Lista limites 1

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Cálculo Diferencial
Bacharelado em Ciência e Tecnologia
Exercícios - Função, Limite e Continuidade
1 Sequências
Exercício 1.1 (Critério da Comparação). Sejam (an)n∈N e (bn)n∈N sequências reais e suponha que, para
algum n1 > 0 natural:
n > n1 =⇒ bn ≤ an
Mostre que se lim
n→+∞
bn = +∞ então lim
n→+∞
an = +∞.
Exercício 1.2. Dado um número real a, mostre que:
a) lim
n→+∞
an = 0, se 0 ≤ a < 1. b) lim
n→+∞
an = +∞, se a > 1.
Exercício 1.3. Calcule os seguintes limites, caso exista:
a) lim
n
n∑
k=0
(
1
2
)k
b) lim
n→+∞
2n + 1
3n + 2
c) lim
n
2n+ 3
n+ 1
d) lim
n→+∞
n∑
k=0
(
1
1, 5
)n
e) lim
n→+∞
[
(−1)n
2
+ 2
]
f) lim
n→+∞
1 + 5n
2 + 3n
g) lim
n→+∞
n2 + 2
2n3 + n− 1
h) lim
n
[
2
n
+
(
3
5
)n]
i) lim
n→+∞
n∑
k=1
1
k
Exercício 1.4. Supondo 0 < a < 1, mostre que lim
n→+∞
n∑
k=1
ak =
a
1− a .
1
Exercício 1.5. Considere a função dada por f(x) = x, para x ∈ R, e defina
Sn = f
(
1
n
)
1
n
+ f
(
2
n
)
2
n
+ · · ·+ f
(
n− 1
n
)
n− 1
n
+ f
(n
n
) n
n
a) Calcule S3 e interprete o resultado geometricamente.
b) Calcule lim
n→+∞
Sn e compare com o resultado esperado geometricamente.
Sugestão: Consulte o livro de Guidorizzi, pg. 116.
Exercício 1.6. Mostre que
n∑
k=1
k2 =
n(n+ 1)(2n+ 1)
6
e calcule lim
n→+∞
1
n3
n∑
k=1
k2.
Exercício 1.7. Uma partícula desloca-se sobre o eixo Ox com aceleração constante a > 0. Suponha que
no instante t = 0 a velocidade seja zero. A velocidade no instante t é, então, v(t) = at. Divida o intervalo
[0, T ] em n intervalos de amplitudes iguais a T
n
. No instante T
n
a velocidade será aT
n
, no instante 2T
n
será 2aT
n
, e assim por diante. Supondo n suficientemente grande, o espaço percorrido entre os instantes
T
n
e 2T
n
será aproximandamente aT
n
· T
n
(por quê?); entre os instantes 2T
n
e 3T
n
o espaço percorrido
será aproximandamente 2aT
n
· T
n
, e assim por diante.
a) Calcule lim
n→+∞
[
aT
n
· T
n
+
2aT
n
· T
n
+ · · ·+ (n− 1)aT
n
· T
n
]
b) Interprete cinematicamente e geometricamente o limite acima.
Exercício 1.8. Considere a sequência de termo geral an = 1 +
1
22
+
1
32
+ · · ·+ 1
n2
.
a) Prove que (an)n∈N é crescente.
b) Mostre que, para todo n ≥ 1, 1 + 1
22
+
1
32
+ · · ·+ 1
n2
< 2.
c) Prove que lim
n→+∞
(
1 +
1
22
+
1
32
+ · · ·+ 1
n2
)
existe e que é menor que 2.
Exercício 1.9. Dada uma função f : Df ⊆ R −→ R, suponha que lim
x→p
f(x) = L. Seja (an)n∈N uma
sequência em Df tal que lim
n→+∞
an = p e an 6= p para todo n. Mostre que
lim
n→+∞
f(an) = L
Exercício 1.10. Considere a função f definida por f(x) =
{
cos( 1
x
) sin( 1
x
), se x 6= 0
0, se x = 0 . Verifique se
f é contínua em p = 0. Justifique.
2
Solução. Considere a sequência (an) cujo termo geral é dado por
2
an
= 2pin+
pi
2
, n ∈ N.
