Calculo 1 Desigualdades e intervalos

Prévia do material em texto

PROF. DR. JORGE L. P. FELIX UNIPAMPA - ALEGRETE 
 
RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS MATEMÁTICOS (RPM) 
TEMA: DESIGUALDADES E INTERVALOS 
1) Resolver: 
( 3)( 4)
0
( 1)( 3)
x x
x x
 

 
. 
Sol. Chama-se EA = expressão algébrica=
( 3)( 4)
( 1)( 3)
x x
x x
 
 
 e chama-se sentido positivo 
0
, então, EA 
0
 seria 
expressão algébrica positiva. Chama-se 
( 3)x
 e os outros termos ou fatores. A seguir o algoritmo de solução. 
a) Quando EA 
0
, analisamos os sinais de cada termo e que cada termo tenha coeficiente positivo em 
x
. 
b) Calcule as raízes de cada termo: 
( 3) 0 3x x   
; 
( 4) 0 4x x    
; 
( 1) 0 1x x   
; 
( 3) 0 3x x    
. 
c) Colocar as raízes numa reta real. Marcar as raízes do numerador com bolinha fechada se EA 
0
e com bolinha 
aberta das raízes do denominador: 
 
d) Colocar os sinais alternados de esquerda a direita iniciando com o sinal +: 
 
e) Marcar os intervalos que tem sinais + porque EA 
0
: 
 
f) A solução da desigualdade da questão seria a união dos intervalos marcados: 
( , 4] ( 3,1) [3, )x      
 
g) Verifique sua resposta, escolhendo um numero de cada intervalo da solução e colocar na desigualdade da 
questão: 
( 5 3)( 5 4) 8
5 ( , 4]: 0
( 5 1)( 5 3) 12
x
   
      
   
 (V); 
(0 3)(0 4) 12
0 ( 3,1) : 4 0
(0 1)(0 3) 3
x
  
     
  
 (V), etc. 
2) Resolver 
4
0
(2 )( 5)
x
x x


 
 
Sol. Seguindo o algoritmo, vemos o termo 
(2 )x
 tem coeficiente negativo para 
x
, multiplicando por (-1) em 
ambos os membros da desigualdade e mude o sentido da desigualdade (porque?): 
4 4
( 1) ( 1) 0 0
(2 )( 5) ( 2)( 5)
x x
x x x x
 
      
   
 (mudou o sentido da desigualdade). 
PROF. DR. JORGE L. P. FELIX UNIPAMPA - ALEGRETE 
 
Usando a reta real e regra dos sinais, a solução seria 
( , 5) (2,4)x   
. Verifique. 
 
 
Observações: 
Se tiver dois negativos em 
x
como mostra a seguinte expressão de desigualdade: 
3 2
0
(2 )(2 7)
x
x x


 
, nesse caso 
para não mudar o sentido da desigualdade, utilizamos o fator comum em evidência de (-1) no numerador e 
denominador, assim: 
( 3 2 )
0
( 2 )(2 7)
x
x x
  

   
, simplificando os negativos resulta
( 3 2 )
0
( 2 )(2 7)
x
x x
 

  
 ou 
(2 3)
0
( 2)(2 7)
x
x x


 
. 
 
 
3) Resolver 
2
8
0
4x


 
Sol. Lembrando as regras de sinais de quocientes, 
0



, 
0



, 
0



, 
0



. Como a desigualdade é negativa, 
escolhemos 
0



, devido a que o numero 8, já é positivo no numerador, então necessariamente o denominador 
seria negativo estritamente, ou seja, 
2 4 0x  
, agora só resolver esta desigualdade. 
2 4 0 ( 2)( 2) 0x x x     
 

 

 
2 2x  
 (Solução) 
Verifique. 
4) Resolver 
2 10 21x x 
 
Sol. 
2 210 21 10 21 0x x x x     
. Trata-se de uma quadrática positiva, então procurando as raízes. 
Separadamente resolvemos 
2 10 21 0x x  
, por Baskhara, temos 
3x 
 e 
7x 
. Na reta real, marcamos os 
intervalos de sinais positivos e as raízes com bolinhas fechadas, . A 
solução é 
( ,3] [7, )x   
. 
5) Resolver 
3 23 10 24 0x x x   
 
