Apostila Matemática Financeira 082011

Prévia do material em texto

�PAGE �
�PAGE �32�
FUNDAÇÃO DE ENSINO SUPERIOR DA REGIÃO CENTRO SUL 
 FUNDASUL
FACULDADE CAMAQUENSE DE CIÊNCIAS CONTABEIS E ADMINISTRATIVAS - 
FACCCA
DISCIPLINA
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Versão – 082011
 
http://www.fundasul.br/serviços/professores/juliocesarvieiradasilva
Sumário
Capítulo 1 – Fundamentos
– A História da Moeda
 - Sistema Financeiro
 - Matemática financeira
 - Elementos Básicos
 - Fluxo de Caixa em forma de Tabela e na forma Gráfica
 - Forma Percentual, Unitária e Fator de Capitalização
Capitulo 2 – Juros Simples
2.1 – Fórmulas dos Juros e do Montante
2.2 - Taxas Proporcionais
- Taxas Equivalentes
– Operações de Desconto 
2.4.1 – Desconto Comercial ou “Desconto por Fora”
– Desconto Racional ou “Desconto por Dentro”
– Taxa Efetiva e Taxa Nominal
– Equivalência de Capitais
Capítulo 3 – Juros Compostos
3.1 – Conceito
3.2 – Fórmula
3.3 - Equivalências de Taxas de Juros Compostos
3.4 – Convenções Lineares e Convenção Exponencial
3.5 - Descontos Composto
Capítulo 4 - Taxa Real de Juros
4.1 – Índices de Preços e Inflação
4.2 – Valores Monetários com Inflação
4.3 – Comportamentos Exponenciais da Taxa de Inflação
4.4 - Taxa Nominal e Taxa Real
5 – Séries de Pagamentos Uniformes ou Seqüência Uniforme
5.1 – Anuidades Antecipadas
5.2 – Anuidades Postecipadas
5.3 – Anuidades Diferidas
5.4 – Seqüências Uniformes com Parcelas Adicionais
5.5 – Montante de uma Seqüência Uniforme
5.6 - Seqüências Uniformes Infinitas (Rendas Perpétuas)
6 – Análises de Investimentos
6.1 – Séries Não Uniformes
6.1.1 - VPL - Valor presente líquido (ou NPV, do inglês, “Net present Value”)
6.1.2 - TIR - Taxa Interna de Retorno (ou IRR, do inglês, Internal Rate of Return)
6.2 – Fluxos de Caixa Não Homogêneos
Capítulo 1 – Fundamentos
1.1 - A História da Moeda
A origem da moeda está na essência dos regimes econômicos baseados na divisão do trabalho que conduz as pessoas a terem necessidade de realizar trocas.
Inicialmente as trocas eram realizadas por meio de mercadorias, ou seja, em espécie, também conhecida por escambo. Os produtores trocavam entre si seus excedentes de mercadorias. À medida que os mercados se tornaram mais complexos surgiram dificuldades quanto à identificação adequada entre as quantidades trocadas e a natureza das trocas, ou seja, tornara-se mais difícil o cálculo do valor dos bens a serem trocados.
Historicamente, a primeira tentativa para resolver este problema ocorreu com o surgimento do uso de determinadas mercadorias, de alta procura, como denominador comum, ou referência de valor.
Na Grécia antiga foi usado o boi, de onde surgiram os termos: pecúlio, pecúnia e pecuniário (pekus quer dizer boi).
O sal (que derivou a palavra salário) também foi largamente utilizado na Etiópia e, inclusive, pelos romanos.
Posteriormente, a prata e o ouro também foram utilizados como reserva de valor.
Assim, (Gudin 1976) definiu: “a função da moeda é a de facilitar os negócios do mercado, agindo como intermediário comum de troca”.
O papel-moeda, forma atual de unidade monetária, não representava em si nenhuma utilidade. Seu valor, inicialmente, encontrava-se estabelecido na equivalência de um lastro em ouro, que já foi abandonado.
Atualmente, o valor das moedas nacionais encontra-se, em grande parte, dependente do poder econômico que cada uma delas possui (produção de riquezas). São bastante vulneráveis, internamente, e em relação às moedas dos demais países, assim como à credibilidade que seus agentes econômicos lhe conferem.
A seguir temos as principais características da moeda:
Como meio de pagamento: criada originariamente como meio de pagamento, a moeda teve e tem o objetivo de facilitar as trocas em dinheiro.
Como unidade de conta: tem a função de um denominador comum muito usada na contabilidade.
Como reserva de valor: quando há o resguardo do excedente vendido sob forma de moeda.
Em ambientes inflacionários esta característica é evitada, utilizando-se outras formas de reserva de valor, tais como imóveis, ativos financeiros (títulos de créditos), etc.
1.2 - Sistemas Financeiros
Embora se tenha notícia da existência de bancos ainda no séc. 13, o primeiro considerado moderno e semelhante ao formato dos bancos atuais foram o Banco de Amsterdam, fundado no ano de 1608. Também foi nesse período que surgiram as sociedades por ações e as bolsas de valores, que constituíram juntamente com os bancos os três pilares do assim denominado sistema financeiro da época.
Com o surgimento da moeda do Sistema Financeiro e suas respectivas evoluções, cada vez mais, sentiu-se a necessidade de dimensionar o valor do dinheiro (ou do crédito) ao longo do tempo.
1.3 - Matemática Financeira
A Matemática Financeira trata, em essência, do estudo do valor do dinheiro no tempo, nas aplicações de dinheiro e nos pagamentos de empréstimos. 
Matemática Financeira fornece instrumentos para o estudo e a avaliação das formas de aplicação do dinheiro, bem como de pagamentos de empréstimos. 
Receber uma quantia hoje ou no futuro não é evidentemente a mesma coisa. Postergar uma entrada de capital por certo tempo envolve sacrifício, o qual deve ser pago mediante uma recompensa, definida pelos juros.
“Nunca some valores em datas diferentes”
O tempo é uma das variáveis chaves para a Matemática Financeira. 
Existem duas formas básicas para considerar a evolução do custo do dinheiro no tempo: 
- o regime de capitalização simples e o 
- regime de capitalização composta.
1.4 – Elementos Básicos:
PV = valor presente 
É o valor inicial de um empréstimo ou financiamento.
OBS.: Na calculadora HP o símbolo PV (present value) localiza-se na linha 1, coluna 3 em cor branca.
Outros símbolos - sinônimos
P = principal
C = capital inicial
VA = valor atual
VD = valor descontado.
J = Juros
É o preço pago pelo aluguel, ou empréstimo, do dinheiro. “O valor que remunera o arrendamento de um capital”. 
Na verdade quando falamos em juros, estamos falando de como corrigir o dinheiro ao longo do tempo.
I = Taxa de Juros
É a remuneração percentual de capital num intervalo de tempo.
Assim, por exemplo, quando falamos em 12% ao ano, isso significa que se empregarmos certo capital sob esta taxa, obterá 12% do capital no final deste ano.
OBS.: Na calculadora HP o símbolo i (taxa de juros) localiza-se na linha 1, coluna 2 em cor branca.
FV = Valor Futuro
É o valor total a ser pago ou recebido com a finalidade de quitar ou encerrar um empréstimo. 
Logo, é a soma do Principal mais o Juro.
OBS.: Na calculadora HP o símbolo FV (future value) localiza-se na linha 1, coluna 5 em cor branca.
Outros símbolos - sinônimos
M = montante 
S = capital final
PMT= Prestação
É a parcela referente ao pagamento ou recebimento de um empréstimo.
Sinônimos: série de pagamentos, anuidades, mensalidades, rendas certas.
OBS.: Na calculadora HP o símbolo PMT (payment) localiza-se na linha 1, coluna 4 em cor branca.
Outros símbolos - sinônimos
R = prestação
n = número de períodos 
É o número de períodos de uma capitalização de juros, expressos em anos, semestre, trimestres, meses ou dias, podendo tomar os valores 0, 1, 2, 3 ...
OBS.: Na calculadora HP o símbolo n (nº de parcelas) localiza-se na linha 1, coluna 1 em cor branca.
1.5 – Fluxos de Caixa (Convenções adotadas)
Fluxo de caixa de um indivíduo, de um projeto, ou de um investimento é o conjunto de entradas e saídas de capital ao longo do tempo.
Convencionaremos que as entradas de caixa ou créditos são valores positivos de capital e que as saídas de caixa são valores negativos de capital.
Em forma de tabela
Na forma gráfica1.6 - Formas percentuais da taxa de juros, Forma Unitária e Fator de Capitalização
Forma Percentual - é o juro recebido ou pago por centena de unidade de capital num determinado intervalo de tempo. 
Exemplo: 10%; ou seja, em cada 100 de capital pagarei 10 de juros. 
Forma unitária da taxa de juros - É o juro recebido ou pago por unidade de capital num determinado intervalo de tempo. 
Exemplo: 0,1; ou seja, em cada 1 (unidade) de capital pagarei 0,1 de juros. 
Forma percentual divida por 100 é igual a Forma Unitária. Ex.:: 10%= 10/100 = 0,10.
Forma Unitária multiplicada por 100 é igual a Forma Percentual. Ex.: 0,10 = 0,10 x 100 = 10%
Fator de Capitalização (1 + i) = 1 + Forma Unitária ( i ).
É o fator que corrige o dinheiro em função dos juros de um período. 
Exemplo: i = 10%, ou seja 10/100 = 0,10 então i = 0,10 logo o Fator de Capitalização é 1 + 0,10 = 1,10.
Ao multiplicar-se um valor monetário por esse número, faz-se sua correção. Ex. 100 x 1,10 = 110.
Para melhor entender, apresentamos a tabela abaixo:
Relação entre taxa percentual e taxa unitária e entre taxa unitária e fator de capitalização:
	Taxa percentual
	Divide-se por 100
	Taxa unitária
	5%
	: 100
	0,05
	Taxa unitária
	Multiplica-se por 100
	Taxa percentual
	0,05
	X 100
	5 %
	Taxa unitária
	Soma-se + 1
	Fator de capitalização
	0,05
	+1
	1,05
	Fator de capitalização
	Subrai-se -1
	Taxa unitária
	1,05
	- 1
	0,05
Exemplo - Um televisor, no valor à vista de R$ 1.000,00, pode ser pago por R$ 1.100,00, ao final do mês. A compra a prazo significa um financiamento onde:
PV = 1.000,00 (Principal)
J = 100,00 (Juros)
FV = 1.100,00 (Montante)
n = 1
i = 10% a. m. 
Assim:
No empréstimo de R$ 1.000,00, foram cobrados R$ 100,00 de juros. A cada unidade financiada foi necessário pagar o juro de 100/1000, que corresponde a 0,1 ou 10% ao mês.
Neste caso:
Na forma unitária = 0,1 por unidade ao mês
Na forma percentual = 10% por cem ou por cento ao mês
Fator de Capitalização = 1,10 onde multiplico direto 1.000 x 1,1 = 1.100 que é o montante
Exercícios I - para entregar:
1) Calcule a forma unitária das seguintes taxas percentuais.
a) 53%=		b) 69,5%=		c) 183%=		d) 9%= 	
2) Calcule o fator de capitalização das seguintes taxas percentuais.
a) 12%=		b) 0,5%=		c) 268%=		d) 1,5%=
3) Calcule as taxas percentuais das seguintes formas unitárias.
a) 0,75=		b) 0,02=		c) 0,55=		d) 1,017=	
4) Calcule os fatores de capitalização das seguintes formas unitárias.
a) 0,85=		b) 1,02=		c) 3,55=		d) 1,017=
5) Calcule as taxas percentuais dos seguintes fatores de capitalização.
a) 0,85=		b) 1,02=		c) 3,55=		d) 1,017=
6) Calcule as taxas unitárias dos seguintes fatores de capitalização.
a) 1,85=		b) 3,02=		c) 0,55=		d) 1,5=
2 - Regimes de Capitalização Simples ou Juros Simples
Neste regime, o juro gerado em cada período é constante e igual ao produto do capital pela taxa.
2.1 – Fórmulas dos Juros e do Montante
J = PV i n ou J = Pin 
VF = VP (1+in) ou M = J + P
i = M - 1
 P
Fluxo financeiro de uma aplicação (capital inicial) de R$ 1.000,00 à taxa de 10% a.m., com base em juros simples.
Portanto, somente o capital aplicado é que rende juros. O montante, após 3 anos foi de R$1.300,00.
Exercícios II – para entregar.
7) Calcular os juros simples referentes a um capital de R$ 3.000,00, aplicado durante 5 anos a uma taxa de juros simples de 13% ao ano.
8) Que montante receberá um aplicador que investiu R$ 600.000,00 após 90 dias a uma taxa de juros simples de 3,5% ao mês?
9) Um investidor que aplicou R$ 1.000,00 no banco ABC, pelo prazo de quatro anos, com uma taxa de juros simples de 8% ao ano. Determine o valor do saldo credor deste investidor no final do quarto ano de operação.
10) Considere a mesma aplicação do exercício anterior só que pelo prazo de dois anos. Ao resgatar esse investimento no final do segundo ano o investidor resolve reaplicá-lo nas mesmas condições por mais dois anos. Determine o montante acumulado no final dessa segunda operação e explique por que há essa diferença.
11) Um empresário tem conta de cheque especial num banco e cobra 5,5% ao mês sobre o saldo devedor, a juros simples, pelos dias que a conta fica descoberta. Determinar o total de juro cobrado no final do mês de abril, assumindo que a conta tem saldo zero no final de março e que em abril não houve depósitos e foram emitidos os seguintes cheques (considere o mês com 30 dias).
DATA VALOR
1° de abril R$ 2.000,00
11 de abril R$ 1.000,00
21 de abril R$ 1.000,00
12) Determinar o nº de meses necessários para dobrar um valor, a uma taxa de juros simples de 2% ao mês.
13) Determine o valor da rentabilidade mensal, a juros simples, que faz um principal de R$ 1.000,00 se transformar num montante de R$ 1.250,00, num prazo de 20 meses.
2.3 - Taxas Proporcionais
Taxas Proporcionais de Juros: essas taxas se dizem proporcionais se houver uma proporção
entre as taxas e seus respectivos períodos.
Ex: 12% a.a. (ao ano) = 6% a.s. (ao semestre) = 1% a.m. (ao mês)
- Taxas Equivalentes
Taxas Equivalentes de Juros: duas taxas se dizem equivalentes se, aplicadas a um mesmo capital e pelo mesmo período de tempo, ambas produzir o mesmo juro.
NOTA: No regime de capitalização simples (juros simples) as taxas equivalentes e proporcionais são idênticas.
– Operações de Desconto
Desconto é a operação de compra de um título antes de sua data de resgate, mediante a transferência (por endosso) de sua propriedade ao comprador. Ou simplesmente pode ser um desconto concedido na compra de um produto.
O preço pago pelo comprador é inferior ao valor de resgate (valor nominal ou de face) do título, e se denomina valor descontado (valor presente ou principal). A diferença entre o valor de face (S ou VN) e o valor descontado (P ou VD) é o desconto (D) ou ágio.
Resumidamente, desconto é a quantia a ser abatida do montante (valor nominal).
		Então: 					outra convenção
		
