APOSTILA TEOREMA DE TALES

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ESCOLA MUNICIPAL MANOEL DE MIRANDA SANTIAGO
ALUNO: _______________________________________________ SÉRIE: _______________
TEOREMA DE TALES
“Quando duas transversais interversais
interceptam um feixes de paralelas, os segmentos
determunados nas transversais são
respectivamente proporcionais.”
ANATOÇÕES
1 - História de Tales de Mileto
Tales Mileto foi um grego, nascido em 624 a.C – 546 a.C., filósofo, matemático, engenheiro,
homem de negócio e astrônomo da Grécia Antiga, considerado por alguns o primeiro filósofo
ocidental.
Tales é apontado como um dos sete sábios da Grécia Antiga. Além disso, foi o fundador da
Escola Jônica. Considerava a água como sendo a origem de todas as coisas, e seus seguidores,
embora discordassem quanto à “substância primordial”, que constituía a essência do universo,
concordavam com ele no que dizia respeito à existência de um “princípio único" para essa
natureza primordial. Entre os principais discípulos de Tales de Mileto merecem destaque:
Anaximandro de Mileto, para quem os mundos eram infinitos em sua perpétua inter-relação; e
Anaxímenes de Mileto que afirmava que o "ar" era a substância primária. 
1.2 Descobertas atribuídas a Tales
Os fatos geométricos cujas demonstrações são atribuídas a Tales são:
• Que os ângulos da base dos triângulos Isóceles são iguais;
• Do seguinte teorema: se dois triângulos tem dois ângulos e um lado respectivamente
iguais, então são iguais;
• De que todo diâmetro divide um círculo em duas partes iguais;
• De que ao unir-se qualquer ponto de uma circunferência aos extremos de um diâmetro
AB obtém-se um triângulo retângulo em C. Provavelmente, para demonstrar este
teorema, Tales usou também o fato de que a soma dos ângulos de um triângulo é igual a
dois ângulos retos;
Ele chamou a atenção de seus conterrâneos para o fato de que se duas retas se cortam, então os
ângulos opostos pelo vértice são iguais.
2. Teorema de Tales
Sua sabedoria percorreu por vários territórios chegando até o Egito. Os egípcios então, o
convidaram a medir a altura de suas pirâmides, o que para a época seria um grande feito, pois
não existiam equipamentos que pudessem fazer isso com facilidade. Tales conseguiu medir a
altura da pirâmide utilizando o que conhecemos hoje como Teorema de Tales, para conseguir
desenvolver este teorema ele utilizou a sombra causada pelo sol e devido a isso sua fama de
grande matemático, pensador, ficou ainda maior. (fonte:
http://www.estudopratico.com.br/teorema-de-tales/).
2.1 Definições
Feixe de Retas Paralelas é um conjunto de Retas
coplanares paralelas entre si. Retas “r”, “s” e “t”.
Transversal do Feixe de Retas paralelas é uma reta
plano do feixe que concorre com todas as retas do
feixe. As retas “u” e “v” são transversais.
Pontos Correspondentes de Duas Transversais são
pontos dessas transversais que estão huma mesma
reta de Feixe A e D ; B e E ; C e F são pontos
correspondentes.
Seguimentos Correspondentes de duas transversais
são seguimentos cujas extremidades são os respectivos pontos correspondentes. CB ; BA ; FE ;
ED, são seguimentos correspondentes.
Figura 1: Ilustração da aplicação do teorema de Tales, onde segundo historiadores afirmam que
através deste feito seu teorema ficou reconhecido e difundido. Disponível em <
https://www.geogebra.org/resource/EnCju8GR/7nS7iuSpyvD1YwBP/material-EnCju8GR.png >,
acesso em de 01 de Setembro de 2018.
Figura 2: Representação gráfica do Teorema 
de Tales disponível em < 
https://www.todamateria.com.br/teorema-de-
tales/ >, acesso em 01 de Setembro de 2018.
