calculo1-2018-1(1)

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Lista I de Cálculo I — 19/03/2018 — DM/UFSCar
QUESTÕES
1. Resolva as inequações:
(a)
2x− 1
x− 3 > 5.
(b) 3x2 + x− 2 > 0.
(c) x3 + 3x2 − 4x− 12 ≥ 0.
(e) |3x− 1| < x− 2.
(f) |x− 1| − |x+ 2| > x.
2. Estude o sinal da expressão:
(a) (2x− 1)(3− 2x).
(b) ax+ b, onde a < 0 e b são dois reais dados.
3. Verifique as identidades:
(a) x3 − a3 = (x− a)(x2 + ax+ a2).
(b) xn − an = (x− a)(xn−1 + axn−2 + a2xn−3 + · · ·+ an−2x+ an−1) onde n 6= 0 é um natural.
4. Simplifique:
(a)
1
x
− 1
5
x− 5 .
(b)
1
x
− 1
p
x− p
(c)
(x+ h)3 − x3
h
5. Suponha que P (x) = a0xn + a1xn−1 + · · · + an−1x + an seja um polinômio de grau n, com coeficientes
inteiros, isto é, a0 6= 0, a1, a2, . . . , an são números inteiros. Seja α um número inteiro. Prove que se α for
raiz de P (x), então α será um divisor do termo independente an.
6. Prove: |x+ y| = |x|+ |y| ⇔ xy ≥ 0.
7. Determine r > 0 de modo que ]4− r, 4 + r[⊂]2, 5[.
8. Sejam a < b dois reais e p ∈]a, b[. Determine r > 0 de modo que ]p− r, p+ r[⊂]a, b[.
9. Prove: se para todo r > 0, r real, |a− b| < r, então a = b.
10. Dê o domínio e esboce o gráfico:
(a) h(x) =
x2 − 1
x− 1
(b) f(x) =
|2x+ 1|
2x+ 1
11. Esboce o gráfico:
(a) y =
{
x2 se x ≤ 1
2− (x− 2)2 se x > 1.
(b) y =
√
x+ 2
(c) f(x) = x senx
(d) y = x2 sen 1
x
12. Uma arame de 10 cm de comprimento deve ser cortado em dois pedaços, um dos quais será torcido de modo
a formar um quadrado e o outro, a formar uma circunferência. De que modo deverá ser cortado para que a
soma das áreas das regiões limitadas pelas figuras seja mímina?
13. Verifique que Im(f) ⊂ Dg e determine a composta h(x) = g(f(x)).
(a) g(x) =
x+ 1
x− 2 e f(x) = x
2 + 3.
(b) g(x) =
√
x e f(x) = x2 − x, x ≤ 0 ou x ≥ 1.
Lista II de Cálculo I
QUESTÕES
1. Utilizando a idéia intuitiva de limite, calcule:
(a) lim
x→1+
(x+ 4).
(b) lim
x→0−
senx.
(c) lim
x→0
√
x+ |x|.
(d) lim
x→2+
f(x) onde f(x) =
{
x2 se x > 1
1 se x ≤ 1. .
(e) lim
x→3+
x2−9
x−3
(f) lim
x→0−
x3−x
x
2. Determine, caso exista. Se não existir, justifique.
(a) lim
x→2
|x−2|
x−2 .
(b) lim
x→pi−
f(x) onde f(x) =
{
senx se x > pi
cosx se x ≤ pi. .
(c) lim
x→pi+
f(x) onde f(x) é a função do item (c).
3. Dada a função f(x) = x
2+2x−3
x+3
definida em R \ {−3}. Qual deveria ser o valor de f(−3) para que f seja
contínua a esquerda no ponto x = −3? Se a continuidade fosse a direita esse valor mudaria?
4. Dê exemplo de uma função f : R→ R tal que
lim
x→1+
f(x) = lim
x→1−
f(x)
mas f não é contínua x = 1.
5. Prove que existe δ > 0 tal que
1− δ < x < 1 + δ ⇒ 2− 1
3
< x2 + x < 2 +
1
3
.
6. Prove pela definição que a função f(x) = 4x− 3 é contínua em p = 2.
Lista III de Cálculo I — 26/03/2018 — DM/UFSCar
QUESTÕES
1. Calcule e justifique:
(a) lim
x→ 1
2
4x2 − 1
2x− 1 .
(b) lim
x→3
3
√
x− 3√3
x− 3 .
(c) lim
x→1
x3 − 1
x4 + 3x− 4 .