		D = FV – PV 		ou 		D = VN – VD
		FV = PV + D				VN = valor nominal
		PV = FV – D				VD = valor descontado
2.5.1 – Desconto Comercial ou “Desconto por Fora” - (incide sobre o montante)
É aquele valor que se obtém pelo cálculo de juro simples sobre o valor nominal (montante) do compromisso que seja saldado antes do seu vencimento.
O desconto comercial pode ser comparado com o juro, enquanto este é somado ao capital inicial o desconto é subtraído do montante.
	Desconto: é a quantia a ser abatida do valor nominal.
	Valor descontado: é a diferença entre o valor nominal e o desconto.
2.5.2 – Formulário de Desconto Comercial 
Dc = FV . i. n 							
PV = FV – Dc 								
PV = FV (1 – i . n) 							
Um título cujo valor de face (nominal ou montante) é R$ 1.100,00 irá vencer daqui um mês e sua taxa de desconto comercial é de 10% ao mês. Qual será o valor atual recebido se o possuidor desse título descontá-lo hoje?
FV = 1.100,00 		Dc = FV . i . n
PV = ? 			Dc = 1.100 x 0,1 x 1
Dc = ?	 		Dc = 110,00
i = 10% ou 0,1 a. m
então: PV = FV – D
 PV = 1.100 – 110
 PV = 990,00
Obs.: Como se pode ver, o desconto comercial é calculado sobre o montante (valor nominal), pois o desconto (110,00) foi de 10% do montante (1.100,00).
2.5.2 – Desconto Racional ou “Desconto por Dentro” - (incide sobre o capital)
É o desconto obtido pela diferença entre o valor nominal e o valor atual de um compromisso que seja saldado antes do seu vencimento.
2.5.3 – Formulário Desconto Racional
PV = FV - Dr 								
PV = 	 FV 							
	1 + i . n							
Dr = 	 FV. i . n 							
	1 + i . n								
Para o exemplo anterior:
FV= 1.100,00
Dr = ?
i = 10% ou 0,1 a. m
	
