Revisão - II unidade

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Revisa˜o - II Unidade
Integrac¸a˜o por Partes
A integrac¸a˜o por partes e´ uma te´cnica de integrac¸a˜o na qual uma escolha conveniente
de u e dv leva-nos a uma integral que e´ mais fa´cil de resolver.
Fo´rmula:
∫
u dv = uv −
∫
v du
Exemplo 1: Calcule a integral usando integrac¸a˜o por partes com a escolha de u e dv
indicadas.
a)
∫
x2 lnx dx; u = lnx, dv = x2 dx
b)
∫
θ cosθ dθ; u = θ, dv = cosθ dθ
Frac¸o˜es Parciais
I) Regra do Fator Linear
Para cada fator da forma (ax+ b)m, a decomposic¸a˜o das frac¸o˜es parciais sera´:
A1
ax+ b
+
A2
(ax+ b)2
+ ...+
A2
(ax+ b)m
onde A1, A2, ..., Am sa˜o constantes a serem determinadas.
Exemplo 2:
∫
1
x2 + 3x
.
Exemplo 3:
∫
x
x2 + 2x− 3.
II) Regra do Fator Quadra´tico
Para cada fator da forma (ax2 + bx+ c)m, a decomposic¸a˜o das frac¸o˜es parciais sera´:
A1x+B1
ax2 + bx+ c
+
A2x+B2
(ax2 + bx+ c)2
+ ...+
Amx+Bm
(ax2 + bx+ c)m
onde A1, A2, ..., Am, B1, B2, ..., Bm sa˜o constantes a serem determinadas.
Exemplo 4:
1
(x2 + 1)(x2 + 4)
.
III) Func¸o˜es Impro´prias (quando o numerador tem grau maior que o do denominador)
Exemplo 5:
∫
x4 − 2x2 + 4x+ 1
x3 − x2 − x+ 1 .