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Lista extra 18 - Integrais Mu´ltiplas
1. Seja f(x, y) func¸a˜o definida na regia˜o R abaixo descrita. Decomponha a integral
∫ ∫
R
f(x, y) dxdy
nas duas poss´ıveis ordens de integrac¸a˜o. Usando qualquer dessas ordens, calcule o valor da integral
para f(x, y) = x. a) R e´ a regia˜o limitada pelas curvas y2 − x2 = −1 e 3x = 2y2.
b) R e´ a regia˜o acima do eixo 0x e limitada pelas curvas y2 − x2 = 1 e x2 + y2 = 9.
2. Calcule as integrais.
a)
∫ ∫
R
x3y2 dxdy , R = {(x, y)|0 ≤ x ≤ 2,−x ≤ y ≤ x}
b)
∫ ∫
R
2y
x2 + 1
dxdy , R = {(x, y)|0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ √x}
c)
∫ ∫
R
e
x
y dxdy , R = {(x, y)|1 ≤ y ≤ 2, y ≤ x ≤ y3}
d)
∫ ∫
R
(x+ y) dxdy , R e´ limitada por y =
√
x, y = x2
e)
∫ ∫
R
yex dxdy , R e´ a regia˜o triangular de ve´rtices (0, 0), (2, 4), (6, 0).
3. Calcule o volume do so´lido limitado pela superf´ıcie z = 10− 1
4
x2− 1
9
y2, pelos planos x = 2, y = 2,
e pelos treˆs planos coordenados.
4. Calcule o volume da regia˜o do espac¸o no primeiro octante compreendido entre os cilindros x2+y2 =
a2 e x2 + z2 = a2.
5. Calcule o volume do so´lido limitado pelos planos x = 0, y = 0, z = 0 e x+ y = 1 e pela superf´ıcie
z = 1− y2.
6. Calcule as integrais iteradas.
a)
∫ pi/2
−pi/2
dθ
∫ 3 cos(θ)
0
r2sen2(θ) dr b)
∫ 2
1
dx
∫ x2
0
e
y
x dy
7. Esboce a regia˜o de integrac¸a˜o que corresponde as integrais abaixo e reescreva-as invertendo a
ordem de integrac¸a˜o.
a)
∫ 1
0
dy
∫ y+2
y2
f(x, y) dx b)
∫ 1
0
dy
∫ 1−y
−
√
1−y2
f(x, y) dx
8. Calcule as integrais abaixo revertendo a ordem de integrac¸a˜o.
a)
∫ 1
0
dy
∫ 1
y
e−3x
2
dx b)
∫ 4
0
dx
∫ 2
√
x
sen(y3) dy c)
∫ 2
0
dx
∫ 8
x3
x2 cos(y2) dy
9. 6) Calcule
∫ ∫ ∫
U
z dxdydz onde U e´ o tetraedro de ve´rtices (0, 0, 0), (1, 0, 0), (1, 1, 0) e (1, 0, 1).
Respostas:
(1) a)
∫ √3
−
√
3
dy
∫√1+y2
2y2/3
f(x, y) dx =
∫ 1
0 dx
∫√3x/2
−
√
3x/2
f(x, y) dy+
∫ 2
1 dx(
∫ −√x2−1
−
√
3x/2
f(x, y) dy+
∫√3x/2
√
x2−1
f(x, y) dy) (=
2
√
3/5) b)
∫ √5
−
√
5
dx
∫ √9−x2√
1+x2
f(x, y) dy =
∫ √5
1 dy
∫√y2−1
−
√
y2−1
f(x, y) dx +
∫ 3√
5 dy
∫√9−y2
−
√
9−y2
f(x, y) dx (= 0). (2)
a)256/21 b)ln(2)/2 c)e4/2 − 2e d)3/10 e)−9e2 + e6 − 4. (3) 1028/27. (4) 2a3/3. (5) 5/12. (6) a)12/5
b)e2 − 3/2 (7) a)∫ 10 dx
∫ √x
0 f(x, y)dy+
∫ 2
1 dx
∫ 1
0 f(x, y)dy+
∫ 3
2 dx
∫ 1
x−2 f(x, y)dy
b)
∫ 0
−1 dx
∫ √1−x2
0 f(x, y)dy+
∫ 1
0 dx
∫ 1−x
0 f(x, y)dy. (8) a)(e
3 − 1)/6e3 b)(1− cos(8))/3 c)sen(64)/6 (9) 1/24 .