então: PV = 	 ___FV .
		1 + i . n
		
PV = 1.100 . 	PV = 1.000,00
	1 + 0,1 . 1
Desta forma, o desconto racional é:
Dr = FV – PV
Dr = 1.100 – 1000 		Dr = 100,00
**Como se pode ver, o desconto racional é calculado sobre o principal (valor atual), pois o desconto (100,00) foi de 10%, mas não calculado sobre o montante (1.100,00), mas sim sobre o principal (1.000,00).
Exercícios III – para entregar.
14) Um título cujo valor nominal é de R$ 25.000,00 e seu vencimento em 180 dias, sofrerá um desconto racional sob a taxa de 2,5% ao mês. Qual é o valor de mercado deste título no dia de hoje?
15) Determinar o valor da taxa mensal de desconto racional, usada numa operação em que um título de R$ 10.000,00 é antecipado por 60 dias pelo valor de R$ 9.750,00.
16) Faça o mesmo exercício anterior, mas usando o desconto comercial.
17) Determine o desconto simples de um título de R$ 2.480,00, com vencimento para 180 dias, sabendo-se que a taxa de desconto racional é de 3,5% ao trimestre.
12)Uma nota promissória está sendo descontada 7 meses antes do seu vencimento (por desconto comercial) à taxa de 26,4% ao ano. Sabendo-se que o valor atual é de R$ 16.400,00, qual seria o seu valor nominal?
18) Um título, com 119 dias a decorrer até o seu vencimento, está sendo negociado a uma taxa de desconto comercial simples de 15% ao ano. Assumindo o ano comercial com 360 dias, determinar o valor da aplicação que proporciona o resgate de R$ 1.000,00 e o desconto obtido na operação.
19) Uma pessoa pagou uma dívida de R$ 2.600,00 antes do prazo de vencimento e obteve um desconto comercial de 12%. Qual foi o valor do desconto obtido? Qual foi o prazo de antecipação do pagamento desta dívida?
20) Certa pessoa possui dois investimentos financeiros, a primeiro com valor atual de R$ 3.000,00, foi aplicado hoje pelo prazo de 10 meses, a uma taxa de juros de 17% ao ano. A segunda aplicação é um título do governo com valor nominal de R$ 5.000,00, seu vencimento ocorrerá em 22 meses e sua taxa de desconto racional é 1,5% ao mês. Qual é a soma das aplicações, considerando-se como data focal o décimo mês?
21) Existem dois investimentos, um com prazo de vencimento em 10 meses e com valor de face de R$ 5.000,00 e outro com vencimento em 38 meses e valor de face de R$ 15.000,00. 
a) Qual o valor desses dois investimentos considerando-se a taxa de desconto racional de 1,80% ao mês. 
b) Faça o mesmo exercício considerando como data focal o mês 15 e taxa de 24% ao ano nas operações.
- Taxa Efetiva e Taxa Nominal
(Em relação ao desconto comercial e ao desconto racional simples)
Ao analisarmos as operações de desconto, constatamos que as taxas cobradas no desconto comercial eram diferentes daquelas cobradas no desconto racional, ou seja, ao fazermos uma operação de desconto pelo critério comercial e racional, nas mesmas condições, verificamos que a taxa cobrada no
desconto comercial é maior.
Podemos dizer então que a taxa nominal é aquela que se diz estar sendo cobrada na operação ou, em outras palavras, é a taxa que foi negociada e aceita entre as partes.
Taxa efetiva (if): é a que realmente foi cobrada, no seguinte sentido: se o valor descontado comercial for aplicado a essa taxa, pelo período considerado, obter-se-á um montante igual ao valor nominal. Em outras palavras, podemos dizer que a taxa efetiva é aquela que faz com que o desconto racional seja igual ao desconto comercial.
Exemplo: Um título no valor de R$ 1.000,00 foi saldado 6 meses antes de vencer. O pagados obteve uma taxa de desconto comercial (composta) de 2% ao mês. Qual é a taxa efetiva?
if = 	i . 		if = 0,02 .		 if = 0,02 .		 if = 0,020408 ao mês
 1 – i 	 	 1 – 0,02 		 0,98
Exemplo: Um título de R$ 2.000,00 foi descontado a uma taxa de desconto de 15%. Calcule o desconto racional, comercial e a taxa efetiva da operação?
Desconto Comercial 							Desconto Racional
PV = FV (1 – i . n)							PV = 	FV .
									 1 + i . n
PV = 2.000 (1 – 0,15 . 1)
									PV = 	 2.000 .
PV = 1.700,00									1 + 0,15 . 1
									PV = 2.000	 PV = 1.739,13
									 1,15
			
	
if = 	 i .. 		if = 0,15 .		if = 0,15	if = 0,176470588 ao mês
	1 – i 		 1 – 0,15 	 0,85 Essa é a taxa efetiva da operação
Agora substitua essa taxa na fórmula do Desconto Racional
PV =	 FV .
	1 + i . n
PV = 		2.000 .
	1 + 0,176470588 . 1
PV = 	 2.000			PV = 1.700,00
	 1,176470588
– Equivalência de Capitais
Como já foi visto no caso das operações de desconto, é freqüente a necessidade de antecipar ou prorrogar títulos nas operações financeiras. Às vezes queremos substituir um título por outro ou por vários e vice-versa.
	
