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·
√
(x− x2)2 + y22 + (x− x2) ·
√
x2 + 1 = 0.
Ao inve´s de resolver diretamente:
x ·
√
(x− x2)2 + y22 = (x2 − x) ·
√
x2 + 1,
elevo ambos os lados ao quadrado, obtendo:
x2 · [(x− x2)2 + y22] = (x2 − x)2 · (x2 + 1),
o que equivale, apo´s simplificac¸o˜es, a resolver:
(y2
2
− 1) x2 + 2x2 x− x22 = 0.
Aqui ha´ dois casos a considerar (dos quais daremos o significado geome´trico a seguir):
Caso y2
2
− 1 = 0, ou seja, y
2
= ±1, enta˜o a soluc¸a˜o buscada e´
P = (x, 0) = (
x2
2
, 0).
Caso y2
2
− 1 6= 0, enta˜o temos uma equac¸a˜o quadra´tica em x, cujas soluc¸o˜es sa˜o:
x2
1 + y
2
e
x2
1− y
2
.
Note que o ponto Q := (
x2
1−y
2
, 0) e´ colinear com (0, 1) e (x2, y2) (basta calcular os
coeficientes angulares das retas por dois deles). Enta˜o essa soluc¸a˜o na˜o nos interessa.
Pore´m a soluc¸a˜o
P = (x, 0) = (
x2
1 + y
2
, 0)
e´ interessante. Note que se y2 = 1 esse ponto se reduz a P = (
x2
2
, 0), ou seja, coincide
com a soluc¸a˜o obtida no caso y2
2
− 1 = 0.
Temos d ′( x2
1+y
2
) = 0 e agora precisar´ıamos ver que d ′′( x2
1+y
2
) > 0, para termos um
mı´nimo de d(x).
A segunda derivada d ′′(x) existe, como veremos nos Cap´ıtulos seguintes sobre
regras de derivac¸a˜o.
CAPI´TULO 19. O PRINCI´PIO DE FERMAT E A REFRAC¸A˜O DA LUZ 249
O ca´lculo de d ′′(x) e´ tedioso e ainda mais tedioso2 e´ obter:
d ′′(
x2
1 + y
2
) =
(1 + y
2
)4
y
2
√
(x22 + 1 + 2y2 + y
2
2
)3
,
e vemos que d ′′( x2
1+y
2
) e´ positivo se y
2
> 0.
Esta´ provado que o ponto minimiza a soma de distaˆncias.
Do Item ii):
Calculo o coeficiente angular da reta P P1:
a :=
1− 0
0− x2
1+y
2
= −(1 + y2)
x2
.
Agora calculo o coeficiente angular da reta P P2:
a′ :=
y
2
− 0
x2 − x21+y
2
=
1 + y
2
x2
,
logo a′ = −a, ou seja, formam o mesmo aˆngulo (na˜o-orientado) com a reta vertical.
Portanto tambe´m ha´ igualdade de aˆngulos formados em P com a horizontal.
�
2. Refrac¸a˜o, distaˆncias ponderadas e Lei de Snell
Na Sec¸a˜o anterior buscamos minimizar a soma das distaˆncias
PP1 + PP2,
onde P1, P2 esta˜o no semi-plano superior e P no eixo dos x
Agora imaginemos um problema um pouco mais geral.
Suponha que no semiplano superior nos movimentamos com uma velocidade con-
stante v1 enquanto no semiplano inferir nos movimentamos com uma velocidade con-
stante v2. E que queremos sair de P1 no semiplano superior, atingir P no eixo dos x
e da´ı, no semiplano-inferior, ir ate´ P2, fazendo isso no menor tempo poss´ıvel. Como
escolher P ?
Esse problema esta´ ainda relacionado com o princ´ıpio de Fermat, que em geral na˜o
e´ simplesmente de minimar distaˆncia entre dois pontos, mas de minimizar o tempo
gasto para ir de um a outro ponto.
Na pra´tica e´ o problema do salva-vidas, que, estando em P1, tem correr pela
areia (com velocidade v1) e escolher o ponto P na praia de onde sair nadando (com
velocidade v2 < v1) ate´ chegar em algum banhista P2. Veja Exerc´ıcio 3.1 abaixo.
2E´ u´til para essas contas tediosas usar algum programa como o Maple.
2. REFRAC¸A˜O, DISTAˆNCIAS PONDERADAS E LEI DE SNELL 250
Claro que se v2
v1
= 1, a soluc¸a˜o e´ seguir a reta que liga P1 a P2. E se
v2
v1
<< 1,
o ponto P ficara´ cada vez mais pro´ximo da projec¸a˜o vertical de P2 no eixo dos x.
Pore´m a resposta na˜o e´ ta˜o clara se v2
v1
∼ 1.
Como distaˆncia e´ o mesmo que velocidade multiplicada pelo tempo, podemos
pensar que no semiplano superior e inferior as medidas de distaˆncia sa˜o diferentes.
Como se tive´ssemos diferentes re´guas para medir distaˆncia: um certo trecho que mede
d no semiplano superior (onde sou mais ra´pido) dever ser considerado como medindo
k · d > d no semiplano-inferior, onde sou mais lento.
Podemos enta˜o reformular o problema do seguinte modo:
Como minimizar a soma das distaˆncias ponderadas
d1,k(x) := PP1 + k · PP2 ?
(onde P1, P2 esta˜o em semi-planos diferentes e P no eixo dos x)
Isso e´ o que acontece quando a luz passa de um meio para outro. Por exemplo, a
raza˜o entre velocidade da luz no ar (v1) e na a´gua (v2) e´ da ordem de
v2
v1
=
1
1.33
,
ou seja, devemos usar a soma de distaˆncias ponderadas3:
d1,1.33(x) := PP1 + 1.33 · PP2,
(onde P1 esta´ no ar e P2 na a´gua).
