1a Lista de Exercícios de Álgebra Linear II - 2014-02 - Turmas 01-08

Prévia do material em texto

UNIVERSIDADE DO ESTADO DO AMAZONAS - UEA
ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA - EST
1
a
Lista de Exercícios de Álgebra Linear II - Engenharia (Ciclo Básico)
QUESTÕES
Espaços e Subespaços Vetoriais.
Questão 1.Verificar se:
(a) W =
{
(x, y, z, t) ∈ R4;x+ y = 0 e z − t = 0} é subespaço de R4;
(b) W =
{(
a b
c d
)
; a, b, c, d ∈ R e b = c
}
é subespaço deM2×2(R);
(c) W = {(x1, x2, x3, x4, x5) ∈ R5;x1 + x2 + x3 = x5 e x4 = 0} é subespaço de R5;
(d) W =
{(
a b
c d
)
; a, b, c, d ∈ R e a+ d = b− c
}
é subespaço deM2×2(R).
Questão 2. Verificar se o vetor u =
(
2
3
, 1,−1, 2
)
pertence ao subespaço S de R4 gerado
por
S = [(1, 1,−2, 4), (1, 1,−1, 2), (1, 4,−4, 8)].
Questão 3. Seja W o subespaço deM2×2(R) definido por
W =
{(
2a a+ b
a a− b
)
; a, b ∈ R
}
.
Verificar se as matrizes
(
0 −2
0 1
)
e
(
0 2
3 1
)
pertencem a W .
Questão 4. Quais são as coordenadas de u = (1, 0, 0) em relação à base
β = {(1, 1, 1), (−1, 1, 0), (1, 0,−1)}?
Questão 5. Mostre que os polinômios 1−t3, (1−t)2, 1−t e 1 geram o espaço dos polinômios
de grau menor do que ou igual a 3.
Questão 6. Seja V o espaço das matrizes 2× 2 sobre R, e seja W o subespaço gerado pelas
matrizes (
1 −5
−4 2
)
,
(
1 1
−1 5
)
,
(
2 −4
−5 7
)
e
(
1 −7
−5 1
)
.
Encontre uma base, e a dimensão de W .
Questão 7. Mostrar que o subconjunto U , do espaço vetorial P2(R), definido por
U =
{
p(t) ∈ P2(R);
∫ 1
−1
p(t)dt+ p′(0) = 0
}
é subespaço vetorial de P2(R). Exiba uma base para U e diga qual é a sua dimensão.
Questão 8. Sejam os vetores u1 = (1, 0, 1, 0, 0),u2 = (1, 0, 1, 0, 1),u3 = (1, 0, 0, 0, 1),u4 =
(0, 0,−1, 0, 0) e u5 = (0, 0, 0, 0,−1) do espaço R5. Determinar a dimensão do espaço V =
[u1, u2, u3, u4, u5].
Questão 9. Considere o subespaço de R4 gerado pelos vetores v1 = (1,−1, 0, 0),v2 =
(0, 0, 1, 1),v3 = (−2, 2, 1, 1) e v4 = (1, 0, 0, 0).
(a) Exiba uma base para V = [v1,v2,v3,v4]. Qual é a dimensão de V ?
(b) [v1,v2,v3,v4] = R4? Por quê?
Questão 10. Seja U o subespaço de R3, gerado por (1, 0, 0) e W o subespaço de R3, gerado
1
por (1, 1, 0) e (0, 1, 1). Mostre que R3 = U ⊕ V .
Questão 11. Sejam W1 = {(x, y, z, t) ∈ R4;x + y = 0 e z − t = 0} e W2 = {(x, y, z, t) ∈
R4;x− y − z + t = 0} subespaços de R4.
(a) Determine W1 ∩W2. Exiba uma base para W1 ∩W2.
(b) Determine W1 +W2. Esta soma é direta? Justifique.
(c) Verificar se W1 +W2 = R4.
Questão 12. Sejam W1 =
{(
a b
c d
)
; a = d e b = c
}
e W2 =
{(
a b
c d
)
; a = c e b = d
}
subespaços deM2×2(R).
(a) Determine W1 ∩W2 e exiba uma base.
(b) Determine W1 +W2. É soma direta? W1 +W2 =M2×2(R)?
Questão 13. Seja C([−a, a]) = {f : [−a, a] → R; f é contínua em [−a, a]}. Considere os
seguintes subespaços de C([−a, a]): U = {f ∈ C([−a, a]); f(−x) = f(x),∀x ∈ [−a, a]} e
V = {f ∈ C([−a, a]); f(−x) = −f(x),∀x ∈ [−a, a]}. Mostre que
C([−a, a]) = U ⊕ V.
Questão 14. Seja V =M2×2(R) o espaço vetorial das matrizes de ordem 2. Sejam B ∈ V
uma matriz fixada e
U = {X ∈ V ;XB+BX = 0}
um subconjunto de V .
(a) Mostrar que U é um subespaço vetorial de V .
(b) Sejam W ⊂ V o espaço das matrizes triangulares inferiores. Mostrar que se B =(
1 1
−1 1
)
, então W ⊕ U = V .
Produto Interno.