Tais problemas dizem respeito, de modo geral, à equivalência de valores referentes a datas diferentes. Para a resolução destas questões é que usamos a equivalência de capitais.
Exercícios IV – para entregar.
22 - Um banco descontou um título de um cliente com vencimento em um mês, no valor nominal de R$1.500,00 com taxa de juros de 8% ao mês. Qual foi o valor hoje depositado na conta do cliente. Desconto comercial. 
23 - Qual é taxa efetiva do exercício anterior.				
24 - Um banco descontou um título de um cliente com vencimento em um mês, no valor nominal de R$1.500,00 com taxa de juros de 8% ao mês. Qual foi o valor hoje depositado na conta do cliente. Desconto racional. 
25– Qual é a taxa efetiva do exercício anterior.
Capítulo 3 – Juros Compostos
3.1 – Conceito
Neste regime, os juros gerados nos períodos anteriores passam a render juros, dizendo-se assim que os juros são capitalizados, isto é, passam a comportar-se como o principal da dívida. É o que chamamos, popularmente de “juros sobre juros”.
O regime de juros compostos, que tem grande importância, por retratar melhor a realidade das operações financeiras, é aqueles calculados sobre a soma do capital inicial mais os juros dos períodos anteriores.	
Observe o fluxo financeiro de uma aplicação de R$ 2.000,00 à taxa de 80% a.m., com base em juros compostos.
Vamos conferir o resultado do gráfico com a aplicação de fórmulas.
3.2 – Fórmula: 
VF = VP (1+ i)ﱞⁿ
FV = ?
PV = 2.000,00
i = 80% a.m. (0,80 a.m.)
n = 4 meses
Então: 	FV = PV (1 + i)ⁿ FV = 2.000,00 (1 + 0,8)4
				FV = 2000 . (1,8)4
				FV = 20.995,20
OBS.: 	Como podemos perceber o valor do cálculo pela utilização da fórmula é idêntico ao da tabela na folha anterior.
Refazendo o cálculo na HP:
Exemplo: Quanto se deve depositar hoje para que uma poupança que rende juros de 3,7% ao mês, capitalizado mensalmente, possa atingir um montante de R$ 120.000,00 após um ano?
i = 0,037 ao mês 
n = 1 ano, (12 meses)
FV = 120.000,00
PV = ?
VF = VP (1+ i)ﱞⁿ
120.000,00 = PV (1 + 0,037)12
120.000,00 = PV (1,5464827)
PV = 120.000,00
 (1,5464827)
PV = 77.595,43
3.3 - Equivalências de Taxas de Juros Compostos
Dizemos que duas taxas são equivalentes, quando considerarmos o mesmo prazo de aplicação e o mesmo capital, for indiferente aplicar em uma ou em outra. De outro modo, considerando-se o mesmo capital aplicado por um mesmo intervalo de tempo a cada uma das taxas, ambas produzirão um mesmo montante.
Juros Simples (relembrando)
i ano = 2i sem = 4i trim = 6i bim = 12i mês = 360i ao dia
Juros Compostos
(1 + i ano) = (1 + i sem)2 = (1 + i trim)4 = (1 + i bim)6 = (1 + i mês)12 = (1 + i dia)360
Exemplos:
Qual é a taxa anual de juros compostos equivalentes a;
a) 1% ao mês 		- 
b) 2,5% ao bimestre 	- 
c) 3% ao trimestre 	-Exercícios V – para entregar.
Juros Compostos e equivalência de Taxas de Juros Compostos
26) Calcule as taxas semestrais equivalentes, em juros compostos, capitalizadas das seguintes formas:
a) 3,5% ao mês
b) 4,56% ao trimestre
c) 2,8% ao bimestre
d) 0,12% ao dia
e) 1,8% a cada 10 dias
27) Calcule, pelo método de juros compostos, as taxas bimestrais equivalentes a:
a) 20% ao semestre
b) 30% ao ano
c) 12% ao quadrimestre
28) Calcule, pelo método de juros compostos, as taxas diárias equivalentes a:
a) 5,2% ao mês
b) 30% ao ano
c) 12% ao quadrimestre
29) Calcule, pelo método de juros compostos, as taxas trimestrais equivalentes a:
a) 15% ao semestre
b) 30% ao ano
30) A taxa de certo financiamento está fixada em 1,85% ao mês, qual é o percentual desta taxa acumula no final de três anos?
31) Um banco cobra atualmente 18,6% ao ano de juros. Para uma operação de 136 dias, determinar a taxa equivalente que será cobrada.
32) Num financiamento a taxa de juros cobrada no período de 2 anos foi de 65,6%. Qual foi a taxa mensal equivalente cobrada nesta operação?
33) Uma empresa está cobrando 3% para vendas a prazo em 30 dias. Determinar a taxa trimestral, semestral e anual cobradas pela empresa.
3.4 – Convenções Lineares e Convenção Exponencial
Convenção linear e convenção exponencial para períodos não inteiros
Em algumas operações financeiras, o prazo utilizado não é um número inteiro. 
Por exemplo: taxa de juros de 18% ao ano e prazo de operação de 1 ano e 7 meses. Sendo anual o prazo de capitalização dos juros, o prazo inteiro é 1 ano e o fracionário 7 meses.
Para estes casos, utilizam-se duas convenções para a solução: convenção linear e exponencial.
Convenção linear
A convenção linear admite a formação de juros compostos para a parte intera do prazo e de juros simples para a parte fracionária. Em essência, esta convenção é uma mistura de juros compostos na parte inteira e juros simples na parte fracionária.
VF = PV (1 + i)ⁿ x (1 + i . m/k)
Exemplo:
Seja o capital de R$ 100.000,00 emprestado à taxa de 18% ao ano pelo prazo de 4 anos e 9 meses. Calcula o montante deste empréstimo pela convenção linear.
Solução: 	PV 			= R$ 100.000,00
		n (inteiro) 		= 4 anos
		m/k (fracionário) 	= 9/12
		i 			= 18% a.a
		FV 		= ?
		
		FV = PV (1 + i)ⁿ x (1 + i x m/k)
		FV = 100.000,00 (1 + 0,18)4 x (1 + 0,18 x 9/12)
		FV = 100.000,00 x 1,938778 x 1,135
		FV = 220.051,30
‘Deve ser registrado que o uso deste critério de formação dos juros na prática é bastante reduzido. A ampla maioria das operações financeiras adota a convenção exponencial para todo o intervalo de tempo, mas freqüentemente são encontradas as duas convenções em provas de concursos.
Convenção exponencial
A convenção exponencial adota o mesmo regime de capitalização para todo o período. Ou seja, utiliza capitalização composta tanto para a parte inteira como para a fracionária.
A expressão básica de cálculo é a seguinte:
Utilizando-se os dados do exemplo anterior, calcula-se o seguinte:
	
FV = PV (1 + i)ⁿ+m/k
FV = 100.000,00 (1 + 0,18)4+9/12
FV = 100.000,00 (1 + 0,18)4 + 0,75
FV = 100.000,00 (1 + 0,18)4,75
FV = 219.502,50
Exemplo.
34) Uma pessoa aplicou um capital pelo prazo de 2 anos e 5 meses à taxa de 18% ao ano. Determinar o valor da aplicação sabendo-se que o montante produzido ao final do período atinge R$ 24.800,00. Resolver o problema utilizando a convenção linear e exponencial.
FV 			= 24.800,00
n (inteiro) 		= 2 anos
m/k (fracionário) 	= 5/12
i 			= 18% a.a
PV 		= ?
Resposta: 
linear – 16.568,34 
exponencial – 16.624,04
3.5 - Descontos Composto
O conceito de desconto em juro composto é idêntico ao visto no regime de juros simples: corresponde ao abatimento por saldar-se um compromisso antes de seu vencimento.
	
A diferença é devida apenas ao regime de juros, sendo o raciocínio financeiro o mesmo. O que fazemos é calcular a diferença entre o valor nominal e o atual do compromisso na data em que se propõe o desconto. Desta forma, conceituamos que o desconto corresponde à quantia a ser abatida do valor nominal e o valor descontado é a diferença entre o valor nominal e o desconto.
	
É importante enfatizar, que apenas o desconto racional composto é habitualmente utilizado nas operações práticas, sendo assim, o desconto comercial composto e suas peculiaridades não será abordado.
Desconto Racional Composto
É o desconto obtido pela diferença entre o valor nominal e o valor atual de um compromisso que seja saldado n períodos antes do vencimento, calculado a uma taxa de desconto.
	
