Lista 1 Matrizes

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Lista de Exerc´ıcios 1 - Gex102 - Geometria Anal´ıtica e A´lgebra Linear
UFLA - Departamento de Cieˆncias Exatas
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1. Sejam A =
(
1 0 2
4 1 3
)
, B =
(
3 0 1
4 2 −1
)
, C =
 1−1
5
 e D = (1 1). Calcule, quando poss´ıvel:
a) A + B
b) A–B
c) AB
d) BC
e) CD
f) DA
g) DAC
h) −A.
2. Sabendo que AB =
(
2 −3
−1 0
)
e AC =
(
2 −3
−6 −5
)
determine A(B+C), BtAt, CtAte (ABA)C.
3. Sejam A,B e C matrizes quadradas de mesma ordem. Simplifique as expresso˜es:
a) A{[(C + A)t − At]Bt}t
b) A[3(At + 1
3
B)]t − (BAt + 2AtAt)t
4. Determine a matriz X na equac¸a˜o matricial
(−7 2 1
6 4 −3
)
+2X =
(−11 0 3
8 12 5
)
5. Determine os valores de x, y e z para que:
a) as duas matrizes A =
(
3x2 − 4x 3x
5 0
)
e B =
(−1 1
5 0
)
sejam iguais;
b) a igualdade
(
2x z
x− y 1
)
−
(
1 7
7 1
)
=
(
3 2z
4 0
)
seja va´lida;
c) ABt = 0, onde A =
(
x 4 2
)
e B =
(
2 7 −8);
d) as matrizes A =
(
2 0
−3 4
)
e B =
(
3 x
y 1
)
comutem.
6. Seja A = (aij)3×3 dada por aij =

i− j, se i > j
i, se i = j
2j, se i < j
. Construa a mat riz A e, em seguida,
determine:
a) a multiplicac¸a˜o dos elementos da primeira linha;
b) a soma dos elementos da terceira coluna;
c) a12, a23 e a32;
1
d) a soma dos elementos da diagonal principal.
e) a21 · a31 - (a32)2.
7. Sejam A = (aij)2×3 dada por aij = 3i–2j, B = (bij)2×3 dada por bij = 2 + i + j, C = (cij)3×1
dada por cij = i · j e D = (dij)1×2 dada por dij = 2j
i
· (−1)i+j. Determine, se poss´ıvel:
a) A + B
b) ABt
c) (2A + B)C
d) AB
e) D(−B)
f) (A−B)t
g) CB
h) Dt
i) CB.
8. Uma matriz quadrada A e´ dita sime´trica quando A = At e antissime´trica quando A = −At.
a) Quais das matrizes abaixo sa˜o sime´tricas?
i.

3 7 0 1
0 4 2 0
4 2 0 7
1 0 7 2

ii.
9 7 87 2 5
8 5 6

iii.
(
2 3
3 0
)
iv.

0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0

b) Seja A =
 3 x2 32x− 1 −2 5
3 5 1
. Qual o valor de x para que A seja sime´trica?
c) Determine os valores de x e y a fim de que a matriz B =
(
x 2
−2 3y − 1
)
seja antissime´trica.
9. Se A =
(
3 −2
−4 3
)
, encontre uma matriz B tal que B2 = A.
10. Fazer os exerc´ıcios nume´ricos do Livro do Prof. Reginaldo das pa´ginas 17,18 e 19. Link do
livro.
11. Responda Verdadeiro ou Falso. Se verdadeiro apresente uma justificativa usando as pro-
priedades de matrizes; se falso, deˆ um exemplo mostrando o contra´rio.
a) Se podemos efetuar o produto AA, enta˜o A e´ uma matriz quadrada.
b) Se A e B sa˜o matrizes quadradas de ordem 2 tais que AB = 0, enta˜o BA = 0.
c) Se AB = 0, enta˜o A = 0 ou B = 0.
d) Existe uma matriz quadrada A de ordem 2 tal que A2 = A.
e) Se A e´ uma matriz quadrada de ordem n, n ∈ N∗ tal que A2 = 0, enta˜o A = 0.
2
f) Se A 6= 0 e A.B = A.C, enta˜o necessariamente B = C.
Uma matriz quadrada A = (aij)n×n e´ dita triangular superior se aij = 0, quando i > j.
Dizemos que A e´ triangular inferior se aij = 0, quando i < j. Um matriz quadrada e´
dita diagonal quando todos os elementos, exceto os da diagonal, sa˜o nulos. A diagonal e´
formada pelos elementos aii, isto e´, i = j.
g) Se A e´ uma matriz triangular inferior, enta˜o At e´ uma matriz triangular superior.
h) Se A e´ uma matriz sime´trica de ordem n, n ∈ N∗, enta˜o A− At = In, onde In e´ a matriz
identidade de ordem n.
i) Se A e´ uma matriz sime´trica de ordem n, n ∈ N∗, enta˜o A = At.
j) Toda matriz diagonal e´ sime´trica.
k) Toda matriz diagonal e´ ao mesmo tempo uma matriz triangular inferior e triangular
superior.
l) Dadas duas matrizes A e B quadradas de ordem 2, temos (AB)2 = A2B2.
m) Se A e B sa˜o matrizes quadradas de ordem 2, enta˜o (A−B)2 = (B − A)2.
12. Suponha que A e B sejam matrizes quadradas de mesma ordem. Explique por que podemos
dizer, em geral, que (A + B)2 6= A2 + 2AB + B2 e que (A + B)(A−B) 6= A2 −B2.
13. Encontre uma matriz A de ordem 2 tal que A = 2At.
14. Determine todas as matrizes diagonais A 2× 2 tais que comutam com toda matriz B 2× 2, ou
seja, tais que AB = BA, para toda matriz B2× 2.
15. Se A e´ uma matriz triangular inferior de ordem n, n ∈ N∗, determine A2.
16. A partir da pa´gina 22 do livro do Prof. Reginaldo fazer os exerc´ıcios 1.1.15, 1.1.16, 1.1.17,
1.1.18, 1.1.19, 1.1.21, 1.1.24, 1.1.25, 1.1.26 e 1.1.27.
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