Gabarito exercícios para preparação AP1 Álgebra Linear I

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Exercícios Resolvidos Álgebra Linear I – 2-2017 - Apoio para a AP1 
1. Sejam A = 





12
31
 e B = 







623
402
. Encontre AB e BA, se possível. 
Resolução: AB = 







1421
14611
 e BA não é definido. 
 
2. Se A é uma matriz simétrica de ordem n, calcule A – AT. 
Resolução: Supondo A uma matriz simétrica, A = AT. Então, A – AT é a matriz 
nula de ordem n. 
 
3. Se A é uma matriz diagonal, calcule AT. 
Resolução: Se A é uma matriz diagonal ela é simétrica. Logo, pelo exercício anterior 
AT = A. 
4. Determine a e b para que a matriz A = 













ba
ba
 seja simétrica. 
Resolução. 
 
AT = 













ba
ba
. 
Para que A seja simétrica, 













ba
ba
 = 













ba
ba
. 
Daí, 





ba
ba
 ou 





b
a
. 
 
 
5. Resolva e classifique os sistemas de equações lineares: 
 
(a) 








64
642
0
zyx
zy
yx
 
Solução. Este sistema pode ser escrito 








6411
6420
0011
zyx
zyx
zyx
 











6
6
0
411
420
011











6
6
0
420
420
011











6
3
0
420
210
011










0
3
3
000
210
201
 
O sistema equivalente é 








0000
3210
3201
zyx
zyx
zyx
 
A última equação não estabelece nenhuma condição para x e y; por isso, a solução do 
sistema é dada pelas duas primeiras equações: 
 x=3-2z e y=3-2z. Os valores de x e y (que são iguais) são obtidos atribuindo valores 
arbitrários a z. 
Logo, o sistema é compatível e indeterminado e seu conjunto solução é 
  zzzzS /),23,23( . 
(b) 





1596
432
yx
yx
 
Solução. 










15
4
96
32










15
2
96
1
2
3







3
2
00
1
2
3
 
O sistema equivalente é 






30
2
2
3 yx
. Logo, o sistema é incompatível. 
6. Mostre que as matrizes 











814
312
201
 e 













116
104
2211
são inversíveis e que são 
inversas uma da outra. 
 
Resolução: 











814
312
201













116
104
2211
=













81880848444
31430418422
20220212011
=










100
010
001
 
 
7. Seja A = {(-1,3,-1),(1,-2,4)}. Determine: 
(a) O subespaço gerado por A. 
Seja (a, b, c) um elemento do subespaço S gerado por A. 
Então, (a, b, c) = x(-1, 3, -1) + y(1, -2, 4) 
Daí, 
3 2
4
x y a
x y b
x y c
  

 
  
 . 
Escalonando, 
1 1
3 2
1 4
a
b
c
 
 
 
  
  LL 
1 1
3 2
1 4
a
b
c
  
 
 
  
2 1 2
3 1 3
3L L L
L L L
  
 

1 1
0 1 3
0 3
a
a b
c a
  
 
 
  
 10 3 0.a b c    
Logo, [A]= {(a, b, c)  / 10a + 3b - c = 0}. 
(b) O valor de k para que o vetor v = (5,k,11) pertença a este subespaço. 
Solução. 10.5+3k-11=0k=-13. 
8. Para que valores de k o conjunto {(1, ), ( , 4)}B k k é base do  . 
Solução. A única solução da equação x(1, k) + y(k,4)=(0,0) terá que ser a trivial. 
Logo, k2 tem que ser diferente de 4, ou, 2.k   
9. Determinar o vetor coordenada de v = (6,2) em relação às seguintes bases: 
(a) {(3,0), (0,2)}  (b) {(1,2), (2,1)}  (c) {(1,0), (0,1)}  
Solução. (a) (6,2) = a(3, 0) + b(0,2)  (6,2) = (3,2). 
(b) (6,2) = a(1, 2) + b(2,1)  (6,2) = (-2/3,10/3). 
c) (6,2) = a(1, 0) + b(0,1)  (6,2) = (6,2). 
10. Sejam os vetores u=(1,0,-1), v=(1,2,1) e w=(0,-1,0) do 3 . Mostre que 
B={u,v,w} é base do 3 . 
Solução. Para verificar se B é LI, devemos verificar se a única maneira de escrever o 
vetor nulo como combinação linear dos vetores de B acarreta α = β = γ = 0. 
De fato: 
α (1, 0, -1) + β (1, 2, 1) + γ (0, -1, 0) = (0,0,0) 
0
0
02
0













 
Conclui-se também que 0 e portanto B é LI. 
Como este conjunto é formado por 3 vetores LI e dimensão do 3 é 3 este conjunto 
gera o 3 . Logo B é uma base do 3 . 
11. Resolva e classifique os sistemas. 
(a) 








64
642
0
zyx
zy
yx
 
Solução. Este sistema pode ser escrito 








6411
6420
0011
zyx
zyx
zyx
 











6
6
0
411
420
011











6
6
0
420
420
011











6
3
0
420
210
011










0
3
3
000
210
201
 
O sistema equivalente é 








0000
3210
3201
zyx
zyx
zyx
 
A última equação não estabelece nenhuma condição para x e y; por isso, a solução do 
sistema é dada pelas duas primeiras equações: 
 x=3-2z e y=3-2z. Os valores de x e y (que são iguais) são obtidos atribuindo valores 
arbitrários a z. 
Logo, o sistema é compatível e indeterminado e seu conjunto solução é 
  zzzzS /),23,23( . 
(b) 





1596
432
yx
yx
 
Solução. 










