3º EE+Gab_2014_2-Cálculo 2

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO
CCEN – DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA – A´REA2
CA´LCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2
TERCEIRO EXERC´ICIO ESCOLAR
SEGUNDO SEMESTRE DE 2014
28 de Janeiro de 2015
Respostas sem ca´lculos ou justificativas na˜o sera˜o aceitas.
1. Dada a integral iterada ∫ pi
0
[∫ pi
x
sen y
y
dy
]
dx,
(a) (0,5) Esboce a regia˜o de integrac¸a˜o.
Resoluc¸a˜o: A regia˜o e´ dada pelas desigualdades x ≤ y ≤ pi com 0 ≤ x ≤ pi.
1
2
3
4
5
x
y
(b) (1,0) Inverta a ordem de integrac¸a˜o.
Resoluc¸a˜o: Escrevendo x como func¸a˜o de y, observamos que a regia˜o pode ser
descrita limitando 0 ≤ x ≤ y com 0 ≤ y ≤ pi.
(c) (1,0) Calcule a integral.
Resoluc¸a˜o:
∫ pi
0
[∫ pi
x
sen y
y
dy
]
dx =
∫ pi
0
[∫ y
0
sen y
y
dx
]
dy
=
∫ pi
0
sen y
y
x
∣∣∣∣y
0
dy
=
∫ pi
0
sen y dy
= (− cos y)|pi0 = 2.
2. (3,0) Calcule
∫∫∫
S
√
x2 + y2 dxdydz, onde S e´ a regia˜o do espac¸o limitada lateralmente
pelo cilindro x2 + y2 = 1, superiormente pelo plano z = 4 e inferiormente pelo parabolo´ide
z = 1− (x2 + y2).
Resoluc¸a˜o: A regia˜o de integrac¸a˜o e´ da forma
x
y
z
Usando coordenadas cil´ındricas temos
1− r2 ≤ z ≤ 4, 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ θ ≤ 2pi.
Assim, pelo teorema de mudanc¸a de coordenadas∫∫∫
S
√
x2 + y2 dxdydz =
∫ 2pi
0
∫ 1
0
∫ 4
1−r2
r · r dz dr dθ
= 2pi
∫ 1
0
r2 · z
∣∣∣∣4
1−r2
dr
= 2pi
∫ 1
0
(3r2 + r4) dr
= 2pi
(
r3 +
r5
5
)∣∣∣∣1
0
=
12pi
5
.
3. (3,0) Calcule
∫∫∫
S
e(x
2+y2+z2)3/2 dxdydz, onde S e´ o so´lido limitado pela esfera de centro
na origem e de raio 4 e abaixo do cone z =
√
3(x2 + y2), contido no primeiro octante.
Resoluc¸a˜o: Usando coordenadas esfe´ricas temos que a esfera dada tem equac¸a˜o ρ = 4,
enquanto que o cone z =
√
3(x2 + y2) agora tera´ equac¸a˜o
ρ cosφ =
√
3[(ρ senφ cos θ)2 + (ρ senφ sen θ)2],
donde obtemos tanφ = 1/
√
3, ou seja, φ = pi/6. Assim, uma vez que S esta´ contido na
esfera de raio 4 temos 0 ≤ ρ ≤ 4. Ale´m disso, como S esta´ abaixo do cone e acima do
plano xy temos
pi
6
≤ φ ≤ pi
2
, e, por u´ltimo, 0 ≤ θ ≤ pi
2
, uma vez que S se encontra no
primeiro octante. Da´ı, usando o teorema de mudanc¸a de coordenadas∫∫∫
S
e(x
2+y2+z2)3/2 dxdydz =
∫ pi/2
0
∫ pi/2
pi/6
∫ 4
0
e(ρ
2)3/2ρ2 senφdρ dφ dθ
=
pi
2
· (− cosφ)
∣∣∣pi/2
pi/6
· 1
3
eρ
3
∣∣∣∣4
0
=
pi
√
3
12
(
e64 − 1) .
x
y
z
4. (1,5) Calcule ∫ 4
0
∫ (y/2)+1
y/2
2x− y
2
dxdy
aplicando a transformac¸a˜o
u =
2x− y
2
, v =
y
2
.
Resoluc¸a˜o: Dos limites de integrac¸a˜o temos que a regia˜o de integrac¸a˜o R, no plano xy, e´
a regia˜o dada por
y
2
≤ x ≤ y
2
+ 1, 0 ≤ y ≤ 4.
Resolvendo as equac¸o˜es da transformac¸ao dada para x e y em termos de u e v obtemos
u+ v =
2x− y
2
+
y
2
= x, 2v = y.
Assim,
Plano xy Plano uv Equac¸a˜o simplificada
x = y/2 u+ v = v u = 0
x = y/2 + 1 u+ v = v + 1 u = 1
y = 0 2v = 0 v = 0
y = 4 2v = 4 v = 2
Ou seja, a transformac¸a˜o relaciona a regia˜o R com o retaˆngulo 0 ≤ u ≤ 1, 0 ≤ v ≤ 2.
O Jacobiano da func¸a˜o e´
∂(x, y)
∂(u, v)
= det
(
1 1
0 2
)
= 2.
Finalmente, usando o teorema de mudanc¸a de coordenadas∫ 4
0
∫ (y/2)+1
y/2
2x− y
2
dxdy =
∫ 2
0
∫ 1
0
u
∣∣∣∣∂(x, y)∂(u, v)
∣∣∣∣ dudv
=
∫ 2
0
∫ 1
0
2u dudv = 2.