Suponha que P1 = (0, 1) e que por exemplo
P2 = (x2,−1), x2 > 0.
Imitando o que fizemos na Sec¸a˜o anterior, vamos querer derivar d1,k(x) e saber onde
d1,k
′(x) = 0.
Agora, derivando obtemos:
d1,k
′(x) =
x√
x2 + 1
+ k
(x− x2)√
(x− x2)2 + 1
=
=
x ·√(x− x2)2 + 1 + k√x2 + 1 · (x− x2)√
x2 + 1 ·√(x− x2)2 + 1 .
Como
d1,k
′′(x) = (
x√
x2 + 1
)′ + (k
(x− x2)√
(x− x2)2 + 1
)′ =
1
(x2 + 1)3/2
+
k
(x22 − 2x2x+ x2 + 1)3/2
> 0,
a soluc¸a˜o de d1,k
′(x) = 0 sera´ um ponto de mı´nimo de d1,k.
Mas
d1,k
′(x) = 0 ⇔ x ·
√
(x− x2)2 + 1 = k
√
x2 + 1 · (x2 − x)
3O chamado optical path length- OPL e´ definido como o produto da distaˆncia usual pelo ı´ndice
de refrac¸a˜o - suposto constante - do meio onde a luz se propaga. Enta˜o no nosso caso d1,1.33(x) =
OPL( ar ) + OPL( a´gua )
CAPI´TULO 19. O PRINCI´PIO DE FERMAT E A REFRAC¸A˜O DA LUZ 251
e elevando ao quadrado ambos os lados, obtenho:
x2 ( (x− x2)2 + 1 ) = k2 (x2 + 1) (x2 − x)2,
ou seja, temos que resolver uma equac¸a˜o de grau 4:
(1− k2) x4 + (−2x2 + 2k2x2) x3 + (x22 + 1− k2x22 − k2) x2 + 2k2x2 x− k2x22 = 0.
Claro que se k = 1 (ou seja, d1,1(x) e´ a soma de distaˆncias usuais), a equac¸a˜o
acima vira uma equac¸a˜o quadra´tica:
2x2 x− x2 = 0 ⇔ x =
x2
2
.
Logo P = (
x2
2
, 0) esta´ na reta ligando P1 e P2.
Mas se k 6= 1 temos uma verdadeira equac¸a˜o de grau 4.
Resovi fazer treˆs exemplos, com o k = 1.33 (´ındice de refrac¸a˜o da a´gua) onde
sempre P1 = (0, 1), mas P2 assume treˆs valores
(2,−1), (3,−1), (4,−1).
Nesses treˆs casos o Maple resolve as equac¸o˜es de grau 4 acima4, dando em cada
caso um par de soluc¸o˜es complexas, uma soluc¸a˜o real negativa e uma real positiva.
Listo as soluc¸o˜es reais positivas de cada um dos treˆs casos:
se P2 = (2,−1), P = (1.268409214, 0),
se P2 = (3,−1), P = (2.078744326, 0),
se P2 = (4,−1), P = (2.983414222, 0).
A Figura a seguir representa as linhas quebradas ligando P1 a P e da´ı passando
por P2, em cada um dos treˆs casos, com k = 1.33:
1
-1
0
-2
x
1 40 32
-3
A figura a seguir da´ os gra´ficos das d1,1.33 para
P2 = (2,−1), (3,−1), (4,−1).
4Pois existe a fo´rmula de Tartaglia para equac¸o˜es de grau 4.
2. REFRAC¸A˜O, DISTAˆNCIAS PONDERADAS E LEI DE SNELL 252
7
6
4
6,5
5,5
3,5
x
4310
4,5
5
2
Gra´ficos de y = d1,1.33(x) para treˆs escolhas de P2
Voltando ao que obtivemos como derivada:
d1,k
′(x) = 0 ⇔ x ·
√
(x− x2)2 + 1 = k
√
x2 + 1 · (x2 − x),
note que essa u´ltima expressa˜o equivale a:
x√
x2 + 1
= k
(x2 − x)√
(x− x2)2 + 1
.
Agora note que
sin(α) =
x√
x2 + 1
onde α e´ o aˆngulo em P = (x, 0) do triaˆngulo
∆P P1 (x, 1).
E veja que
sin(β) =
(x2 − x)√
(x− x2)2 + 1
onde β e´ o aˆngulo em P = (x, 0) do triaˆngulo
∆P P2 (x,−1).
Essa e´ a lei de refrac¸a˜o de Snell :
sin(α) = k · sin(β).
Para uso posterior, podemos reescrever a lei de Snell assim:
sin(α) =
v1
v2
,
ou seja
sin(α)
v1
=
sin(β)
v2
.
CAPI´TULO 19. O PRINCI´PIO DE FERMAT E A REFRAC¸A˜O DA LUZ 253
Para terminar, e´ natural nos perguntarmos que acontece com a trajeto´ria da luz
ao viajar por um meio com ı´ndice de refrac¸a˜o varia´vel. Qual o formato da trajeto´ria
da luz, qual a sua equac¸a˜o ?
A resposta a esse tipo de pergunta depende de mais teoria matema´tica, por ex-
emplo do Ca´lculo de Variac¸o˜es.
3. Exerc´ıcios
Exerc´ıcio 3.1. (O Problema do salva-vidas)
Estando no ponto (8, 0), na areia da praia, o salva-vidas tem