
n=1 l+n2
PROBLEMA 2.41 Mostre que o valor médio quadrático de f(t) é igual à soma
dosvalôres médios quadráticos de suas componentes par e ímpar, isto é,
TI2 jTI2 jTI2
1J [f(t W dt = .l [fp(t)f dt + ; [f;,(t)]2 dt
T -T12 T -T12 -T12
PROBLEMA 2.42 Seja a função f(t) periódica, com período T. Se f(l T- t) =
= f(t), determine o comportamento, dos coeficientes de Fourier an e bn de f(t).
llustref(t) gràficamente. .
Resp.: a2n+1 = O, b2n = O.
PROBLEMA 2.43 Se a função periódica f(t) com período T satisfizer à condiçãom T - t) = -f(t), determine o comportamento dos coeficientes de Fourier On e
b,. de f(t). Ilustre f(t), gràficamente.
Resp.: a2n = O, b2n+1 = O.
50 ANÁLISE DAS FORMAS ONDULATÓRIAS PERiÓDICAS CAPo 2
PROBLEMA 2.44 Suponha fel) = O para - !T < t < O. Se o desenvolvimen-
to em séries de Fourier de fel) no intervalo (- Tl2, T/2) fôr
00
1ao + [ (an cos núJo t + bn sen núJo t), úJo = 211/T,
2 n =1
mostre que as séries de Fourier de co-senos e de senos de fel) no intervalo (O, Tj2)
são
00
ao + [ 2an cos núJot
n=1
e
00
[ 2b., seu núJot.
n=1
PROBLEMA 2.45 Represente as seguintes funções fel) em senes des Fourier
de co-senos e faça o gráfico da correspondente continuação periódica de fel):
(a) f(t) = t, O < t < 11, (b) f(t) =sell!!.. t, 0< t < I
I
Resp.:
00
(a) !!.. _ 4 [ 1 cos (2n _ 1) t ,
2 11 n= 1 (2n - 1)2
(b) 1_i [_1 cos (211) t + _1 cos (411) t + _1 cos (611) t + ... ].11 11 1·3 I 3·5 I 5·7 I
PROBLEMA 2.46 Represente as seguintes funções fel) em série de Fourier de
senos e faça o gráfico da correspondente continuação periódica de fel):
(a) f(t) = cos t, O < t < 11, (b) 11-t, O<t<11.
Resp.:
00
(a) -ª- '\' __ n_ seu 2nt ,11L 4n2_1n=1
00
(b) 2 [ .!.. seu n t .
n= 1 n
PROBLEMA 2.47 Ache as séries de Fourier de senos e de co-senos de
f(t) =111t
4
=1'11t (11 - r)
4
para O < t <1. 11
2
para 1. 11'< t < 11.
2
Resp.:
00
112 - '\' 1cos nt,
16 L n
n = 1
00 n+1
'\' (-1) sen (2n _ 1) t .
~1 (2n _1)2
PROBLEMA 2.48 Seja <p,,(t) = Y(2lr) sen (me/r:) t, onde n = 1,2, .. '. Mostre
que as funções {<Pn(t)} formam um conjunto ortonormaI em (O, r).
PROBLEMA 2.49 Seja f(t) definida sôbre (O, r), Mostre que a série de Fouriei
de f(t) em relação ao conjunto ortonormalf é.jrj} do Probl. 2.48 é a série de Fou.
rier de senos de fel) em (O, r).
[Sugestão: Use o resultado do Probl. 1.45].
PROBLEMA 2.50 Mostre que
(a) f(t)8(t- to) = f(to)8(t- to),
(c) 8'(-t)=-8'(t),
(b) t8'(t) = - 8(t),
(d) 8n(_t) = (-lt8n(t).
2.7 PROBLEMAS SUPLEMENTARES 51
1
PROBLEMA 2.51 Mostre que bU(t)] =~ II'(tn) 1 b(t - tn), onde tn são os zeros
de f(t).
