01 Metodos Quantitativos

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MÉTODOS QUANTITATIVOS
DANIELE SILVA MARQUES
MÉTODOS QUANTITATIVOS
DANIELE SILVA MARQUES
SOBRE A FACULDADE
O projeto da Faculdade de Educação, Tecnologia e Administração de Caarapó, nasceu das intenções 
assertivas e resilientes de profi ssionais da educação, que apoiados pelos ideais mais nobres e ouvidas as 
forças representativas da sociedade de Caarapó, resolveram instalar uma Instituição de Ensino Superior (IES) 
no município, considerando uma série de fatores, principalmente a necessidade social de implantação de uma 
IES nesse município brasileiro da região Centro-Oeste do Brasil, situado no Estado de Mato Grosso do Sul.
A FETAC, ocupa as instalações do imóvel cedido pela PM de Caarapó, via Lei Municipal Nº 1.158, de 3 de julho 
de 2013, com outorga de permissão de uso especial no período noturno de 12 (doze) salas de aulas e demais 
dependências da Escola Municipal Cândido Lemes dos Santos, localizada na AV.7 de setembro s/n - Jardim Santa 
Marta. Para tal, mediante parceria com a cedente, promoveu as adaptações correspondentes ao atendimento 
necessário ao cumprimento das exigências curriculares dos dois cursos em funcionamento e o de Pedagogia a 
ser ofertado a partir do ato de autorização, aja vista o processo em tramitação junto ao INEP/MEC.
Considerando o rápido desenvolvimento sócio-econômico no âmbito empresarial e da expansão 
contemporânea na área das instituições educacionais, reafi rmando a crescente necessidade de formação 
de administradores empreendedores e competentes para a gestão das organizações ante aos desafi os da 
Globalização, bem como a necessidade de profi ssionais de educação com elevado caráter pedagógico a 
serem inseridos no processo da intervenção junto, por exemplo, a indivíduos com necessidades educacionais 
especiais, a FETAC atenta às questões da sociedade do empreendedorismo e das organizações empresariais, 
carentes de inovação e as decorrências de investimentos em medidas de política social pública, - procurará 
fi rmar parceria com a Associação Comercial e Industrial de Caarapó e com as Secretarias Municipais de 
Educação da região do entorno geográfi co, visando realizar projetos de interesse da comunidade.
Ficha catalográ� ca realizada pela bibliotecária – Ofélia Cristina X. de Andrade L. Costa - CRB 8º/8014.
Este livro é publicado pelo Programa de Publicações Digitais da Faculdade Católica Paulista
Ficha catalográfi ca - Serviço de Biblioteca e Documentação – 
Faculdade de educação, tecnologia e administração de Caarapó
APRESENTAÇÃO
livro: MÉTODOS QUANTITATIVOS
Daniele Silva Marques
Olá querido aluno!
Primeiramente gostaria de dizer que é um prazer imenso ter sido convidada para escrever este material de Métodos 
Quantitativos para você e assim poder contribuir com sua aprendizagem no Ensino Superior, mais precisamente no seu 
curso de Graduação.
Eu sou a professora especialista Daniele Silva Marques, graduada em Matemática e Pedagogia. Especialista em Do-
cência no Ensino Superior e Educação Especial e Inclusiva. Tenho experiência na área de exatas no Ensino Fundamental 
I e II, no Ensino Médio e Superior.
Bom, este material tem o objetivo de ampliar seus conhecimentos acerca da Matemática, bem como a aplicabilida-
de desta importante Ciência no cotidiano das pessoas e compreensão de fatos e dados matemáticos existentes no dia 
a dia de todos nós.
Assim, começaremos nossos estudos na Unidade I estudando acerca das Funções. Nesta primeira unidade conhe-
ceremos as principais funções matemáticas que estão presentes em diversas situações do nosso cotidiano com a fi na-
lidade de explanar dados das mais diversas situações, contextos, e diversas áreas do conhecimento, tais como ciência, 
tecnologia, contabilidade, saúde, entre outras aplicabilidades.
Na Unidade II faremos um estudo sobre o lucro oferta, demanda, custo, receita e lucro marginal e as aplicações na 
contabilidade e economia, bem como a relação destes conteúdos com o dia a dia.
Na Unidade III faremos um breve estudo acerca do Cálculo Numérico. O Cálculo numérico nos trará um estudo 
acerca das sucessões ou sequências, sobre os limites, derivadas e integrais, relacionando sempre a praticidade destes 
importantes conteúdos matemáticos nas principais ciências do nosso cotidiano, tais como engenharia, contabilidade, 
arquitetura e na matemática elementar. 
Espero que eu possa contribuir com a sua aprendizagem com este material todo especial que preparei para você.
BoNs EstUDos!
SUMÁRIO
UNIDADE I – FUNçõEs I ............................................................... 13
Introdução .................................................................................................. 14
Função afi m ou função polinomial do 1º grau ........................................ 15
Estudo de sinal de uma função afi m ........................................................ 16
Função linear .............................................................................................. 17
Função quadrática ou função polinomial do 2º grau ............................. 17
 Sinal da função quadrática ...................................................................... 22
Inequações de 2º grau .............................................................................. 24
Função exponencial .................................................................................. 25
Potenciação: .............................................................................................. 25
Radiciação: ................................................................................................. 26
Equação exponencial ................................................................................ 26
Função exponencial .................................................................................. 27
Inequações exponenciais ......................................................................... 28
Função logarítmica .................................................................................... 29
Condições de existência: .......................................................................... 30
Consequências da defi nição: ................................................................... 30
Sistema de logaritmos .............................................................................. 31
Propriedades dos logaritmos ................................................................... 31
Mudança de base ...................................................................................... 32
Definição de função logarítmica .............................................................. 33
Inequações logarítmicas .......................................................................... 35
UNIDADE II – FUNçõEs: PArtE II ................................................. 41
Introdução ................................................................................................. 42
Função receita marginal ............................................................................ 44
Função produtividade marginal ............................................................... 45
Sucessões ou sequências .......................................................................... 48
Convergência de funções ........................................................................ 49
Divergência de funções ............................................................................ 49
Limites de função ...................................................................................... 51
Formas indeterminadas ............................................................................ 53
Limites infinitos .......................................................................................... 54
Limitesnos extremos do domínio ............................................................ 55
Continuidade de uma função ................................................................... 57
Limite exponencial fundamental .............................................................. 60
Limite trigonométrico fundamental: ....................................................... 61
UNIDADE III- As FUNçõEs E sUAs APlIcAçõEs 
NA árEA EcoNômIcA .......................................................................67
Introdução .................................................................................................. 68
Derivadas .................................................................................................... 69
Conceito de derivada 
derivada de uma função num ponto ....................................................... 71
Função derivada ........................................................................................ 72
Propriedades operatórias ......................................................................... 76
Interpretação geométrica da derivada .................................................... 83
Diferencial de uma função ........................................................................ 85
Regras de l’hospital ................................................................................... 92
Integral definida......................................................................................... 99
Técnicas de integração ............................................................................. 102
Integração por substituição ...................................................................... 103
Integração por partes ................................................................................ 104
Integração de algumas funções racionais ............................................... 105
Integrais duplas ......................................................................................... 107
Integrais iteradas ....................................................................................... 109
Integrais duplas em regiões genéricas .................................................... 111
Cálculo da derivada dupla sobre regiões planas genéricas .................. 111
2-Regiões planas inscritas em faixas horizontais: ................................... 112
Propriedades das integrais duplas: .......................................................... 114
Integral tripla .............................................................................................. 115
Referências bibliográficas ......................................................................... 121
13Faculdade de educação, tecnologia e administração de Caarapó
UNIDADE 1
UNIDADE I – FUNÇÕES I
Objetivo de Aprendizagem
•	 Despertar	um	conhecimento	acerca	das	Funções.
•	 Compreender	o	significado	das	funções	e	suas	aplicabilidades	no	cotidiano	das	pessoas.
•	 Aplicar	as	funções	no	exercício	da	Ciência,	da	tecnologia.
•	 Refletir	acerca	das	funções	e	sua	aplicabilidade	na	formação	do	profissional	formado	em	Ciências	Contábeis.
•	 Desenvolver	a	capacidade	de	organização	do	raciocínio,	a	capacidade	de	indução	e	dedução,	e	a	
abstração,	bem	como	atitudes	como	a	iniciativa,	a	persistência,	a	autoconfiança	e	a	cooperação.
•	 Apresentar	uma	matemática	como	ferramenta	útil	na	representação	e	na	interpretação	de	situações	
cientificas	do	trabalho	cotidiano.
Plano de Estudo
Serão	abordados	os	seguintes	tópicos:
•	 Função	de	1º	grau;
•	 Função	de	2º	grau;
•	 Função	exponencial;
•	 Função	Logarítmica
Daniele Silva Marques
14 Faculdade de educação, tecnologia e administração de Caarapó 
Titulo do livro
UNIDADE 1
INtroDUÇão
Ao longo dos séculos, a noção de função foi 
construída. Certamente, esta noção sem sempre foi 
a mesma que conhecemos nos dias de hoje. 
Noções simples de funções foram detectadas 
pelos Babilônios, tais como a tábua de quadrados, 
cubos, raízes quadradas, que foram utilizadas na 
Antiguidade, mais precisamente na Astronomia.
Os Pitagóricos estabeleceram a utilização des-
sas funções na Física, mais precisamente na altura 
de sons e cordas vibrantes, na Acústica, onde os as-
trônomos, mais precisamente na época alexandri-
na, construíam tabelas com comprimentos de cor-
das de um círculo, conhecidos como raios, registra-
das no livro escrito por Ptolomeu, denominado Al-
mageste, que foi publicado nos anos 125 e 150 D.C.
O bispo francês Nicolas Oresme, que constituiu 
a noção de reta descrevendo a trajetória da velo-
cidade de um móvel no decorrer do tempo, sendo 
a velocidade descrita na reta horizontal e o tempo 
variando na vertical.
René Descartes, em 1637, no século XVII estabe-
leceu a relação entre as grandezas e a correspon-
dência entre pontos de um plano. Keppler (1571 – 
1630) com a descoberta das leis sobre as trajetórias 
planetárias e Galileu (1564 – 1642) com o estudo da 
queda dos corpos e a relação entre espaço e tem-
po, também contribuíram com seus estudos para o 
desenvolvimento do estudo das funções.
Foi no século XIII que o matemático alemão 
Gottfried Leibniz (1646 – 1716), muito rigoroso 
com a linguagem matemática que se utilizou pela 
primeira vez o termo função, no desenvolvimento 
da Análise Matemática. 
No séc. XVIII, o matemático alemão Leibniz (1646 
– 1716), muito rigoroso com a linguagem matemá-
tica, inventou vários termos e símbolos. Foi ele que 
utilizou pela primeira vez o termo função no desen-
volvimento da Análise Matemática.
Porém foi Leonard Euler (matemático alemão), 
pensava que “Se x é uma quantidade variável, então 
toda a quantidade que depende de x de qualquer 
maneira, ou que seja determinada por aquela, cha-
ma-se função da dita variável”. Assim, este famoso 
matemático suíço utilizou a notação f(x). Euler, junta-
mente com Daniel Bernoulli(matemático suíço), em 
1718, escreveram a primeira definição de função. 
Mas foi somente no século XIX que Peter Di-
richlet, em 1829,desenvolveu o significado mais 
amplo de função, que considera a função com y 
15Faculdade de educação, tecnologia e administração de Caarapó
Autor do livro
- variável dependente com os seus valores fixos ou 
determinados por uma regra dependendo dos valo-
res atribuídos à variável independente - x.
Atualmente, sabe-se que esse conceito de fun-
ção, é um conjunto de estudos de vários matemá-
tico e até mesmo físicos no decorrer de muitos sé-
culos, onde sem dúvidas, contribuíram muito para 
a compreensão, evolução científica e evolução no 
modo de percepção das pessoas acerca das infor-
mações sociais que a utilizam.
Sendo assim, estudaremos nesta unidade, o com-
portamento e aplicabilidade das mais diversas fun-
ções, tendo como base o estudo desses estudiosos 
no decorrer destes séculos até a atualidade.
Bons Estudos!
FUNÇão AFIm oU FUNÇão polINomIAl 
Do 1º grAU
Chamamos de função afim ou função polinomial 
do 1º grau, uma função f de A em B, dada por uma 
lei escrita na forma f(x)=a x + b, sendo que a e b são 
números reais e o coeficiente a 0.Nesta lei, b é um 
número real chamado de termo constante. O gráfi-
co desta função é uma reta.
Exemplo:
Vamos construir o gráfico da função y=3x-1
Construir este gráfico é bastante simples. 
Acompanhe o passo a passo a seguir:
•	 Primeiro vamos fazer x=0, obteremos
•	 Depois vamos fazer o contrário
Observe que: se a f(x) ou y forem iguais a zero, fi-
caremos com a seguinte lei:
f(x)=ax+b
0 = ax+b
ax = -b
x=
16 Faculdade de educação, tecnologia e administração de Caarapó 
Titulo do livro
UNIDADE 1
esta lei obtida chamamos de zero ou raiz da fun-
ção de 1ºgrau.
Exemplo:
Encontre o zero da função f(x)=2x+2.
EStUDo DE SINAl DE UmA FUNÇão AFIm
O estudo de sinal de uma função afi m é dada 
perante três condições:
EXEMPLO:
Determinar os valores reais de x para, dada a fun-
ção f(x)=2x+4, segundo as condições apresentadas 
pela função:
O zero da função é:
f(x) = 0 2x+4= 0 2x= -4 x=-2
Logo o esboço do gráfi co desta função é:
Resumindo: 
•	 A função é dita crescente quando o coefi -
ciente a > 0.
•	 A função é dita decrescente quando o coe-
fi ciente a < 0.
•	 Se os valores de x aumentam, os valores de 
y aumentam também.
•	 Se os valores de x diminuem, os valores de y 
também diminuem.
17Faculdade de educação, tecnologia e administração de Caarapó
Autor do livro
FUNÇão lINEAr
A função linear nada mais é que um tipo particu-
lar de função afim. Esta função possui uma lei de for-
mação que parte da lei de formação da função afim 
f(x) = ax+b. Só que na função linear o termo inde-
pendente (b) é igual a zero: b = 0
Exemplo:
Construa o gráfico da função f(x)=2x
Assim como a função afim, a função linear pode 
ser crescente ou decrescente.
FUNÇão qUADrátIcA oU FUNÇão 
polINomIAl Do 2º grAU
Chamamos de função quadrática ou função polino-
mial do 2º grau, toda a função cuja lei de formação é 
dada na forma f(x)=ax²+bx+c, se cada elemento x as-
socia-se com a função, com a *∈� ,b∈� e c∈� .
f(x)=ax²+bx+c
OBserve Os exemplOs A seguir:
Dada a função f(x) = -2x²+x+1, determine a f(-2) 
e a f(1)
f(-2)= - 2.(-2)²+(-2) +1
f(-2)= -8-2+1
f(-2)= -9
f(1)= - 2.(1)²+(1) +1
f(1)= - 2. 1+ 1 +1
f(1)= - 2+2
f(1)= 0
Gráfico da Função Quadrática: Todo o gráfico 
de uma função quadrática, cuja lei de formação é 
18 Faculdade de educação, tecnologia e administração de Caarapó 
Titulo do livro
UNIDADE 1
y = ax²+bx+c, dá origem a uma curva denomina-
da parábola. Na parábola a abertura ( seja ela vi-
rada para cima ou para baixo como o esquema a 
seguir) formada é chamada de concavidade. 
Esta parábola pode ser com a concavidade vira-
da para cima se e com a concavidade virada 
para baixo, se .
 
< 
∩ 
a 0 
 
> 
∪ 
a 0 
Acompanhe nos exemplos a seguir como é sim-
ples a construção deste gráfico:
1. Construa o gráfico da função y= x²-2x-3
Primeiramente devemos atribuir valores para x.
Note que: A concavidade deste gráfico está vira-
da para cima pois . 
2. Construa o gráfico da função f(x)=-x²+3x
•	 Primeiramente devemos atribuir os valores para x 
e encontrarmos a imagem y.
•	 Posteriormente construir o gráfico, marcar os pares 
ordenados obtidos e traçar a curva obtida.
ZerOs Ou rAÍZes DA FuNÇÃO QuADrÁTiCA: 
Chamamos de zeros da função quadrática ou raízes 
da função, quando a parábola da função intercepta 
o eixo das abscissas em dois pontos, ou seja, tere-
mos obrigatoriamente dois pares ordenados da se-
guinte forma:(x’, 0) e (x’’, 0).
Para encontrarmos esses zeros ou raízes utiliza-
mos a fórmula de Bháskara
19Faculdade de educação, tecnologia e administração de Caarapó
Autor do livro
Saiba que:
•	 Duas raízes reais e diferentes, x’ x’’. 
•	 A parábola intercepta o eixo do x em dois 
pontos diferentes.
http://www.alunosonline.com.br/matematica/funcao-do-2-grau.
html. Data de acesso: 31 de março de 2013.
•	 Não existem raízes reais
•	 A parábola não intercepta o eixo do x.
http://www.alunosonline.com.br/matematica/funcao-do-2-grau.
html. Data de acesso: 31 de março de 2013.
•	 Duas raízes reais e iguais, x’=x’’
•	 A parábola intercepta o eixo do x em um único 
ponto.
http://www.alunosonline.com.br/matematica/funcao-do-
2-grau.html. Data de acesso: 31 de março de 2013.
vérTiCe DA pArÁBOlA
Podemos determinar o vértice da função sem o 
gráfico. Primeiramente, precisamos saber que as co-
ordenadas do vértice são dadas por um ponto que 
pertence ao eixo das abscissas e outro que pertence 
ao eixo das ordenadas: ( ),v vV x y= .
Esses pontos, vy e vy , podem ser determinados 
pelas seguintes fórmulas:
 
 
VÉRTICE 
 
 
20 Faculdade de educação, tecnologia e administração de Caarapó 
Titulo do livro
UNIDADE 1
Exemplos:
Seja a função y= x²-2x-2, determine:
a-O vértice desta função;
b-A concavidade deste gráfico é voltada para ci-
ma ou para baixo? Justifique sua resposta.
Primeiramente calculamos o vértice da função 
pedida:
( 2) 2 1
2 2.1 2v
bx
a
−
= − = − = =
(12) 12 3
4 4.1 4v
y
a
∆
= − = − = − = −
 
Logo V(1,-3)
b-Já a concavidade desta função, dever estar vol-
tada para cima, pois 
Observe os exemplos a seguir do estudo dos sinais 
no através das funções:
1. Dada a função f(x)=(k-1)x²-x-1, estude a concavi-
dade da parábola em função de k.
Note que o coeficiente de x² é o k-1, e este coefi-
ciente de x² pode ser maior do que zero e menor do 
que zero jamais igual a zero para uma função qua-
drática. Logo:
•	 a parábola tem concavi-
dade para cima
•	 a parábola tem concavi-
dade para baixo
2. Determine o valor de p para que a função 
f(x)=(-2p-2)x²+2x-1, seja do 2º grau. 
Para que esta função seja do 2º grau, o coefi-
ciente de x², neste caso -2p-2 deve ser maior do 
que zero, ou seja:
-2p-2 0
-2p 2
p -1
3. Determine o valor de n para que a função 
f(x)=x²+2c+(-4m+8), tenha duas raízes reais e iguais.
Sabemos que: para tal condição 0∆ = , logo 
² 4b ac∆ = −
2²-4.1.(-4m+8)=0
4+16m-32=0
16m= 28
m = 
28
16
7
4
=
21Faculdade de educação, tecnologia e administração de Caarapó
Autor do livro
vAlOr mÍNimO Ou mÁximO DA FuNÇÃO 
QuADrÁTiCA
Exemplos utilizando o Ponto de máximo e o Ponto 
de Mínimo
1. Dada a função y=2x²+3x-1, determine o seu 
conjunto imagem.
Primeiramente vamos calcular o discriminante :
Logo em seguida determinamos o
 
