Lista de Exercícios - Álgebra Linear II

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Lista 1 - Álgebra Linear II 
1) Verifique que o conjunto das matrizes M2x2(ℝ) é um espaço vetorial 
sobre ℝ. 
 
2) Verifique que U = {(x, y) ∈ ℝ2 | y = x2} com as operações usuais de 
soma e produto do ℝ2 não é um espaço vetorial sobre ℝ. 
 
3) Verifique que V = ℝ3 com as operações 
 
(x, y, z) + (x’, y’, z’) = (x + x’, y + y’, 0) 
k(x, y, z) = (kx, ky, 0) 
 
não é um espaço vetorial sobre ℝ. 
 
4) Verifique que V = ℝ2 com as operações 
 
(x, y) + (x’, y’) = (x + x’, y + y’) 
k(x, y) = (k + x, k + y) 
 
não é um espaço vetorial sobre ℝ. 
 
5) Verifique se os conjuntos W são subespaços vetoriais do espaço 
vetorial V, com as operações usuais de V: 
 
a) V = ℝ3, W = {(x, y, z) ∈ ℝ3 | 2x + 3y = 5z} 
 
b) V = ℝ3, W = {(x, y, z) ∈ ℝ3 | x = 5z; z = –8x} 
 
c) V = ℝ3, W = {(x, y, z) ∈ ℝ3 | x = z2} 
 
d) V = ℝ2, W = {(x, y) ∈ ℝ2 | x = 0} 
 
e) V = ℝ2, W = {(x, y) ∈ ℝ2 | x + y = 1} 
 
f) V = M2x2, 












 0;0| dcba
dc
ba
W
 
g) V = M2x2, 












 dbca
dc
ba
W ;| 2
 
 
 
6) Seja uma matriz 





 

01
10
B
. Uma matriz A comuta com B se, e 
somente se, A.B = B.A. Considere o conjunto W definido por: 
 
 BcomcomutaAMAW x |22
 
 
Verifique se W é subespaço de M2x2, determine uma base para W e 
sua dimensão. 
 
7) Verifique se W = {(1,1,1,1), (0,1,1,1), (0,0,1,1), (0,0,0,1)} é base do 
ℝ4. 
 
 
8) Determinar as coordenadas do polinômio 1 + 2t – t3 ∈ P3(ℝ) em relação à 
base {1, 1 – t, 1 – t2, 1 – t3}. 
 
 
9) Considere o conjunto S = {(1, 2, 3), (1, 3, 1), (0, 3, 1), (1, 4, 5)}. 
 
a) Pode-se afirmar, sem fazer conta alguma, que S é LD? Por quê? 
 
b) Encontre uma base para [S]. 
 
 
10) Considere conjunto V descrito por: 
 
V = {(x,y,z,w) ∈ ℝ4 | x - y = w, x – 3y + w = 0} 
 
a) Verifique se V é um subespaço do ℝ4. 
b) Determine uma base e a dimensão de V. 
 
 
 
11) Considere o conjunto 












 0;0|22 dcbaM
dc
ba
S x
 
 
a) Verifique que S é subespaço de M2x2. 
b) Determine uma base e a dimensão de S. 
 
12) Mostre que o subespaço W gerado pelas matrizes 






01
11
, 






11
00
 e 






10
20
 corresponde a 
 












 022;,,,|22 dcbadcbaM
dc
ba
W x
. 
 
13) Sejam S = [(0, 2, - 1, 0, 1), (0, 0, 3, -1, 2), (0, 4, -5, 1, 0)], e 
v = (0, m, -m, 1, 1). 
 
a) Determine uma base de S. 
b) Determine todos os valores de m para os quais v 

 S. 
 
14) Considere os subespaços do ℝ3 definidos por: 
 
U = {(x, y, z) ∈ ℝ3 | x = 0} e V = [(1,2,0), (3,1,2)] 
 
Determine uma base e a dimensão dos subespaços U, V, U + V e 
U ∩ V. A soma U + V é direta? 
 
15) Considere as bases B = {b1, b2, b3} e C = {c1, c2, c3} do ℝ
3 tais 
que: 
 
c1 = b1 + b3 
c2 = 2b1 + b2 + b3 
c3 = b1 + 2b2 + b3 
 
Determine a matriz de mudança de base de B para C e de C para B.