O valor atual calculado no regime de juros compostos é o próprio valor descontado, conforme a fórmula abaixo:
	O desconto é obtido, fazendo-se a diferença entre o valor nominal e o valor atual.
 FV
PV = ------------ ---( 		Cálculo do Valor Atual Racional Composto
 (1 + i)ⁿ
Dr = FV – PV Cálculo do Desconto Racional Composto
Ou pela fórmula direta abaixo:
Exemplo:
Um título de valor nominal de R$ 20.000,00 foi resgatado 3 meses antes de seu vencimento, tendo sido contratada a taxa de 2,5% ao mês, qual foi o desconto racional concedido?
 FV
PV = ------------ ---( 		Cálculo do Valor Atual Racional Composto
 (1 + i)ⁿ
FV = 20.000 
i = 2,5% ao mês 
n = 3 meses
Dr = ?
	PV = 20.000,00 	 PV = 20.000			PV= 18.571,99
	 (1 + 0,025)³ 1,07689
Então, o desconto será:
D = FV – PV 		D = 20.000 – 18.571,99 		D = 1.428,01
Exercícios VI – para entregar.
Desconto Racional Composto
35 - Numa operação no mercado financeiro certo investidor resolveu resgatar um título 4 meses antes de seu vencimento. Sabendo-se que a taxa de juros utilizada foi de 1,8% ao mês e que o valor nominal do título era R$ 18.000,00, qual foi o desconto racional composto desta operação e qual foi o valor atual recebido pelo investidor?
36 - Sabe-se que um título para ser pago daqui a 12 meses, será descontado 5 meses antes de seu vencimento. O valor nominal do título é de R$ 42.000,00 e a taxa de desconto de 3,5% ao mês. Calcular o valor líquido liberado nessa operação
37 - Calcular o valor de desconto racional de um título de valor nominal de R$ 12.000,00 descontado 4 meses antes de seu vencimento à taxa de 2,5% ao mês.
38 - Qual o valor máximo que uma pessoa deve pagar por um título de valor nominal de R$ 82.000,00 com vencimento para 110 dias, se deseja ganhar 5% ao mês na compra desse título?
39 - Um título no valor nominal de R$ 40.000,00 foi resgatado 3 meses antes de seu vencimento, tendo sido contratada a taxa de 2,5% ao mês, qual foi o desconto racional concedido?
Capítulo 4 - Taxa Real de Juros
4.1 – Índices de Preços e Inflação
Em ambientes inflacionários, é indispensável, para o correto uso das técnicas da matemática financeira, conhecer as taxas de juros nominais praticadas na economia, as quais são compostas pela soma da inflação mais as taxas declaradas como real. A parte real é aquela obtida livre das influências da taxa de depreciação monetária verificada, isto é, adicionalmente à inflação.
	
De maneira simplista, o processo inflacionário de uma economia pode ser entendido pela elevação generalizada dos preços dos vários bens e serviços.
	
Em sentido contrário, ou seja, diante de uma baixa predominante dos preços de mercado dos bens e serviços, tem-se o fenômeno definido com deflação.
Índice de preços
Os índices de preços são os indicadores inflacionários. Um índice de preços é resultante de um procedimento estatístico que, entre outras aplicações, permite medir as variações nos níveis de preços de um período para outro. Em outras palavras, o índice de preços representauma média global das variações de preços que se verificaram num conjunto determinado de bens.
No Brasil são utilizados inúmeros índices de preços, elaborados por diferentes instituições de pesquisa, como por exemplo: IGP (Índice Geral de Preços), INPC (Índice Nacional de Preços ao Consumidor), TR (Taxa Referencial), UFIR (Unidade Fiscal de Referência).
4.2 – Valores Monetários com Inflação
Ao relacionarmos valores monetários de períodos diferentes em condições inflacionárias, defrontamo-nos com o problema dos diferentes níveis de poder aquisitivo da moeda.
Por exemplo:
Suponhamos que uma pessoa tenha adquirido um imóvel por R$ 200.000,00 em certa data e vendido cinco anos depois por R$ 320.000,00. Mas neste período a inflação atingiu 80%.
	
Qualquer avaliação com relação ao resultado auferido neste negócio é precipitada. Pois, fazer o cálculo de Preço de venda menos preço de compra = lucro (R$ 320.000,00 – R$ 200.000,00 =
120.000,00 de lucro) é totalmente errado neste caso.
Observe que considerando a inflação do período, o imóvel valeria:
R$ 200.00,00 + 80% da inflação
Então, teremos: 		VF = PV (1 + i)ⁿ
				VF = 200.000 (1 + 0,8)ⁿ
				VF = 200.000 (1,8)
				VF = 360.000
De forma simplista, é visto que para não ocorrer prejuízo o imóvel deveria ser vendido por R$360.000,00, mas como foi vendido por R$ 320.000,00 o negociador obteve um prejuízo real de R$40.000,00.
Assim, o resultado encontrado ao comparar valores de diferentes datas, deve ser dissociado em ganho nominal (R$ 120.000,00 ou 60% de rentabilidade nominal) e resultado real (R$ 40.000,00 – negativos), que acordo com a inflação do período poderá auferir lucro ou prejuízo.
4.3 – Comportamentos Exponenciais da Taxa de Inflação
O comportamento da inflação se processa de maneira exponencial, ocorrendo aumento de preços sobre um valor que já incorpora acréscimos apurados em períodos anteriores. Da mesma forma que o regime de juros compostos, a formação da taxa de inflação assemelha-se a uma progressão geométrica, verificando-se juros sobre juros.
Por exemplo:
Sendo o valor de 4,8%, 3,4%, e 5,0%, respectivamente, as taxas de inflação dos três primeiros meses de um ano, um ativo de R$ 12.000,00 no início do ano, se corrigido plenamente pela inflação da economia, apresentaria os seguintes valores ao final dos três meses.
		1º mês – R$ 12.000,00 x 1,048 = R$ 12.576,00
		2º mês – R$ 12.576,00 x 1,034 = R$ 13.003,60
		3º mês – R$ 13.003,60 x 1,05 = R$ 13.653,80
O incremento do valor do ativo no trimestre é de 13% (13.653,80/12.000,00), o que equivale ao produto (capitalização composta) das taxas mensais de inflação, isto é:
	
Inflação do Trimestre (I): = ((1,048) x (1,034) x (1,05)) –1 = 13,78%
A taxa equivalente mensal de inflação no período, identicamente ao regime de juros compostos, é apurada da seguinte forma:
Taxa Equivalente Mensal (Iq) = (1,1378)1/3 –1 = 4,4%
Desta forma, são válidos para a inflação os mesmos conceitos e expressões de cálculos enunciados no estudo de juros compostos, já estudados anteriormente.
4.4 - Taxa nominal e taxa real
A taxa nominal juros é aquela adotada normalmente nas operações correntes. Mas em contexto inflacionário, devem ser identificadas nesta taxa uma parte devida à inflação e uma outra definida como legítima, real, que reflete realmente os juros pagos ou recebidos.
Exercícios VII – para entregar.
40)Em certo bimestre registraram-se as seguintes taxas inflacionárias: 2,5% e 4,8% ao mês, respectivamente. Calcule a taxa de inflação acumulada no período e a taxa equivalente mensal. 
41) No primeiro mês do ano a taxa de inflação foi de 1,27%, no segundo mês foi de 1,5% e no terceiro de 1,89%, de quanto foi a inflação acumulada no semestre?
42)A taxa nominal de juros explicitada num empréstimo é de 42% ao ano. Tendo ocorrido uma variação de 18% nos índices de preços (inflação) neste mesmo período, determinar a taxa real anual de juros do empréstimo.
43) A taxa mensal de inflação de um quadrimestre atinge, respectivamente, 2,8%, 3,4%, 5,7% e 8,8%. Determinar a taxa de inflação acumulada do período e a taxa equivalente mensal (ou média geométrica mensal).
44) A taxa de inflação da economia de determinado ano foi de 748,95%. Calcule a taxa equivalente semestral e mensal da inflação do período.
45) Sendo projetada em 4,9% ao mês a taxa de inflação para os próximos 5 meses, determinar a inflação acumulada deste período.
46) Determinado trimestre apresenta as seguintes taxas mensais de variações nos preços gerais da economia: 7,2%, 2,9%, e –1,2% (deflação). Determinar a taxa de inflação acumulada no trimestre e a taxa equivalente mensal.
47) Na compra de um lote de ações na bolsa de valores, certo investidor obteve 12,8% de rendimento no final de um ano. Sabendo-se que a inflação acumulada neste período foi de 17,5%, esta operação financeira proporcionou lucro ou prejuízo ao investidor? De quanto por cento?
48) Certa pessoa comprou um bem pelo valor de R$ 45.000,00 e após 4 anos o vendeu por R$ 69.450,00. Se a inflação acumulada nestes 4 anos foi de 65%, de quanto foi o lucro ou prejuízo deste negócio? (resposta em Reais)
49) Suponha que uma pessoa adquira um imóvel pelo valor de R$ 225.000,00, vendendo-o três anos após por R$ 315.000,00. Sendo a inflação do período de 25%, pede-se calcular o ganho do investidor (em reais) nesta operação.
50)Um indivíduo depositou num fundo de investimento a quantia de R$ 15.000,00. Sabendo-se que a conta rende juros capitalizados trimestralmente à taxa de 4,5% ao trimestre, qual o saldo da conta após 27 meses de aplicação?
51)Qual o principal necessário, para atingir um saldo de R$ 300.000,00, ao final de 2,5 anos, à taxa juros compostos de 4% ao semestre?
52) Determinar o montante acumulado em oito trimestres a partir de um principal aplicado de R$ 12.000,00 com uma taxa de juro composto de 1,25% ao mês.
53) Qual a taxa mensal de juros composta, aplicada numa operação em que um banco promete quadruplicar o capital após dois anos?
5 – Séries de Pagamentos Uniformes ou Seqüência Uniforme
Dizemos que uma série de pagamentos é uniforme se, isto é, se todos pagamentos ou prestações forem iguais.
ANUIDADES
Anuidades, rendas certas, prestações, ou série de pagamentos são sucessões de pagamentos, ou recebimentos, exigíveis em épocas predeterminadas, destinadas a extinguir uma dívida ou construir um capital.
Cálculo do Principal (PV)
É uma soma de termos de uma progressão geométrica:
onde:
	a1 = 1º termo = 1/(1+i)
	q = razão = 1/(1+i)
	Sn = soma dos termos PG = P = a1.(qn-1)/(q-1)
5.1 – Anuidades Antecipadas 
Obs.: na HP 12C não esquecer de acionar BEGIN 
g BEG - linha 4, coluna 3 e linha 1, coluna 7.
Conhecidas no comércio como sistema de prestações com entrada, ou seja, a primeira prestação é paga no ato da compra.
Valor Atual de um Fluxo de Caixa Antecipada
É a soma dos valores atuais (principais) de cada um de seus termos (inclusive anuidades)
	