Sol. Trata-se de determinar as raízes da equação 
3 23 10 24 0x x x   
. Temos que calcular as raízes mediante o 
método de Ruffini. Determine os divisores de 24= 
 1,  2,  4,  3. Escolha uma delas. Escolha +2 e colocar na 
primeira coluna. Desce o coeficiente 1. O divisor 2 multiplica a 1, dá 2, colocar na segunda linha debaixo de -3, logo 
-7/2 3/2 2 
+ + - - 
PROF. DR. JORGE L. P. FELIX UNIPAMPA - ALEGRETE 
 
somar 2+(-3)=-1 e o colocar debaixo. Seguindo: 2

(-1) colocar debaixo de -10, logo somar -2+(-10)=-12 debaixo, 2

(-12)=-24 somar com 24 dá 0, deu resto zero. Nesse caso 
x
=2 é uma raiz. No mesmo procedimento com os novos 
coeficientes na situação de analise, ver tabela abaixo. Até terminar com uma linha de 1 e 0. 
Raízes Coeficientes Situação 
 1 -3 -10 24 Cúbica 
2 2 -2 -24 
 1 -1 -12 0 Quadrática 
-3 -3 12 
 1 -4 0 Linear 
4 4 
 1 0 Pare 
 
As raízes são 
2x 
, 
3x  
 e 
4x 
. Usando a reta real e marcamos bolinhas abertas e os intervalos com sinais 
negativos de acordo EA <0. . 
A solução seria: 
( , 3) (2,4)x   
. Verifique. 
6) Resolver 
2 3
3
1
x
x
x

 

 
Sol. Transforme a desigualdade da forma EA

0 ou 0

EA. EA = Expressão Algébrica. Ou seja, 
2 3 2 3 2 3 (3 )( 1)
3 (3 ) 0 0
1 1 1
x x x x x
x x
x x x
     
       
  

22 3 (3 3 )
0
1
x x x x
x
    


 

2 22 3 3 3 2 ( 2)
0 0 0
1 1 1
x x x x x x x x
x x x
      
    
  
. Desta ultima desigualdade temos três raízes e são 
0x 
 (com bolinha fechada), 
2x 
 (com bolinha fechada) e 
1x 
 (com bolinha aberta). Na reta real marcamos os 
intervalos de sinais negativos, assim: . 
A solução seria: 
( ,0] (1,2]x  
. Verifique. 
Outro método de solução: determinando os pontos (zeros ou raízes) que dividem intervalos na reta real. 
2 3
3
1
x
x
x

 

 
Passo 1: no denominador teremos o primeiro ponto: 
1 0x  
 

 
1x 
(ponto aberto). 
Passo 2: determinando outro(s) ponto (s) fazendo a desigualdade como equação, assim: 
2 3
3
1
x
x
x

 

, agora 
resolver, 
2 3 (3 )( 1)x x x   
; 
22 3 3 4x x x    
 ; 
22 3 3 4 0x x x    
, simplificando: 
2 2 0x x 
, cujas raízes são 
0x 
 e 
2x 
 (pontos fechados). 
Passo 3: Traçar a reta real e colocar os três pontos achados 
PROF. DR. JORGE L. P. FELIX UNIPAMPA - ALEGRETE 
 
 
 
Passo 4: de cada intervalo escolha um número para 
x
 e substituir na desigualdade original e ver se é verdadeiro. 
Valores de 
x
 
2 3
3
1
x
x
x

 

 
3x 
 
2(3) 3
3 3
3 1

 

 
 3
0
2

. Falso 
1.5x 
 
2(1.5) 3
3 1.5
1.5 1

 

 

 
0 1.5
. Verdadeiro 
0.5x 
 
2(0.5) 3
3 0.5
0.5 1

 

 4 2.5
. Falso 
1x  
 
2( 1) 3
3 ( 1)
1 1
 
  
 
 5
4
2

. Verdadeiro. 
 
Passo 5. Da tabela vemos dois verdadeiros que correspondem aos seguintes intervalos: 
( ,0] (1,2]x  
. 
7) Resolver 
2(1 )( 2 2) 0x x x   
 
Sol. 
2(1 )( 2 2) 0x x x   
 
 
a) Multiplique por (-1) sobre o termo 
(1 )x
 e mude o sentido da desigualdade, resulta: 
2( 1)( 2 2) 0x x x   
 
b) Ache as raízes de 
2 2 2 0x x  
. Por Baskhara não tem raízes reais ou são complexas, por conseguinte não é 
possível fatorar. Neste caso, use a técnica de completar quadrados e resulta: 
2 22 2 ( 1) 1x x x    
. 
c) A desigualdadeequivalente seria: 
2( 1)[( 1) 1] 0x x   
 
 
Portanto o primeiro termo 
( 1)x
 tem que ser positivo pela regra dos sinais do produto 
0 
, ou seja 
( 1) 0 1 [1, )x x x      
(solução). 
 