Após ter observado tais elementos Tales chegou a conclusão que:
2.2 Teorema de Tales nos Triângulos
O teorema de Tales também é aplicado em situações que envolvem triângulos. Veja abaixo um
exemplo em que se aplica o teorema:
De acordo com a semelhança de triângulos podemos aformar que: o triÂngulo ABC é
semelhante ao triÂngulo AED. É representado da seguinte forma:
∇ ABC∼∇ AED
2.3 Teorema de Tales no Círculo
Existe ainda um caso especial do teorema de Tales a partir da definição do teorema do ângulo
inscrito. Seja um triangulo qualquer ABC inscrito em uma
circunferência, se a medida BC for o diâmetro desta
circunferência, então os pontos A, B e C formam um
triângulo retângulo. Veja a figura abaixo: 
Pela figura temos as relações:
OA = OB = OC = raio
BC = OB + OC 
Logo, podemos dizer que os triângulos ΔOAC e ΔOAB são
isósceles e que:
α+α+β+β=180o
Quando duas transversais interversais interceptam um feixes de paralelas, 
os segmentos determunados nas transversais são respectivamente proporcionais.”
2α+2β=180o
α+β=90o
Concluindo então que o triângulo ABC é retângulo.
2.4 Teorema da Bissetriz Interna (TBI)
Em todo triângulo, a bissetriz interna relativa a um dos lados determina sobre ele segmentos
proporcionais aos outros dois.
2.5 Teorema da Bissetriz Externa (TBE)
Em todo triângulo, com a exceção do triangulo isóceles, a bissetriz externa a qualquer ângulo
divide o laado oposto, prologando, em dois seguimento proporcionais aos outros lados.
Figura 3: Representação gráfica do Teorema da Bissetriz Interna
disponível em <https://image.slidesharecdn.com/talessemelhanca-
110612114550-phpapp02/95/teorema-de-tales-semelhana-6-728.jpg?
cb=1307880121 >, acesso em 01/09/2018.
Figura 4: Representação gráfica do Teorema da Bissetriz Externa disponível em < 
https://image.slidesharecdn.com/recuperao-9o-ano-2009-091204144253-phpapp01/95/recuperao-
9o-ano-2009-12-728.jpg?cb=1259937834 >, acesso em 01/09/2018.
VIDEO AULA EXPLICATIVA
Assista aos vídeos a seguir para uma melhor explicação sobre o Teorema de Tales.
Vídeo 1: Medindo prédios com prato (experimento de Física) - How to measure a building with
a plate. Tempo 06min50seg. Canal Manual do Mundo. Disponível em <
https://www.youtube.com/watch?v=eB7NCwY-7Us >, acesso em 01 de Setembro de 2018.
Vídeo 2: Teorema de Tales Parte 2: Prova do Teorema de Tales - Aula 4, Tempo 11min20seg,
Canal Portal Matemática, disponível < https://www.youtube.com/watch?
time_continue=618&v=6IutDNpJ0HM >, acesso em 01 de setembro de 2018.
Vídeo 3: Teorema de Tales com Exemplos e Exercícios | Matemática do ENEM, Tempo
12min38seg, Canal Matemática Rio com Prof. Rafael Procopio, 03/12/2018.
Disponpivel em < https://www.youtube.com/watch?v=MxC_K2MwWDU&t=200s >,
acesso em 01 de Setembro de 2018.
Vídeo 4: Geometria Plana: Teorema de Tales (Aula 13), Tempo 23min10seg, Canal
Ferreto Matemática, 15/06/2015. Disponível em < https://www.youtube.com/watch?
v=MQw2524ZZcU >, acesso em 01 de Setembro de 2018.
Vídeo 5: Curso de Matemática Determinar ou calcular o raio r de circunferência
inscrita triângulo retângulo. Tempo 09min16seg. Canal Lucivan Correia. Disponível em
< https://www.youtube.com/watch?v=D9gtRp9g6eQ >, acesso em 02 de setembro de
2018.