Então, para cada n ∈ N, an = 4
(4n+ 1)pi
e portanto,
lim
n→+∞
an = 0.
E ainda,
lim
n→+∞
f(an) = lim
n→+∞
sin(2/an)
2
= lim
n→+∞
1
2
=
1
2
.
Como lim
n→+∞
f(an) 6= f(0), segue-se que f não é contínua em p = 0.
Exercício 1.11. Seja f : Df ⊆ R −→ R uma função e suponha que existem duas sequências (an) e (bn)
em Df , com lim
n→+∞
an = lim
n→+∞
bn = p, an 6= p e bn 6= p para todo n, tais que
lim
n→+∞
f(an) 6= lim
n→+∞
f(bn)
Mostre que f não é contínua em p ∈ Df .
Exercício 1.12. Prove que lim
x→0
sin
(
1
x
)
e lim
x→+∞
cosx não existem.
Exercício 1.13. Seja f(x) =
{
x, se x ∈ Q
−x, se x /∈ Q . Calcule limx→0 f(x) e mostre que limx→p f(x) não existe,
qualquer que seja p ∈ R.
Exercício 1.14. Considere a sequência de termo geral an positivo. Sabendo-se que lim
n→+∞
an = a (real) e
que an+1 =
1
1 + an
para todo n, calcule a.
Exercício 1.15. Mostre que a sequência a1 =
√
2, a2 =
√
2
√
2, a3 =
√
2
√
2
√
2, . . . é convergente e
calcule seu limite.
Exercício 1.16. Mostre que a sequência a1 =
√
2, a2 =
√
2 +
√
2, a3 =
√
2 +
√
2 +
√
2, . . . é conver-
gente e calcule seu limite.
Exercício 1.17 (Constante de Neper). Para n ≥ 1 inteiro, defina
an =
(
1 +
1
n
)n
a) Prove que an ≤
n∑
k=0
1
k!
para todo n ≥ 1.
b) Verifique que 2n ≤ (n+ 1)! para todo n ≥ 0
c) Mostre que an < 3 para todo n ≥ 1.
3
d) Prove que (an)n∈N é crescente.
e) Conclua que (an)n∈N é convergente. O limite desta sequência, denotado por e ≈ 2, 7182818 . . ., é
chamado constante de Neper.
f) Calcule lim
n→+∞
(
2 + 3n
5n
)n/2
.
g) Calcule lim
n→+∞
(
2n+ 3
2n+ 1
)n+1
2 Função Exponencial
Exercício 2.1. Mostre que lim
x→+∞
(
1 +
1
x
)x
= e. Conclua que lim
x→+∞
(
1 +
a
x
)x
= ea para a ∈ R.
Exercício 2.2. Verifique que lim
n→−∞
(
1 +
1
x
)x
= e.
Exercício 2.3. Verifique que:
a) lim
h→0+
(1 + h)
1
h = e.
b) lim
h→0−
(1 + h)
1
h = e
Exercício 2.4. Mostre que
lim
h→0
eh − 1
h
= 1.
Exercício 2.5. Encontre os limites indicados, se existirem:
a) lim
x→+∞
(
1 +
1
x
)2x
R: e2
b) lim
x→−∞
(
1 +
1
x
)x/3
R: 3
√
e
c) lim
x→+∞
(
1 +
1
x
)x−3
R: e
d) lim
x→+∞
(
1 +
1
x2
)x
R: 0
e) lim
x→0
(1 + 4x)1/x R: 2/3
f) lim
x→0−
21/x R: 0
g) lim
x→+∞
1− 2x
1− 3x R: 0
h) lim
x→0−
4
1 + 21/x
R: 4
i) lim
x→+∞
(
3 +
4
5x
)2x
R: +∞
j) lim
x→+∞
(
5x+ 3
5x+ 2
)2x
R: e 25
k) lim
x→+∞
(
2x+ 1
2x
)x
3
R: 6
√
e
Exercício 2.6. Mostre que se a > 1 e β ∈ R, então lim
x→+∞
ax
x
= +∞
4
Exercício 2.7. Mostre que lim
n→+∞
n
√
n = 1 e calcule lim
n→+∞
3
3√n. Mostre ainda que lim
n→+∞
n
√
a = 1 para
todo a > 0.