(d) lim
x→p
x3 − p3
x− p .
2. Prove, pela definição, que a função f(x) = x3 é contínua em p = 2.
3. Dê o valor (caso exista) que a função dada deveria ter no ponto dado para ser contínua neste ponto. Justi-
fique.
(a) f(x) =
x2 − x
x
em p = 0.
(b) g(x) =
{
x se x < 1
1
x
se x > 1.
em p = 1.
4. Sabe-se que f é contínua em 2 e que f(2) = 8. Mostre que existe um δ > 0 tal que para todo x ∈ Df
2− δ < x < 2 + δ ⇒ f(x) > 7.
5. Seja f uma função definida em R e suponha que existe M > 0 tal que |f(x)− f(p)| ≤M |x− p| para todo
x. Prove que f é contínua em p.
6. Prove que existe δ > 0 tal que
1− δ < x < 1 + δ ⇒ 2− 1
2
<
x5 + 3x
x2 + 1
< 2 +
1
2
Lista IV de Cálculo I
QUESTÕES
1. Calcule lim
x→1
3√3x+5−2
x2−1 .
2. Seja f : R→ R e p ∈ R. Suponha que lim
x→p
f(x)−f(p)
x−p = L. Calcule:
(a) lim
h→0
f(p+h)−f(p)
h
.
(b) lim
h→0
f(p+3h)−f(p)
h
.
3. Seja f : R→ R tal que ∀x, |f(x)− 3| ≤ 2|x− 1|. Calcule lim
x→1
f(x) e justifique.
4. Justifique a existência e calcule o limite lim
x→0
x sen 1
x
.
5. Seja f : R → R.Suponha que existe M > 0 tal que para todo x ∈ R, |f(x) − f(p)| ≤ M |x − p|2. Mostre
que f é contínua em x = p e calcule, caso exista lim
x→p
f(x)−f(p)
x−p .
6. Prove que a equação
x3 − 1
x4 + 1
= 0,
admite ao menos uma raiz real.
7. Seja f : [−1, 1]→ R dada por f(x) = x2+x
1+x2
. Prove que f(1) é o valor máximo de f e que existe x1 ∈ (−1, 0)
tal que f(x1) é o valor mínimo de f .
8. Seja f : [0, 1]→ R contínua, tal que para todo x ∈ [0, 1], 0 ≤ f(x) ≤ 1. Prove que existe c ∈ [0, 1] tal que
f(c) = c.
9. Considere a função f : [0,+∞)→ R dada por
f(x) = 2x3 −
√
x2 + 3x.
(a) Mostre que f é contínua
(b) Mostre que 1 é a única raiz de f em (0,+∞), que f(2) > 0 e que f (1
2
)
< 0.
(c) Conclua que f(x) > 0 em (1,+∞) e que f(x) < 0 em (0, 1).
Lista V de Cálculo I — 02/05/2014 — DM/UFSCar
QUESTÕES
1. Calcule f ′(x), pela definição:
(a) f(x) =
x
x+ 1
.
(b) f(x) =
1
x2
.
2. Seja f(x) =
{
2 se x ≥ 0
x2 se x < 0.
(a) Esboce o gráfico de f
(b) f é derivável em p = 0? Em caso afirmativo, calcule f ′(0).
3. Seja r a reta tangente ao gráfico de f(x) =
1
x
no ponto de abscissa p. Verifique que r intercepta o eixo x no
ponto de abscissa 2p.
4. Seja g(x) = loga x, onde a > 0 e a 6= 1 é constante. Mostre que g′(x) =
1
x lnx
.
5. Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f(x) = tg(x) no ponto de abscissa 0.
6. Seja f(x) = sen x+ cosx, 0 ≤ x ≤ 2pi.
(a) Estude o sinal de f ′(x).
(b) Faça um esboço do gráfico de f .
7. Calcule f ′(x).
(a)
ex
x2 + 1
(b) ex senx cosx
8. Determine a derivada de ordem n de lnx.
9. Seja y = tet. Verifique que
d2y
t2
− 2dy
dt
+ 2y = 0.
Lista VI de Cálculo I
QUESTÕES
1. Determine a derivada:
(a) g(t) = (t2 + 3)4.
(b) f(x) = sec 3x.
(c) y(x) =
√
x+ 3x.
(d) f(t) = te
2t
ln(3t+1)
.
(e) y(x) = (x2 + 1)pi.
(f) y(x) = e
−x arc tg ex
tg x
.