OBS.:		 - antecipadas = 	Ro
			 (1+i)0
Fórmulas:
Cálculo do Principal (PV)
Cálculo da Prestação (PMT)
Exercícios VIII – para entregar.
54 - Uma loja calculou o financiamento de um conjunto de sofás em 10 prestações mensais iguais a R$ 1.000,00 uma delas como entrada. Sabendo que o crediário da loja utiliza taxa de juros de 4,5% ao mês.
Calcule qual era o valor à vista do sofá.
55 - Qual o valor da prestação que o gerente de uma loja oferece a um cliente na compra de um eletrodoméstico no valor à vista de R4 6.300,00, financiando em 6 prestações mensais e iguais, incluindo entre elas a entrada, sabendo-se que a taxa de juros utilizada é de 3,5% ao mês?
56) Qual o Valor Atual de uma série de 5 prestações iguais a R$ 1.000,00 antecipadas, a uma taxa de 5%
ao mês?
57) Qualo Valor Atual de uma série de 3 pagamentos bimestrais iguais a R$ 550,00, antecipadas, a uma
taxa de 8% ao bimestre?
58) – Um terreno é vendido em 4 prestações mensais e iguais de R$150.000,00 cada uma, sendo a primeira dada como entrada. Se a Taxa de financiamento for de 4% a . m . , qual o preço à vista? 
5.2 – Anuidades Postecipadas
(Constantes, Imediatas Postecipadas ou Ordinárias)
As anuidades postecipadas são intensamente utilizadas como sistemas de prestações, em que a primeira é paga no final do primeiro período, isto é, crediário sem entrada.
Obs: postecipadas = 	 R1
 			(1+i)1
Fórmulas:
Cálculo do Principal
Cálculo da Prestação (R)
Exercícios IX – para entregar.
59 - Qual o valor atual de uma série de 20 prestações iguais a R$ 12.500,00, postecipadas, a uma taxa de 1,9% ao mês?
60 - Qual o Valor Atual de uma série de 4 pagamentos iguais a R$ 1.200,00, postecipadas, a uma taxa de
2% ao mês?
61 - Qual o Valor Presente de uma série de 3 pagamentos iguais a R$ 200,00, postecipadas, a uma taxa de juros de 10% ao mês?
62- O gerente de uma loja deseja financiar para um cliente um televisor em cores no valor de R$ 12.300,00 em 4 prestações mensais iguais sem entrada. Sabendo-se que a loja utiliza uma taxa de juros de 4,2% ao mês, calcule o valor da prestação.
63 - Uma calculadora é vendida a prazo em quatro prestações mensais iguais de R$60,00 cada uma, vencendo a primeira um mês após a compra, a taxa de juros 5%. Qual a preço à vista?
64 – Um banco concede a uma empresa um empréstimo de R$80.000,00 para ser pago em seis 
prestações mensais iguais postecipadas.
Se a taxa de juros for de 2% a . m . , qual o valor de cada prestação?
Se o banco cobrar no ato da liberação do crédito uma taxa de serviço igual a 1% do valor financiado, qual o valor líquido recebido pela empresa?
Nas condições dos itens anteriores, qual a taxa efetiva de juros cobrada? 
65 – Obtenha o preço à vista de um automóvel financiado à taxa de 3%a . m., sendo o número de prestações igual a 10 e R$1.500,00 o valor de cada prestação mensal se:
a) a primeira vence um mês após a compra?
b) a primeira prestação é dada como entrada? 
66 – O banco BAN, para um financiamento em 12 prestações mensais iguais e postecipadas, propõe o seguinte esquema;
prestação mensal + valor do financiamento dividido por 12;
- juros do banco + 26% do valor financiado.
O valor liberado para o cliente é igual ao valor do financiamento menos o total de juros. Qual a taxa de juros mensal efetivamente cobrada pelo banco? E a taxa equivalente cobrada? 
67 – Na venda de uma mercadoria de R$1.200,00, uma determinada loja informa que:
se o pagamento for feito à vista, será concedido um desconto de 5%;
se o pagamento for feito no cartão de crédito (para pagamento em 30 dias), será concedido um desconto de 3%;
se o pagamento for feito em três parcelas mensais iguias (sendo a primeira n o ato), não será concedido desconto.
Nessas condições, qual é a melhor forma de pagamento, sabendo-se que a taxa de juros para aplicações vale 1,4% a . m. ? 
5.3 – Anuidades Diferidas
São as anuidades ou séries de pagamentos que tem carência no seu prazo de pagamento inicial. Elas possuem mais de um período sem pagamento até que se efetue o primeiro.
Fórmulas:
Cálculo do Principal (P)
NOTA: Onde “K” é igual ao período de carência – 1.
Cálculo da Prestação (R)
Exercícios X – para entregar.
68 - Calcular o valor da prestação de um cobertor de R$ 700,00, financiado em 6 prestações mensais iguais, a primeira vencendo 4 meses após a compra, a uma taxa de juros de 3,9% ao mês.
OBS.: K = 4-1, então K = 3
69 – Um terreno é vendido à vista por R$50.000,00 ou prazo em seis prestações mensais iguais, vencendo a primeira três após a compra. Se a taxa de juros do financiamento for de 2% a . m. , qual o valor de cada prestação? 
5.4 – Seqüências Uniformes com Parcelas Adicionais 
Fórmulas:
Fórmula da seqüência uniforme com parcelas adicionais é a mesma da antecipada ou da postecipada mais o reforço. 
O reforço é quando ocorrerão os reforços, ou seja, o “n” do expoente do reforço é igual ao nº do mês do reforço. 
Fórmula da antecipada ou da postecipadas mais reforço
Corrigir a fórmula
 