Como já sabemos que a concavidade da pará-
bola está voltada para cima, pois , temos que:
Im= .
2. Determine o valor de g, de modo que o valor má-
ximo de y=-x²-x+3g, seja 2.
Desta função podemos saber que :
, segundo o enunciado do 
exercício. Logo fazemos:
12g = -9
22 Faculdade de educação, tecnologia e administração de Caarapó 
Titulo do livro
UNIDADE 1
 SINAl DA FUNÇão qUADrátIcA
O que devemos saber primeiramente pa-
ra realizarmos o estudo do sinal de uma função 
quadrática?
Para realizar o estudo do sinal de uma função do 
tipo f(x) = ax² + bx+ c, com , devemos calcular 
o valor do discriminante e saberemos o sinal do 
coeficiente a.
Exemplos:
Faça estudo do sinal de cada uma das funções quadráticas a seguir:
1-f(x)=-x²+2x-3
23Faculdade de educação, tecnologia e administração de Caarapó
Autor do livro
2- f(x)=x²-6x+9
3-f(x)=x²-7x+10
24 Faculdade de educação, tecnologia e administração de Caarapó 
Titulo do livro
UNIDADE 1
INEqUAÇÕES DE 2º grAU
Para resolvermos esse tipo de inequação, deve-
mos aplicar o estudo do sinal da função quadrática. 
Quando se resolve esse tipo de inequação, signifi -
ca que devemos determinar valores reais para x que 
satisfaçam a inequação dada.
Analise os exemplos a seguir:
1. Resolva a inequação 
Como e 
Como 
2. Resolva a inequação -4x²+11x-6 0
Como e 
Como 
O primeiro link de vídeo é um vídeo auxiliar 
para ampliar seus conhecimentos sobre o Es-
tudo de sinais da função quadrática feito pelo 
professor Jailton Sousa. <http://www.youtube.
com/watch?v=6YqKA4Uiuz0> . Data de aces-
so: 13 de maio de 2013
O primeiro link de vídeo é um vídeo au-
xiliar para ampliar seus conhecimentos 
25Faculdade de educação, tecnologia e administração de Caarapó
Autor do livro
FUNÇão ExpoNENcIAl
Estudara função exponencial é bastante simples. 
Porém Vamos recordar algumas curiosidades da Po-
tenciação e da Radiciação.
potENcIAÇão: 
Considere , , , temos que: 
Se o expoente é negativo, temos que:
Propriedades: Para m∈� ,n ∈� , a ∈� e b ∈�
, temos que:
sobre o Estudo de sinais da função qua-
drática feito pelo professor Jailton Sousa. 
<http://www.youtube.com/watch?v=6Y-
qKA4Uiuz0> . Data de acesso: 13 de maio de 
2013
26 Faculdade de educação, tecnologia e administração de Caarapó 
Titulo do livro
UNIDADE 1
rADIcIAÇão:
Considere , , , temos que: 
Assim, , para radicais de índice 
par, devemos ter 0. 
Propriedades: Para a ∈� , b ∈� ,n 
*∈� , m 
*∈�
, temos que: 
1) . .n n na b a b=
2)
n
n
n
a a
bb
=
.3) n m n ma a=
*4)( ) np pn a a p= = ∈�
. . *5) n pn m m pa a p= = ∈�
Para radicais de índice par, devemos ter 
0.
EqUAÇão ExpoNENcIAl
Dizemos que uma equação é exponencial quan-
do uma incógnita está no expoente, seguindo a de-
finição 
xa b= ,com a
*
+� , 1a ≠ . 
Assim, temos que :
5 125x = e 
23 27x− = .
Exemplos:
1. Determine o valor de x, para a expressão: 2x =32
5
2 32
2 2
x
x
=
=
Simplificamos as duas bases que estão igualadas, 
obteremos: 
5x =
S={5}
2. Determine o valor de x, para a expressão 
43 81x− =
4
4 4
3 81
3 3
x
x
−
−
=
=
Simplificamos as duas bases que estão igualadas, 
obteremos: 
4 4− =
S= {8}
3. Determine o valor de x para a expressão:
5
1
2
1
5 2
1
35 2
2 3
5 2
14
8
4 8
(2²) (2 )
2 2
x
x
x
x
−
−
−
=
=
=
=
27Faculdade de educação, tecnologia e administração de Caarapó
Autor do livro
Simplificamos as duas bases que estão igualadas, 
obteremos:
2 3
5 2
4 15
15
4
x
x
x
= −
= −
= −
15
4
S  = − 
 
FUNÇão ExpoNENcIAl
Chamamos função exponencial :f →� � , defi-
nida por f(x)= xa , dado um número real a , tal que 
1 a≠ , sendo a a base desta função, como: 
*( ) ;xf x a a += ∈�
Essa definição se deve porque:
•	 Porque se a=1, f(x)= =1, e para todo x∈� , então 
a f(x)=1, que é uma função constante.
•	 Se a=0, f(x)= , não existe para determina-
dos valores de x, (por exemplo para x=-2, f(x)=
, que não tem significado em � .
•	 Se , f(x)= , nem sempre existirá, pois, 
por exemplo, se a=-4 e x= , f(x)= não 
pertence a � .
grÁFiCO DA FuNÇÃO expONeNCiAl
Exemplo:
Construa os gráficos das funções
f(x)= e f(x)= .
Construiremos primeiramente o gráfico da pri-
meira função.Atribuímos valores para x e depois li-
gamos os pares ordenados obtidos. 
28 Faculdade de educação, tecnologia e administração de Caarapó 
Titulo do livro
UNIDADE 1
Construindo o gráfico da segunda função f(x)=(1/2)x obteremos:
Depois marcamos no gráfico construído os pon-
tos encontrados na tabela, unem-se estes pontos e 
obteremos o gráfico da função.
Pode-se observar que : o domínio desta função é 
D(f)= � e a imagem é sempre 
INEqUAÇÕES ExpoNENcIAIS
Dizemos que uma inequação é exponencial 
quando a incógnita está n o expoente. Assim pode-
mos dizer que as inequações são usadas para deter-
minar um intervalo de modo que a desigualdade de 
certas expressões seja válida.
Para resolver esses tipos de inequações, algumas 
condições devem ser obedecidas: 
Exemplos:
1. Resolva as seguintes inequações em � .
Como as bases para ambos os lados do sinal já 
estão igualadas, basta simplificarmos estas e fica-
mos com a equação :
29Faculdade de educação, tecnologia e administração de Caarapó
Autor do livro
Logo o conjunto solução é:
b-
Note que neste caso, as bases não estão 
iguais. Devemos igualá-las transformando o 254 
em potência. Veja
Agora que as bases estão iguais, simplificamo-las 
e obteremos que: 
Logo o conjunto solução é
S = ]- 4[
c-
Decompondo o número 4, a inequação pode ser 
escrita da seguinte forma: 
Fazendo , e substituindo esses 
valores na inequação obtemos que: 
Aplicando a fórmula de Bháskara descobriremos 
as raízes desta inequação: 
Graficamente representando esta solução obte-
remos que: 
Logo .
Como , teremos que :
Simplificando esta inequação que para todos os 
lados dos sinais possui bases iguais, obteremos:
Assim, a solução fica: 
S= [1,2]
FUNÇão logArítmIcA
Antes de estudarmos as funções logarítmi-
cas, estudaremos um pouco sobre os logaritmos, 
30 Faculdade de educação, tecnologia e administração de Caarapó 
Titulo do livro
UNIDADE 1
propriedades dos logaritmos, mudança de base dos 
logaritmos e equações logarítmicas.
A ideia de logaritmo é muito simples. Esse 
termo LOGARÍTMO, é uma denominação 
para expoente. Se a e b são números reais po-
sitivos, com , chamamos de logaritmo 
de a na base b, o expoente real x ao qual se 
eleva b para obter a. Então podemos definir 
logaritmo como sendo:
Destacamos os seguintes elementos:
•	 a= Base do logaritmo;
•	 b = logaritmando ou antilogaritmo
•	 x = logaritmo
O logaritmo de b na base a é o expoente que de-
vemos atribuir ao número a para obter b.
Seguindo a definição, vamos determinar o valor 
de x em alguns exemplos:
Simplificamos as bases iguais, e obteremos: 
=3²
Simplificamos as bases iguais, e obteremos:
x= -2
coNDIÇÕES DE ExIStêNcIA:
coNSEqUêNcIAS DA DEFINIÇão:
31Faculdade de educação, tecnologia e administração de Caarapó
Autor do livro
Exemplos:
Determine o valor de a aplicando a definição dos 
logaritmos.
A-
5a=1
a=
B- 
Neste caso o logaritimando contém a incógnita. 
Logo a condição de existência é:
x
Quando a base não aparece, esta é 10.
x-3
x 
(x-1)² = 4(x²-2.1.(-1)+1 = 4x²+2+1=4
x²=1
x= 1
SIStEmA DE logArItmoS
Chamamos de Sistema de Logaritmos de base 
ao conjunto formado pelos logaritmos nessa 
Base, de todos os números reais positivos. Os sis-
temas de logaritmos mais usados são:
•	 Sistema de logaritmos decimais ou logaritmos de 
Briggs: Este é o sistema de base 10. Este tipo 
de logaritmo de um número *x +∈� ,é indicado 
log x , ficando implícito que a base é 10.
•	 Sistema de logaritmos neperianos ou logaritmos 
naturais (ln): Este é o sistema de base e. Este lo-
garitmo natural é indicado por loge xou . O 
número e=2,718... é irracional, conhecido como 
número de euler.
proprIEDADES DoS logArItmoS
EXEMPLO: 
log3 (81.9) = log3 81 + log39
Primeiramente resolveremos cada um dos loga-
ritmos separadamente, logo:
32 Faculdade de educação, tecnologia e administração de Caarapó 
Titulo do livro
UNIDADE 1
Substituindo os valores encontrados na equação 
dada, teremos que:
log3 (81.9) = 4 + 2 
 log3 (81.9) = 6
Exemplo:
 = + 
Primeiramente resolveremos cada um dos lo-
garitmos separadamente, logo:
Substituindo os valores encontrados na equação 
dada, teremos que:
 = + = 
Exemplos:
mUDANÇA DE bASE
Quando operamos logaritmos, podemos ve-
rificar que estas operações só podem ser resol-
vidas se estes tiverem a mesma base. Agora va-
mos estudar como ocorre este processo de mu-
dança de base. Consideremos primeiramente que: 
, temos: 
Exemplos
a-Vamos escrever na base 3.
= 
b-Dado log 2=x, calcule .
Primeiramente devemos mudar o logaritmo pedido 
para a base do que já possuímos, ou seja a base 10:
= = = = 
33Faculdade de educação, tecnologia e administração de Caarapó
Autor do livro
c-Sendo log 2=a e log 3=b, calcule .
Note que as duas funções iniciais estão na base 10, 
logo deveremos fazer a mudança de base da equação 
logarítmica desejada: 
= = =
d-Simplifique a expressão
.
Primeiramente devemos realizar amudança de base para a menor base, neste caso 4.
DEFINIÇão DE FUNÇão logArítmIcA
Denominamos função logarítmica de base a ( ) a função que associa cada elemento x positivo 
o seu logaritmo nessa base, ou seja, Toda função definida pela lei de formação f(x) = logax. Nesse tipo de 
função o domínio é representado pelo conjunto dos números reais maiores que zero e o contradomínio, o 
conjunto dos reais.
34 Faculdade de educação, tecnologia e administração de Caarapó 
Titulo do livro
UNIDADE 1
grÁFiCO DA FuNÇÃO lOgArÍTmiCA
Este tipo de gráfico pode ser crescente ou decrescente. Observe no quadro abaixo o comportamento da 
curva para cada um dos casos.
Função crescente, pois x1> x2 
 loga x1>logax2
Função decrescente, pois x1> x2
 loga x1<logax2.
Exemplos:
1. Construa o gráfico das funções a seguir:
a-Construa o gráfico das funções y =2xe y =log2 x
35Faculdade de educação, tecnologia e administração de Caarapó
Autor do livro
INEqUAÇÕES logArítmIcAS 
Definimos inequações logarítmicas as ine-
quações em que as variáveis aparecem na base 
ou no logaritmando. Para que você possa resol-
vê-las deve obedecer a condições de existência 
dos logaritmos.
1. Resolva a Inequação: 
Condição de existência: x > 0. 
Com a base a = 2 > 1, podemos dizer também 
que :se , então . 
2. Resolva a inequação: 
Condição de existência: . 
Com a base , NÃO podemos dizer tam-
bém que: se , então
(x + 1) > 8, pois, na função logarítmica decrescen-
te isso não é verdade! 
Então, é preciso inverter o sinal da desigualdade 
para que ela fique verdadeira.
Logo, se , então: 
Com a condição de existência, a solução da 
inequação é:
1) Se uma função do primeiro grau é da forma 
f(x)=ax+b tal que b=-11 e f(3)=7, obtenha o valor 
da constante a.
2) Observe os gráficos e relacione os mesmos com 
as respectivas funções:
a. f(x)=x³-4
b. g(x)=5
c. h(x)=2x+3
d. t(x)=x²-2
3) Para cada uma das funções abaixo, obtenha o 
vértice da parábola.
a. f(x)=x²-10x+21 b. g(x)=x²-2x
c. h(x)=x²-1 d. m(x)=x²+14x+49
36 Faculdade de educação, tecnologia e administração de Caarapó 
Titulo do livro
UNIDADE 1
4) Determine as raízes reais das equações a seguir 
esboce o gráfico de cada uma delas identifican-
do o vértice. 
a-
b- 
5) Calcule o valor de m na equação 
de modo que uma raiz seja o triplo da outra. 
6) Resolva as seguintes inequações do segundo grau.
a-
b- > 0
7) O gráfico da função real f(x) = 2x - 2:
a) intercepta o eixo dos x no ponto (1, 0);
b) intercepta o eixo dos x no ponto (0, 1);
c) intercepta o eixo dos x no ponto (2, 0);
d) intercepta o eixo dos x no ponto (0, -2);
e) não intercepta o eixo dos x.
8) Resolva as equações logarítmicas a seguir:
a-log3(x+5) = 2 b-log4 32
9) Se x + y = 20 e x - y = 5, calcule log (x² - y² ).
10) Determine o conjunto solução da equação 
log2 4x - log4 2 = 0.
11) Quais dos diagramas abaixo se encaixa na 
definição de função de A em B, onde A={a,b,c} 
e B={1,2,3}.
12) Construa o gráfico das funções abaixo:
a-f(x) = -2x + 5 b- g(x) = 2x – 6
13) Utilizando-se da mudança de base dos logaritmos, 
determine o valor numérico da expressão abaixo:
FuNÇões COmO mODelOs TemÁTiCOs: 
esTuDAr sOBre As FuNÇões mATemÁTiCAs, 
pOr Quê?
É uma pergunta que sempre é feita por alunos e aca-
dêmicos quando se deparam com estes estudos fren-
te a frente. Quando este conceito é estudado, muitos 
37Faculdade de educação, tecnologia e administração de Caarapó
Autor do livro
professores da área de exatas trabalham o assunto de 
uma forma simples, pois consideram uma mera rela-
ção entre as varáveis x e y, sem ao menos, muitas vezes 
relacionar estes conteúdos com o cotidiano.
Mas o estudo das funções parte da necessidade de 
analisar fenômenos, descrever regularidades, interpre-
tar interdependências e generalizar. Devemos ter em 
mente que o termo função abrangente e complexo, 
pois é necessário mostrar que esse estudo é usado de 
forma sistemática em exatas e no seu cotidiano – é de 
suma importância para o meio social, pois várias rela-
ções de mercado e capital, engenharia, economia, saú-
de, transportes, indústrias, artes, energia, enfim tudo is-
so depende de uma análise clara e objetiva da funcio-
nalidade de um modelo ou parâmetro a ser adotado.
A importância do estudo de função não é restrita 
apenas aos interesses da matemática, mas colocado 
em prática outras ciências, como a Física,a Química, 
a Biologia e a Economia. Matematicamente falando, 
o estudo das funções está associado:
•	 Aos tipos de elementos de cada função;
•	 Características que distinguem para poder resol-
ver e representar essa função para assim, poder 
relacioná-la ao cotidiano.
É evidente que nem sempre percebemos, 
quando usamos ou aplicamos as funções, mas esta-
mos em contato com estas no nosso dia-a-dia, por 
exemplo: Quando assistimos ou lemos um jornal, 
muitas vezes nos deparamos com um gráfico, que 
nada mais é que uma relação, comparação de duas 
grandezas ou até mesmo uma função, mas represen-
tada graficamente. Para que esse gráfico tome for-
ma é necessário que essa relação, comparação se-
ja representada em uma função na forma algébrica. 
A experiência matemática de quem estuda as fun-
ções é ampliada, enriquecida se a sua atividade ma-
temática contemplar a resolução de situações do 
quotidiano, envolvendo o uso das Tecnologias de 
Informação e Comunicação (TIC).
Explanar o crescimento/decrescimento econô-
mico de uma empresa, analisar ou representar da-
dos, analisar a dosagem de um determinado medi-
camento para um paciente dependendo da massa 
corpórea deste, nas empresas farmacêuticas, na re-
presentação de dados de problemas da física e da 
química e assim sucessivamente.
Os dados das funções fornecem diversos gráfi-
cos: barras (horizontais, verticais) criptogramas, se-
tores, gráficos de linhas, gráfico de dispersão, gráfi-
co de superfície, entre outros.
38 Faculdade de educação, tecnologia e administração de Caarapó 
Titulo do livro
UNIDADE 1
exemplOs De grÁFiCOs e ApliCABiliDADes
Gráfico que representa uma Função exponencial
<http://www.scielo.br/scielo.php?pi-
d=S0006-87052005000100003&script=sci_arttext>.Data de 
acesso: 12 de junho de 2013.
Gráfico que representa uma Função Logarítmica
http://www.ecen.com/eee44/eee44p/prod_cap_lim_cresc.htm. 
Data de acesso: 12 de junho de 2013.
Gráfico que representa uma Função Quadrática
http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?au-
la=1390. Data de acesso: 12 de junho de 2013.
Gráfico que representa uma Função de 1º grau
 
