apostila de probabilidade

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PROBABILIDADE– PROF. MARCELO 
 
Conceitos iniciais 
 
Experimento aleatório: são experimentos que repetidos em condições idênticas apresentam diferentes resultados. 
Exemplos: a escolha de uma carta de um baralho, lançamento de um dado. 
 
Espaço Amostral: É o conjunto de todos os possíveis resultados de um experimento aleatório. Normalmente é indicado 
por Ω (letra grega chamada ómega). 
 
Exemplo: lançamos uma moeda honesta (chance de ocorrer cara é igual a de ocorrer coroa) e observamos a face 
voltada para cima. 
 
Temos: Ω = {K, C), K para cara e C para coroa. 
Número de elementos de Ω = n(Ω) = 2. 
Cada um dos dois resultados possíveis será chamado de ponto amostral 
 
Evento: é um subconjunto de resultados possíveis de um espaço amostral. 
Exemplo: num lançamento de um dado consideremos a possibilidade de ocorrer número primo como o evento E. 
Temos: 
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
E = {2, 3, 5}. 
n(Ω) = 6 e n(E) = 3 
 
Exercício: 
Uma moeda é lançada três vezes, sucessivamente, e anota-se a seqüência de faces obtidas. Determine os eventos: 
a) ocorrerem exatamente duas caras; 
b) ocorrerem exatamente duas caras consecutivas; 
c) ocorrerem no mínimo duas caras. 
 
Obs: 
1) Quando E = Ω, o evento é dito evento certo. 
2) Quando E = Ø, o evento é dito evento impossível. 
3) Evento complementar de E: EC = Ω - E 
 
Probabilidade em espaços amostrais equiprováveis. 
 
Consideremos um espaço amostral Ω, formado por k pontos amostrais: Ω = {a1, a2, a3, ..., an} 
 
Partiremos de duas idéias básicas que são: 
1. a probabilidade p de ocorrer um evento E, sempre é maior ou igual a zero e menor ou igual a um (0 ≤ p ≤1). 
2. o somatório das probabilidades de todos pontos amostrais de um espaço amostral é igual a 1. 
 
Espaços amostrais equiprováveis são aqueles cujos pontos amostrais têm a mesma probabilidade de ocorrer. 
 
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Exemplo: 
Num lançamento de dado qual é a probabilidade de ocorrer o número 5? 
Como Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, n(Ω) = 6. Logo a chance de ocorrer o número 5 será uma em 6 possibilidades. Escrevemos: 
6
1
. 
Podemos então dizer que a probabilidade de ocorrer cada número de um dado é 
6
1
. E o somatório destas 6 
probabilidades é: 
6
1
+
6
1
+
6
1
+
6
1
+
6
1
+
6
1
=
6
6
= 1. 
 
Assim temos a definição intuitiva de probabilidade de ocorrer um determinado evento - p(E), que é dada pela razão 
entre o número de casos favoráveis (ou números de casos que nos interessam) e o número de casos possíveis. 
 
p(E) = 
)n(
n(E)

= 
s”“´possívei casos de número
s”“favorávei casos de número
 
 
Exemplo: 
Um dado é lançado e observa-se o número da face voltada para cima. Qual a probabilidade desse número ser: 
a) menor que 3? 
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, n(Ω) = 6 
E1 = {1, 2}, n(E1) = 2 
p(E1) = 
)n(
)n(E1

= 
6
2
 ≈ 33,3 % 
 
b) maior ou igual a 3? 
Podemos seguir dois caminhos. 
Primeiro modo: 
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, n(Ω) = 6 
E2 = {3, 4, 5, 6}, n(E2) = 4 
p(E2) = 
)n(
)n(E2

= 
6
4
 ≈ 66,7 % 
 
Segundo modo: 
Podemos verificar que E2 é o evento complementar de E1, como a soma das probabilidades de E1 e E2 tem que ser 1, 
então temos que p(E2) = 1 - p(E1) = 1 – 33,3% = 66,7% 
 
Exercício: 
Uma moeda é lançada três vezes sucessivamente. Qual é a probabilidade de observamos: 
a) exatamente uma cara? 
Usando procedimentos de combinatória, sabemos que teremos três lançamentos e para cada um duas possibilidades, 
cara (K) ou coroa (C ). Logo o número de elementos do espaço amostral é 2 x 2 x 2 = 8. 
O evento E1 que nos interessa é {(K,C,C), (C,K,C), (C,C,K)}. Então n(E1)=3. 
Assim, p(E1) = 
)n(
)n(E1

 = 
8
3
= 37,5% 
 
b) no máximo duas caras? 
 