EXERCÍCIOS
1 Defina o valor do seguimento
correspondente de “X” apresentado na
fugura abaixo:
A) 7,77
B) 6,66
C) 10
D) 5,65
2 Defina o valor do seguimento
correspondente de “X” apresentado na
fugura abaixo:
A) 2
B ) 3
C) 5
D) 6
3 Defina o valor do seguimento
correspondente de “X” apresentado na
fugura abaixo:
A) 1
B) 0,25
C) 0,45
D) 0,2
4 Defina o valor do seguimento
correspondente de “X” apresentado na
fugura abaixo: 
A) 5
4
B) 10
8
C) 1,25
D) 6
3
5 Agora, considere três terrenos que estão
entre duas ruas, A e B. Sabendo que as
medidas de cada terreno de frente a rua A
são 40 m, 30 m e 20 m, vamos determinar a
medida de cada terreno para a rua B
sabendo quea frente para essa rua tem 180
m. Vamos ilustrar segundo o nosso
problema um esboço dos terrenos: 
A) 80 – 60 – 40
B) 100 – 80 – 20
C) 70 – 80 – 40
D) 80 – 80 – 20
6 (AFA - 1995) Dados dois triângulos
semelhantes, um deles com 4, 7 e 9 cm de
lado, e outro com 66 cm de perímetro,
pode-se afirmar que o menor lado do
triângulo maior mede, em cm,
A) 9,8
B) 11,6
C) 12,4
D) 13,2
7 – Os valores de “X” nas figuras, cuja-as
retas r, s, e t são paralelas. Determine os
valores de x e y em cada caso, e assinale a
resposta correta.
8 A figura abaixo nos mostra duas
avenidas que partem de um mesmo ponto
A e cortam duas ruas paralelas. Na
primeira avenida, os quarteirões
determinados pelas ruas paralelas tem 80
m e 90 m de comprimento,
respectivamente. Na segunda avenida, um
dos quarteirões determinados mede 60 m.
Qual o comprimento do outro quarteirão?
A) 70,00 m
B) 68,00 m
C) 67,50 m
D) 68,50 m
9 A planta abaixo no mostra três terrenos
cujas laterais são paralelas. Calcule, em
metros, as medidas x, y e z indicadas. 
A) X 26; Y14; Z 40
B) X 16; Y 24; Z 40
C) X 24; Y 16; Z 40
D) X 40; Y 14; Z 26
10 - Dois postes perpendiculares ao solo
estão a uma distância de 4 m um do outro,
e um fio bem esticado de 5 m liga seus
topos, como mostra a figura abaixo.
Prolongando esse fio até prende – lo no
solo, são utilizados mais 4 m de fio.
Determine a distância entre o ponto onde
o fio foi preso ao solo e o poste mais
próximo a ele .
A) 3,00 m
B) 3,50 m
C) 3,20 m
D) 4,00 m
11 - Esta planta mostra dois terrenos. As
divisas laterais são perpendiculares à rua.
Quais as medidas das frentes dos terrenos
que dão para a avenida. Sabendo – se que
a frente total para essa avenida é de 90
metros? 
A) X 36; Y 54 
B) X 54; Y 36
C) X 35 ; Y 53
D) X 40; Y 50
A) r
s
t
x
6
4
3
X =
Y = 
B) r
s
t
6
5
 X + 2
X
X =
Y = 
C) r
s
t
9
X + 1
 2
5X + 2
X =
Y = 
D) r
s
t
x
10
 4
6
X =
Y = 
y12
12 - Nesta figura, os segmentos de retas AO , BP ,
CQ e DR são paralelos. A medida do segmento
PQ , em metros, é: 
A) 53,34m
B) 26,66m
C) 40,00m
D) 36,33m
13 - Uma
antena de TV é colocada sobre um bloco
de concreto. Esse bloco tem 1 m de altura.
Em um certo instante, a antena projeta
uma sombra de 6 m, enquanto o bloco
projeta uma sombra de 1,5 m. Nessas
condições, qual é a altura da antena? 
A) 2,00 m
B) 3,50 m
C) 4,50 m
D) 4,00 m
14 - Uma estátua projeta uma sombra de 8
m no mesmo instante que seu pedestal
projeta uma sombra de 3,2 m. Se o
pedestal tem 2 m de altura, determinar a
altura da estátua. 
A) 4,00 m
B) 5,00 m
C) 3,5 m
D) 4,5 m
15 - Um feixe
de três retas paralelas determina sobre
uma transversal aos pontos A, B e C, tal
que AB = 10 cm e BC = 25 cm, e sobre
uma transversal b os pontos M, N e P, tal
que MP = 21 cm. Quais as medidas dos
segmentos MN e NP determinados sobre a
transversal? Faça a figura. 