[Sugestão: Façaf(t) = r e forme tf;(t') == 4>(t)/II'(t) I.]
PROBLEMA 2.52 Mostre que
. 1
(a) 8((2 - a2) = -- 18« - a) + 8(( + a)!,
2\a\
[Sugestão: Use o resultado do Probl. 2.51].
oc
(b) 8(sent) = 87T{t) ~ L sti : n1T).
n=_oc
PROBLEMA 2.53 Por diferenciação, ache os coeficientes de Fourier para a fun-
ção f(t) definida por f(t) = t para (-n, n) e f(t + 2n) == f(t).
Resp.: Ver Probl. 1.30.
PROBLEMA 2.54 Utilizando a série de Fourier do trem de impulsos unitários
(2.103) e a diferenciação, ache os coeficientes de Fourier para a função f(t) definida
por f(t) = é para (-n, n) e f(t + 2n) = f(t).
Resp.: Ver Probl. 1.32.
PROBLEMA 2.55 Por diferenciação, ache os coeficientes de Fourier da onda de
senos f(t) = IA sen úJot I, isto é, uma retificação completa da onda.
Resp.: Ver Probl. 1.33.
PR.OBLEMA 2.56 Ache, por diferenciação, os coeficientes de Fourier da função
cuja forma de onda se vê na Fig. 1.3.
Resp.: Eq. (1.40).
PROBLEMA 2.57 Ache, por diferenciação, os coeficientes de Fourier da onda de
senos correspondente à retificação de meia-onda, como representado na Fig. 1.4.
Resp.: Eq. (1.49).
PROBLEMA 2.58 Use o resultado do Probl. 2.55 para reduzir a série de Fourier
da onda de senos resultante de retificação de meia-onda, como se mostra na Fig.1.4.
[Sugestão: Note que f(t) pode ser expressa como
I (t) = 1A sen Wo t + 1\A sen Wo t I.]2 2
PROBLEMA 2.59 Seja f(t) = h(t) + fi(t), onde h(t) e fi(t) são, respectivamente,
as componentes par e ímpar de f(t), Mostre que
1 fT!2 1 T!2 1 JT!2T l(t)l(t-T)dt= Ti lp(t)lp(t-T)dt+-:r l,(t)l,.(t-T)dt.
-T!2 -T!2 -T!2
PROBLEMA 2.60 Mostre que, se f(t) fôr uma função contínua e diferenciável,
então
3 ESPECTROS DE
•• A
FREQUENCIAS DISCRETOS
CAPITULO
3.1 Introd ução
A representação de uma função periódica em uma série de Fourier implica que
a especificação de seus coeficientes de Fourier determine de modo único a função.
Neste capítulo, exploraremos ainda o uso dos coeficientes de Fourier para o estudo
de funções periódicas, introduziremos o conceito de espectros de freqüências para
sinais periódicos.
3.2 Forma Complexa das Séries de Fourier
Em várias aplicações das séries de Fourier é conveniente exprimir tais séries em
têrmos de exponenciais complexas e::'jnwc/. •
Consideremos agora a série de Fourier de uma função periódica f(/) como
- 1 <X>
f(/) ~ -2 ao + 1: (an cos nOJol + b; sen nOJo/),
n=!
(3.1)
onde OJo= 2n/T. O co-seno e o seno podem ser expressos em têrmos de exponen-
ciais como
(3.2)
(3.3)
Substituindo (3.2) e (3.3) em (3.1), vem:
(3.5)
Notando que l/j = - j, (3.4) pode ser escrita também como:
Se fizermos
1
Co =""2 ao, (3.6)
3.2 FORMA COMPLEXA DAS S~RIES DE FOURIER
então
a>
f(t) = Co +L (Cn ein"'r/. + C-n e-;n",.,t)
n-1
a> -a>
= Co+L Cn ein",.,t +L c; ein",.,t
n_l n--l
a>= L Cn ein",.,t •
n_-Q';)
A Eq. (3.7) é chamada de forma complexa da série de Fourier de f(t) ou série de .