Questão 15. Seja P2(R) o espaço das funções polinomiais reais de grau menor ou igual a
2. Sejam f, g ∈ P2(R). Defina
〈f, g〉 =
∫ 1
−1
f(t)g(t)dt.
(a) 〈f, g〉 é um produto interno?
(b) Se a resposta de (a) for afirmativa, determine um polinômio s(t) ∈ P2(R) que seja
simultaneamente ortogonal a p e q com relação a este produto interno.
Questão 16. Seja o espaço vetorial V =M2×2(R) munido com o produto interno usual
〈A,B〉 = Tr(Bt ·A); A,B ∈ V.
Sejam A =
(
1 1
m− 1 1
)
e B =
( −1 m
m2 1−m
)
matrizes em V . Determinar m ∈ R de
modo que A e B sejam ortogonais, com respeito a este produto interno.
Questão 17. Considere o espaço vetorial P2(R) munido com o produto interno:
〈p, q〉 =
∫ 1
0
p(t)q(t)dt, ∀ p, q ∈ P2(R).
(a) Determine todos os polinômios q(t) = at2+bt+c ∈ P2(R) que são ortogonais ao polinômio
p(t) = 12(t+ 1) com relação ao produto interno dado.
(b) Dados os polinômios p(t) = t+2 e q(t) = 3t− 2, determine 〈p, q〉, ‖p‖, ‖q‖ e cos θ, onde
2
θ é o ângulo entre os polinômios p e q.
Questão 18. Considere o espaço vetorial real
C0
([
0,
pi
2
])
=
{
f :
[
0,
pi
2
]
→ R; f é contínua em
[
0,
pi
2
]}
munido com o produto interno
〈f, g〉 =
∫ pi
2
0
f(t)g(t)dt, ∀ f, g ∈ C0
([
0,
pi
2
])
.
Dadas as funções f(t) = sen t e g(t) = cos t, determine o ângulo θ formado entre f e g.
Questão 19. Considere o espaço vetorial real C0([0, pi]) = {f : [0, pi] → R; f é contínua}
munido com o produto interno:
〈f, g〉 =
∫ pi
0
f(t)g(t)dt, ∀ f, g ∈ C0([0, pi]).
A distância d = d(f, g) entre as funções f, g ∈ C0([0, pi]) é definida por
d(f, g) = ‖f − g‖.
Calcular a distância entre as funções f(t) = sen t e g(t) = cos t.
Questão 20. Considere o espaço vetorial realM2×3(R) com produto interno usual
〈A,B〉 = Tr(Bt ·A).
Dadas as matrizes A =
(
1 0 2
−1 2 1
)
e B =
(
1 −2 1
1 0 3
)
, determine 〈A,B〉, ‖A‖, ‖B‖,
cos θ, onde θ é o ângulo formado entre as matrizes A e B e d(A,B) = ‖B−A‖ (distância
entre as matrizes A e B).
Questão 21. Seja V um espaço vetorial real munido com um produto interno 〈 , 〉. De-
monstre que se v e w são vetores quaisquer de V , então valem as relações:
(a) 〈v, w〉 = 1
4
[‖v + w‖2 − ‖v − w‖2] (identidade polar);
(b) ‖v‖2 + ‖w‖2 = 1
2
[‖v + w‖2 + ‖v − w‖2] (lei do paralelogramo).
Questão 22. Seja β = {(1, 2), (2, 1)}. Use o processo de Gram-Schmidt para achar uma
base ortonormal β de R2 em relação ao produto interno usual.
Questão 23. Seja V = {(x, y, z) ∈ R3;x− y + z = 0} um subespaço de R3.
(a) Determine uma base ortonormal (em relação ao produto interno usual) para V .
(b) Determine V ⊥.
Questão 24. Seja P2(R) o espaço das funções polinomiais reais de grau menor ou igual a
2. Sejam f, g ∈ P2(R). Defina
〈f, g〉 =
∫ 1
−1
f(t)g(t)dt.
Considere W o subespaço de P2(R) gerado pelos vetores p(t) = 1 e q(t) = 1− t.
(a) 〈f, g〉 é um produto interno?
(b) Se a resposta de (a) for afirmativa, determine uma base ortogonal para W .
Questão 25. Sejam V o espaço das matrizes triangulares superiores e
S =
{(
1 0
0 1
)
,
(
1 1
0 1
)}
.
3
(a) Encontre S⊥.
(b) Encontre uma base ortogonal para S e S⊥.
Questão 26. Sejam A e B matrizes deM2×2(R). Defina o produto interno emM2×2(R):
〈A,B〉 = Tr(Bt ·A).
Exiba uma base ortonormal segundo este produto interno, a partir da base{(
1 0
0 1
)
,
(
1 1
0 0
)
,
(
1 0
1 1
)
,
(
1 1
1 1
)}
.
Questão 27. Considere o espaço vetorial real P3(R), com produto interno
〈p, q〉 =
∫ 1
−1
p(t)q(t)dt, ∀ p, q ∈ P3(R),
e o subespaço vetorial W = {p(t) ∈ P3(R); p(−1) = p(1) = 0}. Dado o polinômio q(t) =
1 + 2t− t2, determine o polinômio p(t) tal que q(t) = p(t) + r(t) para r(t) ∈ W⊥.
4