A) MN = 11 / NP = 10
B) MN = 7 / NP = 13
C) MN = 6 / NP = 15
D) MN = 5 / NP = 16
16 - Um homem de 1,80 m de altura
projeta uma sombra de 2,70 m de
comprimento no mesmo instante em que
uma árvore projeta uma sombra de 9 m
de comprimento. Qual é a altura da
árvore? 
A) 60 m
B) 6 m
C) 7 m
D) 70 m
17 - As bases de dois triângulos isósceles
semelhantes medem, respectivamente, 8
cm e 4 cm. A medida de cada lado
congruente do primeiro triângulo é 10 cm.
Nessas condições, calcule: 
a) a medida de cada lado congruente do
segundo triângulo. 
b) os perímetros dos triângulos. 
A) a = 4 / b = 40
B) a = 5 / b = 42 
C) a = 4 / b = 28
D) a = 5 / b = 14
18 - Um mastro usado para hasteamento
de bandeiras projeta uma sombra cujo
comprimento é 6 m no mesmo instante em
que uma barra vertical de 1,8 m de altura
projeta uma sombra de 1,20 m de
comprimento. Qual é a altura do mastro? 
A) 8 m
B) 7,5 m 
C) 10 m
D) 9 m
19 - Um triângulo tem seus lados medindo
8 cm, 10 cm e 12 cm, respectivamente.
Determine as medidas dos lados de um
outro triângulo, semelhante ao primeiro,
sabendo que seu maior lado mede 30 cm.
A) 15 e 20
B) 30 e 20
C) 20 e 25
D) 75 e 30
De acordo com a imagem abaixo responda
as questões 20 a 22.
20 Se o comprimento do fundo do terreno
B para a Rua Chegaremos Lá for de 12 m,
podemos afirmar que o comprimento do
fundo do terreno A para a Rua
Chegaremos Lá é: 
A) 18 m. 
B) 22,5 m. 
C) 35 m.
D) 40 m 
21 Se a soma dos fundos dos terrenos A e
B para a Rua Chegaremos Lá medir 45 m,
a medida do comprimento do terreno B
para essa mesma rua será: 
A) 16 m. 
B) 18 m. 
C) 36 m.
D) 50 m.
22 Se a soma dos fundos dos terrenos A e
B para a Rua Chegaremos Lá medir 40 m,
o produto dos números que correspondem
aos comprimentos dos terrenos A e B para
essa mesma rua será: 
A) 486
B) 126
C) 200
D) 384
23 (UFSM - 03) A crise energética tem
levado as médias e grandes empresas a
buscarem alternativas na geração de
energia elétrica para a manutenção do
maquinário. Uma alternativa encontrada
por uma fábrica foi a de construir uma
pequena hidrelétrica, aproveitando a
correnteza de um rio que passa próximo
às suas instalações. Observando a figura e
admitindo que as linhas retas r, s e tsejam
paralelas, pode-se afirmar que a barreira
mede 
A) 33
B) 38
C) 43
D) 48
24 (Fuvest–SP) A sombra de um poste
vertical, projetada pelo sol sobre um chão
plano, mede 12 m. Nesse mesmo instante a
sombra de um bastão vertical de 1 m de
altura mede 0,6 m. Qual a altura do
poste? 
A) 7,2 m
B) 72 m
C) 6 m
D) 62 m
25 Na figura a seguir (que não está em
escala), os segmentos r, s e t são
paralelos e os segmentos u, v e w são
também paralelos. Sabe−se que
AB=3m, BC=7m e DF=24m 
O seguimento DE mede:
A) 16,4 m
B) 17,2 m
C) 16,8 m
D) 17,6 m
26 Calcule o raio de uma circunferência
inscrita num triângulo retanguo em que os
catetos medem 6cm e 8cm.
A) 3 cm
B) 3,2 cm
C) 2,2 cm
D) 2 cm
27 Calcule o raio de uma circunferência
inscrita num triângulo retanguo em que os
catetos medem 12cm e 16cm.