http://lbholanda.blogspot.com.br/2011/10/funcao-do-primei-
ro-grau-2.html. Data de acesso: 12 de junho de 2013.
Gráfico de barras
http://info.abril.com.br/dicas/escritorio/planilhas/ilustre-os-
graficos-gerados-pelo-excel.shtml. Data de acesso: 12 de 
junho de 2013.
39Faculdade de educação, tecnologia e administração de Caarapó
Autor do livro
Gráfico de setores
http://preservarparasobreviver.blogspot.com.br/2012/11/grafi-
co-utilizacao-da-energia-no-brasil.html. Data de acesso: 12 de 
junho de 2013.
iNDiCAÇÃO De leiTurA:
POR QUE ESTUDAR FUNÇÕES?
De acordo com Brasil (2002), o estudo das fun-
ções permite ao aluno adquirir a linguagem algébri-
ca como a linguagem das ciências, necessária para 
expressar a relação entre grandezas e modelar si-
tuações-problema, construindo modelos descritivos 
de fenômenos e permitindo várias conexões dentro 
e fora da própria Matemática. Assim, a ênfase do 
estudo das diferentes funções deve estar no con-
ceito de função e em suas propriedades em rela-
ção às operações, na interpretaçãode seus gráficos 
e nas aplicações dessas funções. Tradicionalmente 
o ensino de funções estabelece como pré-requisito 
o estudo dos números reais e de conjuntos e suas 
operações, para depois definir relações e a partir daí 
identificar as funções como particulares relações. To-
do esse percurso é, então, abandonado assim que a 
definição de função é estabelecida, pois para a aná-
lise dos diferentes tipos de funções todo o estudo 
relativo a conjuntos e relações é desnecessário.
Assim, o ensino pode ser iniciado diretamente 
pela noção de função para descrever situações de 
dependência entre duas grandezas, o que permi-
te o estudo a partir de situações contextualizadas, 
descritas algébrica e graficamente. Os problemas 
de aplicação não devem ser deixados para o final 
desse estudo, mas devem ser motivo e contexto pa-
ra o aluno aprender funções. A riqueza de situações 
envolvendo funções permite que o ensino se estru-
ture permeado de exemplos do cotidiano, das for-
mas gráficas que a mídia e outras áreas do conhe-
cimento utilizam para descrever fenômenos de de-
pendência entre grandezas. 
O ensino, ao deter-se no estudo de casos espe-
ciais de funções, não deve descuidar de mostrar que 
o que está sendo aprendido permite um olhar mais 
crítico e analítico sobre as situações descritas. As fun-
ções exponenciais e logarítmicas, por exemplo, são 
usadas para descrever a variação de duas grandezas 
em que o crescimento da variável independente é 
40 Faculdade de educação, tecnologia e administração de Caarapó 
Titulo do livro
UNIDADE 1
muito rápido, sendo aplicada em áreas do conheci-
mento como a Geometria Fractal[...]
Trecho do escrito por ALESSANDRA BEATRIZ PA-
CHAS ZAVALA, retirado do site http://people.ufpr.
br/~ewkaras/especializa/zavala.pdf . Data de acesso 
15 de maio de 2013.
De todas as fi nalidades que estudamos sobre 
as funções, qual que você considera mais im-
portante levando em consideração os fatos 
que vivenciamos na atualidade?
Analise e dê sua opinião explicitando todos os 
pontos que levaram você a efetuar esta escolha.
coNSIDErAÇÕES FINAIS
Nesta unidade ampliamos um pouco mais acer-
ca dos nossos conhecimentos sobre as funções 
matemáticas. Pontos importantes como a aplicabi-
lidade destas funções no dia a dia foram expostos 
e ocorreu a oportunidade em diversas situações de 
associá-las ao nosso cotidiano.
Foi também nesta unidade que aprendemos a in-
terpretar os dados de gráfi cos matemáticos e apren-
demos que interpretá-los é de extrema importância 
para interpretarmos vários destes que estão presen-
tes em noticiários, jornais, na televisão, revistas e 
outros meios de comunicação.
Aprendemos a identifi car quando possuímos ou 
não funções e a relacionar esta relação de pertinên-
cia com a atualidade.
Espero que você tenha compreendido os nossos 
estudos a respeito do estudo das funções e a impor-
tância destas na atualidade, e que acima de tudo es-
tes conhecimentos possam ser levados para a vida.
Até a nossa próxima unidade!
“O estudo da matemática é o mais indicado pa-
ra desenvolver as faculdades, fortalecer o raciocí-
nio e iluminar o espírito."
sócrates
41Faculdade de educação, tecnologia e administração de Caarapó
UNIDADE II – Funções: parte II
Objetivo de Aprendizagem
•	 Desenvolver	o	raciocínio	lógico	e	financeiro	partindo	dos	conceitos	dados	de	funções.
•	 Aplicar	as	funções	na	contabilidade	e	a	partir	disto	analisar,	compreender	e	entender	os	conceitos	de	
funções.
Plano de Estudo
Serão	abordados	os	seguintes	tópicos:
•	 Funções	como	modelos	temáticos.
•	 Funções	de	oferta	e	demanda.
•	 Funções:	custo,	receita	e	lucro.
•	 Funções:	custo,	receita	e	lucro	marginal.
Daniele Silva Marques
UNIDADE 2
42 Faculdade de educação, tecnologia e administração de Caarapó 
Titulo do livro
UNIDADE 2
INtroDUÇão 
Vamos estudar aqui as Funções como modelos 
temáticos; Funções de oferta e demanda; Funções: 
custo, receita e lucro; Funções: custo, receita e lu-
cro marginal. Para Isto estudaremos, então, um ra-
mo da economia denominado Microeconomia, tam-
bém conhecido como Teoria dos Preços (uma vez 
que postula à articulação e coordenação das ações 
dos produtores e consumidores, através do sistema 
de livre funcionamento dos preços). 
Vamos começar conceituando a Microeconomia.
A Microeconomia é parte da economia que es-
tuda as características e o comportamento de cada 
unidade econômica, analisando a formação de pre-
ços no mercado, isto é, como a empresa e o consu-
midor se interagem e decidem o preço e a quanti-
dade de um produto ou serviço. Além disso, estuda 
o funcionamento da oferta e da demanda (procura) 
na formação do preço. 
Um microeconomista pode estudar: o controle 
dos alugueis sobre os imóveis residenciais de uma 
cidade; o impacto da competição estrangeiro so-
bre a indústria automobilística brasileira; os efeitos 
da frequência escolar obrigatória sobre os ganhos 
dos trabalhadores.
A microeconomia se preocupa em explicar como 
é fixado o preço e seus fatores de produção. Divide-
se em: Teoria do Consumidor; Teoria de Empresa e 
Teoria da Produção.
FuNÇões mArgiNAis
Denominamos função marginal de ( )f x   à fun-
ção derivada de ( )f x . Então, podemos dizer que a 
função custo marginal é a derivada da função custo, 
a função receita marginal é a derivada da função re-
ceita, e assim sucessivamente. 
FuNÇÃO CusTO mArgiNAl
Considere que ( )C x  é o custo total de produ-
ção de x  unidades de um determinado produto, 
com 0x ≥  e . A esta função C  chamamos 
de FuNÇÃO CusTO TOTAl e temos a seguinte 
definição:
Se  é o custo total de produção de x  uni-
dades de um produto, então o custo marginal quan-
do 0x x= , é dado por 0'( )C x , caso exista. A função 
'( )C x  é chamada FuNÇÃO CusTO mArgiNAl.
A variação do Custo é dada por: 
0 0 0'( ) ( 1) ( )C x C C x C x≅ ∆ = + − .
43Faculdade de educação, tecnologia e administração de Caarapó
Autor do livro
Logo, o custo marginal é aproximadamente 
igual à variação do custo, decorrente da produção 
de uma unidade adicional, a partir de 0x  unidades. 
Na definição acima, 0'( )C x   pode ser interpreta-
da como a taxa de variação do custo total quando 
 unidades são produzidas.
Para que melhor você compreenda este con-
ceito de Custo Marginal, acompanhe os exemplos 
seguintes:
exemplO 1: 
Suponha que ( )C x  seja o custo total de fabrica-
ção de x  pares de calçados da marca WW, seja da-
da pela equação 
2( ) 110 4 0,02C x x x= + + . Deter-
mine o Custo Marginal quando .
Solução: 
Primeiramente, vamos calcular a derivada da fun-
ção 
2( ) 110 4 0,02C x x x= + + , ou seja:
'( ) 4 0,04C x x= + e '(50) 4 0,04 50 6C = + ⋅ = .
Logo, a taxa de variação do custo total, quando 
50 pares de calçados da marca WW são fabricados, 
é R$6,00 por par fabricado. 
O custo de fabricação do 51º par de calçado é :
e
( ) ( )2 2(51) (50) 110 4 51 0,02 51 110 4 50 0,02 (50)C C− = + ⋅ + ⋅ − + ⋅ + ⋅
366,02 360 6,02= − =
Assim:
'(50) (51) (50)C C C C≅ ∆ = − = 6,02.
Logo, '(50)C é o custo aproximado da produção 
do 51º primeiro par de calçado da marca WW.
Portanto, o custo marginal quando 50x = é 
( )' 50 6C = .
exemplO 2:
Consideremos a função custo 
3 2( ) 0,02 0,4 400 200C x x x x= − + + , determinar o 
custo marginal para x=20.
Solução: 
Para começarmos, vamos calcular a derivada da 
função: 
3 2( ) 0,02 0,4 400 200C x x x x= − + + ,ou seja:
2'( ) 0,06 0,8 400C x x x= − +
e
2'(20) 0,06 (20) 0,8 20 400 408C = ⋅ − ⋅ + = .
Portanto, '(20) (21) (20)C C C C≅ ∆ = − , teremos que:
44 Faculdade de educação,tecnologia e administração de Caarapó 
Titulo do livro
UNIDADE 2
( )3 2'(20) 0,02 (21) 0,4 (21) 400 21 200C ≅ ⋅ − ⋅ + ⋅ +
( )3 20,02 (20) 0,4 (20) 400 20 200− ⋅ − ⋅ + ⋅ +
8.608,82 8.200 408,82≅ − = .
Logo, '(20) 408C =  é o custo aproximado da produção 
do vigésimo primeiro item.
Assim, o custo marginal quando é 
'(20) 408C = .
FUNÇão rEcEItA mArgINAl
Vamos supor que ( )R x  seja a receita total obtida 
pela venda de x  unidades de um produto e temos 
a seguinte definição.
Considere que ( )R x  é a receita obtida quando 
x   unidades de um produto são demandadas, en-
tão a reCeiTA mArgiNAl, quando 0x x= , é da-
da por 0'( )R x , caso exista. A função '( )R x  é cha-
mada FuNÇÃO reCeiTA mArgiNAl. 0'( )R x  pode 
ser positiva, negativa ou nula, e pode ser interpreta-
da como a taxa de variação da receita total quanto 
0x x=  unidades são demandadas.
A variação da receita é dada por:
0 0 0'( ) ( 1) ( )R x R R x R x≅ ∆ = + −
Portanto, a receita marginal é aproximadamente 
igual à variação da receita decorrente da venda de 
uma unidade adicional, a partir de 0x  unidades.
exemplO 1: 
Suponha que ( )R x   seja a receita total re-
cebida na venda de x cadeiras da loja BBC, e 
2( ) 4 2000R x x x= − + . Calcular a receita marginal 
para .
solução:
Primeiramente, vamos calcular a derivada da fun-
ção 
2( ) 4 2000R x x x= − + , ou seja, e 
e '(40) 8 40 2000 1.680R = − ⋅ + = .
Assim:
'(40) (41) (40)R R R≅ −
( ) ( )2 24 41 2000 41 4 (40) 2000 40≅ − ⋅ + ⋅ − − ⋅ + ⋅
75.276 73.600 1.676≅ − = .
Logo, '(40)R  é a receita efetiva da venda da qua-
dragésima primeira carteira. Portanto, a receita mar-
ginal quando 40x =  é '(40) 1.680R = .
45Faculdade de educação, tecnologia e administração de Caarapó
Autor do livro
exemplO 2: 
Consideremos a função receita total da venda de 
x   estantes dada por 
2
( ) 500
2
xR x x= − . Calcular a 
receita marginal para 50x = .
Solução:
Efetuando a derivada da função 
2
( ) 500
2
xR x x= −
, teremos que:
Logo:
Logo, '(50)R é a receita efetiva da venda da 50ª 
estante. Portanto, a receita marginal quando 50x = 
é '(50) 450R = .
FUNÇão proDUtIvIDADE mArgINAl
Vamos considerar uma função de produção P 
que dependa da quantidade x de um fator de pro-
dução variável. Chamamos FuNÇÃO prODuTivi-
DADe mArgiNAl do fator à derivada da função P 
em relação a x .
exemplO 1:
A quantidade P   (em toneladas) produzida por 
mês de certo produto e x  o trabalho mensal envol-
vido (medido em homens-hora) é dada pela função 
produção ( ) 1016P x x= . Determinar a produtivi-
dade marginal quando 64x = .
Solução: 
Vamos calcular, primeiramente, a derivada da 
função ( ) 1016P x x=   em relação a   que é a 
função produtividade marginal do fator trabalho 
mensal, logo :
1 11
2 2
1
2
1 1 508'( ) 1016 508 508
2
P x x x
xx
− −
⇒ = = = =
ou seja:
Calculando a produtividade marginal quando 
64x = , temos:
508 508'(64) 63,5
864
P = = =
Assim, se o número de homens-hora passar de 64 
para 65, o aumento na produção mensal será, apro-
ximadamente, 63,5 toneladas.
46 Faculdade de educação, tecnologia e administração de Caarapó 
Titulo do livro
UNIDADE 2
Portanto, a produtividade marginal da função 
produção ( ) 1.016P x x= ⋅   quando 64x =   é 63,5 
toneladas.
exemplO 2: 
Vamos considerar que a função produção 
( ) 500 6P H H H= ⋅ − , onde P  é a Produção Men-
sal (em toneladas), e H , o número de homens-hora 
empregados. Calcule: 
a) a função produtividade marginal, '( )P H ;
b) a produtividade '(100)P .
Solução:
a) Vamos calcular a derivada da função P  em re-
lação aH , logo
1
2( ) 500 6 500 6P H H H H H= ⋅ − = ⋅ −
1 11
2 21'( ) 500 6 250 6
2
P H H H
− −
⇒ = ⋅ ⋅ − = ⋅ −
1
2
1 250250 6 6
HH
= ⋅ − = −
ou seja, 
250'( ) 6P H
H
= −
.
Portanto, a função produtividade marginal é :
250'( ) 6P H
H
= −
.
b) Agora, vamos calcular '(100)P , isto é:
250 250'(100) 6 6 25 6 19
10100
P = − = − = − =
.
Portanto, '(100) 19P = .
1) Em uma determinada cidade, estima-se que da-
qui a t anos a circulação de um jornal local será 
de C(t) = 100t² + 400t + 5000.
(a) Encontre a expressão da taxa de variação da cir-
culação do jornal daqui a t anos.
(b) Determine a taxa de variação da circulação daqui 
a 5 anos. A circulação aumentará ou diminuirá? 
(c) Qual será a variação da circulação durante o 5º ano?
2) Pesquisadores realizaram uma pesquisa sobre a 
eficiência do turno da manhã de uma fábrica in-
dica que, em média, um operário, chegando ao 
47Faculdade de educação, tecnologia e administração de Caarapó
Autor do livro
trabalho às 8 horas, montará f(x) = - x³ + 6x² + 15x 
rádios x horas depois.
(a) Encontre a expressão da taxa à qual o operário 
montará rádios x horas depois. 
(b) A que taxa o operário estará montando rádios às 
9 horas da manhã?
(c) Quantos rádios serão montados pelo operário 
entre 9 e 10 horas da manhã?
3) Estima-se que daqui a t anos a população de certa 
comunidade suburbana será de P(t) = 20 – 6/(t + 1) 
milhares de habitantes.
(a) Determine a expressão da taxa de variação da 
população em relação ao tempo. 
(b) Qual será a taxa de crescimento da população 
daqui a 1ano?
(c) Qual será o crescimento da população durante 
o 2º ano? 
(d) Qual será a taxa de crescimento da população 
daqui a 9anos? 
4) O ganho total de fabricação de certo produto é 
de R(q) = 240q + 0,05q² reais, onde q é o número 
de unidades produzidas diariamente. Atualmen-
te, o fabricante está produzindo 80 unidades por 
dia e pretende elevar este número de 1 unidade.
(a) Use análise marginal para estimar o ganho adi-
cional produzido pela 81ª unidade. 248,00)
(b) Use a função de ganho para calcular o ganho adi-
cional real produzido pela 81ª unidade. 
5) Uma indústria produz artefatos (pisos e azulejos) de 
cimento cuja função custo total é f(x) = x2 +30x +1. 
Determine:
(a) a função custo marginal
(b) O custo de fabricação da 81ª unidade.
6) A função receita total de uma transportadora é 
R(x) = - 3x2 + 1200x. Determine:
(a) A função receita marginal
(b) A receita decorrente da11ª viagem
48 Faculdade de educação, tecnologia e administração de Caarapó 
Titulo do livro
UNIDADE 2
SUcESSÕES oU SEqUêNcIAS
A noção de sucessão ou sequência é bastante 
simples. Sempre que um conjunto está ordenado, 
dizemos que existe um primeiro elemento, um se-
gundo elemento e assim sucessivamente. Na ver-
dade, o que fazemos é colocar esse conjunto em 
correspoindência com o conjunto dos números na-
turais ou parte dele.
Assim, podemos dizer que:
Denomina-se sucessão ou sequência , toda fun-
ção real, cujo domínio é o conjunto dos números na-
turais ou parte dele. 
Observe o exemplo a seguir: 
exemplO 1 
Considere a sucessão escrita na forma: 
, temos que: 
E assim sucessivamente. Logo a função pode ser 
escrita como:
exemplO 2
Considere a sucessão dada por .
Então essa sequência pode ser representada por:
 
Outras sucessões conhecidas: 
49Faculdade de educação, tecnologia e administração de Caarapó
Autor do livro
coNvErgêNcIA DE FUNÇÕES 
Dizemos que uma sucessão é convergente para um 
determinado número fixo, se a medida que n aumenta, 
o valor da f(n) converge para esse número fixo. Exem-
plo: Vamos retomar o primeiro exemplo, podemos per-
ceber que os valores desta sucessão convergem para 0.
DIvErgêNcIA DE FUNÇÕES
Dizemos que uma função é divergente, quando 
a medida que n aumenta o valor da f(n) não con-
verge para nenhum valor fixo. As funções podem 
divergir para o mais infinito ou para o menosinfi-
nito. Acompanhe a seguir:
•	 Quando n aumenta, os valores da f(n) conseguem 
superar qualquer valor fixado, ou seja, divergem 
para o mais infinito. Exemplo: Vamos retomar o 
exemplo 3 acima. 
•	 Quando n aumenta, os valores da f(n) conseguem 
ficar abaixo de qualquer valor fixado, ou seja, di-
vergem para o menos infinito. Exemplo: Vamos 
retomar o exemplo 4 acima.
O que podemos perceber é que: à medida que 
a ordem dos termos da sucessão aumenta, os ter-
mos desta ficam cada vez menores, conforme o 
exemplo visto anteriormente. Podemos afirmar tam-
bém que nenhum termo é exatamente zero, mas se 
Outros exemplos explicativos para seu melhor entendimento:
50 Faculdade de educação, tecnologia e administração de Caarapó 
Titulo do livro
UNIDADE 2
avançarmos para uma ordem suficientemente gran-
de da sequência, teremos termos tão próximos de 
zero quanto nós queríamos. 
Veja que: 
limiTes lATerAis A DireiTA:
Chamamos delimite lateral à direita de a quando 
x se aproxima de a através de valores maiores que a 
ou pela sua direita, escrevemos:
limiTes lATerAis A esQuerDA :
Chamamos delimite lateral à esquerda de a quan-
do x se aproxima de a através de valores menores 
que a ou pela sua esquerda, escrevemos:
NOTE QUE: 
O limite de f(x) para x a existe somente se os li-
mites laterais à direita a esquerda :
Quando estes limites laterais forem diferentes, 
não existe o limite f(x) para x a
Observe o exemplo a seguir:
Para todo x ∈Dom(f) temos que f(x) = 2x + 1. Va-
mos construir uma tabela de valores de x aproxi-
mando-se de 1, pela esquerda (x < 1) e pela direita 
(x > 1) e os correspondentes valores de f(x):
1) Nas sucessões abaixo, escreva a função definido-
ra de cada uma delas: 
a-(1,4,9,16,25,...) - ______________________________
_____________________________________________
b-(-1,2,-3,4,-5,6,...) - ____________________________
_____________________________________________
c- (-8,-6,-4,-2,0,...) - _____________________________
_____________________________________________
51Faculdade de educação, tecnologia e administração de Caarapó
Autor do livro
2) Das sucessões abaixo, quais são convergentes (e 
pais os quais números) e quais são divergentes?
2
2( )
1( )
2
1( )
1
1 1 11 ...
2 4 2( ) 1 1 11 ...
3 9 3
1( ) ( 1) .
x
x
x
a f x
x
xb f x
xc f x
x
d f x
xe f x
x
− =
+
− =
−
− =
−
+ + + +
− =
+ + + +
+ − = −  
 
vale lembrar que: O numerador e o denomina-
dor são somas de x termos de progressão geomé-
trica no item d. 
lImItES DE FUNÇão
Este é um conceito matemático de grande uti-
lidade para determinarmos o comportamento de 
determinadas funções em pontos fora do domínio, 
quando x aumenta muito (tende para o infinito) ou 
diminui muito (tende para menos infinito). O concei-
to de Limite de uma função realiza um papel mui-
to importante em toda teoria matemática envolvida 
com o Cálculo Diferencial e Integral. Há uma cadeia 
ordenada muito bem estabelecida no Cálculo:
Conjuntos, Funções, Limites, Continuidade, Deri-
vadas e Integrais.
•	 Então, considere f(x) uma função e um ponto b 
do domínio. Dizemos que o limite da função é L, 
quando x tende a b ( , pela direita (por 
valores superiores a b), os valores da f(x) se apro-
ximam de L, logo obtemos simbolicamente: 
•	 Da mesma maneira, considere f(x) uma função 
e um ponto b do domínio. Dizemos que o limi-
te da função é M, quando x tende a b (
, pela esquerda (por valores inferiores a b), os va-
lores da f(x) se aproximam de M, logo obtemos 
simbolicamente: 
Para facilitar que você perceba a utilização de du-
as funções diferentes:
52 Faculdade de educação, tecnologia e administração de Caarapó 
Titulo do livro
UNIDADE 2
O esboço gráfico ajuda a concluir sobre a inexis-
tência do limite da função no ponto x = 3
•	 Quando L for igual a M, os limites laterais são 
iguais, ou seja, . No exemplo 
do limite a seguir perceba essa igualdade:
Vamos a mais um exemplo para que você com-
preenda melhor a noção de limites.
Imagine uma placa metálica quadrada que se ex-
pande uniformemente porque está sendo aqueci-
da. Considere x é o comprimento do lado, a área 
da placa é dada por: A = x². Evidentemente, quanto 
mais x se aproxima de 2, a área A tende a 4.Da mes-
ma forma podemos dizer que: se x se aproxima de 
2, x² se aproxima de 4, ou seja: 
1) Considere cada uma das funções f(x) e para cada 
a, calcule quando existir:
a- f(x)=x³, a=2
b- f(x)= 2x+1, a=3
c- f(x) = , a=0
d- f(x) = a=2
53Faculdade de educação, tecnologia e administração de Caarapó
Autor do livro
FormAS INDEtErmINADAS
Considere a função: . Veja que: se x 
tende a 3, tanto pela direita quanto pela esquerda, 
tanto o numerado quanto o denominador, tendem a 
zero e obteríamos que damos o nome de forma in-
determinada. Mas desta função, podemos perceber 
que podemos simplificar o numerador com o deno-
minador e obteremos:
 = x+3
Assim, quando a função inicial é simplificada, 
quando x tende a 3, teremos: 
54 Faculdade de educação, tecnologia e administração de Caarapó 
Titulo do livro
UNIDADE 2
1) Calcule os limites abaixo:
lImItES INFINItoS
Considere a função 3
5)(
−
=
x
xf cujo domínio 
é � – {3}, faça x percorrer pela direita o conjunto 
(3,1; 3,01; 3,001; 3,0001;...) e pela esquerda o conjun-
to (2,9; 2,99; 2,999; 2,9999;...) e represente a conclu-
são por meio da forma própria dos limites.
Solução: 
Das duas sucessões obtidas, vê-se que x con-
verge para 3, pela direita ou pela esquerda, f(x) 
tende para mais infinito ( + ∞ ). Tal fato pode ser 
representado por: 
=
−
==
→→→ +−
 
