Listão Cálculo de Várias Variáveis

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Parte 1 – Integral dupla sobre regiões retangulares 
Questão (1) - A densidade populacional (em pessoas por milha quadrada) de 
uma cidade costeira pode ser modelada pela seguinte função 
𝑓(𝑥,𝑦) = 15 000(𝑥+1)2 , em que x e y são medidos em milhas. 
Nessas condições, pode se afirmar que a população no interior da área 
retangular definida pelos vértices (0,0), (0,2), (2,0) 𝑒 (2,2) está mais próxima de: 
(A) 14 000 habitantes 
(B) 16 000 habitantes 
(C) 20 000 habitantes 
(D) 36 000 habitantes 
Questão (2) - Um reservatório de base retangular 𝐷 tem seu formato modelado 
conforme representado na figura a seguir 
 
Qual das integrais abaixo expressa corretamente a capacidade do reservatório 
em 𝑚3? 
(A) ∫ ∫ 𝑓(𝑥,𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦4311 
(B) ∫ 𝑓(𝑥,𝑦)𝑑𝑦43 
(C) ∫ ∫ 𝑓(𝑥,𝑦)𝑑𝑦𝑑𝑥4321 
(D) ∫ 𝑓(𝑥,𝑦)𝑑𝑥21 
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Questão (3) - A carga elétrica total líquida 𝑄 existente em uma superfície 𝑅 
pode ser determinada se se conhece a distribuição superficial de carga 𝜎(𝑥,𝑦), 
bastando efetuar-se o cálculo 
𝑄 = �𝜎(𝑥,𝑦)𝑑𝐴
𝑅
 
em que 𝑑𝐴 = 𝑑𝑦𝑑𝑥. 
Uma lâmina fina, com superfície retangular, apresenta densidade superficial de 
carga dada por 𝜎(𝑥,𝑦) = 𝑒−𝑥 sin𝑦 coulombs por metro quadrado, e está 
situada na região 
𝑅 = {(𝑥, 𝑦)/ 0 ≤ 𝑥 ≤ 1 𝑒 0 ≤ 𝑦 ≤ π} 
Tendo em conta que 𝑥 e 𝑦 são medidos em metros, a carga elétrica total 
acumulada nessa lâmina é 
(A) 2 − 2
𝑒
 
(B) 2−2𝑒
2
 
(C) −2
𝑒
 
(D) 0 
Questão (4) - Uma empreiteira foi contratada para a construção de um túnel. É 
exigência do contratante que o túnel seja retilíneo, que sua parte superior, o teto, 
tenha o formato de um cilindro parabólico de equação 𝑧 = 10 − 0,001𝑥2, onde x e z 
são medidos em metros, que a pavimentação (a estrada) esteja no plano xy, que 
tenha 100m de comprimento, seja de mão dupla, tenha 60m de largura e que o 
canteiro central que separa a via de ida da volta, esteja sobre o eixo y. O 
engenheiro responsável pelo projeto solicitou a outro membro de sua equipe a 
determinação exata do volume deste túnel, para poder definir a quantidade de 
equipamentos a serem instalados para fornecer ar novo para dentro do túnel, 
necessário a diluição de poluentes. Qual volume, em m3, foi encontrado? 
(A) 40.000 (B) 52.800 (C) 58.200 (D) 133.333 
Gabarito 
1. C 2. C 3. A 4. C 
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Parte 2 - Integral dupla sobre regiões genéricas 
Questão (1) - Em uma cidade delimitada por uma região triangular (𝐴𝐵𝐶), a 
elevação em quilômetros acima do nível do mar no ponto (𝑥,𝑦) é modelada 
por: 𝑓(𝑥,𝑦) = 0,25 − 0,025𝑥 − 0,01𝑦, em que x e y são dados em quilômetros. 
 
Nessas condições, é correto afirmar que a elevação média da cidade está mais 
próxima de: 
(A) 100 metros 
(B) 200 metros 
(C) 300 metros 
(D) 400 metros 
Questão (2) - Uma placa fina cobre a região triangular de vértices (0,0); (1,0) 𝑒 (0,1). A densidade da placa é de 𝛿(𝑥,𝑦) = 𝑥(1+𝑦)
2
. Determine a 
massa desta placa. (A) 1
8
 (B) 5
48
 (C) 7
24
 (D) 1
6
 
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Questão (3) - Se 𝑑(𝑥,𝑦) = 102𝑥𝑒𝑦 representa a densidade ratos em uma ilha, 
onde x e y são medidos em quilômetros, determine a quantidade de ratos que 
vivem em uma região delimitada por 𝑥 = 0, 𝑥 = �𝑦, 𝑦 = 0 𝑒 𝑦 = 1. (A) 20 (B) 30 
(C) 40 
(D) 50 
Questão (4) - Numa galeria de arte será reservada uma área para exposição 
de obras de arte de Picasso. Um engenheiro fez um projeto que limitou a 
região para esta exposição pelas curvas 𝑦 = −𝑥2 + 14𝑥 − 40 e 𝑦 = 5. Podemos 
afirmar que a integral dupla que representa tal área assim como o valor desta 
área em metros quadrados correspondem respectivamente a: 
 
(A) 𝐴 = ∫ ∫ 𝑑𝑦𝑑𝑥−𝑥2+14𝑥−40595 𝑒 𝐴 = 5183 
(B) 𝐴 = ∫ ∫ 𝑑𝑦𝑑𝑥−𝑥2+14𝑥−40595 𝑒 𝐴 = 323 
(C) ∫ ∫ 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑒 𝐴 = 50
3
−𝑥2+14𝑥−40
0
5
0
 