Solução. Mostraremos lim
n→+∞
n
√
n = 1. Primeiro observe que, para n > 1 temos n
√
n > 1 e portanto, o
número cn := n
√
n− 1 é positivo para cada n > 1. Por outro lado, pelo Binômio de Newton
n = ( n
√
n)n = (1 + cn)
n =
n∑
k=0
(
n
k
)
ckn >
(
n
2
)
c2n =
n(n− 1)
2
c2n,
isto é, c2n <
2
n− 1 sempre que n > 2. Como cn > 0 para n > 2, devemos ter
0 < cn <
√
2
n− 1 ,
e portanto, lim
n→+∞
cn = 0. Logo,
lim
n→+∞
n
√
n = lim
n→+∞
(1 + cn) = 1
3 Função Logarítmica
Exercício 3.1 (O logaritmo). Seja a um número real positivo e diferente de 1. Dado um número real
β > 0, mostre que existe um único γ ∈ R tal que
aγ = β
O número γ é chamado logaritmo de β na base a e indica-se γ = loga β. Em particular,
γ = loga β ⇐⇒ aγ = β
Sugestão: Consulte o livro de Guidorizzi, pg. 128
Exercício 3.2. Dados a > 0 e β ≥ 1 números reais, mostre que lim
n→+∞
loga n
nβ
= 0.
Exercício 3.3. Calcule.
a) lim
x→+∞
log3 x.
b) lim
x→0+
lnx.
c) lim
x→0+
log 1
3
x.
d) lim
x→+∞
ln
x
x+ 1
.
e) lim
x→+∞
[ln(2x+ 1)− ln(x+ 3)]
f) lim
x→+∞
[x ln 2− ln(3x + 1)]
g) lim
x→1
ln
(
x2 − 1
x− 1
)
5
h) lim
x→0
ln
(
sinx
x
)
i) lim
x→0
xsinx R: 1
j) lim
x→pi/4
(sin 2x)tan
2 2x.
k) lim
x→pi/2
(tanx)tan 2x.
Exercício 3.4. Seja a um número real positivo e diferente de 1. Mostre que lim
h→0
ah − 1
h
= ln a.
Exercício 3.5. Calcule
a) lim
x→0
e2x − 1
x
b) lim
x→0
ex
2 − 1
x
c) lim
x→0
5x − 1
x
d) lim
x→0
3x − 1
x
Exercício 3.6. Calcule os limites abaixo, caso existam:
a) lim
x→+∞
(x− 1
x+ 1
)x
;
b) lim
x→0
(2 + x
3− x
)x
;
c) lim
x→+∞
( x
x+ 1
)x
;
d) lim
x→1
( x− 1
x2 − 1
)x+1
;
e) lim
x→+∞( 1
x2
) 2x
x+1
.
f) lim
x→0
(1 + sin x)
1
x .
g) lim
x→0
(cosx)
1
x ;
h) lim
x→0
(cosx)
1
x2 ;
i) lim
x→0
eαx − eβx
x
;
j) lim
x→0
eαx − eβx
sin(αx)− sin(βx) .
k) lim
x→0
[ln tanx− ln 2x].
l) lim
x→+∞
(
1 +
1
x2
)x
R: 0
m) lim
x→+∞
(1 + sin pix)cotanpix
n) lim
x→+∞
(
2x2 + 3
2x2 + 5
)8x2+3
o) lim
x→a
(
sinx
sin a
)1/(x−a)
, a 6= kpi.
p) lim
x→+∞
(
1 + 3x
2 + 3x
)(1−√x)/(1−x)
.
q) lim
x→+∞
(
x2 + 2x− 1
2x2 − 3x− 2
)(2x−1)/(x−1)
.
r) lim
x→0
(
1
x
ln
√
1 + x
1− x
)
.
Comentário: Consultando o livro de Guidorizzi, vol.1, vc pode obter respostas e até resoluções dos exer-
cícios desta lista. A maioria dos exercícios aqui apresentados são retirados deste livro, portanto é funda-
mental para sua aprendizagem que você o consulte.
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