3
5lim )(lim )(lim
333 x
xfxf
xxx
 + ∞
Podemos então dizer que: O limite de uma função 
é mais infinito quando os valores da f(x) vão ficando 
cada vez maiores superando os valores fixados. O li-
mite de uma função é menos infinito, quando os valo-
res da f(x) vão ficando cada vez menores, situando-se 
abaixo de qualquer valor fixado. 
55Faculdade de educação, tecnologia e administração de Caarapó
Autor do livro
1) Para cada função f(x) abaixo, determine 
lim ( ) lim ( ) 
x a x a
f x e f x
− +→ → , quando estas funções 
existirem:
4( ) , 6
6
3( ) , 1
1
5( ) , 0
3( ) 5 , 2
2
1( ) , 3
4 ( 3)²
a f x a
x
b f x a
x
xc f x a
x
d f x x a
x
e f x a
x x
− = =
−
− = =
−
+
− = =
− = + =
−
− = =
−
lImItES NoS ExtrEmoS Do DomíNIo
Quando analisamos o comportamento de uma 
função para valores muito grandes de x( que ele 
tende ao mais infinito) e para valores muito peque-
nos de x( quando ele tende para o menos infinito), 
na verdade o que queríamos era determinar os va-
lores dos limites. A esta determinação de valores 
levando em consideração aos valores muito gran-
des ou pequenos de x, damos o nome de limites 
nos extremos do domínio.
Note que: a maneira de obtermos esses limites 
consiste na escolha de uma sucessão em que a variá-
vel independente x tende a assumir, em módulo, valo-
res muito grandes positivos ( + ∞ ) ou negativos (– ∞ ). 
 x 
lim ( ) limf(x)
x
f x ou
→− ∞ → +∞
Consideremos a função e saibamos 
que esta diverge para o infinito. Assim as imagens 
obtidas são: 
Analisando o comportamento do cálculo des-
ta função, podemos perceber que estas imagem 
convergem para 0, dizemos que o limite desta 
função, quando x tende para o infinito é 0, logo 
podemos escrever:
O mesmo podemos fazer para uma sequência 
para um limite onde a f(x) tende para o menos infini-
to, as imagens correspondentesserão: 
56 Faculdade de educação, tecnologia e administração de Caarapó 
Titulo do livro
UNIDADE 2
Logo desta função teremos que: 
Para esta função teremos um o seguinte gráfico: 
Resumindo os gráficos deste tipo de função 
obteremos: 
Agora considere uma função do tipo f(x) = x³. 
Vamos considerar para esta as mesmas sucessões 
divergentes para mais infinito e para menos infinito 
conforme o exercício anterior:
Observe que :
•	 Conforme os cálculos e estudos que realizamos, 
quando x tende a mais ou menos infinito, pode-
mos obter como resultado um número ou mais 
ou menos infinito.
•	 Há funções que os limites nos extremos não 
existem. Um exemplo disso podemos atribuir 
a função f(x) = sem x,pois os valores da f(x) os-
cilam entre -1 e 1 a medida que x tende para 
mais ou menos infinito.
57Faculdade de educação, tecnologia e administração de Caarapó
Autor do livro
•	 Quando falamos de uma função polinomial,, o 
seu limite é dado pelo seu termo de maior expo-
ente, pois quando colocamos este em fator co-
mum, todos os outros termos tenderão a zero. 
Confira esta observação com o exemplo a seguir:
Pois com exceção do primeiro termo entre pa-
rênteses, os demais tem limite igual a zero.
•	 Como conseqüência da observação anterior, em 
casos de limites nos extremos de um quocien-
te de dois polinômios, ele será igual ao limite 
do quociente dos termos do maior expoente do 
numerador e do denominador. Veja o exemplo 
a seguir e contemple a observação:
1) Sejaf(x) = – 2x3 + 5x2 – 7x – 3,calcule o limite de 
f(x) quando x → – ∞ e quando x → +∞
2) Calcule o limite de 





−+
−−+−
=
152
4523)( 2
23
xx
xxxxf
quando x → – ∞ e quando x → +∞.
3) Calcule o limite de 





−+
−
=
552
1)( 2
2
xx
xxf quan-
do x → – ∞ e quando x → +∞.
4) Calcule os seguintes limites:
coNtINUIDADE DE UmA FUNÇão
Informalmente dizemos que uma função é contí-
nua quando seu gráfico não apresenta
Interrupções. Assim, para que uma função f se-
ja contínua em um ponto x = b é necessário que a 
função esteja definida em a e que os valores de f(x), 
para x próximos de b, estejam próximos de f(b). Pa-
ra compreendermos melhor este conceito, vejamos 
algumas funções reais. 
58 Faculdade de educação, tecnologia e administração de Caarapó 
Titulo do livro
UNIDADE 2
Através do estudo dessas funções, a definição de 
continuidade propõe que:
Resumindo estas funções possuímos que:
•	 é contínua e todos os pontos do domínio
•	 é descontínua para x=0
•	 é descontínua para x=0
•	 é descontínua para x=2
•	 é descontínua para x=0
59Faculdade de educação, tecnologia e administração de Caarapó
Autor do livro
Assíntotas Verticais e Horizontais
Assíntotas verticais: Dizemos que nos dois pri-
meiros casos a reta da equação x=a é assíntota ver-
tical, daquelas funções.
Assíntotas Horizontais: Para os dois casos seguin-
tes, dizemos que a reta horizontal de equação y=b é 
assíntota horizontal das correspondentes funções.
Exemplo:
Determine as assíntotas verticais e horizontais (se 
existirem) e interprete os resultados encontrados re-
lacionando-os com o comportamento da função:
Antes de começar a calcular os limites de uma 
função com a finalidade de encontrar as
assíntotas verticais e horizontais, é importante 
calcular o domínio D da função, pois isto
nos dará informações importantes sobre as assín-
totas verticais.
Encontrando o domínio D da função f (x) :
O denominador da fração deve ser diferente 
de zero, então teremos:
2 - x 0
-x -2
x
Calculando o limite obtemos 2, 
porém não sabemos se é positivo ou negativo.
Para isso precisamos calcular os limites laterais:
Como consequência, temos que a reta x = 2 é 
uma assíntota vertical da função f (x).
Agora para tentar encontrar assíntotas horizon-
tas devemos calcular o limite da função f(x) quan-
do x tende a 
60 Faculdade de educação, tecnologia e administração de Caarapó 
Titulo do livro
UNIDADE 2
Utilizando a regra para o cálculo de limites de di-
visão de polinômios quando x tende a 
Logo existe uma assíntota horizontal de equação 
y = -1.
portanto as assíntotas são x = 2 e y = -1.
1) Determinar as assíntotas horizontais e verticais:
a) 23
4)( 2 +−
=
xx
xf b) 
23
4)( 2 +−
=
xx
xf 
c) 
2
3)(
+
−
=
x
xf d) 
)4)(3(
1)(
+−
−
=
xx
xf
lImItE ExpoNENcIAl FUNDAmENtAl
Seja uma função exponencial, definida por 
, que geralmente aparece em 
curvas crescentes, falando de uma maneira geral. 
Do comportamento desta função podemos dizer 
que a medida que x cresce tendendo ao infinito, a 
fração decresce, mas como pela função este va-
lor ainda é somado a 1 e posteriormente elevado 
a um expoente x, podemos dizer que não há um 
valor de convergência evidente.
A primeira pessoa a perceber a importância de 
se estudar esta função, foi o matemático suíço Le-
onardo Euler(1707-1783). Com seus estudos, de-
monstrou que o limite desta função, para x tenden-
do ao infinito era um número irracional escrito en-
tre os números 2 e 3, onde tal número foi simboli-
zado pela letra e, e ficou conhecido como número 
de Euler. Assim, na medida em que os valores de x 
aumentam - tendem a mais infinito - os valores cor-
respondentes de y tendem a um número irracional 
2,71.... Na tabela a seguir, podemos ter a noção de 
convergência desta função:
61Faculdade de educação, tecnologia e administração de Caarapó
Autor do livro
Onde ...71828,2=e nº de Euler
Podemos comprovar ainda que o limite da função 
 também dá o número e quando x 
tende a menos infinito. Ainda podemos escrever o nú-
mero e de uma forma equivalente, por meio do limite:
exemplOs:
lImItE trIgoNométrIco FUNDAmENtAl: 
Quando dizemos que x é um arco em radianos e 
sen x é a medida do seno desse arco; então quando 
o arco x tender a zero, o limite da divisão do valor de 
seno de x pela medida do arco x será igual a 1. Esta 
é a definição do limite trigonométrico fundamental.
1senlim
0
=
→ x
x
x
Realizando uma análise intuitiva deste limite, po-
demos dizer que:
Seja x um arco em radianos, cuja medida se-
ja próxima de zero, digamos x = 0,0001 rad. Nes-
tas condições, o valor de sen x será igual 0,0001 = 
0,00009999, (obtido numa calculadora científica). Fa-
zendo o quociente, obteremos que:
sen 0,00009999 0,99999 1
0,0001
x
x
= = =
.
62 Faculdade de educação, tecnologia e administração de Caarapó 
Titulo do livro
UNIDADE 2
Note que: quanto mais próximo de zero for o arco x, 
mais próximo estará o valor do quociente 
x
xsen
 de 1.
No cálculo a seguir, podemos perceber a impor-
tância e aplicabilidade deste conceito.
exemplO 1:
41.4senlim.4sen4lim
.4
4sen.4lim4senlim
0000
=====
→→→→ u
u
u
u
x
x
x
x
xxxx
Como podemos observar, realizamos uma mu-
dança de variável, colocando 4x = u, de modo que 
obteremos assim o limite fundamental. Embora te-
nhamos multiplicado numerador e denominador 
por 4,a expressão não se altera. 
exemplO 2: 
?
0
03senlim
0
==
→ x
x
x
. Podemos perceber que o resul-
tado desta divisão é inexistente, logo, multiplicando 
o numerador e o denominador por 3 temos: 
1
3
3senlim.33sen.
3
3lim
0
==
→ x
x
x
x
x
exemplO De ApliCABiliDADe DO limiTe 
expONeNCiAl FuNDAmeNTAl
63Faculdade de educação, tecnologia e administração de Caarapó
Autor do livro
1) =




 +
∞→
x
x x
31lim
2) =




 +
−
∞→
x
x x
121lim
3) 
31lim 1
x
x x→∞
 + 
 
=
4) 
2 3lim
2x
x
x
x→∞
+ 
 
 
=
5) Calcule o montante de uma aplicação de 
R$2.000,00 a juros compostos capitalizados con-
tinuamente a uma taxa proporcional a 15% ao 
ano, durante 4 anos.
6) Calcule o montante de uma aplicação de 
R$5.000,00 a juros compostos capitalizados con-
tinuamente a uma taxa proporcional a 20% ao 
ano, durante 6 meses.
DIcAS DE lEItUrA:
O livro do autor Hamilton Luiz 
Guidorizzi, é um excelente 
exemplar que irá lhe auxiliar 
para ampliar seus conheci-
mentos e na prática de ativi-
dades com uma linguagem 
matemática de fácil entendi-
mento dentro do Cálculo diferencial e integral.
O PROFESSOR José Fernando Grings, forma-
do em Eng. Elétrica pela PUC e Ciências Con-
tábeis pela UFRGS. Sua principal atividade e 
meio de sustento familiar é dar aulas particu-
lares para todos os níveis de ensino: funda-
mental, médio e superior. A seguir apresento 
a você três vídeos muito bons desse professor. 
Vale a pena assisti-los. 
http://www.youtube.com/watch?v=v-VYli2X-
Qo0&list=PLB1EB382374613099
http://www.youtube.com/watch?v=HaVqaN-
nZ_Z8&list=PLB1EB382374613099
http://www.youtube.com/watch?v=cHgeg0fz-
bRU&list=PLB1EB382374613099
Data de acesso: 13 de junho de 2013.
O PROFESSOR José Fernando Grings, forma-
do em Eng. Elétrica pela PUC e Ciências Con-
tábeis pela UFRGS. Sua principal atividade e 
meio de sustento familiar é dar aulas particu-
lares para todos os níveis de ensino: funda-
mental, médio e superior. A seguir apresento 
a você três vídeos muito bons desse professor. 
Vale a pena assisti-los. 
http://www.youtube.com/watch?v=v-VYli2X-
Qo0&list=PLB1EB382374613099
http://www.youtube.com/watch?v=HaVqaN-
nZ_Z8&list=PLB1EB382374613099
http://www.youtube.com/watch?v=cHgeg0fz-
bRU&list=PLB1EB382374613099
Data de acesso: 13 de junho de 2013.
64 Faculdade de educação, tecnologia e administração de Caarapó 
Titulo do livro
UNIDADE 2
O livro dos autores Paulo 
Boulos e ZaraIssa Abud é um 
livro de Cálculo diferencial e 
integral com uma linguagem 
matemática mais avançada. 
É bastante recomendado 
para o estudante que en-
contra a necessidade de ampliar seus estudos neste 
universo espetacular do cálculo. Vale muito a pena 
ler e estudar com este livro.
Boa leitura!
Este livro de Hal Varian aju-
dará você a compreender 
melhor acerca da Microeco-
nomia e principalmente 
acerca do que estudamos.
A Microeconomia: Uma 
abordagem moderna é uma 
excelente dica de leitura de um grande economista 
do mundo.
Microeconomia: Lições & Exercícios
 Este livro de Carlos Nabais 
e Ricardo Ferreira mostra di-
versos exercícios e exem-
plos que lhe ajudarão a tra-
balhar mais acerca da 
Microeconomia.
coNSIDErAÇÕES FINAIS 
Podemos concluir ao final desta unidade que 
estudar um pouco sobre a Microeconomia é bas-
tante importante para compreendermos a impor-
tância das funções para a Matemática dentro da 
Economia, a relação entre custo, receita e lucro 
aplicados a atualidade.
Ainda nesta unidade estudamos um pouco sobre 
as sucessões e sequências Matemáticas e a impor-
tância de sequência numérica que elas são capazes 
de nos proporcionar para um melhor entendimento 
matemático, bem como a importância da sua aplica-
bilidade nos mais diversos contextos sociais.
65Faculdade de educação, tecnologia e administração de Caarapó
Autor do livro
Para finalizarmos estudamos um pouco dos limi-
tes das principais funções matemáticas elementares 
e a compreensão do comportamento dessas fun-
ções matemáticas graficamente e quando aplicadas 
em situações reais, concretas.
Leia estude e exercite seus aprendizados com 
tudo o que te foi proposto durante esta unidade, 
pois com certeza o sucesso do seu aprendizado 
será ainda maior.
Desejo a você bons estudos e excelente aprendi-
zado para abrilhantar sempre seu futuro!
Até nossa próxima unidade!
66 Faculdade de educação, tecnologia e administração de Caarapó 
Titulo do livro
UNIDADE 2
67Faculdade de educação, tecnologia e administração de Caarapó
UNIDADE 3
Unidade III- As funções e suas aplicações na 
área econômica
Objetivo de Aprendizagem
•	 Promover	o	estudo	de	uma	grandeza	em	relação	à	outra	grandeza	promovendo	a	compreensão	do	con-
ceito	de	função	em	um	sentido	mais	amplo;
•	 Compreensão	dos	conceitos	fundamentais	do	Cálculo	Diferencial	e	Integral	de	funções	de	uma	variável	real.
•	 Aplicar	a	alguns	problemas	de	limites,	cálculo	diferencial	e	integral,	dentro	e	fora	da	Matemática.
Plano de Estudo
Serão	abordados	os	seguintes	tópicos:
•	 Derivadas,	máximo	e	mínimo.
•	 Integral	indefinida	e	suas	aplicações.
•	 Integral	definida	e	aplicações	na	área	econômica.
Daniele Silva Marques
68 Faculdade de educação, tecnologia e administração de Caarapó 
Titulo do livro
UNIDADE 3
INtroDUÇão
Quando falamos dos limites, podemos perceber 
que entre os principais conceitos do cálculo- continui-
dade, integral, convergência/divergência – estão defi-
nidos em função dos limites. Assim, o conceito de li-
mite é o mais importante do cálculo, pois é o que dis-
tingue, falando de maneira mais simples, o cálculo de 
álgebra, geometria e o resto da matemática. Portanto, 
em termos do desenvolvimento ordenado e lógico do 
cálculo, limites devem vir primeiro.
Porém, o registro histórico é justamente o 
oposto. Por vários séculos, as noções de limite 
eram confusas, com ideias vagas e algumas vezes 
filosóficas sobre o infinito (números infinitamente 
grandes e infinitamente pequenos e outras enti-
dades matemáticas) e com intuição geométrica 
subjetiva e indefinida.
Os estudos começaram com Fermat que deu conta 
das limitações do conceito clássico de reta tangente a 
uma curva como sendo aquela que encontrava a curva 
num único ponto. Tornou-se assim importante refor-
mular tal conceito e encontrar um processo de traçar 
uma tangente a um gráfico num dado ponto - esta di-
ficuldade ficou conhecida na História da Matemática 
como o “Problema da Tangente”. 
Tais ideias levaram ideias constituíram o em-
brião do conceito de derivada e levou Laplace a 
considerar Fermat “o verdadeiro inventor do Cál-
culo Diferencial”, mas este não dispunha de nota-
ção apropriada e o conceito de limite não estava 
ainda claramente definido.
Já no século XVII, Leibniz algebriza o Cálculo In-
finitesimal, introduzindo os conceitos de derivada 
constante e parâmetro, bem como a notação dx e 
dy para designar a menor possível das diferenças 
em x e em y. Desta notação surge o nome do ramo 
da Matemática conhecido hoje como “Cálculo Di-
ferencial”.A Teoria dos Limites, tópico introdutório 
é fundamental da Matemática Superior. Portanto, o 
que veremos, será uma introdução à Teoria dos Li-
mites, dando ênfase  principalmente ao cálculo de 
limites de funções, com base nas propriedades per-
tinentes. Já no século XIX, Augustin Louis Cauchy 
estava procurando uma exposição rigorosamen-
te correta do Cálculo para apresentar a seus estu-
dantes de engenharia na École Poly technique de 
Paris. Cauchy começou seu curso com uma defini-
ção moderna de limite. Em suas notas de aula, que 
se tornaram papers clássicos, Cauchy usou o limite 
como a base para a introdução precisa do conceito 
69Faculdade de educação, tecnologia e administração de Caarapó
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de continuidade e de convergência, de derivada, 
de integral. Entretanto, a Cauchy tinham passado 
despercebidos alguns dos detalhes técnicos. Niels 
Henrik Abel (1802 - 1829) e Peter Gustav Lejeune Di-
richlet estavam entre aqueles que procuravam por 
problemas delicados e não intuitivos.Entre 1840 e 1850, enquanto era professor da Hi-
gh School, Karl Weierstrass determinou que a pri-
meira etapa para corrigir esses erros deveria come-
çar pela definição de limite de Cauchy em termos 
aritméticos estritos, usando-se somente valores ab-
solutos e desigualdades. 
Entre todos os estudos realizados por estes estu-
diosos no decorrer de séculos, é que possuímos os 
conceitos de integrais e derivadas que possuímos 
hoje e com base nas teorias descobertas é que co-
meçaremos nossos estudos a seguir.
Bons estudos!
DErIvADAS
Este conceito foi introduzido entre os séculos XVII 
e XVIII, aplicando-o ao estudo da Física, mais preci-
samente o estudo do movimento dos corpos. Entre 
os principais estudiosos das derivadas podemos ci-
tar o físico e matemático Isaac Newton(1642-1727), 
o filósofo e matemático alemão Gottfried Leib-
niz(1646-1716) e o matemático italiano, naturalizado 
francês, Joseph-Louis Lagrange(1736-1813). 
Posteriormente aos estudos da Física e ampliação 
para outras áreas desta importante ciência para a hu-
manidade, é que se percebeu que a derivação seria de 
importante aplicabilidade na Economia e na Adminis-
tração, para os estudos gráficos e comportamento de 
muitas funções, bem como a variação entre os valores 
máximo e mínimo destas. Hoje em dia, até os enge-
nheiros e arquitetos devem conhecer um pouco desta 
ciência, pois esta auxilia na dimensão de medidas de 
área e comprimento de determinadas estruturas. 
TAXA MÉDIA DE VARIAÇÃO: Seja uma função 
f(x) e sejam e , dois pontos pertencentes ao 
seu domínio. Chamamos de taxa de variação média 
de f, para x variando de a , o quociente
Esta taxa objetiva a medição da variação da ima-
gem em relação a variação de x. Podemos observar 
que a taxa de variação média depende do ponto de 
partida de e da variação de x( .
Onde , indica uma variação, e assim, a taxa de 
variação média pode ser indicada por: 
70 Faculdade de educação, tecnologia e administração de Caarapó 
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UNIDADE 3
Exemplo1:
Numa mercearia, uma maçã foi lançada ao ar, de 
baixo para cima. A altura da maçã de baixo para ci-
ma é dado por:
Onde t designa o tempo, em segundos, e h a al-
tura, em metros.
a-Calcule a taxa média de variação nos dois pri-
meiros segundos após o lançamento.
b-Calcule a taxa média de variação no intervalo 
de 4 a 6 segundos após o lançamento.
Exemplo2:
Considere a função f(x) = x².
a-Calcule a taxa de variação a partir de um ponto 
de abscissa e um acréscimo também gené-
rico 
b- Calcule a taxa de variação média a partir do 
ponto x=5 e com variação .
Exemplo
Se um objeto cai de uma altura de 30m, sua al-
tura S no instante t é dada pela função posição 
S(t) = - 4,9t2 + 30, onde S é medido em metros e t 
em segundos. Encontre a taxa de variação média 
da altura nos intervalos:
(a) [1,2] 
(b) [1;1,5] 
Solução
(a) Para o intervalo [1,2] temos:
t = 1 ⇒ S(1) = - 4,9(1)2 + 30 = - 4,9 + 30 = 25,1
71Faculdade de educação, tecnologia e administração de Caarapó
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t = 2 ⇒ S(2) = - 4,9(2)2 + 30 = - 19,6 + 30 = 10,4
O objeto cai de uma altura de 25,1m para 10,4m, 
logo, a taxa de variação média é
14,7m/s
1
-14,7
12
25,1-10,4
t
S
−==
−
=
∆
∆
.
(b) Para o intervalo [1;1,5] temos:
t = 1 ⇒ S(1) = - 4,9(1)2 + 30 = - 4,9 + 30 = 25,1
t = 1,5 ⇒ S(1,5) = - 4,9(1,5)2 + 30 = - 11,025 + 30 ≈19
A taxa de variação média é
OBservAÇÃO: 
Note que as velocidades médias no Exemplo an-
terior são negativas, indicando que o objeto está se 
movimentando para baixo.
1) Sabendo que a área de um quadrado é função 
de seu lado. Determine:
a- a taxa de variação média da área de um quadrado 
em relação ao lado quando este varia de 2,5 a 3 m; 
b-a taxa de variação da área em relação ao lado 
quando este mede 4m. 
2) Um quadrado de lado l está se expandindo se-
gundo a equação l = 2 + t2, onde a variável t re-
presenta o tempo. Determinar a taxa de variação 
da área desse quadrado quando t = 2.
3) Encontre a velocidade média nos instantes t = 
1 e t = 2 de um objeto em queda livre cuja fun-
ção posição é dada por S(t) = - 4,9t2 + 30, onde 
S está em metros e t em segundos.
coNcEIto DE DErIvADA 
DErIvADA DE UmA FUNÇão NUm poNto
Vamos considerar f(x) uma função e um pon-
to de seu domínio. Chamamos de derivada de f no 
ponto se existir e for finito, o limite dado por:
Podemos indicar a derivada de f(x) no ponto 
, por:
72 Faculdade de educação, tecnologia e administração de Caarapó 
Titulo do livro
UNIDADE 3
Exemplo 1- Qual a derivada de f(x) = x² no pon-
to ?
Através deste cálculo, podemos concluir que 
ocorreu um pequeno acréscimo dado a x, a par-
tir de =3, ocasionando m acréscimo correspon-
dente que é aproximadamente 6 vezes maior 
que o acréscimo .
FUNÇão DErIvADA
Considere uma função f(x). Quando calculamos a 
derivada f(x) num ponto genérico x, chamamos de 
função derivada de f(x), onde o domínio dessa fun-
ção é conjunto dos valores de x para os quais exista 
uma f(x). A vantagem de fazermos o cálculo da fun-
ção derivada da f(x), é que com ela podemos calcu-
lar a derivada f(x) em qualquer ponto , fazendo 
apenas a substituição na função derivada x por .
( )
0 0
( ) ( )´ lim (´ ) lim
x x
f f x x f xf x f x
x x∆ → ∆ →
∆ + ∆ −
= ⇒ =
∆ ∆
Exemplo :
Dada a função 
2( ) 3f x x= , definida em � , calcular 
a função derivada )(xf .
73Faculdade de educação, tecnologia e administração de Caarapó
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Podemos perceber que: através de todo cál-
culo realizado, a função derivada dobrou: era 
3 e virou 6 e o expoente 2 de x virou 1, por-
que isso ocorreu?
Se quisermos, por exemplo, calcularmos f’(5), 
teremos:
`( ) 6.5 30ff x
x
∆
= = =
∆
1) Para cada função f(x), determine a derivada f’( ), 
no ponto indicado:
( ) ²a f x x− = para
( ) 2 3b f x x− = + para
( ) ² 3c f x x x− = − para
( ) ² 4d f x x− = − para
( ) ² 3 4e f x x x− = − + para
1( )f f x
x
− =
para
DerivADA DAs priNCipAis FuNÇões 
elemeNTAres
Percebemos durante o estudo da função deriva-
da que a derivada de f(x) = 3x² era f’(x)= 6x. Assim, 
se conseguirmos determinar a derivada das funções 
elementares a seguir dessa mesma maneira, não 
precisaremos recorrer a defi nição para calcular as 
derivadas(sendo que desta forma fi caria mais difícil).
DerivADA DA FuNÇÃO CONsTANTe
Demonstração:
0 0
( ) ( )'( ) lim lim 0
x x
f x x f x c cf x
x x∆ → ∆ →
+ ∆ − −
= = =
∆ ∆
Exemplos: 
a) 
'( ) 3 ( ) 0f x f x= ⇒ = 
b) 
'( ) 3 ( ) 0f x f x= ⇒ =
DerivADA DA FuNÇÃO pOTêNCiA
Demonstração:
Vamos provar aqui que em caso de n ser inteiro e 
positivo, embora a propriedade seja válida para to-
do n real, para x 0. Temos que:
74 Faculdade de educação, tecnologia e administração de Caarapó 
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UNIDADE 3
E utilizando a fórmula do Binômio de Newton.
1 2 2 1 1.( )¹ .( ) ... .( ) ( )
1 2 1
n n n n n n nn n nf x x x x x x x x x x− − −     ∆ = + ∆ + + ∆ + + ∆ + ∆ −     
     
