Lista 1 - Vetores

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Universidade Federal de Sergipe -UFS
Departamento de Arquitetura e Urbanismo - DAU
Professor: Rafael Oliveira
Lista 1
Vetores e Geometria Anal´ıtica.
1. A figura 1 abaixo apresenta o losango EFGH inscrito no retaˆngulo ABCD,
sendo O o ponto de intersec¸a˜o das diagonais desse losango. Decidir se e´
verdadeiro ou falsa cada uma das seguintes afirmac¸o˜es:
Figura 1: *
(a)
−−→
EO =
−→
OG;
−−→
EH =
−→
CO;
−→
AO ‖ −→OC; −→AF = −−→CH;
(b) |−→AC| = |−−→BD|; −→AB ⊥ −−→OH; −−→DO = −−→HG; |−→OA| = 1
2
|−−→DB|;
(c)
−−→
EO ⊥ −−→CB; −→AF ‖ −−→CD; −→AO ⊥ −−→HF ; −−→OB = −−→FE.
2. Decidir se e´ verdadeiro ou falso cada uma das afirmac¸o˜es:
(a) Se ~u = ~v, enta˜o |~u| = |~v|;
(b) Se |~u| = |~v|, enta˜o ~u = ~v;
(c) Se ~u ‖ ~v, enta˜o ~u = ~v;
(d) Se ~u = ~v, enta˜o ~u ‖ ~v;
3. Dados os vetores ~u = (3, 1) e ~v = (−1, 2), determinar o vetor ~w tal que
(a) 4(~u− ~v) + 1
3
~w = 2~u− ~w;
(b) 3~w − (2~v − ~u) = 2(4~w − 3~u).
4. Dados os pontos A(−1, 3), B(2, 5) e C(3, 1), calcular −→OA−−→AB, −→OC −−−→BC
e 3
−→
AB − 4−−→CB.
5. Dados os vetores ~u = (2,−4), ~v = (−5, 1) e ~w = (−12, 6), determinar
escalares(nu´meros reais) k1 e k2 tal que ~w = k1~u+ k2~v.
6. Encontrar os escalares a, b tais que ~w = a~u + b~v, sendo ~u = (1,−2, 1),
~v = (2, 0,−4) e ~w = (−4,−4, 14).
7. Determinar x e y de modo que os vetores ~u = (4, 1,−3) e ~v = (6, x, y) sejam
paralelos.
8. Dados os vetores ~u = (1, a,−2a − 1), ~v = (a, a − 1, 1) e ~w = (a,−1, 1),
determinar a de modo que 〈~u,~v〉 = 〈(~u+ ~v), ~w〉.
9. Dados os pontos A(1, 2, 3), B(−6,−2, 3) e C(1, 2, 1), determinar o versor
do vetor 3
−→
BA− 2−−→BC.
10. Determinar o valor de x para que o vetor v = (x, 2
5
, 4
5
) seja unita´rio.
11. Dados os pontos A(3,m− 1,−4) e B(8, 2m− 1,m), determinar m de modo
que |−→AB| = √35.
12. Determinar os aˆngulos do triaˆngulo de ve´rtices A(2, 1, 3), B(1, 0,−1) e
C(−1, 2, 1).
13. Sabendo que o aˆngulo entre os vetores ~u = (2, 1,−1) e ~v = (1,−1,m+ 2) e´
pi
3
, determinar m.
14. Dados os vetores ~u = (2, 1, x), ~v = (x+2,−5, 2) e ~w = (2x, 8, x), determinar
o valor de x para que o vetor ~u+ ~v seja ortogonal ao vetor ~w − ~u.
15. Determinar o vetor ~v, ortogonal ao vetor ~u = (2,−3, 12) e colinear ao vetor
~w = (−6, 4,−2).
16. Provar que os pontos A(5, 1, 5), B(4, 3, 2) e C(−3 − 2 − 1) sa˜o ve´rtices de
um triaˆngulo retaˆngulo.
17. Os aˆngulos diretores de um vetor podem ser
pi
4
,
pi
3
e
pi
2
? Justificar.
18. Os aˆngulos diretores de um vetor sa˜o
pi
4
,
pi
3
e y. Determinar y.
2