METODO DE COMPLETAR QUADRADOS: 
   
22 22 2 ( ) 2x x x     
 
 
 
 
   
22 2 22 2 ( 1 ) 2 1 ( 1) 1x x x x        
. 
{Coeficiente negativo} {Raízes} 
{este termo sempre positivo=+} 
{Coeficiente 2 dividido por 2= 1, este número vai entre os colchetes} 
0 1 2 
PROF. DR. JORGE L. P. FELIX UNIPAMPA - ALEGRETE 
 
Desigualdade com valor absoluto ou módulo 
Definição de módulo de 
x
: 
Propriedades, sendo 
0a 
 e 
0b 
: 
P1) 
x a a x a    
 ou em geral 
EA a a EA a    
 
P2) 
x b x b x b     
 ou em geral 
EA b EA b EA b     
. 
P3) 
2x x
 
Onde o símbolo 

 significa união ou “ou” enquanto o símbolo 

 interseção ou “e”. 
8) Resolver 
5 6 3x 
 
Sol. 
5 6 3x 
, usando P1, 

 
3 5 6 3x   
 

 
3 5 6 3 5x     
 
 8 6 2x    
, 
Multiplicando na desigualdade por (-1)e mude o sentido da desigualdade, 

 
8 6 2x 
, dividir por 6 na 
desigualdade, 

 
8 2
6 6
x 
, ou podemos escrever assim, 
2 8
6 6
x 
, simplificando, resulta: 
1 4
3 3
x 
. 
9) Resolver 
8 2x 
 
Sol. 
8 2x 
, usando P2, 
8 2 8 2x x     
 

 
2 8 2 8x x     
 

 
6 10x x    
 ou 
( , 10) ( 6, )x     
. 
10) Resolver 
2 8 16 2x x  
 
Sol. Observando que 
2 28 16 ( 4)x x x   
. 
2 28 16 2 ( 4) 2 4 2x x x x        
 

 
2 4 2x   
 
 2 4 2 4x    
 
 2 6x 
. 
EXERCÍCIOS 
1) Resolver: 2
2
(2 3)( 6 7)
0
2 2
x x x
x x
  

  
 Sol.: 
1 1,5 7x x    
; 
2) Resolver: 
4
1
2
x
x



 Sol.: 
1x 
; 
3) Resolver: 
2(3 )(4 2 ) 0x x  
 Sol.: 
2 2x x   
; 
4) Resolver: 
5 2 6 9x x   
 Sol.: 
( ,2 / 3) (20 / 3, )x   
 
PROF. DR. JORGE L. P. FELIX UNIPAMPA - ALEGRETE 
 
5) Determine a interseção dos seguintes conjuntos 
4
/ 0
2
x
x
x
 
 
 
 e 
 / 3x x 
; 
6) Resolver: 
3
0
2x


; 
7) Resolver: 
3
1
2x


; 
8) Resolver:
3 13 12 0x x  
 Sol.: 
[ 3, 1] [4, )x    
; 
9) Resolver: 
23 1 8x  
 Sol.: 
[ 3, 2) (2,3]x   
; 
10) Resolver: 
2 2( 1) 4x  
 Sol.: 
2 2x  
. 
PROBLEMAS 
Problema 1: 
Resolver: 
Sugestão: Utilizar fator comum em evidência . Critério: Para qualquer valor de sempre será . Consulte ao 
professor. 
Problema 2: 
Resolver as seguintes desigualdades: 
Sugestão: determine as raízes da equação usando método de Ruffini ou recurso 
computacional ou calculadora. Consulte ao professor. 
Problema 3: Determine o(s) intervalo(s) que satisfaz a seguinte propriedade . 
Problema 4: 
Mostre ao professor da disciplina sua técnica de solução matemática e cada passo seja justificado textualmente ou 
simbolicamente. Máximo uma página por questão: 
(a) | | (b) |
 
 
 |