1 2 1 1 2 1.( ) ... .( ) ( )
1 2 1
n n n nn n nf x x x x x x
nx
− − − −     ∆ = ∆ + + ∆ + ∆     −∆      
Para tendendo a zero, todos os termos do se-
gundo membro tendem a zero, exceto o 1º, logo:
1 1 1
0
!'( ) lim . .
1 1!( 1)!
n n n
x
nf nf x x x n x
x n
− − −
∆ →
 ∆
= = = = ∆ − 
Exemplo:
a- f(x) = (3x –1)2
f(x)’ = 2((3x –1)2-1. 3 
f(x) ' = 6( 3x – 1 ) ⇒ f(x)’ = 18x - 6
b) f(x) = (x2 +1)3
f(x)’ = 3(x2 +1)3-1. 2x 
f(x) ' = 6x( x2 + 1)2 ⇒ f(x)’ = 6x(x4 + 2x2 + 1) ⇒ f(x)’ 
= 6x5 + 12x3 + 6x
DerivADA DA FuNÇÃO lOgArÍTmiCADemONsTrAÇÃO
ln( ) ln
ln
ln 1
f x x x
x xf
x
xf
x
∆ = + ∆ −
+ ∆
∆ = =
∆ ∆ = + 
 
Logo:
1
1 ln 1
ln 1
x
f x
x x x
f x
x x
∆ ∆ = + ∆ ∆  
∆ ∆ = + ∆  
Fazendo 
xm
x
∆
= , então quando x∆ tende a 0, m 
também tende a 0. Assim:
Porém
Logo:
Ou seja:
f’(x) = 
75Faculdade de educação, tecnologia e administração de Caarapó
Autor do livro
DerivADAs DAs FuNÇões TrigONOméTriCAs
•	 Se f(x)= sen x, então f’(x) = cos x para todo x real
•	 Se f(x)= cos x, então f’(x) = sen x para todo x.
Demonstração:
76 Faculdade de educação, tecnologia e administração de Caarapó 
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UNIDADE 3
proprIEDADES opErAtórIAS
Através das propriedades operatórias, podemos encontrar as derivadas das somas, diferenças, pro-
dutos e quocientes de funções elementares. São as seguintes:
A derivada de uma soma de funções é igual à so-
ma das derivadas das parcelas.
EXEMPLO: f(x) = 3x²+2x³
f’(x)=3.2.x+2.3x²
f’(x)=6x+6x²
f’(x)=6x(1+x)
Se f(x)=u(x)+v(x), então f’(x)=u’(x)+v’(x), onde u(x) 
e v(x) são funções.
A derivada de um produto de funções é igual à 
soma dos produtos da derivada de uma das fun-
ções pelas outras funções.
EXEMPLO: f(x) = 3x².2x³
f’(x)=3x².6x²+6x.2x³
f’(x)=18 +12
f’(x)=30
Se f(x)=u(x).v(x), então f’(x)=u (x).v’(x)+ u’(x).v (x), 
onde u(x) e v(x) são funções.
A derivada de um produto de uma constante por 
uma função é igual ao produto da constante pela 
derivada da função.
EXEMPLO: f(x)=6
f’(x)=6.7.
f’(x)=42
Se f(x) = k.g, então f’(x) = k. g’(x), onde k é a cons-
tante e g(x) é a função.
77Faculdade de educação, tecnologia e administração de Caarapó
Autor do livro
A derivada de um quociente de funções é igual à 
função mostrada abaixo.
EXEMPLO: 
Se , então
,
onde u(x) e v(x) são funções.
A derivada da subtração de uma função é igual à 
função mostrada abaixo.
EXEMPLO: f(x) = 3x²-2x³
f’(x)=3.2.x-2.3x²
f’(x)=6x-6x² ou f’(x)=6x(1-x)
Se f(x)=u(x)-v(x), então f’(x)=u’(x)-v’(x), onde u(x) e 
v(x) são funções.
1) Obtenha a derivada de cada função a seguir:
5
1 1
3 4
( ) 10
( )
( ) 10 ³ 5 ²
( ) .
( )
cos
( )
a f x
b f x x
c f x x x
d f x x senx
senxe f x
x
f f x x x
− =
− =
− = +
− =
− =
− = +
FUNÇão compoStA-rEgrA DA cADEIA
Considere a função f(x)=(x²-1)³. Certamente, po-
deríamos resolver esta derivada resolvendo a ex-
pressão cubo de uma diferença. Poderíamos tam-
bém fazer u=x²-1 e teríamos a função do tipo u³. As-
sim, para calcularmos uma imagem dessa função, 
procedemos em duas etapas:
•	 Para um determinado valor de x, uma 1ª função 
calcula a imagem u=x²-1.
78 Faculdade de educação, tecnologia e administração de Caarapó 
Titulo do livro
UNIDADE 3
•	 Para o valor de u assim encontrado, calcula a 
imagem v=u³
Assim, podemos que a função f(x) é a composi-
ção dessas duas funções. Logo, para o cálculo da de-
rivada de f(x), podemos usar o seguinte raciocínio 
intuitivo:
Logo, quando tende a zero, o mesmo ocorre 
com , de forma que:
f’(x)=v’(x).u’(x)
ou seja,
f’(x)= (derivada de v em relação a u). 
(derivada de u em relação a x)
A fórmula acima é reconhecida como REGRA DA 
CADEIA. Sendo assim, aplicando-se a regra da ca-
deia no exemplo dado obteremos: 
f’(x) = 3u².u’
f’(x)=3(x²-1)².(2x)
f’(x)=6x(x²-1)² ou f’(x)=6x³-6x
A seguir, proponho a você outro exemplo:
Qual a derivada da função f(x)= ln (3x+6)?
Vamos fazer u=3x+6, teremos v=ln u, logo:
DerivADA DA FuNÇÃO expONeNCiAl
Demonstração:
Seja a função
Aplicando a regra da cadeia obteremos:
1l'( ) . '( )
( )
x f x
f x
=
Porém, de outra forma, temos que:
l'( ) lnx a=
Por consequência temos que:
'( ) ln '( ) ( ).ln .ln
( )
xf x a f x f x a a a
f x
= ⇒ = =
exemplO1:
( )f x 3 '( ) 3 .ln 3;
( ) '( ) .ln , ln 1
x x
x x x
f x
f x e f x e e e pois e
= ⇒ =
= ⇒ = = =
exemplO2:
Calcule a derivada de 
2 3 5( ) x xf x e + −= . Aplicando 
a regra da cadeia teremos:
Logo devemos fazer u= x²+3x-5
2 3 5
'( ) .ln . '
'( ) .(2 3)
u
x x
f x e e u
f x e x+ −
=
= +
79Faculdade de educação, tecnologia e administração de Caarapó
Autor do livro
6
3
( ) (2 1)³
( ) (5 ² 3 5)
1 1( ) 1
²
( ) ln(3 ² 2 )
( ) 1
1( )
3 2
( ) ln 3 ² 1
a f x x
b f x x x
c f x
x x
d f x x x
e f x x x
xf f x
x
g f x x
− = −
− = − +
 − = + + 
 
− = −
− = + +
+
− =
−
− = +
Função exponencial geral – Para uma função 
do tipo ( )( ) ( )v xf x u x= , certamente podemos 
calcular a derivada tomando o logaritmo de 
ambos os membros e aplicando a regra da ca-
deia. Por exemplo, se ( ) xf x x= , obteremos:
ln ( ) ln
ln ( ) .ln
xf x x
f x x x
=
=
Derivando ambos os membros, teremos:
1 1. '( ) 1.ln .
( )
'( ) ( ).[ln 1]
'( ) .[ln 1]x
f x x x
f x x
f x f x x
f x x x
= +
= +
= +
1) Calcule a derivada das seguintes funções
2
ln
( ) ( )
( ) ( ² 1)
( ) ( )
x
x
x
a f x x
b f x x
c f x x
− =
− = +
− =
FuNÇÃO iNversA
Considere que R é uma relação de A em B, então:
1 {( , ) / ( , ) }R b a BxA a b AxB− = ∈ ∈ é chamada de 
relação inversa de R. Assim temos que R AxB⊂
, enquanto R AxB⊂ .
Seja R for dada pelo diagrama da fi gura a seguir, 
a relação inversa será:
1 {(2,1), (3,1), (4,1), (3, 2), (4, 2), (4,3)}R− =
Note que: Nem R nem 
1R− são funções.
80 Faculdade de educação, tecnologia e administração de Caarapó 
Titulo do livro
UNIDADE 3
f e g agora são funções. Agora vamos considerar 
1f − e 
1g − , ou seja, as relações inversas. 
Perceba que: 1f − não é função, pois ao elemento 
1y correspondem dois elementos 1x e 2x . Podemos 
perceber ainda que ao contrário da 
1f − , 
1g − é função.
Agora considere que : se f é uma função de A em 
B, considere a relação inversa 
1f − . Assim, se 
1f − for 
uma função, ela dita função inversa de f.
Podemos concluir assim que a função f admitirá 
uma função inversa 
1f − se, e somente se, f for bije-
tora de A em B.
Observe que, se f for uma função em que y=f(x) 
e 
1f − for a função inversa de f, então x= 1f − (y) se, e 
somente se, y=(x). Anda podemos acrescentar que:
1f − (f(x))=x para todo x A∈ , e f( 1f − (y))=y, para 
todo y B∈ .
Exemplo: Calcule a derivada da função inversa 
de ( ) 5 7y f x x= = − .
sOluÇÃO:
 Inicialmente vamos calcular a função inversa 
de ( ) 5 7y f x x= = −  que é . Aplicando a 
regra prática para encontrarmos a função inversa 
de uma dada função é: 
75 7 5 7 5 7
5
xy x x y y x y += − ⇒ = − ⇒ = + ⇒ =
,
ou ainda 
7( )
5
yx g y += =
.
Assim, a função inversa de ( ) 5 7y f x x= = −   é 
7( )
5
yx g y += =
 e ( ) 5f x′ = .
1 1 1( ) ( )
( ) 5 5
g y g y
f x
′ ′= = ⇒ =
′ .
De fato, calculando a derivada da função 
( )g y  em relação a y , temos
'7 1( )
5 5
yg y + ′ = = 
  .
Finalmente, a derivada da função inversa de  
( ) 5 7y f x x= = − , 
7( )
5
yg y +=
é dada por:
  
1( )
5
g y′ =
.
exemplO 2
Determine a derivada da inversa da função 
3( )y f x x= =  para 0x > .
81Faculdade de educação, tecnologia e administração de Caarapó
Autor do livro
sOluÇÃO:
Vamos calcular a função inversa de 
3( )y f x x= =  
Assim, a função inversa da função 
3( )y f x x= =  é
, (0, )y∈ ∞   e 
2(´ ) 3 0f x x= ≠   para 
todo 0x > , logo: 
( )22 3
1 1 1(´ )
(´ ) 3 3
g y
f x x y
= = =
Portanto, a derivada da inversa da função 
3( )f x x=  para 0x > , 3( )g y y=  é ( )23
1(´ )
3
g y
y
=
.
exemplO 3
Calcular a derivada da inversa da função 
2( )y f x x==  para todo 0x > .
sOluÇÃO:
 A derivada de f   é '( ) 2f x x=   e a função in-
versa de 
2( )y f x x= = , aplicando a regra prática é 
( )x g y y= =  para 0y > , logo
1 1 1( )
( ) 2 2
g y
f x x y
′ = = =
′ ⋅ ou 
1( )
2
g y
y
′ =
⋅ .
Portanto, a derivada da inversa da função 
2( )y f x x= =   para todo 0x > , ( )g y y=   é 
1( )
2
g y
y
′ =
⋅
exemplO 4
Calcular a derivada da função inversa de 
3( ) 2y f x x= = −   no ponto 6y = , ou seja, . 
sOluÇÃO:
A derivada da função f   é 
2'( ) 3f x x= . Vamos 
calcular a função inversa de 
3( ) 2y f x x= = −  que é 
( )x g y= , aplicando a regra prática, temos: 
3 3 3 32 2 2 2y x x y x y y x= − ⇒ = − ⇒ + = ⇒ = + ,
Ou ainda,
3( ) 2x g y y= = + .
Assim, a função inversa de 
3( ) 2y f x x= = −  é 
3( ) 2x g y y= = + .
 Logo,
( )22 3
1 1 1( )
( ) 3 3 2
g y
f x x y
′ = = =
′ ⋅ ⋅ +
,
ou seja, 
Mas nosso objetivo é calcular a '(6)g , logo 
teremos:
( ) ( ) ( )2 2 23 3
1 1 1 1 1'(6)
3 4 123 23 6 2 3 8
g = = = = =
⋅⋅⋅ + ⋅
Portanto, a derivada da função inversa de 
3( ) 2y f x x= = − , 3( ) 2g y y= + , no ponto 6y =
é 
1
12 .
83Faculdade de educação, tecnologia e administração de Caarapó
Autor do livro
Acompanhe a tabela de derivação das princi-
pais funções:
1. 
ny u=
 
1' 'ny nu u−⇒ =
2. y u v=
 ' ' 'y u v v u⇒ = +
3. 
uy
v
=
 
2
' '' u v v uy
v
−
⇒ =
4. 
uy a=
 ( )' (ln ) ', 0, 1
uy a a u a a⇒ = > ≠
5. 
uy e=
 ' '
uy e u⇒ =
6. logay u=
 
'' loga
uy e
u
⇒ =
7. lny u=
 
1' 'y u
u
⇒ =
Acompanhe a tabela de derivação das princi-
pais funções:
1. 
ny u=
 
1' 'ny nu u−⇒ =
2. y u v=
 ' ' 'y u v v u⇒ = +
3. 
uy
v
=
 
2
' '' u v v uy
v
−
⇒ =
4. y a
 ( )' (ln ) ', 0, 1
uy a a u a a⇒ = > ≠
5. 
uy e=
 ' '
uy e u⇒ =
6. logay u=
 
'' loga
uy e
u
⇒ =
7. lny u=
8. 
vy u=
 
1' ' (ln ) 'v vy v u u u u v−⇒ = +
9. seny u=
 ' ' cosy u u⇒ =
10. ' ' seny u u⇒ = −
 ' ' seny u u⇒ = −
11. tgy u=
 
2' ' secy u u⇒ =
12. cotgy u=
 
2' ' cosecy u u⇒ = −
13. ' ' sec tgy u u u⇒ =
 ' ' sec tgy u u u⇒ =
14. cosecy u=
 ' ' cosec cotgy u u u⇒ = −
15. seny arc u=
 
