CI_2011_2_PF

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1. Seja R a regia˜o do primeiro quadrante limitada pela para´bola y = x2 − 8x + 19 e pelas retas
y = 15 − 4x e x = 0.
(a) Esboce numa mesma figura a para´bola y = x2 − 8x + 19, a reta y = 15 − 4x e a regia˜o R.
(b) Use integrac¸a˜o sobre o eixo x para obter uma fo´rmula para a a´rea de R.
(c) Use integrac¸a˜o sobre o eixo y para obter uma fo´rmula para a a´rea de R.
(d) Use o item (c) para mostrar que a´rea(R) =
8
3
.
2. Seja R a regia˜o triangular de ve´rtices P1 = (1, 3), P2 = (2, 5) e P3 = (4, 3). A regia˜o R gira em
torno da reta y = −1 e forma o so´lido de revoluc¸a˜o S.
(a) Use o Me´todo das Cascas Cil´ındricas para obter uma fo´rmula para o volume de S.
(b) Use o Me´todo das Arruelas para obter uma fo´rmula para o volume de S.
(c) Mostre que vol(S) = 28pi.
3. Calcule as seguintes integrais:
(a)
∫
ln(x + 1)dx (b)
∫
1 + y
1 + y2
dy
4. Seja g : R→ R a func¸a˜o diferencia´vel que satisfaz as seguintes condic¸o˜es:
¬ g(0) = 0.
­ g ′(x) = (1 + 5x− 24x2)(3 − 10x), para todo x ∈ R.
Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento de g.
5. Um homem com 1, 8m de altura caminha para oeste em direc¸a˜o a um edif´ıcio, com velocidade
de 1, 5m/s. Se existe um ponto de luz no cha˜o a 15m do edif´ıcio, com que velocidade a sombra do
homem no edif´ıcio estara´ diminuindo, quando ele estiver a 9m do edif´ıcio?