A) 6 cm
B) 4 cm
C) 4,4cm
D) 6,4 cm
28 (Saresp–SP) No desenho abaixo estão
representados os terrenos I, II e III.
Quantos metros de comprimento deverá
ter o muro que o proprietário do terreno
II construirá para fechar o lado que faz
frente com a Rua das Rosas?
A) 32 B) 42 C) 28 D) 26
29 Na figura a seguir temos que a // b // c //
d. Aplicando o Teorema de Tales
determine os valores de x, z e y. 
A) X = 6, Z = 8, Y = 6
B) X = 8, Z = 8, Y = 6
C) X = 6, Z = 6, Y = 6
B) X = 8, Z = 8, Y = 8
30 Aplique o Teorema de Tales no intuito
de determinar o valor de x, sabendo que
as retas a, b e c são paralelas. 
A) 6,5 B) 7,0 C) 7,5 D) 8,0
GABARITO
A B C D A B C D A B C D
1 11 21
2 12 22
3 13 23
4 14 24
5 15 25
6 16 26
7 17 27
8 18 28
9 19 29
10 20 30
BIBLIOGRAFIA
LESSA, José Roberto. Teorema de Tales. InfoEscola, 2018. Disponível em <
https://www.infoescola.com/matematica/teorema-de-tales/ >, acesso em 01 de Setembro de
2018.
Teorema de Tales. Portal todamatéria, 16/08/2018. Disponível em <
https://www.todamateria.com.br/teorema-de-tales/ > acesso em 01 de setembro de 2018.
(AFA – 1995) Teorema de Tales. Tutorbrasil.com. Disponível em <
https://www.tutorbrasil.com.br/forum/viewtopic.php?t=18061 >, acesso em 01/09/2018.SMOLE. Kátia Cristina Stocco. Matemática. Vol.1 1ª ed. 1ª Série – Ensino Médio. Coo Aut.
Maria Ignes de Souza Vieira Diniz. São Paulo, Saraiva. 2003.
	1 - História de Tales de Mileto
	1.2 Descobertas atribuídas a Tales
	2. Teorema de Tales
	2.1 Definições
	2.2 Teorema de Tales nos Triângulos
	2.3 Teorema de Tales no Círculo
	2.4 Teorema da Bissetriz Interna (TBI)
	2.5 Teorema da Bissetriz Externa (TBE)
	VIDEO AULA EXPLICATIVA
	EXERCÍCIOS
	B)
	C) 1,25
	D)
	5 Agora, considere três terrenos que estão entre duas ruas, A e B. Sabendo que as medidas de cada terreno de frente a rua A são 40 m, 30 m e 20 m, vamos determinar a medida de cada terreno para a rua B sabendo que a frente para essa rua tem 180 m. Vamos ilustrar segundo o nosso problema um esboço dos terrenos:
	A) 80 – 60 – 40
	B) 100 – 80 – 20
	C) 70 – 80 – 40
	D) 80 – 80 – 20
	6 (AFA - 1995) Dados dois triângulos semelhantes, um deles com 4, 7 e 9 cm de lado, e outro com 66 cm de perímetro, pode-se afirmar que o menor lado do triângulo maior mede, em cm,
	A) 9,8
	B) 11,6
	C) 12,4
	D) 13,2
	7 – Os valores de “X” nas figuras, cuja-as retas r, s, e t são paralelas. Determine os valores de x e y em cada caso, e assinale a resposta correta.
	8 A figura abaixo nos mostra duas avenidas que partem de um mesmo ponto A e cortam duas ruas paralelas. Na primeira avenida, os quarteirões determinados pelas ruas paralelas tem 80 m e 90 m de comprimento, respectivamente. Na segunda avenida, um dos quarteirões determinados mede 60 m. Qual o comprimento do outro quarteirão?
	A) 70,00 m
	B) 68,00 m
	C) 67,50 m
	D) 68,50 m
	9 A planta abaixo no mostra três terrenos cujas laterais são paralelas. Calcule, em metros, as medidas x, y e z indicadas.