2
''
1
uy
u
⇒ =
−
16. cosy arc u=
 tgy arc u=
17. tgy arc u=
 
2
''
1
uy
u
⇒ =
+
18. coty arc g u=
 
2
'
1
u
u
−
⇒
+
19. 
sec , 1y arc u u= ≥
 
2
'' , 1
1
uy u
u u
⇒ = >
−
20. cosec , 1y arc u u= ≥
 
2
'' , 1
1
uy u
u u
−
⇒ = >
−
INtErprEtAÇão gEométrIcA DA 
DErIvADA
Seja uma função f e os pontos ( , ( ))o oP x f x e 
( , ( ))o oQ x x f x x+ ∆ + ∆ . Logo, a reta que passa por 
PQ é secante ao gráfico e o coeficiente angular é 
f
x
∆
∆ . 
84 Faculdade de educação, tecnologia e administração de Caarapó 
Titulo do livro
UNIDADE 3
Note que: a medida que x∆ se aproxima de ze-
ro, há uma variação do coeficiente angular. Assim, 
considere da reta que passa por P.O coeficiente an-
gular é dado por: 
Logo, a reta é chamada de reta tangente ao grá-
fico de f no ponto P( na condição de que f seja de-
rivável em ox
Acompanhe o exemplo a seguir.
Obtenha a reta tangente ao gráfico da função f(x) 
= x² no ponto P de abscissa 2.
sOluÇÃO:
Podemos perceber que : para x=2, a f(2)=2. As-
sim as coordenadas do ponto P tem como coorde-
nadas P(2,4).
Ainda podemos definir que f’(x)=2x, assim f’(2)=4. 
Logo a reta tangente t, tem coeficiente angular igua-
la 4. A equação é dada por: 
y-4=4(x-2), ou seja, y=4x-4
DIcAS DE lEItUrA:
Sinopse: Com sua primeira 
edição publicada há quase 
vinte anos, Cálculo A é uma 
obra de referência nos cur-
sos de cálculo diferencial e 
integral. Esta sexta edição, 
completamente revista e 
atualizada pelas autoras Diva Marília Flemming e 
Mirian Buss Gonçalves, matem a estrutura das edi-
ções anteriores, abordando os conteúdos de núme-
ros reais, funções, limites e continuidade, derivada, 
aplicações de derivada, introdução à integração, 
métodos de integração e aplicações da integral de-
finida. Como novidades, o leitor encontrará uma 
melhor apresentação das figuras que ilustram os 
problemas, aplicações de funções em diversas áreas 
85Faculdade de educação, tecnologia e administração de Caarapó
Autor do livro
– especialmente a de economia -, a inclusão do con-
teúdo de integrais impróprias, e novas abordagens 
para conteúdos que contemplam o advento do uso 
de novas tecnologias. Exercícios para serem resolvi-
dos com recursos computacionais complementam a 
estrutura didática do livro. Escrito para ser usado 
como livro-texto de cálculo nas disciplinas que 
abrangem as funções reais de uma variável, tanto 
dos recursos de matemática, física, química e enge-
nharia, quanto dos recursos das áreas socioeconô-
micas e de ciências biológicas.
Sinopse: Este é uma das 
obras da coleção Sebenta 
de Matemáticas Gerais,do 
professor português Fernan-
do Borja Santos, em sua 8ª 
edição, apresenta uma lin-
guagem acerca da Lógica, 
dos Limites e da Continuidade de uma maneira bas-
tante acessível. Em seu conteúdo, demonstra mui-
tos exemplos envolvendo os subtítulos de cada ca-
pítulo. E para fi nalizar, os exercícios estão intercalados 
dentro de cada capítulo, ajudando no entendimen-
to do conteúdo, a entender a aplicabilidade da Ló-
gica, Limites e Continuidade e uma sucessão gráfi ca 
de fácil interpretação. É uma excelente leitura, de 
um autor formidável.
DIFErENcIAl DE UmA FUNÇão
Para entendermos o que é o diferencial de uma 
função, considere uma função f derivável em . A 
variação sofrida por f, quando passa do ponto 
para o ponto ox x+ ∆ é dada por: 
Agora, considere uma reta PR, tangente ao gráfi -
co de f no ponto ( , ( ))o oP x f x e com coefi ciente an-
gular m= . 
No triângulo PRS do gráfi co a seguir temos que:
E como m=
0'( )
RSf x
x
=
∆ ou
0'( ).RS f x x= ∆
86 Faculdade de educação, tecnologia e administração de Caarapó 
Titulo do livro
UNIDADE 3
Assim, ao valor RS ( que depende do valor de 
x∆ ) denomina-se diferencial de f no ponto que pos-
sui abscissa 0x e o indicamos por df . Logo:
0'( ).df f x x= ∆
Devemos observar que df depende de x∆ e é 
simples perceber que quanto menor for o valor de 
x∆ mais o valor de df estará de f∆ . Então, pode-
mos dizer que:
df f≅ ∆ , para pequenos valores de x∆ .
Portanto podemos concluir que a diferencial de 
uma função pode ser usada para calcular aproxima-
damente variações de f, para pequenos valores de 
x∆ .
Acompanhe o exemplo a seguir.
Seja a função f(x)=3x² e os pontos com abscissas 
1 e 1,01. Logo a variação de f entre os dados pontos 
é dada por:
Assim, a diferencial de f no ponto de abscissa 1 
para é :
'(1).0,01df f=
Como '( ) 6f x x= , '(1) 6f = e temos 
6.(0,01) 0,06df = = . Portanto, df f≅ ∆
1) Obtenha a equação da reta tangente ao gráfico 
de f nos pontos de abcissas indicadas:
( ) ²a f x x− = 0 5x =
( ) ² 5b f x x x− = − 0 1x =
( ) 2 3c f x x− = + 0 3x =
( ) ² 5 6d f x x x− = − + 0 2x =
0 4
x π=
2) Calcule a diferencial das funções dadas nas 
seguintes situações
( ) ²a f x x− = 0 2x = 0,1x∆ =
( )b f x x− = 0 1x = 0,02x∆ =
( )
1
xc f x
x
− =
−
0 2x = 0,1x∆ =
( ) lnd f x x x x− = − 0x a= x d∆ =
( ) cose f x x− =
0 3
x π= 1
2
x∆ =
3) Usando o fato deque df f≅ ∆ , calcule 
aproximadamente:
a- 
1,1e
O acréscimo sofrido pela área de um quadrado 
de lado x, quando x varia de 3 para 3,01
87Faculdade de educação, tecnologia e administração de Caarapó
Autor do livro
DErIvADAS SUcESSIvAS
Vamosconsiderar que f  é uma função derivá-
vel em um determinado intervalo. Então, se a fun-
ção )(´ xf , for chamada de derivada primeira de 
)(xf , ela é derivável no mesmo intervalo. Assim, 
podemos dizer que existe a função derivada de 
)(´ xf , dada por )´´(xf  que é chamada de deri-
vada segunda de )(xf . Diz-se então que )(xf  é 
duas vezes derivável. 
Fazendo essa derivação sucessivamente e, su-
pondo que )(xf   é n  vezes derivável, obtém-se a 
função derivada n-ésima, ou derivada de ordem 
n , de )(xf   indicada como
)(nf )(´ xf . Logo, )(´ xf , 
)´´(xf ,...,
)(nf )(x , são chamadas de derivadas su-
cessivas de )(xf .
Acompanhe os exemplos a seguir e esclareça co-
mo calcular as derivadas sucessivas.
exemplO 1
 Determinar as derivadas sucessivas da função 
3 2( ) 2 1f x x x= + + , até que essa não possa mais 
ser derivada.
Partindo das regras de derivação estudadas, 
temos: 
3 2( ) 2 1f x x x= + + ,
2( ) 3 4f x x x′ = + ,
( ) 6 4f x x′′ = + , ( ) 6f x′′′ = , ( ) 0
ivf x = , ( ) 0
nf x = , 
4n∀ ≥ .
Assim, a derivada da função 
3 2( ) 2 1f x x x= + +  é 
4n∀ ≥ , 4n∀ ≥ .
exemplO 2:
Obtenha a derivada terceira da função 
1( )f x
x
=
Aplicando as regras de derivação, temos  : 
1( )f x
x
=
,
2
1( )f x
x
′ = −
,
3
2( )f x
x
′′ =
,
4
6( )f x
x
′′′ = −
.
Logo, a derivada terceira de 
1( )f x
x
=
 é 
4
6( )f x
x
′′′ = −
.
exemplO 3:
Obtenha a derivada de ordem 4 da função 
2( ) xf x e−= .
Resolução: Aplicando as regras de derivação, temos
2( ) xf x e−= ,
2'( ) 2 xf x e−= − ⋅ ,
2'''( ) 8 xf x e−= − ⋅ ,,
2''''( ) 16 xf x e−= ⋅ .
Portanto, a derivada de ordem 4 ou a quarta 
derivada da função 
2( ) xf x e−=  é 
2''''( ) 16 xf x e−= ⋅ 
e consequentemente,
88 Faculdade de educação, tecnologia e administração de Caarapó 
Titulo do livro
UNIDADE 3
exemplO 4:
Determinar a segunda derivada da função 
( )2( ) 1f x sen x= + .
Aplicando as regras de derivação, teremos:
( )2( ) sen 1f x x= + ,
( )2'( ) 2 cos 1f x x x= ⋅ + ,
( ) ( )2 2 2''( ) 4 sen 1 2cos 1f x x x x= − + + + . 
Portanto, a segunda derivada de
( )2( ) sen 1f x x= + é 
( ) ( )2 2 2''( ) 4 sen 1 2cos 1f x x x x= − + + + .
AtIvIDADES pArA AUtoEStUDo
1) Obtenha a derivada segunda da função 
f(x)=6x³-4x²-10.
2) Obtenha a derivada terceira da função 
f(x)=sem x + cos x
3) Obtenha a derivada primeira da função ( )
xf x e−=
4) Obtenha a derivada terceira da função f(x)= sen x
FórmUlAS DE tAYlor E mAclAUrIN
Quando falamos a cerca do Estudo da Fórmula de 
Taylor e Maclaurin, realizaremos estudos acerca de 
uma série infinita, onde esta irá convergir para uma 
dada função. Além disso, aprenderemos como utilizar 
esta informação no cálculo de um valor aproximado 
de uma função por meio de somas parciais desta sé-
rie. Como exemplo de cálculos que poderemos utilizar 
a Fórmula de Taylor e Maclaurin, estão o log 35,ln 42, 
sen 17°, , entre outros cálculos. Este é o método 
utilizado nos programas de computadores e calcula-
doras para o cálculo de determinadas funções.
Para começarmos este estudo, começaremos re-
cordando sobre as séries de potência. Tais séries 
são apresentadas do seguinte tipo:
Logo as somas parciais desta série de polinômios 
é dada por:
Quando determinamos um valor para x, as somas 
parciais , , ,... elas formam uma sequência on-
de esta pode ou não convergir para este dado valor 
de x. Podemos verificar que nas séries de potências 
as somas parciais convergem para valores de x, tais 
que , onde R é chamado de rAiO De 
CONvergêNCiA DA série.
Com base nestas considerações anteriores, va-
mos considerar uma função f(x) e uma série de 
89Faculdade de educação, tecnologia e administração de Caarapó
Autor do livro
potências que convirja para f(x) num dado interva-
lo de convergência. Determinemos os coefi cientes 
 da série de modo que:
Assim, temos que:
•	 Para x=0a f(0)=
•	 Derivando-se membro a membro, esta derivada 
converge para f’(x) no mesmo intervalo de con-
vergência.Logo:
Para x=0 ⇒ f’(0)=
•	 Derivando membro a membro em relação a 
equação anterior, teremos que:
•	 Derivando membro a membro em relação a 
equação anterior, teremos que:
Fazendo da mesma maneira que anteriormen-
te, poderemos verifi car que 
( ) (0)
!
n
n
fa
n
= , onde 
( ) ( )nf x é a derivada de ondem n de f(x). Logo a 
série obtida será:
( )'(0) ''(0) '''(0) (0)(0) ² ³ ... ...
1! 2! 3! !
n
nf f f ff x x x x
n
+ + + + + +
Conhecida como série de Taylor ou desenvolvi-
mento de Maclaurin para a função f(x). Conheça um pouco mais 
sobre a vida e a obra de 
Book Taylor(1685-1731), 
famoso matemático in-
glês. A seguir deixo para 
você um link muito inte-
ressante que fará você 
ampliar seus conheci-
mentos Histórico-Mate-
máticos.
http://www.fem.unicamp.br/~em313/paginas/
person/taylor.htmData de acesso 07 de julho 
de 2013.
Conheça um pouco 
mais sobre a vida e a 
obra de Colin Maclau-
rin(1698-1746), famoso 
matemático escocês. 
Certamente ajudará a 
conhecer ainda mais 
sobre este importante 
matemático.
h t t p : / / w w w .
apprendre-math.info/portugal/historyDetail.
htm?id=Maclaurin
Data de acesso 07 de julho de 2013.
Conheça um pouco mais 
sobre a vida e a obra de 
Book Taylor(1685-1731), 
famoso matemático in-
glês. A seguir deixo para 
você um link muito inte-
ressante que fará você 
ampliar seus conheci-
mentos Histórico-Mate-
máticos.
http://www.fem.unicamp.br/~em313/paginas/
person/taylor.htmData de acesso 07 de julho 
de 2013.
90 Faculdade de educação, tecnologia e administração de Caarapó 
Titulo do livro
UNIDADE 3
Ao utilizarmos a soma parcial até a derivada de 
ordem n, chamamos o resultado obtido de aproxi-
mação de Taylor de ordem n ( ou de Maclaurin) para 
a função f(x)
Exemplo 1- Considere a função ( )f x
xe=
f’(x)= f’’(x)= f’’’(x)=... 
( ) ( )nf x =
xe
Assim, a série de Taylor ( ou de Maclaurin) em 
torno de x=0 para f(x)= ex é:
1 1 1 11 ² ³ ... ...
1! 2! 3! !
nx x x x
n
+ + + + + +
Para uma aproximação de, 
1e usando uma 
aproximação de 4ª ordem, teremos que:
1 4
1 1 1 1
1 1 11 1.(1¹) (1²) (1³) (1 )
2 3.2.1 4.3.2.1
1 1 1 24 24 12 4 1 651 1 2
2 6 24 24 24
e
e e e e
= + + + +
+ + + +
= + + + + = = = = = ≅
exemplo 2: Considere uma função 
( )f x (1 )nx= + .Determine a aproximação de 
Taylor até a 3ª ordem, em torno de x=0.
1° passo: Fazer a derivação até a 3ª ordem.
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1
2
3
f' x .(1 ) f' 0
f'' x .( 1).(1 ) f'' 0 ( 1)
f''' x .( 1).( 2).(1 ) f''' 0 .( 1).( 2)
n
n
n
n x n
n n x n n
n n n x n n n
−
−
−
= + ⇒ =
= − + ⇒ = −
= − − + ⇒ = − −
2° passo: Fazer a aproximação de Taylor (ou Ma-
claurin) até a 3ª ordem, em torno de x=0 é:
( 1) ( 1)( 2)(1 ) 1 ² ³
1 2 6
n n n n n n nx x x x− − −+ ≅ + + +
Exemplo 3: Determine a aproximação de 4ª or-
dem f(x)= cos x, pela aproximação de Taylor em 
torno de x=0. 
1° passo: Fazer a derivação até a 4ª ordem.
'( ) '(0) 0
''( ) cos ''(0) 1
'''( ) '''(0) 0
''''( ) cos ''''(0) 1
f x senx f
f x x f
f x senx f
f x x f
= − ⇒ =
= − ⇒ = −
= ⇒ =
= ⇒ =
Assim:
41 1 1 1cos 1 .0 ( 1). ² .0. ³ .(1).
1! 2! 3! 4!
x x x x= + + − + +
4
41 1 ²cos 1 0 ²
2 24 2 24
x xx x x= + − + = − +
Conheça um pouco 
mais sobre a vida e a 
obra de Colin Maclau-
rin(1698-1746), famoso 
matemático escocês. 
Certamente ajudará a 
conhecer ainda mais 
sobre este importante 
matemático.
h t t p : / / w w w .
apprendre-math.info/portugal/historyDetail.
htm?id=MaclaurinData de acesso 07 de julho de 2013.
91Faculdade de educação, tecnologia e administração de Caarapó
Autor do livro
NOTe Que:
Para determinados tipos de cálculos, tratando as 
questões de convergência, devemos utilizar uma sé-
rie de convergências ligeiramente diferente do que 
acabamos de estudar. A série é dada por:
2 3
0 1 2 3
0
( )¹ ( ) ( ) ... .( )nn
n
a a x a a x a a x a a x a
∞
=
+ − + − + − + = −∑
Onde esta série recebe o nome de série de Taylor 
em torno de x=a, considerando sempre que a é uma 
constante. Considerando o mesmo raciocínio utiliza-
do anteriormente, para uma dada função f(x), em que:
2 3
0 1 2 3( ) ( )¹ ( ) ( ) ...f x a a x a a x a a x a= + − + − + − +
Assim, devemos ter :
0
1
2
3
( ),
'( ) ,
1!
''( ) ,
2!
'''( ) ,
3!
a f a
f aa
f aa
f aa
=
=
=
=
•	 E similarmente: 
( ) ( )
!
n
n
f aa
n
=
Portanto, teremos:
2 3'( ) ''( ) '''( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ...
1! 2! 3!
f a f a f af x f a x a x a x a= + − + − + − +
Tomando os termos até que tenha derivada de 
ordem n, chamamos a soma parcial encontrada de 
aproximação de Taylor de ordem n, centrada em a. 
Exemplo:
 Considere a função f(x) = x , e obtenha a apro-
ximação de Taylor de 3ª ordem, centrada em a=4
1
2
3
2
5
2
( ) (4) 4 (4) 2,
1 1'( ) '(4) ,
2 4
1 1''( ) ''(4) ,
4 32
3 3'''( ) '''(4) .
4 256
f x x f f
f x x f
f x x f
f x x f
−
−
−
= ⇒ = ⇒ =
= ⇒ =
= − ⇒ = −
= ⇒ =
Assim: 
2 3
1 31
32 25642 ( 4)¹ ( 4) ( 4) ,
1 2 6
x x x x
−
≅ + − + − + −
2 3( 4)¹ ( 4) ( 4)2 .
4 64 512
x x xx − − −≅ + − +
Logo, por exemplo, para um valor aproximado 
de 5 , teremos:
1 1 1 11452 2,24.
4 64 512 512
+ − + = =
92 Faculdade de educação, tecnologia e administração de Caarapó 
Titulo do livro
UNIDADE 3
1) Dê a fórmula de Taylor, centrada em x=0 para 
a função:
) ( )
) ( ) ln(1 )
a f x senx
b f x x
=
= +
2) Utilizando uma aproximação de 3ª ordem do 
exercício anterior, calcule um valor aproximado 
de ln1,5 .
3) Dê a fórmula de Taylor, centrada em x=1 para a 
função ( ) lnf x x= . (Prova-se que existe a con-
vergência para )
rEgrAS DE l’hoSpItAl
A Regra de L´Hospital permite o cálculo de limi-
tes que dizem-se indeterminados, indicados da se-
guinte forma:
( ) 0lim
( ) 0x a
f x
g x→
=
 ou 
( )lim
( )x a
f x
g x→
∞
=
∞
Podemos observar que isso é apenas uma nota-
ção para indicar que o numerador e o denominador 
convergem para 0. ∞ .
93Faculdade de educação, tecnologia e administração de Caarapó
Autor do livro
Fonte: http://www.uff.br/webmat/Calc1_LivroOnLine/Cap24_Calc1.html#sol_Exemplo_24-1a Data de 
acesso 17 de junho de 2013. 
94 Faculdade de educação, tecnologia e administração de Caarapó 
Titulo do livro
UNIDADE 3
AtIvIDADES pArA AUtoEStUDo:
Calcule os seguintes limites utilizando a Regra de 
L’Hospital:
a-
3lim x
ex
x ∞→
f- x
ex
x sen
1lim
0
−
→
g-
x
x
x
1
lim
∞→ h-
xx e
xsenlim
0→
i-
30
senlim
x
x
x→
INtEgrAIS
SÍMBOLO DE INTEGRAÇÃO
INtEgrAÇão INDEFINIDA
Para estudarmos as integrais, faremos um caminho 
inverso ao que estávamos fazendo para o estudo dos 
limites, continuidade e derivadas, mas sem deixar de 
agregar estes conceitos aprendidos durante o estudo. 
Agora, partindo de uma função g(x), iremos obter 
uma função f(x), onde a '( ) ( )f x g x= . Logo, dizemos 
que a função f(x) é uma função primitiva da g(x).
Então, para entender melhor este conceito de 
integração, considere uma função g(x)=2x, deve-
mos achar uma função f(x), onde a f’(x)=2x. A este 
procedimento damos o nome de integração. Po-
rém, não podemos dizer que para este processo 
inverso temos uma única solução. Podemos admi-
tir como solução f(x)=x², ou também, f(x)=x²+5, que 
obteremos a 1' ( )f x =2x=g(x). 
Assim, se 1( )f x for outra função primiti-
va de g(x), então 1'( ) ' ( ) 0f x f x− = = g(x), por-
tanto 1'( ) ' ( ) 0f x f x− = . Obteremos, então, 
1[ ( ) ( )]' 0f x f x− = , ou seja, 1( ) ( )f x f x c− = , para 
c uma constante. Resumindo: Se f(x) e 1( )f x forem 
duas funções primitivas de g(x), elas se diferem por 
um constante, 1( ) ( )f x f x c= + .
Chamamos de integral indefi nida de g(x), e indi-
camos pelo símbolo 
( )g x dx∫ a uma primitiva qual-
quer de g(x) adicionada a uma constante arbitrária 
c. Temos que:
( ) ( )g x dx f x c= +∫
Onde f(x) é uma função primitiva de g(x), ou seja, 
2 ²xdx x c= +∫ . Dessa forma, para o exemplo dado, 
teremos que:
2 ²xdx x c= +∫
95Faculdade de educação, tecnologia e administração de Caarapó
Autor do livro
Exemplos: 
33 ²x dx x c= +∫ Pois (x³)’=3x²
5 5dx x c= +∫ Pois (5x)’=5
x xe dx e c= +∫ Pois ( xe )’= xe
Algumas das principais regras de integração indefinida:
PROPRIEDADES OPERATÓRIAS:
1ª prOprieDADe
1 2 1 2[ ( ) ( )] ( ) ( )f x f x dx f x dx f x dx+ = +∫ ∫ ∫
Esta propriedade decorre do fato de que:
{ }
1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
[ ( ) ( )] ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).
d f x f x dx f x f x e
dx
d d df x dx f x dx f x dx f x dx f x f x
dx dx dx
+ = +
+ = + = +
∫
∫ ∫ ∫ ∫
96 Faculdade de educação, tecnologia e administração de Caarapó 
Titulo do livro
UNIDADE 3
2ª prOprieDADe
1 2 1 2[ ( ) ( )] ( ) ( )f x f x dx f x dx f x dx− = −∫ ∫ ∫
Esta propriedade decorre do fato de que:
{ }
1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
[ ( ) ( )] ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).
d f x f x dx f x f x e
dx
d d df x dx f x dx f x dx f x dx f x f x
dx dx dx
− = −
− = − = −
∫
∫ ∫ ∫ ∫
3ª prOprieDADe
. ( ) . ( )c f x dx c f x dx=∫ ∫
Esta propriedade decorre do fato de que:
. ( ) . ( )
[ . ( ) ] . ( ) . ( )
d c f x dx c f x
dx
d dc f x dx c f x dx c f x
dx dx
=
= =
∫
∫ ∫
. ( ) . ( )
[ . ( ) ] . ( ) . ( )
d c f x dx c f x
dx
d dc f x dx c f x dx c f x
dx dx
=
= =
∫
∫ ∫
Exemplos:
97Faculdade de educação, tecnologia e administração de Caarapó
Autor do livro
As identidades trigonométricas são frequente-
mente utilizadas quando calculamos integrais 
envolvendo funções trigonométricas. As oito 
identidades a seguir são crucias:
)(
1)sec(cos
xsen
x =
 
