Experimento 3 - Propagação de Incertezas

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Laboratório de Física Experimental I 
 
Prof. Adriano Hoth Cerqueira 
Profª. Alejandra Kandus 
Profª. Maria Jaqueline Vasconcelos 
Prof. Sandro Barboza Rembold 
 
Departamento de Ciências Exatas e Tecnológicas 
Universidade Estadual de Santa Cruz 
 
Material de apoio à disciplina de Física Experimental I ministrada no primeiro 
semestre de 2013 
Experimento 3 – Propagação de incertezas 
Introdução 
Quando calculamos grandezas derivadas, ou seja, grandezas que não 
podem ser medidas diretamente através dos instrumentos disponíveis, temos 
um problema: Como propagar as incertezas individuais? Neste experimento 
em particular, vamos medir a densidade de diferentes cilindros, compostos 
por diferentes materiais (de diferentes densidades). Como sabemos, a 
densidade � de um corpo é dada por: 
� = �� 																																																																	(1) 
onde � é a massa e � é o volume do corpo. Como estaremos trabalhando com 
cilindros, seus volumes serão dados por: 
� = 	
�ℎ = 	
�
4 ℎ																																																			(2) 
onde 
 é o raio do cilindro, 
 é o diâmetro do cilindro e ℎ sua altura média. 
Assim, a densidade � de cada cilindro é dada por: 
� = 4�	
�ℎ																																																										(3) 
Note que aqui temos um problema. O que queremos, ao final, é a 
determinação da densidade e sua incerteza. Logo, o que queremos é 
determinar ��. Mas, como vemos pelas duas equações acima, temos que 
primeiro determinar as incertezas na massa, no diâmetro e na altura média do 
cilindro. Esta, por sua vez, depende da incerteza na determinação do diâmetro 
e da altura do cilindro. Assim, de acordo com a teoria de propagação de 
incertezas, teremos: 
��� = ������
�
��� + ����
�
�
��� + ����ℎ�
�
���																																		(4) 
Nesta equação, �� é a incerteza na determinação da densidade, �� é a 
incerteza na determinação da massa, �� a incerteza na determinação do 
diâmetro e �� a incerteza na determinação da altura. Podemos obter a massa 
de cada cilindro usando uma balança e, da mesma forma, obter diâmetros e 
alturas usando um paquímetro. Uma vez que se tratam de mensurandos, 
podemos calcular as incertezas na massa, no diâmetro e na altura, de forma 
estatística ou não. Assim, é fácil se obter tanto as densidades dos cilindros, 
usando a eq. (3), quanto suas respectivas incertezas, usando a eq. (4). 
Material e métodos 
Serão utilizados cilindros de metal e madeira. Seus diâmetros e alturas 
serão medidos com um paquímetro e suas massas com uma balança. 
Roteiro Experimental: 
a) Escolha pelo menos três cilindros de diferentes materiais. 
b) Meça, com um paquímetro, o diâmetro e a altura dos cilindros (dê um 
nome, ou número que identifique o cilindro com suas características). 
Sugere-se tomar pelo menos 10 medidas para o diâmetro e a altura 
(cada membro do grupo pode realizar uma série de medidas, em 
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diferentes posições). Anote os resultados em uma tabela. Estas 
medidas fornecerão um valor médio para o diâmetro e a altura de 
cada cilindro, juntamente com suas incertezas (�� e ��). 
c) Meça, com uma balança de precisão, a massa de cada cilindro 10 vezes. 
Estime a incerteza na medida da massa a partir da menor divisão 
indicada. (Isto é razoável? Discuta no relatório este procedimento.) 
Apresentação de resultados 
a) Apresente as tabelas, identificando cada cilindro, com os dados 
obtidos para o diâmetro, altura e massa. 
b) Calcule (e mostre como obteve) os desvios para cada uma das 
variáveis acima. 
c) Partindo da eq. (4), obtenha uma equação para a incerteza na 
densidade, e calcule essa incerteza. O valor encontrado é razoável? 
Discuta no relatório. 
d) Apresente o resultado final (valor mais provável e sua incerteza) para 
cada cilindro medido.