E2 = {(C,C,C), (K,C,C), (C,K,C), (C,C,K), (K, K, C), (K,C,K), (C,K,K)} 
Logo, p(E2) = 
)n(
)n(E2

 = 
8
7
= 87,5% 
 
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Probabilidade da união de dois eventos. 
 
Para A ∩ B = Ø, p(A U B) = p(A) + p(B) 
Para A ∩ B ≠ Ø, p(A U B) = p(A) + p(B) – p(A ∩ B) 
 
Exemplo: 
Uma urna contém 25 bolas numeradas de 1 a 25. Uma bola é extraída ao acaso dessa urna. 
a) Qual é a probabilidade de o número da bola sorteada ser múltiplo de 2 ou 3? 
Consideremos o evento A como “o número é múltiplo de 2”, e o evento B “o número é múltiplo de 3”. Queremos 
encontrar p(A U B). 
A = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24}, p(A) = 
25
12
 
B = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24}, p(B) = 
25
8
 
 
Observamos que há múltiplos de 2 que são também múltiplos de 3, isto é A ∩ B = {6, 12, 18, 24}. Logo não podemos 
esquecer de subtrair da soma p(A) + p(B) a p(A ∩ B), pois o evento A ∩ B foi computado duas vezes. 
Sendo assim: p(A ∩ B) = 
25
4
 e p(A U B) = 
25
12
+
25
8
-
25
4
= 
25
16
= 64% 
 
b) Qual é a probabilidade de o número da bola sorteada ser múltiplo de 5 ou 7? 
Primeiramente já podemos verificar que não haverá elementos de interseção entre os múltiplos de 5 e 7 antes de 25, pois 
o primeiro múltiplo que aparece depois de 25 é o 35. Logo já sabemos que neste caso p(A U B) = p(A) + p(B). 
 
A = {5, 10, 15, 20, 25}, n(A) = 5 e p(A) = 
25
5
. 
B = {7, 14, 21}, n(B) = 3 e p(B) = 
25
3
. 
p(A U B) = p(A) + p(B) = 
25
5
+ 
25
3
 = 
25
8
= 32% 
 
Exercício: 
A probabilidade de um guarda municipal aplicar quatro ou mais multas em um dia é de 63%; a probabilidade de ele 
aplicar quatro ou menos multas em um dia é de 56%. Qual é a probabilidade de o guarda aplicar exatamente quatro 
multas em um dia? 
 
Pelo enunciado percebemos que aplicar 4 multas pertence ao primeiro evento “aplicar quatro ou mais multas em um 
dia” e também ao segundo “aplicar quatro ou menos multas em um dia”. Logo o que se pede no problema é a 
probabilidade da interseção entre os dois eventos: 
p(A U B) = p(A) + p(B) – p(A ∩ B) 
onde p(A) = 63%, p(B) = 56% e p(A U B) = 100% (100% nesse caso, pois não há possibilidade de um número de 
multas não ocorrer em relação aos eventos dados). 
 
100% = 63% + 56% - p(A ∩ B), logo p(A ∩ B) = 19% 
 
 
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Probabilidade Condicional. 
 
p(A | B) = 
p(B)
B) p(A 
, lê-se: probabilidade de ocorrer A, sabendo-se que ocorreu B. 
 
Exemplo: 
Dado a tabela abaixo que diz o número de alunos de um curso preparatório inscritos nos concursos do BACEM e 
AFRF, responda: 
 
 Homens Mulheres Total 
BACEM 20 37 57 
AFRF 13 30 43 
Total 33 67 100 
 
Sabendo que uma pessoa escolhida é homem, qual é a probabilidade de que ela faça concurso para o BACEN? 
p(A | B) = 
p(B)
B) p(A 
= 
p(homem)
homem) e p(BACEN
= 
100
33
100
20
=
33
20
. 
 
Muitos problemas desse tipo podem ser resolvidos reduzindo o espaço amostral, como sabemos que será homem, o 
espaço amostral reduzido para o cálculo é 33, e assim temos p(A | B) = 
33
20
. 
 
Exercício: 
Uma urna contém 20 bolas numeradas de 1 a 20. Escolhe-se uma delas ao acaso e vê-se que o número nela marcado é 
maior que 8. Qual é a probabilidade desse número ser múltiplo de 5? 
 