)cos(
1)sec(
x
x =
 
)(
1)(cot
xtg
xg =
)cos(
)()(
x
xsenxtg =
 )(
)cos()(cot
xsen
xxg =
 
sen2(x) + cos2(x) = 1
tg2(x) + 1 = sec2(x) 
cotg2(x) + 1 = cosec2(x)
98 Faculdade de educação, tecnologia e administração de Caarapó 
Titulo do livro
UNIDADE 3
AtIvIDADES pArA AUtoEStUDo
1) Calcular as integrais indefinidas:
2) Mostre que 
22
ln 2
x
xdx c= +∫
3) Mostre que 
2 ln( ² 3)
² 3
x
dx x c
x
= + +
+∫ 
4) Sabendo-se que o custo marginal 
( ) 0,08 3mgC x x= + e que o custo fixo é 
R$100,00, obtenha a função custo.
SOLUÇÃO:
Logo:
( ) (0,08 3)
²( ) 0,08 3
2
( ) 0,04 ² 3
C x x dx
xC x x c
C x x x c
= +
= + +
= + +
∫
Como o custo fixo é, temos que:
C(0)=c=100 ⇒ c=100
portanto, a função custo é C(x)=0,04x²+3x+100.
99Faculdade de educação, tecnologia e administração de Caarapó
Autor do livro
5) Sabendo que o custo marginal é 
 e que o custo fixo é R$500,00, 
obtenha a função custo.
INtEgrAl DEFINIDA
Considere uma f(x) uma função e g(x) uma de su-
as primitivas, assim:
( ) ( )f x dx g x c= +∫
Definimos a integral definida de f(x) entre os li-
mites a e b como a diferença g(b)-g(a), e indicamos 
simbolicamente:
( ) ( ) ( )
b
a
f x dx g b g a= −∫
A diferença entre g(b)-g(a), pode ser indicada 
também por[ ( )]
b
ag x .
Essa definição não depende da função primitiva 
considerada, pois se h(x) for outra primitiva def(x), 
então a diferença entre h(x) e g(x) é uma constante; 
consequentemente g(b)-g(a)=h(b)-h(a).
Exemplos:
100 Faculdade de educação, tecnologia e administração de Caarapó 
Titulo do livro
UNIDADE 3
O significado geométrico da integral definida é:
Seja f(x) uma função contínua e não negati-
va definida num intervalo [a,b]. A integral definida 
( )f x dx∫ representa a área da região compreendi-
da entre o gráfico de f(x), o eixo x e as verticais que 
passam por a e b.
Assim, a área da figura destacada acima é:
( )
b
a
A f x dx= ∫
Para justificarmos o fato acima, observe a justifi-
cativa intuitiva a seguir:
Para cada [ , ]x a b∈ consideremos uma função 
g(x) que seja igual a área sob f(x) desde a até x; 
nessas condições g(a)=0 e g(b)=A
Consideremos agora um acréscimo x∆ dado a x, 
e seja g∆ o acréscimo sofrido pela área g(x). Sejam 
os retângulos de base x∆ e alturas 1h e 2h , então:
Ou
Quando , tanto 1h como 2h têm por li-
mite o valor de f no ponto x. Portanto:
0
lim
x
g
x∆ →
∆
∆ =f(x)
Ou seja, g’(x)=f(x).
Logo, g(x)é uma primitiva de f(x) e :
( ) ( ) ( )
b
a
f x dx g b g a= −∫
101Faculdade de educação, tecnologia e administração de Caarapó
Autor do livro
Como g(a)=0 e g(b)=A, temos que:
( )
b
a
f x dx A=∫
exemplOs:
Exemplo 1:
Calculemos a área destacada abaixo:
Temos que:
33
1 1
³ 3³ 1³ 26²
3 3 3 3
xA x dx  = = = − =  ∫
Caso f(x) seja negativa no intervalo [a,b], a área 
A da região delimitada pelo gráfico de f(x), eixo x, 
e pelas verticais que passam por a e b é dada por:
( )
b
a
A f dx= −∫
Observe a figura a seguir onde a área destacada 
é o oposto da integral definida:
De fato, se considerarmos a função h(x)=-f(x) 
definida num intervalo [a,b], teremos o gráfico da 
figura a seguir:
Como os gráficos de f(x) e h(x) são simétricos em 
relação ao eixo x, a área compreendida entre h(x), 
eixo x, e as verticais que passam por a e b é igual a 
área compreendida entre f(x), eixo x, e as verticais 
que passam por a e b.
Assim, indicando por Aa referida área, teremos:
( ) ( ) ( )
b b b
a a a
A h x dx f x dx f x dx= = − = −∫ ∫ ∫
Exemplo 2- Calculemos a área destacada abaixo:
Teremos:
33
0 0
³ 3 ² 3³ 3.3² 9( ² 3 )
3 2 3 3 2
x xx x dx  − = − = − = −  ∫
102 Faculdade de educação, tecnologia e administração de Caarapó 
Titulo do livro
UNIDADE 3
Portanto, a área destacada vale:
9 9
2 2
A  = − − = 
 
Exemplo 3- Calculemos a área da figura 
destacada abaixo:
Denominando 1A a área destacada quando f(x) é 
negativa, e quando a f(x) é positiva, teremos que:
33
1
0 0
44
2
3 3
³ 3 ² 9( ² 3 ) ,
3 2 2
³ 3 ² 11( ² 3 ) .
3 2 6
x xA x x dx
x xA x x dx
 = − − = − − =  
 = − = − =  
∫
∫
Portanto, a área destacada vale:
1 2
9 11 19
2 6 3
A A+ = + =
1-Calcule as seguintes integrais definidas:
técNIcAS DE INtEgrAÇão
Certamente, nem sempre é possível obter a inte-
gração indefinida de uma função usando-se as fór-
mulas de integração das principais funções. Assim, 
devemos recorre a algumas técnicas específicas. Ve-
jamos as principais.
103Faculdade de educação, tecnologia e administração de Caarapó
Autor do livro
INtEgrAÇão por SUbStItUIÇão
Essa técnica consiste em substituir a variável da fun-
ção a ser integrada de modo a obtermos uma integral 
mais simples de se calcular.
A ideia de integrarmos por substituição é baseada 
na relação a seguir:
( ). ( )duf u dx f u du
dx
  =  ∫ ∫
sendo g uma função primitiva de f, a justificativa 
pode ser escrita por: 
( ) ( )d g u f u
du
= , ou ainda podemos escrever, 
( ) ( )f u du g u c= +∫
Assim, se admitirmos u como uma função dife-
renciável em relação a x, teremos como sequencia a 
derivada da função composta:
[ ( )] [ ( )]. ( )d d du dug u g u f u
dx du dx dx
= =
Como consequência:
( ). ( )duf u dx f u du
dx
  =  ∫ ∫
exemplo 1
Calcule a integral 
2
1 ²
x dx
x+∫
Para começar, devemos perceber que não temos 
uma fórmula pronta para resolvermos esta integral. 
Assim, vamos fazer: 1 ²u x= + , teremos.
A integral pode ser escrita sob a forma
1 . du dx
u dx
 
 
 ∫
Que seguindo a relação 
1 lndx x c
x
= +∫ , pode 
ser escrita 
1du
u∫ .
Portanto 
1 lndu u c
u
= +∫
ln 1 ² ln(1 ²)x c x c= + + = + + , pois (1+x²) é sem-
pre positivo.
Em resumo a integral original vale:
2 ln(1 ²)
1 ²
x dx x c
x
= + +
+∫
Resolvendo a integração por substituição de ou-
tra maneira, consiste em trabalhar a derivada 
du
dx 
como uma fração. Assim como nosso exemplo:
1 ²u x= +
 
Substituindo esses valores na integral dada 
obteremos:
2 ln ln(1 ²)
1 ²
x dudx u c x c
x u
= = + = + +
+∫ ∫
104 Faculdade de educação, tecnologia e administração de Caarapó 
Titulo do livro
UNIDADE 3
Exemplo 2
Calcule a integral 
Podemos perceber que não temos uma integral 
imediata para resolvê-la, assim realizaremos o método 
da substituição para a resolução:
Chamaremos 3 4u x= + , teremos que
 
3du
dx
=
3
dudx⇒ =
11 11
10 10 101 1(3 4)
3 3 3 11 33
du u ux dx u u du c c+ = = = + = +∫ ∫ ∫
Portanto a integral procurada vale: 
11(3 4)
33
x c+ +
Resolva pelo método da substituição as integrais 
a seguir:
 
 
 
 
INtEgrAÇão por pArtES
Considerando U(x) e V(x) funções deriváveis, logo 
pela regra da derivada do produto obteremos que:
E assim, consequentemente obteremos que:
Fazendo a integração de ambos os membros, 
obteremos que:
Que é denominada a FÓRMULA DE INTEGRAÇÃO 
POR PARTES.
Exemplo 1:
Calcule a integral ..
Como já podemos perceber, não se trata de uma 
integral imediata. Trata-se de uma integral que po-
de ser resolvida por partes.
Logo devemos fazer:
E
Assim, pela fórmula da integral por partes, tere-
mos que:
105Faculdade de educação, tecnologia e administração de Caarapó
Autor do livro
Exemplo 2:
Calcule a integral 
Como o exemplo anterior, podemos perceber 
que esta integral não se trata de uma integral ime-
diata, assim, devemos fazer:
e
Aplicando-se a fórmula de integração por partes, 
obteremos que:
Calcule as Integrais indefinidas pelo método de in-
tegração por partes.
 
INtEgrAÇão DE AlgUmAS FUNÇÕES 
rAcIoNAIS
Vamos lembrar que uma função racional R(x) é 
dada pelo quociente entre dois polinômios: 
Se o grau do numerador é maior que o do deno-
minador, existem polinômios M(x) e N(x), tais que:
( ) ( ). ( ) ( )P x Q x M x N x= +
De forma que:
( ) ( )( )
( ) ( )
P x N xM x
Q x Q x
= +
Onde N(x) é menor que o grau Q(x). Assim, se 
quisermos calcular a integral de R(x), teremos que:
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )
P x N xR x dx dx M x dx
Q x Q x
 
= = + 
 
∫ ∫ ∫
,
Portanto:
( )( ) ( )
( )
N xR x dx M x dx dx
Q x
= +∫ ∫ ∫
Por essa última expressão já sabemos como cal-
cular a integral
( )M x dx∫ , logo resta-nos saber co-
mo calcular a integral 
( )
( )
N x dx
Q x∫ , em que o grau de 
N(x) é menor que o grau de Q(x).
106 Faculdade de educação, tecnologia e administração de Caarapó 
Titulo do livro
UNIDADE 3
É possível demonstrar que o quociente 
( )
( )
N x
Q x 
pode ser escrito como soma dos termos da forma:
1 2 1 1 2 2... ...
( ) ( )² ( ) ( ² ) ( ² )² ( ² )
n m m
n m
A B C xA A B C x B C x
x a x a x a x bx c x bx c x bx c
++ +
+ + + + + + +
− − − + + + + + +
Onde 1 2 1 2 1 2, ,..., , , ,..., , , ,..., .n m mA A A B B B C C C
São constantes a serem determinadas. As frações 
assim obtidas são chamadas Frações parciais.
Exemplo: Decomponha emfrações parciais a 
função 
( ) 1
( ) ³ ²
N x x
Q x x x
+
=
− e depois encontre a integral 
dessa função.
Assim, teremos que:
31 21 1
³ ² ²( 1) ² 1
AA Ax x
x x x x x x x
+ +
= = + +
− − −
Fazendo a soma das funções parciais, teremos que:
1 2 3( 1) ( 1) ²1
³ ² ²( 1)
A x x A x A xx
x x x x
+ + − ++
=
− −
1 3 2 1 2( ) ² ( )1
³ ² ²( 1)
A A x A A x Ax
x x x x
+ + − −+
=
− −
Logo, identificando os numeradores dos dois 
membros
1 3
2 1
2
0
1
1
A A
A A
A
+ =
 − =
− =
Resolvendo esse sistema.obtemos que:
 1 2A = − , 2 1A = − e 3 2A = . Assim:
1 2 1 2
³ ² ² 1
x
x x x x x
+ −
= − +
− −
Cuja integral é dada por:
1 2 1 2
³ ² ² 1
x dx dx
x x x x x
+ − = − + − − ∫ ∫
1 2
1
1 2
³ ² ( 1)
1 2ln 2ln 1
³ ²
x dxdx x dx x dx
x x x
x dx x x x c
x x
− −
−
+
= − − +
− −
+
= − + + − +
−
∫ ∫ ∫ ∫
∫
Exemplo:
Decomponha a função 
1
( 1)( ² 1)
x
x x x
−
+ − + em fra-
ções parciais e calcular, depois, sua integral.
1
( 1)( ² 1) 1 ² 1
1 ² ²
( 1)( ² 1) ( 1)( ² 1)
1 ( ) ² ( )
( 1)( ² 1) ( 1)( ² 1)
x A Bx C
x x x x x x
x Ax Ax A Bx Cx Bx C
x x x x x x
x A B x B C A X C A
x x x x x x
− +
= +
+ − + + − +
− − + + + + +
=
+ − + + − +
− + + + − + +
=
+ − + + − +
Identificando os numeradores dos dois membros:
0
1
1
A B
B C A
C A
+ =
 + − =
 + = −
A solução desse sistema é
: e . Portanto:
1 2 1 2 1
( 1)( ² 1) 3 1 3 ² 1
x dx xdx dx
x x x x x x
− −
= − +
+ − + + − +∫ ∫ ∫
107Faculdade de educação, tecnologia e administração de Caarapó
Autor do livro
As integrais do segundo membro podem ser calcu-
ladas pelo método da substituição, e teremos que:
2 1ln 1 ln ² 1
3 3
x x x c− + + − + +
2
2 3 2
2 2
3 3 2
4 2
x 4x-21) dx 2) dx
6 x 2
x 4 1 5x 11 53) dx 4) dx
4 5 2
dx5) 
16x 8 1
x x x x
x x
x x x x x
x
+ − + −
+ − − +
− − + −
− +
∫ ∫
∫ ∫
2
3 2
3x 1 6) dxx
x x
− +
−∫ ∫ 
2
2 3 2
2 2
3 3 2
4 2
x 4x-21) dx 2) dx
6 x 2
x 4 1 5x 11 53) dx 4) dx
4 5 2
dx5) 
16x 8 1
x x x x
x x
x x x x x
x
+ − + −
+ − − +
− − + −
− +
∫ ∫
∫ ∫
2
3 2
3x 1 6) dxx
x x
− +
−∫ ∫
4 2 4 2
4 3 2 2
3 2 3 2
1 17) dx 8) dx
x 4 x 9
2x 2 6 5 1 10x 9 19) dx 10) dx
1 2 3
x x
x x x x
x x x x x x
+ +
− + − + + +
− + − + +
∫ ∫
∫ ∫
 4 2 4 2
4 3 2 2
3 2 3 2
1 17) dx 8) dx
x 4 x 9
2x 2 6 5 1 10x 9 19) dx 10) dx
1 2 3
x x
x x x x
x x x x x x
+ +
− + − + + +
− + − + +
∫ ∫
∫ ∫
4 2 4 2
4 3 2 2
3 2 3 2
1 17) dx 8) dx
x 4 x 9
2x 2 6 5 1 10x 9 19) dx 10) dx
1 2 3
x x
x x x x
x x x x x x
+ +
− + − + + +
− + − + +
∫ ∫
∫ ∫
4 2 4 2
4 3 2 2
3 2 3 2
1 17) dx 8) dx
x 4 x 9
2x 2 6 5 1 10x 9 19) dx 10) dx
1 2 3
x x
x x x x
x x x x x x
+ +
− + − + + +
− + − + +
∫ ∫
∫ ∫
99
3 5
2 3
11) x ln 12) x(2x+3)
x x13) 14) 
1 1
15) cos x dx 
xdx dx
dx dx
x x+ −
∫ ∫
∫ ∫
∫ 1016) (x+1) ( 2)x dx+∫ 
99
3 5
2 3
11) x ln 12) x(2x+3)
x x13) 14) 
1 1
15) cos x dx 
xdx dx
dx dx
x x+ −
∫ ∫
∫ ∫
∫ 1016) (x+1) ( 2)x dx+∫
INtEgrAIS DUplAS
Para resolvermos o problema de determinadas 
áreas, encontramos as definições de integrais de-
finidas. De maneira análoga, calcularemos o volu-
me de um sólido e assim chegarmos a definição 
de integrais duplas.
Considere uma função f de duas variáveis que es-
teja definida em um retângulo fechado, conforme a 
relação abaixo:
Dessa forma, supor que f(x,y) > 0. O gráfico de f é 
a superfície de equação z = f(x,y).
108 Faculdade de educação, tecnologia e administração de Caarapó 
Titulo do livro
UNIDADE 3
Agora, considere que S seja o sólido que está 
contido na região acima de R e abaixo do gráfico 
de S, ou seja,
Nosso objetivo é determinar o volume de S.
1º Passo: Dividir o retângulo R em sub-retângulos, 
dividindo o intervalo [a,b] em m subintervalos [xi-1, xi],-
de mesmo comprimento ∆x = (b – a) / m, e o intervalo 
[c,d] em n subintervalos [yj-1, y j], de mesmo compri-
mento ∆y = (b – a) / n. Quando traçamos retas parale-
las aos eixos coordenados passando pelos extremos 
dos subintervalos, formamos os sub-retângulos.
Rij = [x i-1,xi] x [y j-1,y j ] = {(x,y) | x i-1< x < x i, y 
j-1< y < y j }
cada um dos quais com área ∆A = ∆x∆y.
Escolhendo um ponto arbitrário (xij,yij) em cada 
Rij, aproximaremos a (xij, yij) em cada Rij, podemos 
aproximar a parte de S que está acima de cada Rij por 
uma caixa retangular fina (ou um prisma) com base Rij 
e altura f(xij, yij). O volume desta caixa é dado pela 
sua altura vezes a área do retângulo da base:
Vij = f(xij,yij)∆A.
Se seguirmos com esse procedimento para todos 
os retângulos e somarmos os volumes das caixas 
correspondentes, obteremos uma aproximação do 
volume total de S:
Isso nos diz que: para cada sub-retângulo, deter-
minamos o valor de f no ponto amostra escolhido, 
multiplicamos esse valor pela área do sub-retângulo 
e, então, adicionamos os resultados.
Partindo da aproximação V ≈ ∑∑
==
∆
m
1j
ijij
n
1i
A)y,x(f
, esta melhora quando aumentamos os valores de m 
e de n e, portanto, devemos esperar que:
V = ∑∑
==∞→
∆
m
1j
ijij
n
1in,m
A)y,x(flim .
Assim, utilizamos essa expressão para definir o 
volume do sólido S que corresponde à região que 
está acima do retângulo R e abaixo do gráfico de f.
Se a função f não é uma função positiva, a defini-
ção pode ser dada por:
A integral dupla de f sobre o retângulo R é
109Faculdade de educação, tecnologia e administração de Caarapó
Autor do livro
considerando que este limite exista.
Pode ser provado que o limite existe sempre que 
f for uma função contínua.
Além disso, se f(x,y) > 0, então o volume do sólido 
que está acima do retângulo R e abaixo da superfície 
z = f(x.y) é.
Chamamos a soma de soma 
dupla de riemann e é utilizada como aproximação 
do valor da integral dupla.
Exemplo :
Encontre o volume do sólido que está acima do qua-
drado R = [0,2] x [0,2] e abaixo do parabolóide elíptico 
z = 16 – x2 – 2y2 pode ser aproximado pela subdivisão 
de r em quatro quadrados iguais. Escolha do ponto 
amostra como o canto superior de cada quadrado Rij.
Solução: 
Os quadrados estão ilustrados na figura acima e 
a área de cada um vale 1. O parabolóide é o gráfico 
de f(x,y) = 16 – x2 – 2y2. Aproximando o volume pela 
soma de Riemann com m = n = 2, temos:
Esse é o volume das caixas aproximadoras.
Cada vez que aumentamos o número de qua-
drados, melhor aproximação do volume.A figura a 
seguir mostra como as figuras começam a parecer 
mais com o sólido verdadeiro e as aproximações 
correspondentes vão se tornando mais precisas 
quando usamos 16, 64 e 256 quadrados.
INtEgrAIS ItErADAS
Se f for contínua no retângulo R = { (x,y) | a< x 
< b, c < y < d }, então calculamos a integral du-
pla de f em R através de integrais iteradas, como 
mostrado abaixo:
110 Faculdade de educação, tecnologia e administração de Caarapó 
Titulo do livro
UNIDADE 3
Este resultado, conhecido como o Teorema de Fu-
bini, vale sempre que f for limitada em R, podendo ser 
descontínua em um número finito de pontos de R.
Exemplo : Calcule o valor da integral 
Solução:
ou
 
