Fatoração de Expressões Algébricas

Prévia do material em texto

Caro estudante, 
 
Esse material de estudo foi escrito por uma equipe de professores qualificados e                         
experientes que atuam no Ensino de Matemática e Física e tem o objetivo de capacitar                             
estudantes da área de Exatas, que necessita rever assuntos do Ensino Fundamental,                       
Médio, assunto esse, muito solicitados nos cursos de Cálculo, Matemática Financeira e                       
Estatística.  
A nossa prática docente destaca a importância do estudo de matemática básica, em                         
detalhes, para o acompanhamento dos cursos da área de Exatas e correlatos e que                           
levem ao sucesso acadêmicos e  profissional. 
 
 
FATORAÇÃO: 
A ​fatoração ​de um número inteiro é a transformação desse número em vários termos                           
em um produto de diversos fatores. 
Dica: ​Fatorar é transformar expressões algébricas em produtos de duas ou mais                       
expressões chamadas fatores, ou seja, fatorar é transformar expressões algébricas em                     
fatores mais simples. 
 
Casos de fatoração: 
 
 
I) Fator comum em evidência ­ Quando os termos apresentam fatores comuns.  
 
Considere ​a​x + ​a​y, podemos verificar que os termos apresentam fator ​a em evidência,                           
assim a forma fatorada de ax + ay  = a(x + y)  
 
Exemplos: 
a) fatore a expressão: 2xy​3​ + 4x​2​ y​4​ ­ 6xy​2  
Solução 
Vamos extrair um termo comum que seja o maior divisor comum dos termos da                           
expressão, esse fator é 2xy​2​, pois, esse fator divide cada termo da expressão 2xy​3 +                             
4x​2​ y​4​ ­ 6xy​2​ .  
Assim a expressão 2xy​3​ + 4x​2​ y​4​ ­ 6xy​2​ ​ =  2xy​2​ (y + 2xy​2​ ­ 3). 
 
b) fatore a expressão: 3a​2​b ­ 6ab​2 ​ + 12a​3​ b​4​ ­ 9ab 
Solução 
Observe que a parte numérica dos monômios da expressão são múltiplos de ​3 e o termo                               
comum de menor expoente da parte literal é ​ab, ​logo o fator a ser colocado em                               
evidência é ​3ab.  
Assim, a expressão 3a​2​b ­ 6ab​2 ​ + 12a​3​ b​4​ ­ 9ab = ​3ab​( a ­ 2b +4a​2​ b​3​  ­ 9).  
Observe que se aplicarmos a propriedade distributiva na expressão fatorada voltaremos                     
a expressão original. 
  
c) fatore  x  y  2x  y  xy 21
2 +   3 2 −  3
2 3   
SOLUÇÃO 
Podemos colocar  em evidência, então teremos:xy 21   
xy (x  4x  y  y 2
1 +   2 −  3
4 2  
 
 
 
II) Fatoração por agrupamento 
Consiste em aplicar duas vezes o caso do fator comum em alguns polinômios especiais. 
 
Exemplo: ax + ay + bx + by 
Os dois primeiros termos possuem o fator ​a ​comum e os dois últimos termos possuem o                               
fator ​b​. Colocando esses termos em evidência: a.(x+y) + b.(x+y) 
O novo polinômio possui o termo (x+y) em comum. Assim colocando­o em evidência                         
temos: (x+y).(a+b) 
Assim:  ax + ay + bx + by = (x+y).(a+b) 
 
Exemplos: 
Fatore: 
a) 3x + 3y + zx + zy  
Observe que nos dois primeiros termos podemos colocar o algarismo 3 em evidência e                           
nos dois últimos ternos colocaremos z em evidência, assim temos: 3(x + y) + z(x + y) ,                                   
essa expressão possui (x + y) como termo comum, assim fatorando temos: (x + y) (z +                                 
3).  
b) x​2​ ­ 3x + ax ­ 3a =  
Solução  
Observe que ​x ​é um fator comum nos dois primeiros termos e ​a é fator comum dos                                 
outros termos do polinômio, assim podemos escrever o polinômio ​x​2 ­ 3​x + ​a​x ­ 3​a na                                 
forma ​x​(x ­ 3) + ​a​(x ­ 3), seguindo o mesmo raciocínio podemos dispor o fator (x ­ 3) em                                       
evidência logo, o polinômio 
x​2​ ­ 3x + ax ­ 3a =  (x ­ 3) (x + a)  
 
 
III) Diferença de dois quadrados = produto da soma pela diferença de dois termos 
 
(a² ­ b²) = (a ­ b)(a + b) 
Exemplos:  
a)  x² ­ 16 = x² ­ 4² = (x ­ 4) (x + 4) 
b) x​4​ ­ 81 = (x​2​ )​2​  ­ 9​2​ = (x​2​ ­ 9)(x​2​ ​.​+ 9)  = (x​2​ ­ 3​2 ​)(x​2​ + 9) = (x ­ 3) (x + 3) (x​2 ​+ 9) 
 
IV) Trinômio quadrado perfeito 
O trinômio que se obtém quando se eleva um binômio ao quadrado chama­se trinômio                           
quadrado perfeito. 
a² + 2ab + b² = (a + b)² 
Exemplos: 
 a) x² + 8x + 16 = (x + 4)² 
b) a² ­ 2ab + b² = (a ­ b)² 
c)  x² ­ 6x + 9 = (x ­ 3)² 
 
Considere o trinômio quadrado perfeito x​2 + 6x + 9, observe que o duplo produto da raiz                                  
quadrada do 1° termo = x e a raiz quadrada do termo independente é        √x2                     √9 = 3    
igual ao termo central 2.(x.3) = 6x, assim podemos identificar o trinômio quadrado                         
perfeito.  
 