(g) y(x) = arc senx.
(h) y(x) =
√
1 +
√
x.
(i) y(x) = ln(3x+
√
1 + 9x2).
(j) y(x) = 1
2
cotg2 5x+ ln sen 5x.
(k) g(x) = e
sec
√
x
x
.
2. Calcule a segunda derivada.
(a) g(t) =
√
t2 + 3.
(b) y(x) = x 3
√
x+ 2.
3. A reta tangente à curva xy − x2 = 1 no ponto (x0, y0), x0 > 0, intercepta o eixo no ponto B. Mostre que a
área do triângulo de vértices (0, 0), (x0, y0) e B não depende de (x0, y0).
4. Um ponto move-se ao longo de uma elipse x(t)2+4y(t)2 = 1. A abscissa x está variando a uma velocidade
x′(t) = sen 4t. Mostre que
y′′(t) = −sen
2 4t+ 16x(t)y(t)2 cos 4t
16y(t)3
.
5. Calcule φ′(φ(x)) e (φ(φ(t)))′sendo φ dada por:
(a) φ(t) = ln(x2 + 1).
(b) φ(t) = ex2 .
6. Sabe-se que r é uma reta tangente aos gráficos de f(x) = −x2 e g(x) = 1
2
+ x2. Determine r.
7. Sejam f e g definidas em R, com g contínua em 0, e tais que, para todo x, f(x) = xg(x). Mostre que f é
derivável em 0.
Lista VII de Cálculo I — 16/05/2018 — DM/UFSCar
QUESTÕES
1. Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento e esboce o gráfico (calcule para isso todos os
limites necessários):
(a) g(x) =
x2 − x+ 1
2(x− 1) .
(b) g(x) = x− ex.
(c) g(x) = xx, x > 0.
2. Estude a função dada com relação à concavidade e pontos de inflexão.
(a) f(x) = x4 − 2x3 + 2x
(b) f(x) = x lnx.
3. Suponha f derivável no intervalo I . Prove: f crescente em I ⇔ f ′(x) ≥ 0 em I .
4. Seja f(x) = ax3 + bx2 + cx+ d, a 6= 0. Prove que f admite um único ponto de inflexão
5. Calcule:
(a) lim
x→+∞
x3e−4x
(b) lim
x→0+
xtg x
2
Lista VIII de Cálculo I
QUESTÕES
1. Esboce o gráfico:
(a) f(x) = e−x2 .
(b) f(x) = 3
√
x3 − x.
(c) f(x) = x
3
x2−1 .
(d) f(x) = 4x+3x
2
1+x2
.
2. Estude a função dada com relação a máximos e mínimos locais e globais.(a) f(x) = senx+ cosx, para x ∈ [0, pi].
(b) f(x) = e
x−1
x2 .
3. Determine os pontos críticos da função f(x) = x2e−5x e classifique-os (a classificação refere-se a ponto de
máximo local(global), ponto de mínimo local(global) ou ponto de inflexão).
4. Determine os valores máximos e mínimos (caso existam) da função
f(x) =
1
x3 − 2x2
em (0, 2).
Lista X de Cálculo I
QUESTÕES
1. Calcule:
(a)
∫
(ax+ b)dx, onde a e b são constantes.
(b)
∫
sen(αx)dx, onde α 6= 0 é um número real fixo.
(c)
∫
x2+1
x
dx.
(d)
∫
e−3xdx.
(e)
∫ (
2 + sen x
3
)
dx.
(f)
∫
1√
1−x2dx, onde −1 < x < 1.
(g)
∫
ex+e−x
2
dx.
2. Uma partícula desloca-se sobre o eixo x com velocidade v(t) = 2t − 3, t ≥ 0. Sabe-se que no instante
t = 0 a partícula encontra-se na posição t = 5. Determine o instante e que a partícula estará mais próxima
da origem.
3. Seja f(x) uma função derivável até a segunda ordem tal que f ′′(x) + f(x) = 0.
(a) Se g(x) = f ′(x) senx+ f(x) cosx, mostre que g é constante.
(b) Mostre que existe uma constante A ∈ R tal que[
f(x)− A cosx
senx
]′
= 0
para todo x ∈ (0, pi). Conclua que existe B ∈ R tal que f(x) = A cosx+B senx para todo x ∈ (0, pi).
Lista XI de Cálculo I — 18/06/2018 — DM/UFSCar
QUESTÕES
1. Calcule:
(a)
∫ 3
1
(
1 +
1
x
)
dx.
