Diferenciação Implícita e Taxas Relacionadas

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Universidade Veiga de Almeida
Ciclo Ba´sico das Engenharias
Ca´lculo Diferencial e Integral Aplicado I
4a Lista de Exerc´ıcios
Prof(a): Andreia Nogueira
Conteu´do: Diferenciac¸a˜o Impl´ıcita e Taxas Relacionadas
1. Determine a expressa˜o de
dy
dx
em termos de x e de y, onde y = f(x) e´ uma func¸a˜o diferencia´vel dada implicita-
mente por:
(1.1) xy2 + 2y = 3
(1.2) x2 + y2 + 2y = 0
(1.3) 2y + sen(y) = x
(1.4) xtg−1(y) + y2 = 4
(1.5) 5y2 + sen(y) = x2
2. Seja f(x) dada implicitamente pela equac¸a˜o x2−2xy+2y2 = 1. Encontre o coeficiente angular da reta tangente
ao gra´fico de f(x) no ponto (1, 1).
3.
(3.1) Use diferenciac¸a˜o impl´ıcita para achar
dy
dx
para o Fo´lio de Descartes x3 + y3 = 3xy.
(3.2) Ache uma equac¸a˜o para a reta tangente ao Fo´lio de Descartes no ponto
(
3
2
,
3
2
)
.
4. Se a a´rea de um c´ırculo e´ crescente a uma taxa constante de 4cm2/s, a que taxa esta´ crescendo o raio no
instante em que o raio e´ de 5cm?
5. Uma bola de neve esfe´rica e´ formada de tal maneira que seu volume aumenta a` taxa de 8dm3/min. Encontre
a taxa que o raio e´ aumentado quando a bola de neve tem 4dm de diaˆmetro.
6. Uma caˆmera e´ montada em um ponto a 3000km da base de lanc¸amento de um foguete, com objetivo de tirar
uma se´rie de fotografias dele. Um foguete sobe verticalmente com uma velocidade constante de 960km/h.
Quando o foguete estiver a uma distaˆncia de 4000km do solo, qual deve ser a taxa de variac¸a˜o do aˆngulo de
elevac¸a˜o da caˆmera em relac¸a˜o ao tempo para manter o foguete a` vista?
1
2
7. Uma escada com 3m de comprimento esta´ apoiada em uma parede. O pe´ da escada escorrega a uma velocidade
constante de 0.5m/s. Determine a taxa de variac¸a˜o da posic¸a˜o do topo da escada em relac¸a˜o a` parede, quando
o pe´ da escada estiver a 2m da parede.
Gabarito
1
1.1)
dy
dx
=
−y2
2xy + 2
1.2)
dy
dx
=
−x
y + 1
1.3)
dy
dx
=
1
cos(y) + 2
1.4)
dy
dx
=
−(1 + y2)tg−1(y))
x+ 2y + 2y3
1.5)
dy
dx
=
2x
10y + cos(y)
2
dy
dx
= 0
3
3.1)
dy
dx
=
y − x2
y2 − x
3.2)
dy
dx
= −1 e x+ y = 3
4
dr
dt
=
2
5pi
cm/s
5
dr
dt
=
1
2pi
dm/min
6
dθ
dt
≈ 0.11rad/s
7
dy
dt
=
−√5
5
m/s