	A) X 26; Y14; Z 40
	B) X 16; Y 24; Z 40
	C) X 24; Y 16; Z 40
	D) X 40; Y 14; Z 26
	A) 3,00 m
	B) 3,50 m
	C) 3,20 m
	D) 4,00 m
	11 - Esta planta mostra dois terrenos. As divisas laterais são perpendiculares à rua. Quais as medidas das frentes dos terrenos que dão para a avenida. Sabendo – se que a frente total para essa avenida é de 90 metros?
	A) X 36; Y 54
	B) X 54; Y 36
	C) X 35 ; Y 53
	D) X 40; Y 50
	12 - Nesta figura, os segmentos de retas AO , BP , CQ e DR são paralelos. A medida do segmento PQ , em metros, é:
	A) 53,34m
	B) 26,66m
	C) 40,00m
	D) 36,33m
	13 - Uma antena de TV é colocada sobre um bloco de concreto. Esse bloco tem 1 m de altura. Em um certo instante, a antena projeta uma sombra de 6 m, enquanto o bloco projeta uma sombra de 1,5 m. Nessas condições, qual é a altura da antena?
	A) 2,00 m
	B) 3,50 m
	C) 4,50 m
	D) 4,00 m
	14 - Uma estátua projeta uma sombra de 8 m no mesmo instante que seu pedestal projeta uma sombra de 3,2 m. Se o pedestal tem 2 m de altura, determinar a altura da estátua.
	A) 4,00 m
	B) 5,00 m
	C) 3,5 m
	D) 4,5 m
	15 - Um feixe de três retas paralelas determina sobre uma transversal aos pontos A, B e C, tal que AB = 10 cm e BC = 25 cm, e sobre uma transversal b os pontos M, N e P, tal que MP = 21 cm. Quais as medidas dos segmentos MN e NP determinados sobre a transversal? Faça a figura.
	A) MN = 11 / NP = 10
	B) MN = 7 / NP = 13
	C) MN = 6 / NP = 15
	D) MN = 5 / NP = 16
	16 - Um homem de 1,80 m de altura projeta uma sombra de 2,70 m de comprimento no mesmo instante em que uma árvore projeta uma sombra de 9 m de comprimento. Qual é a altura da árvore?
	A) 60 m
	B) 6 m
	C) 7 m
	D) 70 m
	17 - As bases de dois triângulos isósceles semelhantes medem, respectivamente, 8 cm e 4 cm. A medida de cada lado congruente do primeiro triângulo é 10 cm. Nessas condições, calcule:
	a) a medida de cada lado congruente do segundo triângulo.
	b) os perímetros dos triângulos.
	A) a = 4 / b = 40
	B) a = 5 / b = 42
	C) a = 4 / b = 28
	D) a = 5 / b = 14
	18 - Um mastro usado para hasteamento de bandeiras projeta uma sombra cujo comprimento é 6 m no mesmo instante em que uma barra vertical de 1,8 m de altura projeta uma sombra de 1,20 m de comprimento. Qual é a altura do mastro?
	A) 8 m
	B) 7,5 m
	C) 10 m
	D) 9 m
	19 - Um triângulo tem seus lados medindo 8 cm, 10 cm e 12 cm, respectivamente. Determine as medidas dos lados de um outro triângulo, semelhante ao primeiro, sabendo que seu maior lado mede 30 cm.
	A) 15 e 20
	B) 30 e 20
	C) 20 e 25
	D) 75 e 30
	De acordo com a imagem abaixo responda as questões 20 a 22.
	20 Se o comprimento do fundo do terreno B para a Rua Chegaremos Lá for de 12 m, podemos afirmar que o comprimento do fundo do terreno A para a Rua Chegaremos Lá é:
	A) 18 m.
	B) 22,5 m.
	C) 35 m.
	D) 40 m
	21 Se a soma dos fundos dos terrenos A e B para a Rua Chegaremos Lá medir 45 m, a medida do comprimento do terreno B para essa mesma rua será:
	A) 16 m.
	B) 18 m.
	C) 36 m.
	D) 50 m.
	22 Se a soma dos fundos dos terrenos A e B para a Rua Chegaremos Lá medir 40 m, o produto dos números que correspondem aos comprimentos dos terrenos A e B para essa mesma rua será:
	A) 486
	B) 126
	C) 200
	D) 384
	GABARITO
	BIBLIOGRAFIA