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Universidade Federal de Vic¸osa
Centro de Cieˆncias Exatas e Tecnolo´gicas-CCE
Departamento de Matema´tica
MAT 087-TUTORIA ESPECIAL EM CA´LCULO I
6a Aula de Exerc´ıcios-2013
Monitor: Serginei Jose´ do Carmo Liberato
1. Calcule as derivadas a seguir usando a regra da cadeia:
a) f(x) = (2x + 1)10
b) f(x) = ln
√
x
c) f(x) =
(
2x + 1
3x− 1
)4
d) f(s) = 2s
2
e) f(x) = sen(2x)
f) f(x) = tg(x2 + 1)
g) f(w) = (w4 − 3w2 + 5)3
h) f(z) = ln(z4sen2(z))
i) f(x) = sec(1− x2)
2. Calcule
dy
dx
nas equac¸o˜es seguintes:
a) x2 + y2 = 1
b) x2y + xy2 = 6
c) ysen(y) = 1− xy
d) (x2 + 3y2)5 = 2xy
e) sec2(y) + cotg(x− y) = tg2x
3. Calcule as derivadas de ordem superior indicadas:
a) f(t) = 4t + 1; determine f ′′(t).
b) f(z) = z4 + 2z3 − z2 + 5; determine f (4)(z).
c) f(x) =
1
x
; determine f ′′′(x), se x 6= 0.
RESPOSTAS
1. a) f ′(x) = 20(2x+ 1)9
b) f ′(x) =
1
2x
c) f ′(x) = −20(2x+ 1)
3
(3x− 1)5
d) f ′(s) = s · 2s2+1ln2
e) f ′(x) = 2cos(2x)
f) f ′(x) = 2xsec2(x2 + 1)
g) f ′(w) = (w4 − 3w2 + 5)2(12w3 − 18w)
h) f ′(z) =
4
z
+ 2cotgz
i) f ′(x) = −2xsec(1− x2)tg(1− x2)
2. a)
dy
dx
= −x
y
b)
dy
dx
=
−2xy − y2
x2 + 2xy
c)
dy
dx
=
−y
seny + ycosy + x
d)
dy
dx
=
2y − 10x(x2 + 3y2)4
30y(x2 + 3y2)4 − 2x
e)
dy
dx
=
2tgxsec2x+ cossec2(x− y)
2tgxsec2y + cossec2(x− y)
3. a) f ′′(t) = 0
b) f (4)(z) = 24
c) f ′′′(x) = − 6
x4