15
4
96
32










15
2
96
1
2
3







3
2
00
1
2
3
 
O sistema equivalente é 






30
2
2
3 yx
. Logo, o sistema é incompatível. 
12. . Expresse o vetor u = (-1, 4, -4, 6)   como combinação linear dos vetores v1 
= (3, -3, 1, 0), v2 = (0, 1, -1, 2) e v3 = (1, -1, 0, 0). 
Solução. 
 Temos que encontrar escalares α, β, γ tal que 
(-1, 4, -4, 6) = α (3, -3, 1, 0) + β (0, 1, -1, 2) + γ (1, -1, 0, 0). 
O que equivale resolver o sistema: 




















 . 
Logo, u = - v1 + 3v2 + 2v3. 
13. Determine os subespaços do 3 gerados pelos seguintes conjuntos: 
1. A = {(2, -1, 3)} 
2. A = {(-1, 3, 2), (2, -2, 1)} 
 
Solução. 
(a) Seja (a, b, c) um elemento do subespaço S gerado por A. 
Então, (a, b, c) = x(2, -1, 0) 
Daí, 








c
bx
ax
 ou 







c
ab
. 
Logo, S= {(a, b, c)  / a = -2b e c = 0} = {(-2b, b, 0)/ b }. 
(b) Seja (a, b, c) um elemento do subespaço S gerado por A. 
Então, (a, b, c) = x(-1, 3, 2) + y(2, -2, 1) 
Daí, 








cyx
byx
ayx
 . 
Escalonando, 













c
b
a
  LL 













c
b
a
  LLL 












c
ba
a
  LLL 













ca
ba
a
. 
Obtemos o seguinte sistema equivalente: 










ca
ba
y
y
 7.a +5b -4c = 0. 
Logo, S= {(a, b, c)  / 7.a + 5b - 4c = 0}. 
 
14. Determine uma base para cada um dos seguinte espaços vetoriais: 
1. S= {(x, y, z)  / y = 2x} 
2. S= {(x, y, z)  / 2x – y + 3z = 0} 
Solução 
 
(a) Se (x, y, z)  S  (x, y, z) = (x, 2x, z) = x(1, 2, 0) + z (0, 0, 1). Então, todo 
vetor de S é combinação linear dos vetores (1, 2, 0) e (0, 0, 1). Como estes vetores 
são LI, o conjunto {(1, 2, 0) e (0, 0, 1)} é uma base de S. 
(b) Se (x, y, z)  S  (x, y, 

 xy
) = x(1, 0, -


) + y(0, 1, 


). Então, todo vetor 
de S é combinação linear dos vetores (1, 0, -


) e (0, 1, 


). Como estes vetores 
são LI, o conjunto {(1, 0, -


), (0, 1, 


)} é uma base de S. 
15. Considere no 3 os seguintes subespaços vetoriais U = [(1, 0, 0),(1, 1, 1)] e V = 
[(0,1,0), (0,0,1)]. Determine: 
(a) VU  e sua dimensão. 
(b) VU  e sua dimensão. 
(c) VU  é soma direta? 
Solução. 
(a) Como VU  = [(1, 0, 0), (1, 1, 1), (0,1,0), (0,0,1)] = [(1, 0, 0), (0,1,0), (0,0,1)] = 
3 . Logo dim ( VU  ) = 3. 
(b) Se (x, y, z)  U, (x, y, z) = a(1, 0, 0) + b(1, 1, 1) ou x = a + b, y = b, z = b. Daí, 
U = {(x, y, y)/ x, y  }. 
 Se (x, y, z)  V, (x, y, z) = a(0, 1, 0) + b(0, 0, 1) ou x = 0, y = a, z = b. 
 Daí, V = {(0, y, z)/ y, z  }. Então, VU  = {(0,y, y)/ y  } = [(0, 1, 1)]. 
Logo dim VU  = 1. 
(c) Não, pois  .0VU 
 
 
16. Diga se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Caso verdadeira, prove. 
Caso contrário, dê um contra exemplo. 
(a) {(x, y, z) 3 / x  y  z} é um subespaço vetorial de 3 . 
(b) [(1, 2), (-1, 2), (-1, -2)] = 2 
(c) {(1, 0, 0), (-1, 1, 2), (3, -3, -6)} é uma base do 3 . 
(d) Se W1 = [(2, 2, 2), (1, -1, 1)] e W2 = [(1, 0, 1), (0, - , 0)], então 
W1 = W2. 
 Solução. 
(a) Falso. Por exemplo, (3, 4, 5)  W e  = -1, temos -1(3, 4, 5) W. 
(b) Verdadeiro. [(1, 2), (-1, 2), (-1, -2)] = [(1, 2), (-1, 2)], já que o vetor (-1, -2) = 
-1(1, 2). Além disso, o conjunto {(1, 2), (-1, 2)} é LI. 
(c) Falso. Este conjunto é LD, o vetor (3,-3, -6) = -3(-1, 1, 2). 
(d) Verdadeiro. W1 = [(2, 2, 2), (1, -1, 1)] = [(1, 0, 1), (0, - , 0)] = {(x, y, x)/x, y
 }. 
17. Se )2,0,5()5,1,2(  vu , determine: 
a) O produto interno de u e v ( Notação: <u, v>) 
b) A norma de u ( Notação: || u ||) 
c) A norma de v 
d) O ângulo entre u e v. 
 Solução: 
 a) )2,0,5(),5,1,2(  = 2.5 +(-1).0 + (-5).2 = 0. 
 b) 302514)5(12)5,1,2( 222  
 c) 29425205)2,0,5( 222  
 d) Como o produto interno destes vetores é zero eles são ortogonais, o ângulo 
entre eles é 90º. Ou, se  é o ângulo entre u e v, verificamos que  = 90º pela 
igualdade cos = 
2930
0,

vu
vu
=0.