P = R . (1+i) – 1 + Reforço 1 + Reforço 2 + Reforço n
	(1 + i)ⁿ	 (1 + i)ⁿ	 (1 + i)ⁿ	(1 + i)ⁿ	
Exercícios XI – para entregar.
70 - Um apartamento é vendido a prazo com entrada em 120 prestações mensais de R$ 500,00 cada uma, mais duas prestações de reforço venciveis na 50º e 100º prestações cada uma de R$2.000,00. Qual o valor do apartamento a vista sea taxa de juros for de 1,9% ªm. ?
71 - Um terreno é vendido a prazo em 12 prestações mensais de R$5.000,00 cada uma, postecipadas, mais duas prestações de reforço vencíveis em seis e 12 meses após a compra, cada uma de R$20.000,00. Qual o preço à vista se a taxa de juros do financiamento for de 3,2% a .m.? 
5.5 – Montante de uma Seqüência Uniforme
Chamamos montante de uma seqüência uniforme, na data n, a soma dos montantes de cada prestação (capital), aplicado desde a data considerada até a data n.
Fórmula:
FV = PMT (1+i)n- 1
	 i
Exercícios XII – para entregar.
72 – Um investidor aplica mensalmente R$150,00 em fundo de investimentos que remunera as aplicações à taxa de juros compostos de 1% a. m. Se o investidor fizer 48 aplicações, qual o valor futuro ou montante no instante do último depósito?
73 – Um investidor aplica mensalmente R$2.000,00 em um fundo de investimentos que remunera as aplicações à taxa de juros compostos de 2% a . m. . Se o investimento fizer sete aplicações, qual o montante no instante do último depósito? 
5.6 –Seqüência Uniforme Infinita (Rendas Perpétuas)
Chamamos de seqüência uniforme infinita ou renda perpétuas todo o conjunto de capitais de mesmo valor, nos instantes 1, 2, 3, ... (infinitos termos). Chamando de PMT cada termo da seqüência.
Fórmula:
V = PMT 
 i
Exercícios XIII – para entregar.
74 – Quanto um investidor deverá aplicar hoje em uma caderneta de poupança que rende uma taxa de real de 0,5 % a . m. para ter uma renda perpétua mensal (infinita) de R$8.000,00 atualizados monetariamente pelo índice de correção da poupança? Considere a primeira retirada um mês após a aplicação.
 V = 8.000 = 1.600.000
 0,005
75- Quanto devo aplicar hoje a taxa de 0,5 % para ter uma renda perpétua de R$8.000,00?
Exercícios de Fixação:
Exercícios XIV – para entregar.
Antecipada 
76 – Um terreno é vendido em 4 prestações mensais e iguais de R$110.000,00 cada uma, sendo a primeira dada como entrada. Se a Taxa de financiamento for de 1,5% a . m . , qual o preço à vista? 
Postecipada
77 - Uma calculadora é vendida a prazo em 3 prestações mensais iguais de R$89,00 cada uma, vencendo a primeira um mês após a compra, a taxa de juros 3,5%. Qual a preço à vista?
78 – Um banco concede a uma empresa um empréstimo de R$95.000,00 para ser pago em seis prestações mensais iguais postecipadas.
Se a taxa de juros for de 2% a . m . , qual o valor de cada prestação?
Se o banco cobrar no ato da liberação do crédito uma taxa de serviço igual a 1% do valor financiado, qual o valor líquido recebido pela empresa?
Nas condições dos itens anteriores, qual a taxa efetiva de juros cobrada? 
79 – Obtenha o preço à vista de um automóvel financiado à taxa de 1,9% a . m., sendo o número de prestações igual a 36 e R$990,00 o valor de cada prestação mensal se:
a) a primeira vence um mês após a compra?
b) a primeira prestação é dada como entrada? 
80 – O banco BAN, para um financiamento em 24 prestações mensais iguais e postecipadas, propõe o seguinte esquema;
prestação mensal + valor do financiamento dividido por 24;
- juros do banco +30% do valor financiado.
O valor liberado para o cliente é igual ao valor do financiamento menos o total de juros. Qual a taxa de juros mensal efetivamente cobrada pelo banco? E a taxa equivalente cobrada? 
81 – Na venda de uma mercadoria de R$1.800,00, uma determinada loja informa que:
se o pagamento for feito à vista, será concedido um desconto de 6%;
se o pagamento for feito no cartão de crédito (para pagamento em 30 dias), será concedido um desconto de 4%;
se o pagamento for feito em três parcelas mensais iguias (sendo a primeira n o ato), não será concedido desconto.
Nessas condições, qual é a melhor forma de pagamento, sabendo-se que a taxa de juros para aplicações vale 1,6% a . m. ? 
Com reforço
82 - Um terreno é vendido a prazo em 24 prestações mensais de R$3.800,00 cada uma, postecipadas, mais duas prestações de reforço vencíveis em seis e 12 meses após a compra, cada uma de R$19.800,00. Qual o preço à vista se a taxa de juros do financiamento for de 2,2% a. m. ? 
Diferida
83 – Um terreno é vendido à vista por R$49.900,00 ou prazo em seis prestações mensais iguais, vencendo a primeira três após a compra. Se a taxa de juros do financiamento for de 1,8% a . m. , qual o valor de cada prestação? 
Montante
84 – Um investidor aplica mensalmente R$1.540,00 em um fundo de investimentos que remunera as aplicações à taxa de juros compostos de 1,6% a . m. . Se o investimento fizer sete aplicações, qual o montante no instante do último depósito? 
Infinita: 
85 – Quanto devo aplicar hoje a taxa de 0,5 % para ter uma renda perpétua de R$5.600,00?
6 – Análise de Investimentos
Veremos aqui, alguns conceitos para facilitar a avaliação de um fluxo de caixa não homogêneo, submetido a taxas de desconto em diferentes intervalos de tempo.
6.1 – Séries Não Uniformes
As séries não uniformes apresentam valores de prestações diferentes. Dois parâmetros são utilizados: VPL e a TIR.
6.1.1 - VPL - Valor presente líquido (ou NPV, do inglês, “Net present Value”)
Representa a soma, na data zero, de todos os fluxos de caixa da série não uniforme. Às vezes, é denominado Valor Atual Liquido (ou VAL)
O método do valor presente líquido para análise de fluxos de caixa é obtido pela diferença entre o valor presente das entradas e/ou saídas de capital previstos no caixa, e o valor presente inicial de caixa (empréstimos ou financiamentos).
Em caso de projetos de investimento, em que é feito um desembolso inicial com o objetivo do recebimento de uma série de fluxos de caixa futuros, ele representa os recebimentos futuros trazidos e somados na data zero, subtraído do investimento inicial – sendo, assim, um Valor Presente Liquido do investimento.
Exemplo:
	Ano
	Fluxo de Caixa
	VPL do Fluxo de Caixa
	0
	(-) 100
	(100)
	1
	35
	32,40741
	2
	45
	38,58025
	3
	57
	45,24844
	Soma
	
	16,23610
O custo de capital da empresa é estimado em 8% ª m.
O VPL obtido foi positivo, indicando que os fluxos futuros na data zero superam o investimento inicial. Neste caso, o projeto deve ser aceito.
Quando o VPL é maior que zero, a soma na data presente de todos os capitais do fluxo de caixa é maior que o valor investido. Nestas condiçõ deinvestimentoes, pode-se dizer que o investimento será recuperado e que fgerará um lucro extra, na data presente (t = 0).
VPL > zero ( o projeto deve ser aceito
VPL = zero ( tanto faz aceitar ou rejeitar
VPL < zero ( rejeita o projeto
6.1.2 - TIR - Taxa Interna de Retorno (ou IRR, do inglês, Internal Rate of Return)
A TIR mede a rentabilidade do projeto
Corresponde ao valor da taxa de juros que torna nulo o valor do VPL.
Conceitualmente a TIR é a taxa de juros que iguala, numa única data, os fluxos de entra e saída de caixa produzidos por uma operação financeira (aplicação ou captação). Em outras palavras, é a taxa de juros que, se utilizada para descontar um fluxo de caixa, produz um resultado nulo.
É relevante notar que a TIR é utilizada não somente para calcular a taxa de retorno (rentabilidade) de um investimento, como também para determinar o custo de um empréstimo/ financiamento.
Taxa mínima de atratividade (TMA)
Para que um investidor possa tomar a decisão de aceitar ou rejeitar um determinado investimento, é indispensável, que ele tenha um elemento de comparação à sua disposição.
Assim, vamos considerar que, em qualquer situação, o investidor esteja com o seu capital aplicado numa alternativa Z com a taxa igual a i minima, que representa, portanto o custo de oportunidade de seu capital investido. Simplificado, quer-se dizer que o investimento só vale a pena quando sua taxa de retorno TIR for maior do que taxa mínima de atratividade TMA. TIR > TMA
6.2 – Fluxos de Caixa Não Homogêneos
O objetivo desta abordagem é mostrar a metodologia que deve ser utilizada no tratamento de fluxos de caixa não homogêneos, isto é, de fluxos de caixa cujos valores são distintos entre si e que não apresentam nenhuma lei de formação que permita a simplificação do cálculo do valor presente pelo uso das funções diretas das calculadoras.
	