Reduzindo o espaço amostral: 
Sabemos que ela tem que ser maior que 8, logo B = {9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20}. Casos possíveis de 
múltiplo de 5: A= {10, 15, 20}. 
 
p(A | B) = p(múltiplo de 5 | maior que 8) = 
4
1
12
3

 
ou pela fórmula: 
p(A | B) = 
p(B)
B) p(A 
= 
20
12
20
3
=
4
1
 
 
 
Probabilidade de dois eventossimultâneos (ou sucessivos). 
 
p(A ∩ B) = p(A) x p(B) 
 
Exemplos: 
1) Numa caixa estão guardados 20 livros, sendo 12 de Biologia e 8 de Geografia. Dois deles são retirados 
sucessivamente e sem reposição. Qual é a probabilidade de terem sido escolhidos 2 livros de Biologia? 
 
Vamos primeiro calcular a probabilidade do primeiro livro de biologia: p(B1) 
Como temos 20 livros no espaço amostral e 12 livros de Biologia. 
Logo p(B1) = 
20
12
 
 
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Já para calcular a probabilidade do segundo livro também ser de Biologia, não podemos esquecer que não haverá 
reposição, logo o número de elementos do espaço amostral fica reduzido para 19, e o número de livros de Biologia para 
11. Assim temos: 
p(B2) = 
19
11
 
p(B1 ∩ B2) = p(B1) x p(B2) = 
20
12
. 
19
11
= 
95
33
 
 
Qual será, então, então a probabilidade de escolhermos livros de assuntos diferentes? 
Há dois casos que nos interessam. Assim: 
 
p = p(B ∩ G) + (G ∩ B) 
p = 
95
48
19
12
20
8
19
8
20
12

 
 
2) Uma urna contém 5 bolas vermelhas e 3 brancas. Duas delas são retiradas sucessivamente e sem reposição. Qual é a 
probabilidade de terem saído 2 bolas brancas? 
Probabilidade de sair a primeira branca: p1 = 
8
3
 
Probabilidade de sair a segunda branca: p2 = 
7
2
 
p = p1 . p2 = 
8
3
. 
7
2
= 
28
3
 
E se fossem com reposição, qual seria a probabilidade? 
Probabilidade de sair a primeira branca: p1 = 
8
3
 
Probabilidade de sair a primeira branca: p2 = 
8
3
 
p = p1 . p2 = 
8
3
. 
8
3
= 
64
9
8
3
2






 
 
Experimentos Binomiais 
 
Há experimentos aleatórios que apresentam apenas dois possíveis resultados. Por exemplo, do lançamento de uma 
moeda só pode resultar cara ou coroa. 
Imagine um experimento dessa natureza repetido um certo número de vezes, em condições idênticas, levando-se em 
conta que essas repetições constituam eventos independentes. Chamamos este tipo de experimento de Binomiais. 
 
Uma moeda é lançada 5 vezes. Qual é a probabilidade de obtermos 3 caras (K) e 2 coroas (C)? 
 
Primeiramente, vamos calcular a probabilidade de ocorrer 3 caras e 2 coroas na seguinte ordem: KKKCC. 
 
p(K∩K∩K∩C∩C) = p(K). p(K). p(K). p(C). p(C) = 
2
1
.
2
1
.
2
1
.
2
1
.
2
1
=
32
1
 
 
Não podemos esquecer que existem outras ordens, como KKCCK entre outras possíveis. 
Na verdade temos uma permutação de 5 elementos com 3 repetições de K e duas repetições de C, assim: 
3,2
5P
= 
!2 !3
!5
= 
2
4.5
=10. 
Assim, existem 10 diferentes modos de ocorrer a 3 caras e 2 coroas, logo temos: 
p = 10 . 
32
1
= 31,25% 
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Exercício: 
A incidência de uma doença numa população é de 30%. Se 8 pessoas submetem-se a um teste para detecção da doença, 
qual é a probabilidade de 5 delas apresentarem teste positivo. 
 
D – doente, S - sadio. 
Supondo uma seqüência DDDDDSSS, podemos calcular a probabilidade a seguir: 
 
p(D ∩ D∩ D ∩ D ∩ D ∩ S ∩ S ∩ S) = p(D).p(D).p(D).p(D).p(D).p(S).p(S).p(S) 
p = 0,3 . 0,3 . 0,3 . 0,3 . 0,3 . 0,7 . 0,7 . 0,7 (30% para contrair a doença e 70% para não contrair). 
p = 0,3
5
 . 0,7
3
 
Não podemos esquecer que teremos outras sequencias que também trarão 5 doentes e 3 sadios. Calculando o número 
dessas possíveis seqüências, temos: 
 
5,3
8P
= 
!3 !5
!8
= 

2.3
6.7.8
56 
Portanto a probabilidade do problema é p = 56 . 0,3
5
 . 0,7
3
 ≈ 4,7%