(b)
∫ 0
−pi
sen(3x)dx.
(c)
∫ 1
0
1
1 + x
dx.
(d)
∫ pi
2
0
cos2 xdx.
(e)
∫ 1
0
3xdx.
(f)
∫ 2
0
e2xdx.
(g)
∫ 0
−1
x
√
x+ 1dx.
(h)
∫ 1
0
x
(x+ 1)5
dx.
(i)
∫ 1
0
x
√
1− x2dx.
(j)
∫ pi
3
0
senx cos2 xdx.
(k)
∫ pi
2
pi
3
sen3 xdx.
2. Desenhe o conjunto A dado e calcule a área:
(a) A é o conjunto do plano limitado pelo eixo 0x e o gráfico de y = x2 + 2x+ 5.
(b)A é o conjunto de todos (x, y) tais que x > 0 e
2
x2
≤ y ≤ 5− 4x2.
3. Suponha f contínua em [−1, 1]. Calcule
∫ 1
0
f(2x− 1)dx sabendo que
∫ 1
−1
f(u)du = 5.
4. Um aluno (precipitado), ao calcular a integral
∫ 1
−1
√
1 + x2dx, raciocinou da seguinte forma: fazendo a
mudança de variável u = 1 + x2 os novos extremos de integração seriam iguais a 2 (x = −1 → u = 2;
x = 1 → u = 2) e assim a integral obtida após a mudan?a de variável seria igual a zero e, portanto,∫ 1
−1
√
1 + x2dx = 0!! Onde está o erro?
Lista XII de Cálculo I
QUESTÕES
1. Calcule e verifique sua resposta por derivação:
(a)
∫
e
√
2xdx
(b)
∫
x5+x+1
x2
dx.
(c)
∫
cos 3x+ 1
2
sen 4xdx.
(d)
∫
1
3
e3x + sen 3xdx.
(e)
∫
(1− cos 2x)2dx.
(f)
∫
cos2 2xdx.
(g)
∫
tg xdx.
(h)
∫
5√
1−x2dx.
(i)
∫
senx sen 3xdx.
(j)
∫
2
x+3
dx.
(k)
∫
xe−x
2
dx.
2. Calcule:
(a)
∫
x−3
x2+3x+2
dx.
(b)
∫
x+1
x2−x−2dx.
3. Seja a 6= 0. Verifique que ∫
1
a2 + x2
dx =
1
a
arc tg
x
a
+ k.
4. Sejam m e n dois naturais diferentes de zero. Verifique que∫ 1
0
xn(1− x)mdx = n!m!
(m+ n+ 1)!
.
5. Calcule
∫
1
x2
√
1+x2
dx.
6. Calcule a área do conjunto de todos os (x, y) tais que x
2
a2
+ y
2
b2
≤ 1, onde a > 0 e b > 0.
7. Calcule ∫
4x2 + 17x+ 13
(x− 1)(x2 + 6x+ 10)dx.
8. Calcule ∫
cosx
4− sen2 xdx.
Lista XIII de Cálculo I — 02/07/2018 — DM/UFSCar
QUESTÕES
1. Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo x do conjunto de todos os pares (x, y) tais
que:
1
x
≤ y ≤ 1 e 1 ≤ x ≤ 2.
2. Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo y do conjunto de todos os pares (x, y) tais
que: y2 ≤ x ≤ √y.
3. Calcule o volume do sólido cuja base é a região 4x2 + y2 ≤ 1 e cujas secções perperndiculares ao eixo x
são semicírculos.
4. Calcule a área da superfície gerada pela rotação, em torno do eixo x, do gráfico da função y = x2,
0 ≤ x ≤ 1
2
.
5. Calcule o comprimento do gráfico da função y = ex, 0 ≤ x ≤ 1.
6. Calcule a área do conjunto de todos os pontos (θ, ρ) tais que θ2 ≤ ρ ≤ θ (coordenadas polares).
7. Esboce o gráfico da função F dada por F (x) =
∫ x
0
f(t) dt onde f(t) =
{
t se − 2 ≤ t ≤ 0
e−t se t > 0.
8. Calcule:
(a)
∫ +∞
0
e−xdx.
(b)
∫ +∞
0
xe−x
2
dx.
(c)
∫ +∞
1
1
3
√
x4
dx.
(d)
∫ +∞
1
1
xα
dx onde α é um real dado.
(e)
∫ +∞
−∞
e|x|dx.