Outro exemplo:   
(2x ­ 3y)​2​ = 4x​2​ ­ 12xy + 9y​2 
                                       ⇓ ⇓   
                 √4x 2       √9y 2  
                                         ⇓ ⇓   
                   ​2 x        ​3y    o duplo produto desses resultado temos:  
                2(2x .                   3y) = 12xy  = (termo central do trinômio)  
 
V) Soma de dois cubos :  
a³ + b³  = (a + b)(a² ­ ab + b²)  
 
Exemplos: 
a)  x³ + 8 = x³ + 2³ = (x + 2)(x² ­ 2x + 2²) = (x + 2)(x​2 ​ ­2x + 4) 
b) x​3​ + 27 = x​3 ​ + 3​3​ = (x + 3)(x​2​  ­3x + 3​2​ ) = (x + 3)(x​2​  ­3x + 9) 
c) 2x​3​ + 128 = 2(x​3​ + 64)  = 2(x​3​ + 4​3​) = 2(x + 4)(x​2​ ­ 4x + 16) 
 
V) Diferença de dois cubos: 
 
(a³ ­ b³) = (a ­ b)(a² + ab + b²) 
Exemplos:  
a) x³ ­ 27 = x³ ­ 3³ = (x ­ 3)(x² + 3x + 3²) 
b) x³ ­ 8 = x³ ­ 2³ = (x ­ 2)(x² + 2x + 2²) = (x ­ 2)(x​2 ​ + 2x + 4). 
 
VI) Trinômio do 2º grau 
Todo polinômio P(x) = a​0 x​n + a​1​x​n­1 + a​2 x​n­2 + … a​n na variável x pode ser fatorado na                                           
forma  
P(x) = a​0​ (x ­ r​1​ )(x ­ r​2​ )(x ­ r​3​ ) …(x ­ r​n​ ) onde r​1​ , r​2​ , r​3​ … r​n​ são as raízes do polinômio. 
Assim, seja uma função polinomial do segundo grau f(x) = ax² + bx + c = 0 e a 0,                                     =/    
então a função f pode ser fatorada da seguinte forma: 
 
f(x) = a(x ­ x’)(x ­ x’’), onde x’ e x ‘’ são as raízes do polinômio ou zeros da função f e                                             
podem ser obtidas pela fórmula de Bhaskara ou pelo método de Briot­Ruffini. 
 
Exemplos: 
a) fatore o trinômio x² ­ 7x + 12. 
 
1° passo:  
Devemos  calcular as raízes do trinômio. 
Calcular as raízes ou zeros é determinar os valores de x que anulem a equação x² ­ 7x +                                     
12 = 0, para tanto, vamos calcular o discriminante das raízes ou seja valor de (delta)                                 Δ  
.   
 
Lembre ­ se: 
1­ raízes da equação são obtidas por : x =  , onde   = b​2  ​ ­  4.a.c2a−b ±
√Δ Δ  
2­ Sobre os discriminante  :Δ   
­ Se o valor do discriminante for maior que zero, > 0, a equação possui duas raízes                   Δ              
reais. 
­ Se o discriminante for igual a zero,  =  0, a equação possui duas raízes reais iguais.Δ  
­ Se o discriminante menor que zero  <  0,  a função não possui raízes reaisΔ   
 
Como a = 1, b = ­ 7 e c = 12, podemos afirmar = (­7)​2 ­4(1)(12) = 49 ­ 48 = 1 > 0 ,                           Δ      ⇒ Δ                  
logo a função possui dois zeros reais  
  
2° passo: ​Determinando as raízes utilizando a fórmula de Bhaskara 
=x = 2(1)
−(−7) ±√1
2
7±1 3 ou x⇒ x′ =   ′′ = 4  
 
3° passo: Com as raízes determinadas são x’ = 4 e x” = 3 , resta substituir na forma                                     
fatorada da equação:  
a(x ­ x’)(x ­ x’’) = 1(x ­ 4)(x ­ 3) = (x ­ 4)(x ­ 3) 
Assim a forma fatorada da equação  x² ­ 7x + 12 = (x ­ 4)(x ­ 3) 
 
Exercícios 
a) Fatore o trinômio x²  ­ 5x + 6. 
 
Solução  
Os coeficientes são: a = 1, b = ­5 e c = 6 e o discriminante da função = b² ­ 4.a.cΔ        ⇒ Δ
= (­5)​2 ​ ­ 4(1)(6) = 25 ­ 24 = 1  
Determinando as raízes: 
,  Como as raízes determinadasx = 2.a−b±
√Δ  ⇒ x = 2
5±√1 ⇒ x = 2
5±1  ou x⇒ x′ = 2 ′′ = 3   
x’ = 2 e x” = 3, substituindo na forma fatorada da equação:  
a(x ­ x’)(x ­ x’’) = 1(x ­ 2)(x ­ 3) = (x ­ 2)(x ­3) 
 
Logo, x² ­ 5 x + 6 = (x ­ 2)(x ­ 3) 
 
b) Simplifique a  expressão  
 
Fatorando o numerador que é uma diferença de dois cubos: x³ ­ 64 = x³ ­ 4³ = (x ­ 4)(x² +                                           
4x + 4²) = (x ­ 4)(x² + 4x + 16), temos: 
 
 
 
Simplificando os termos iguais ou proporcionais no numerador e denominador temos: 
 
 ⇒    
 
 
c)Simplifique a expressão      racional 
 
 
Solução: 
Observe que que o  numerador é uma diferença de dois quadrados (a ­ x) (a + x) e o  
 
denominador é um trinômio quadrado perfeito ou seja a​2 ­2ax +x​2 pode ser escrito                           
como (a ­ x)​2   
 
 
 
 
 
 
  ​Exercícios de fixação⇒