A solução deste problema se dá com o desconto individual de cada parcela que compõem o fluxo de caixa. Isto nós já aprendemos a fazer calculando o principal (ou valor presente) de cada parcela de um fluxo. Agora, vamos mostrar como se faz a inserção destes dados na HP para utilizar as funções: IRR ou TIR (taxa interna de retorno) e NPV ou VPL (valor presente líquido).
Consideremos o seguinte fluxo de caixa:
Determinar:
a) O valor presente líquido desse fluxo de caixa para as taxas de desconto de 0%, 10% e 12% ao ano;
b) A taxa interna de retorno desse fluxo de caixa, em % ao ano.
Solução na HP:
Poderíamos utilizar a fórmula do valor presente e calculá-los ano a ano, somando-os ao final. Mas isso seria inviável para cálculos com número muito grande de parcelas, assim sendo, aprenderemos como se faz a inserção de um fluxo de caixa na HP-12C para depois determinar o VPL e a TIR deste fluxo.
b) f IRR = 11,537%
MUITO IMPORTANTE: À taxa de desconto de 11,537% o fluxo de caixa é ZERO. Essa é a taxa que faz com que o v alor presente líquido VPL seja NULO. Sendo assim, podemos concluir que caso o investidor tenha uma aplicação financeira com taxa maior do que 11,537% a.a., não deverá investir neste projeto. Em outras palavras, sua taxa mínima de atratividade T MA não poderá ser menor do que 11,537% a.a.
Exercícios:
86 - Considerando o fluxo de caixa indicado abaixo, determine:
a) O valor presente líquido desse fluxo de caixa para as taxas de desconto de 0%, 0,50% e 1% ao mês;
b) A taxa interna de retorno.
87 - Considerando o fluxo de caixa indicado abaixo, determine:
a) O valor presente líquido desse fluxo de caixa para as taxas de desconto de 0%, 8% e 9% ao ano;
b) A taxa interna de retorno anual e a sua equivalente mensal e semestral.
88 - Uma empresa dispõe de duas alternativas de investimento:
A alternativa A exige um investimento de R$20.000,00 produzindo ganhos anuais de R$ 3.116,00 durante 10 anos.
	
A alternativa B necessita de um investimento de R$ 10.000,00, mas devido ao uso intensivo de mão-de-obra, propiciará um ganho anual de R$ 1.628,00, também durante 10 anos.
A TMA = 6% ao ano.
89 - Uma indústria pretende adquirir equipamentos no valor de R$55.000,00, que deverão proporcionar receitas líquidas a partir de 2009 conforme tabela a seguir:
	Ano
	Receitas Liquidas (R$)
	2009
	15.500
	2010
	18.800
	2011
	17.200
	2012
	17.200
	2013
	17.200
	2014
	13.500
Sabendo-se que o valor de revenda dos equipamentos no ano 2014 é estimado em R$9.000,00 e que a taxa de retorno esperada é igual a 21% a . a . , pede-seanalisar se o investimento planejado é rentável.
Exercícios XV – para entregar.
90 - Determinar a TIR correspondente a um empréstimo de R$ 1.000,00 a ser liquidado em três pagamentos mensais de R$ 300,00; R$ 500,00 e R$ 400,00 com prazos de 30, 60 e 90 dias.	
91 - Aplique R$ 500,00 agora, receba R$ 300,00 após 6 meses e mais R$ 324,54 após um ano. Determine a TIR semestral dessa aplicação.	
92 - Determine a TIR mensal do exercício ( 2 ).
93 - Determine a TIR mensal referente a um empréstimo de R$ 500,00 a ser liquidado da seguinte forma: R$ 100,00 nos próximos dois meses, R$ 250,00 no terceiro mês e R$ 32,93 cada uma do quarto ao sexto mês.
94 - Um terreno é vendido por R$ 12.000,00 ou, então, em cinco parcelas mensais de R$ 2.806,59 com uma carência de dois meses após a compra. Se o comprador consegue aplicar seu dinheiro a 3,5% a.m., qual a melhor alternativa para ele? Comprar a vista ou, a prazo? 	
95 - Uma máquina é vendida por R$ 3.500,00 ou, então, em seis pagamentos mensais, sem entrada, sendo os três primeiros de R$ 800,00 cada uma e os últimos de R$ 471,95 cada uma. Qual a melhor alternativa para o comprador se ele pode aplicar seu dinheiro à taxa de 2,5% a.m.? 
96 - Calcule a TIR do exercício ( 6) com entrada.
97 - Uma empresa dispõe de duas alternativas de investimento:
A alternativa A exige um investimento de R$20.000,00 produzindo ganhos anuais de R$ 3.116,00 durante 10 anos.
A alternativa B necessita de um investimento de R$ 10.000,00, mas devido ao uso intensivo de mão-de-obra, propiciará um ganho anual de R$ 1.628,00, também durante 10 anos.
 A TMA = 6% ao ano.
98 - Uma indústria pretende adquirir equipamentos no valor de R$55.000,00, que deverão proporcionar receitas líquidas a partir de 2009 conforme tabela a seguir:
	Ano
	Receitas Liquidas (R$)
	2009
	15.500
	2010
	18.800
	2011
	17.200
	2012
	17.200
	2013
	17.200
	2014
	13.500
Sabendo-se que o valor de revenda dos equipamentos no ano 2014 é estimado em R$9.000,00 e que a taxa de retorno esperada é igual a 21% a . a . , pede-se analisar se o investimento planejado é rentável.
Fórmulas – resumo:
Regimes de Capitalização Simples ou Juros Simples
J = PV i n ou J = Pin 
VF = VP (1+in) ou M = J + P
i = M - 1
 P
Formulário de Desconto Comercial 
Dc = FV . i. n 							
PV = FV – Dc 								
PV = FV (1 – i . n) 		
Formulário Desconto Racional
PV = FV - Dr 								
PV = 	 FV 							
	1 + i . n							
Dr = 	 FV. i . n 							
	1 + i . n								
					
Taxa Efetiva e Taxa Nominal
Regimes de Capitalização Compostos ou Capitalizados
Fórmula: 
VF = VP (1+ i)ﱞⁿ
Convenções Lineares e Convenção Exponencial
Convenção linear
VF = PV (1 + i)ⁿ x (1 + i . m/k)
Convenção exponencial
FV = PV (1 + i)ⁿ+m/k
Descontos Composto
 FV
PV = ------------ ---( 		Cálculo do Valor Atual Racional Composto
 (1 + i)ⁿ
Dr = FV – PV Cálculo do Desconto Racional Composto
Ou pela fórmula direta abaixo:
Exemplo:
Taxa nominal e taxa real
Anuidades Antecipadas 
Cálculo do Principal (PV)
Cálculo da Prestação (PMT)
Anuidades Postecipadas
Cálculo do Principal
Cálculo da Prestação (R)
Anuidades Diferidas
Cálculo do Principal (P)
NOTA: Onde “K” é igual ao período de carência – 1.
Cálculo da Prestação (R)
Seqüências Uniformes com Parcelas Adicionais 
Fórmula da antecipada ou da postecipadas mais reforço
Corrigir a fórmula
 
P = R . (1+i) – 1 + Reforço 1 + Reforço 2 + Reforço n
	(1 + i)ⁿ	 (1 + i)ⁿ	 (1 + i)ⁿ	(1 + i)ⁿ	
Montante de uma Seqüência Uniforme
FV = PMT (1+i)n- 1
	 i
Seqüência Uniforme Infinita (Rendas Perpétuas)
V = PMT 
 i
									“Fim”
If =	i .
 1-i
If =	i .
 1-i
�PAGE �
�PAGE �32