O valor obtido é o volume do sólido acima de r.
Exemplo : Calcule
Solução: 
OBservAÇões:
1) Se mudarmos a ordem de integração, in-
vertendo as integrais iteradas, a resolução das 
mesmas irá requerer a aplicação de técnicas 
de integração, tornando o trabalho mais de-
morado. Portanto é importante observar o 
tipo de função que iremos integrar e fazer uma 
boa escolha da ordem de integração.
2) O valor obtido nesta integral representa a 
diferença do volume da parte do sólido que 
está acima do retângulo R e do volume da par-
te do sólido que está abaixo de R. Como o re-
sultado foi zero, estes volumes são iguais.
Exemplo : Determine o volume do sólido S que 
é delimitado pelo parabolóide elíptico x2 + 2y2 
+ z = 16, os planos x = 2 e y = 2 e os três planos 
coordenados.
Solução:
Observe, primeiramente, que S é o sólido que 
está abaixo da superfície z = 16 – x2 – 2y2 e acima 
do retângulo R = [0,2] x [0,2], como mostra a figura.
Vamos calcular o volume deste sólido usando 
integral dupla:
111Faculdade de educação, tecnologia e administração de Caarapó
Autor do livro
 
( )
( )
2 2
2 2
2 2
0 0
22 3
2
0 0
2 2
2 2
0 0
23
0
16 2
16 2
16 2
3
8 8832 4 4
3 3
88 88.2 4.84 48
3 3 3
R
V x y dA
x y dxdy
xx xy dy
y dy y dy
yy
= − −
= − −
 
= − − 
 
   = − − = −   
   
  −
= − = = 
 
∫∫
∫ ∫
∫
∫ ∫
INtEgrAIS DUplAS Em rEgIÕES 
gENérIcAS
Considerando a existência de integrais sim-
ples, a região sobre a qual integramos é sempre 
um intervalo. Considerando as integrais duplas, 
devemos ser capazes de integrar a função f, não 
somente sobre retângulos, mas também sobre um 
região D de forma mais geral, como mostra a figu-
ra abaixo. Considere que D seja uma região limi-
tada, o que significa que D pode ser cercada por 
uma região retangular R. Definimos, então, uma 
nova função F com domínio R por:
( )( , ), ,( , )
0, ( , )
f x y se x y está emD
F x y
se x y está emRmas nãoestá emD

= 

Se a integral dupla de F sobre R existe, então de-
finimos a integral dupla de f sobre D por: 
cálcUlo DA DErIvADA DUplA SobrE 
rEgIÕES plANAS gENérIcAS
Regiões planas inscritas em faixas verticais:
Consideremos uma região D inscrita na faixa 
vertical a < x < b e entre o gráfico de duas fun-
ções contínuas de x, ou seja:
D = { (x,y) | a < x < b, g1(x) < y < g2(x) }
onde g1 e g2 são contínuas em [a,b]. 
A integral dupla de f em D é calculada pelas seguin-
tes integrais iteradas sempre que f for contínua em D.
112 Faculdade de educação, tecnologia e administração de Caarapó 
Titulo do livro
UNIDADE 3
2-rEgIÕES plANAS INScrItAS Em FAIxAS 
horIzoNtAIS:
Considere uma região D inscrita na faixa horizon-
tal c < y < d e entre o gráfico de duas funções con-
tínuas de y, ou seja:
D = { (x,y) | c < y < d, h1(y) < x < h2(y) }
onde h1 e h2 são contínuas em [c,d]. 
A integral dupla de f em D é calculada pelas seguin-
tes integrais iteradas sempre que f for contínua em D.
Exemplo : Calcule onde D é a re-
gião limitada pelas parábolas y = 2x2 e y = 1 + x2.
Solução: Observe o gráfico ao lado:
A região D está inscrita na faixa vertical –1 < x < 1, 
pois essas são as abscissas dos pontos de intersecção 
das duas parábolas e podemos escrever:
D = { (x,y) | –1 < x < 1, 2x2< y < 1 + x2 }
Portanto podemos calcular a integral dupla atra-
vés das seguintes integrais iteradas:
Exemplo:
Determine o volume do sólido que está abaixo do 
parabolóide z = x2 + y2 e acima da região do plano xy 
limitada pela reta y = 2x e pela parábola y = x2.
Solução: Sabemos que D é uma região inscrita na 
faixa vertical 0 < x < 2, assim:
D = { (x,y) | 0 < x < 2, x2< y < 2x }
Logo, o volume é dado por:
113Faculdade de educação, tecnologia e administração de Caarapó
Autor do livro
Mas também podemos inscrever a região D na 
faixa horizontal 0 < y < 4, com:
D = { (x,y) | 0 < y < 4, yx
2
y
≤≤ }
Assim, o volume pode ser calculado como:
Exemplo :
Calcule , onde D é a região limitada pela 
reta y = x – 1 e pela parábola y2 = 2x + 6.
solução: A intersecção das duas curvas pode ser 
calculada como:
Portanto, teremos que os pontos de intersecção 
das curvas são (-1, -2) e (5, 4).
A região D pode ser considerada inscrita tanto em 
uma faixa vertical como em uma faixa horizontal. Mas 
a descrição de D considerada inscrita na faixa vertical 
-3 < x < 5 é mais complicada, pois sua fronteira inferior 
114 Faculdade de educação, tecnologia e administração de Caarapó 
Titulo do livro
UNIDADE 3
é constituída por mais de uma curva.
Assim, expressamos a região D como:
proprIEDADES DAS INtEgrAIS DUplAS:
se D = D1∪ D2, onde D1 e D2 não se sobrepõem 
exceto, possivelmente, nas fronteiras.
Exemplo:
Expresse, de duas maneiras, as integrais iteradas 
que resolvem , onde D é a região do 
plano x y limitada pelos gráficos de 6
x π= , y = 1, y = 
3, 3y + x = 10 e x = y2. 
Solução: 
A região D deste caso pode ser descrita de du-
as formas:
1) Inscrita na faixa vertical π/6 ≤ x ≤ 4 e, nesse ca-
so dividi-la em
D1 = { (x,y) | π/6 ≤ x ≤ 1, 1 ≤ y ≤ 3 } e
D2 = { (x,y) | 1 ≤ x ≤ 4, 
2) Inscrita na faixa horizontal 1 ≤ y ≤ 3 e, nesse ca-
so, dividi-la em
D1 = { (x,y) | 1 ≤ y ≤ 2, π/6 ≤ x ≤ y2 } e
D2 = { (x,y) | 2 ≤ y ≤ 3, π/6 ≤ x ≤ 10 – 3y }
Na forma 1), as integrais iteradas são:
115Faculdade de educação, tecnologia e administração de Caarapó
Autor do livro
Na forma 2, as integrais iteradas são:
INtEgrAl trIplA
Seja f(x,y,z) defi nida em uma caixa retangular:
Defi nição: A integral tripla de f sobre a caixa B é 
se o limite existir.
Região do Tipo 1
E e D como Região do Tipo 1
E como região do Tipo 1 e D como 
região do Tipo 2
 
Exemplo 
Calcule ,
E
z dV∫∫∫ onde E é o tetraedro do sólido 
delimitado pelos quatro planos
0, 0, 0 e 1x y z x y z= = = + + = .
116 Faculdade de educação, tecnologia e administração de Caarapó 
Titulo do livro
UNIDADE 3
INTEGRAIS DUPLAS
1) Calcular as integrais duplas:
a) 
dydxy
y
x
y
∫ ∫
= =
2
0 0
2
 b) 
dydxx∫ ∫ +
1
0
2
0
)2(
b) 
dxdy
yx
e y
∫ ∫ +1 0 22
1
c) 
dxdyy
y
∫ ∫ +
4
0 0
29
 d) 
dxdy
x
yy
y
∫ ∫
4
1 2
2) Calcule o valor da integra 
117Faculdade de educação, tecnologia e administração de Caarapó
Autor do livro
3) Calcule , onde R = [1,2] x [0,π].
4) Determinar as coordenadas do centro de gravi-
dade da Região limitada no 1º Quadrante por 
y = x3 e y = 4x
5) Calcule onde D é a região limitada 
pelas parábolas y = 2x2e y = 1 + x2
6) Expresse, de duas maneiras, as integrais iteradas 
que resolvem , onde D 
é a região do plano x y limitada pelos gráficos de 
6
x π= , y = 1, y = 3, 3y + x = 10 e x = y2. 
7) Calcule o volume do sólido sob o gráfico da fun-
ção f(x,y)=x²+y² e acima do domínio dado pelas 
inequações . 
iNTegrAis TriplAs
1) Calcule as integrais triplas abaixo.
a) ( )
3 0 2
0 1 1
2 4x y z dx dy dz
−
+ +∫ ∫ ∫ 
b) ( )
22 2
1 1 0
2
x x y
x y dz dy dx
+
−∫ ∫ ∫
2) Calcule a dado 
 ( ){ }20,43,11:,, ≤≤≤≤≤≤−= zyxzyxT .
3) Ache o volume Vdo sólido delimitado pelo cilin-
dro 
2xy = e pelos planos 4=+ zy e 0=z .
4) Calcule a onde é o sólido delimitado 
pelo cilindro , pelo plano 8=++ zyx 
e pelo plano xy.
5) Expresse como uma integral itera-
da se T é a região do primeiro octante delimita-
da pelos planos coordenados, pelo parabolóide
22 )4/1(2 yxz ++= e pelo cilindro 122 =+ yx .
118 Faculdade de educação, tecnologia e administração de Caarapó 
Titulo do livro
UNIDADE 3
6) Ache o volume da região T delimitada pelos grá-
ficos de 
23xz = , 
24 xz −= , 0=y e 6=+ yz .
7) Calcule a onde T é a região delimi-
tada pelos planos coordenados e pelo plano 
1
23
=++ zyx
.
coNSIDErAÇÕES FINAIS
Estudar acerca das derivadas e integrais nos dias 
de hoje é bastante importante pois podemos utilizar 
estes conteúdos em áreas importantes como a Enge-
nharia, Arquitetura, Medicina, Biologia, entre outras.
Aprendemos como desenvolver vários tipos de 
exercícios dos métodos mais simples aos mais com-
plexos, seguindo passo a passo para facilitar a com-
preensão de tudo o que foi aprendido.
Vale ressaltar que é de extrema importância re-
alizar os exercícios propostos para seu melhor en-
tendimento e fixação do que você aprendeu, bem 
como realizar a leitura e estudo das indicações 
bibliográficas.
Espero ter colaborado com o seu aprendizado! 
Bons estudos sempre!
DIcAS DE lEItUrA:
Sinopse: Esta obra faz uma 
revisão do estudo das fun-
ções elementares, estuda 
conceitos de limite e conti-
nuidade e noção de deriva-
da, associando derivada à 
variação da função. Aborda 
também noções introdutórias de integral definida.
Sinopse: Neste livro, o autor 
James Stewart, dá ênfase à 
compreensão dos conceitos. 
Inicia oferecendo uma 
visão do assunto para, em 
seguida, apresentá-lo por 
meio da formulação de 
problemas, exercícios, tabelas e gráficos.
Sinopse: Esta é outra obra 
da coleção Sebenta de Ma-
temáticas Gerais do autor 
Fernando Borja Santos. 
Este livro Primitivas e Inte-
grais, seguindo o mesmo 
119Faculdade de educação, tecnologia e administração de Caarapó
Autor do livro
padrão do que apresentamos anteriormente (Ló-
gica, Limites e Continuidade), com exercícios in-
troduzidos em meio de cada subtítulo dentro dos 
capítulos, gráfi cos de fácil interpretação.
Leia este livro desta coletânea. Ajudará você a 
entender melhor as integrais.
Boa leitura!
coNSIDErAÇÕES FINAIS
Após o término deste nosso livro podemos con-
cluir que estudar os métodos quantitativos na Mate-
mática é ter uma grande ideia dos principais conte-
údos matemáticos aplicáveis em importantes con-
textos e situações do cotidiano.
Na nossa primeira unidade foi possível estudar 
a parte gráfi ca das principais funções elementares 
e onde estas funções são aplicáveis. Dentro deste 
estudo percebemos a grande importância de sa-
bermos analisar um gráfi co de vários tipos de fun-
ções para, assim, sabermos interpretar os dados 
presentes neles.
Na nossa segunda unidade, entramos num estu-
do acerca da Microeconomia, estudando as funções 
Este é um breve vídeo acerca da Regra da Ca-
deia feito pelo professor José Erlan. O vídeo 
apresenta uma linguagem de fácil entendi-
mento. Após assisti-lo compare o que você as-
sistiu com o que você aprendeu no nosso livro. 
Qual apresentou a linguagem de melhor en-
tendimento? Justifi que apresentando pontos 
que explique sua resposta,
<http://www.youtube.com/watch?v=0Vl2JZLE-
Cxg&list=PL18TulPNVHP2H4Gm74AGPgcYfl -
622TOZb&index=7>
Data de acesso 16de junho de 2013.
Este vídeo contém 5 Exercícios resolvidos 
sobre Integrais por Partes, com o professor Fá-
bio Wanderley.
< h t t p : / / w w w . y o u t u b e . c o m /
watch?v=L9jqWZaqfkQ>.
Data de acesso 16de junho de 2013.
Integração por partes: Vídeo aula com o 
professor Maurício Brandão
<http://www.youtube.com/watch?v=O-
2q45TzlsSM>.Data de acesso: 12 de junho de 
2013.
Este é um breve vídeo acerca da Regra da Ca-
deia feito pelo professor José Erlan. O vídeo 
apresenta uma linguagem de fácil entendi-
mento. Após assisti-lo compare o que você as-
sistiu com o que você aprendeu no nosso livro. 
Qual apresentou a linguagem de melhor en-
tendimento? Justifi que apresentando pontos 
que explique sua resposta,
<http://www.youtube.com/watch?v=0Vl2JZLE-
Cxg&list=PL18TulPNVHP2H4Gm74AGPgcYfl -
622TOZb&index=7>
Data de acesso 16de junho de 2013.
Este vídeo contém 5 Exercícios resolvidos 
sobre Integrais por Partes, com o professor 
Fábio Wanderley.
< h t t p : / / w w w . y o u t u b e . c o m /
watch?v=L9jqWZaqfkQ>.
Data de acesso 16de junho de 2013.
Integração por partes: Vídeo aula com o 
professor Maurício Brandão
< h t t p : / / w w w . y o u t u b e . c o m /
watch?v=O2q45TzlsSM>.Data de acesso: 12 de 
junho de 2013.
120 Faculdade de educação, tecnologia e administração de Caarapó 
Titulo do livro
UNIDADE 3
de Custo, lucro e Receita dentro de um contexto 
básico e prático da economia comercial vigente no 
nosso dia a dia.
Para finalizar, a terceira unidade introduziu im-
portantes conceitos de integrais e derivadas mui-
to utilizadas na Engenharia, Contabilidade, Ar-
quitetura e nas demais Ciências Médicas. Vários 
exemplos práticos foram trabalhados para escla-
recer esses conceitos. Ainda dentro destes conte-
údos, estudamos as principais funções dentro das 
tabelas de integrais e derivadas, onde estas são 
as mais encontradas no cotidiano.
Espero que ao final deste livro você tenha com-
preendido melhor nossos estudos sobre os Méto-
dos Quantitativos e que você tenha ampliado seus 
conhecimentos para sua vida e seu futuro.
“A mente que se abre a uma nova ideia jamais 
voltará ao seu tamanho original.”
Albert Einstein 
 
121Faculdade de educação, tecnologia e administração de Caarapó
rEFErêNcIAS bIblIográFIcAS
1. Aragão, Maria José. História da matemática. Rio de Janeiro. Inter ciência – 2009. 
2. BOYER, Carl B. História da matemática. 3ª edição. Editora Saraiva, 2010.
3. DANTE, Luiz Roberto. Matemática: contexto e aplicações. Volume 2. São Paulo: Ática, 2010.
4. GIOVANNI E BONJORNO. Matemática Fundamental: Uma nova Abordagem. Volume
5. Único. Editora FTD, 2002.
6. IEZZI, Gelson, DOLCE, Osvaldo, DEGENSZAJN, David, PÉRIGO, Roberto &
7. ALMEIDA, Nilze de. Matemática – Ciências e Aplicações. Volume 3. São Paulo: Atual, 2006.GIOVANNI, 
8. José Ruy; GIOVANNI JR., José Ruy; BONJORNO, Roberto. matemática completa. 2. ed. São Paulo: FTD, 
2005. (Coleção matemática completa).
9. KUELKAMP, Nilo. Cálculo 1. 3ed. Florianópolis: UFSC, 2006.
10. LEITHOLD, Louis. Matemática aplicada à economia e administração. São Paulo: Harbra, 1988.
11. SILVA, Sebastião Medeiros da SILVA, Elio Medeiros da; SILVA, Ermes Medeiros da.Matemática: para os 
cursos de Economia, administração e Ciências contábeis. São Paulo,Atlas, 1988.
12. reFerêNCiAs DOs siTes uTiliZADOs:
13. <http://www.google.com.br/imgres?imgurl=http://alfaconnection.net/images/LDT010505a.
gif&imgrefurl=http://alfaconnection.net/pag_avsm/ldt0104.htm&usg=__Im3LCkQMmfGympZpQBTeqcuvI
OE=&h=506&w=449&sz=17&hl=pt-BR&start=10&zoom=1&tbnid=aL7zDA1nFrOBZM:&tbnh=131&tbnw=
116&ei=wNILUuyqFYnu8ASB7YGQAw&prev=/search%3Fq%3Dlimites%2Bfundamentais%26um%3D1%2
6sa%3DN%26hl%3Dpt-BR%26gbv%3D2%26tbm%3Disch&um=1&itbs=1&sa=X&ved=0CD4QrQMwCQ> 
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14. <http://www.fem.unicamp.br/~em313/paginas/person/taylor.htm>.Data de acesso 07 de julho de 2013
15. <http://www.apprendre-math.info/portugal/historyDetail.htm?id=Maclaurin>. 
Data de acesso 07 de julho de 2013
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17. <http://pt.wikipedia.org/wiki/Georg_Cantor>.Data de acesso: 13 de maio de 2013
18. <http://www.google.com.br/h?q=georg+cantor&source=lnms&tbm=isch&sa=X&ei=RFLQUbP4G
qa_0AH_moCYDQ&sqi=2&ved=0CAcQ_AUoAQ&biw=1188&bih=566#facrc=_&imgdii=_&imgrc
=FNqCZQRzLRW-2M%3A%3BGIkUOBjtVmZDOM%3Bhttp%253A%252F%252Fupload.wikimedia.
org%252Fwikipedia%25>. Data de acesso 03 de maio de 2013.
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21. <http://www.brasilescola.com/matematica/funcao-logaritmica.htm>. Data de acesso: 3 de maio de 2013.
22. <http://www.matematicadidatica.com.br/FuncaoLogaritmica.aspx>. Data de acesso: 18 de maio de 2013.
23. <http://www.rumoaoita.com/tonik/ > Data de acesso: 20 de junho de 2013