(D) ∫ ∫ 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑒 𝐴 = 220
3
−𝑥2+14𝑥−40
0
5
0
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Questão (5) - Uma função densidade de probabilidade conjunta 𝑓 de duas 
variáveis deve satisfazer as condições: 
 
 (I) 𝑓(𝑥,𝑦) ≥ 0 (II) ∫ ∫ 𝑓(𝑥,𝑦)𝑑𝑦𝑑𝑥 = 1∞−∞∞−∞ para todo (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐑2 
 
Considere a função 𝑓(𝑥,𝑦) = � 𝐾𝑒𝑦 𝑥⁄ 𝑠𝑒 12 ≤ 𝑥 ≤ 1 𝑒 𝑥2 ≤ 𝑦 ≤ 𝑥 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑚𝑎𝑖𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑒𝑠 (𝑥,𝑦) 𝑑𝑒 𝐑2 �. 
 
Nessa função, o valor da constante 𝐾 para que 𝑓 satisfaça a condição (II) 
acima deve ser igual a 
 
(A) 2 
2√𝑒−𝑒
 (B) 2√𝑒−𝑒
2 
(C) 8
3𝑒−4√𝑒
 
(D) 3𝑒−4√𝑒 8 
 
Questão (6) - As coordenadas ),( yx do centro de massa de uma lâmina 
ocupando uma região D e tendo função densidade ),( yxρ são 
∫∫=
D
dAyxx
m
x ),(1 ρ ∫∫=
D
dAyxy
m
y ),(1 ρ 
Onde ∫∫=
D
dAyxm ),(ρ 
Considere D, a região triangular de vértices, (1, 1), (3, 1) e (3, 3) e a lâmina que 
ocupa esta região com função densidade constante, 3),( =yxρ . 
Nestas condições, a coordenada, x , será: 
(A) 8/3 
(B) 7/6 
(C) 4/3 
(D) 7/3 
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Questão (7) - As coordenadas do centro de massa de uma lâmina com 
densidade de massa 𝜌(𝑥,𝑦) podem ser calculadas utilizando os primeiros 
momentos, 𝑀𝑥 e 𝑀𝑦, e a massa 𝑚, calculada como 𝑚 = ∬ 𝜌(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴𝑅 . Os 
momentos são dados por 
𝑀𝑥 = �𝑦𝜌(𝑥,𝑦)𝑑𝐴
𝑅
 e 𝑀𝑦 = �𝑥𝜌(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴
𝑅
 
e as coordenadas, por �̅� = 𝑀𝑦 𝑚⁄ e 𝑦� = 𝑀𝑥 𝑚⁄ . 
 
Se uma placa metálica fina está no primeiro quadrante do plano 𝑥𝑦, abaixo da 
curva 𝑦 = sin 𝑥 e contida no intervalo 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝜋, apresentando uma densidade 
de massa constante e igual a 16, indique abaixo a relação correta entre a 
abscissa �̅� e a ordenada 𝑦� do seu centro de massa. 
 
(A) �̅� = 𝜋𝑦� 
(B) 𝑦� = 𝜋�̅� 
(C) 𝑦� = 4�̅� 
(D) �̅� = 4𝑦� 
 
 
 
Gabarito 
1. A 2. B 3. D 4. B 5. C 6. D 7. D 
 
 
 
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Parte 3 – Integrais duplas em coordenadas polares 
Questão (1) - Uma carga elétrica é distribuída sobre uma placa 
𝑅 = �(𝑟,𝜃)/ 0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋
4
; 1 ≤ 𝑟 ≤ 2�. A densidade da de carga é de 
𝛿(𝑥, 𝑦) = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑔 �𝑦
𝑥
� (medida em Coulombs por metro quadrado). Qual é a 
carga total da placa? (A) 1
64
𝜋2 C (B) 3
64
𝜋2 C 
(C) 5
64
𝜋2 C 
(D) 7
64
𝜋2 C 
Questão (2) - A secção transversal de uma peça, utilizada no acabamento 
interno de um veículo, compreende a região do plano, limitada pelo eixo y e 
pelas circunferências, θsenr 4= e θcos4=r . 
Considerando as medidas em cm , qual será á área da referida secção? 
 
(A) 2 
(B) 4 
(C) 8 
(D) 16 
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Questão (3) -. Uma bala de uma determinada arma de guerra foi modelado por 
um engenheiro e limitado pelo plano 𝑥𝑦 e pela superfície 𝑧 = 4 − 2𝑥2 − 2𝑦2. 
Como a quantidade desta munição a ser produzida era muito elevada calculou-
se seu volume de cada bala. Podemos afirmar que tal volume é de? 
(A) 2𝜋 
(B) 4𝜋 
(C) 6𝜋 
(D) 8𝜋 
 
Questão (4) - O valor médio de uma função 𝑓 deduas variáveis, em uma 
região 𝑅 contida em seu domínio, é dado por 1
𝐴(𝑅)�𝑓(𝑥,𝑦)
𝑅
𝑑𝐴 
em que 𝐴(𝑅) é a área de 𝑅. 
Uma lâmina circular, de raio 2 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠, está localizada no plano cartesiano 𝑥𝑦, 
com centro na origem. Se a densidade de massa (medida em 𝑘𝑔/𝑚2) em cada 
ponto (𝑥,𝑦) dessa lâmina é igual ao triplo da distância do ponto à origem, então 
a sua densidade média é 
(A) 3 
(B) 4 
(C) 6 
(D) 16𝜋 
 
 
Gabarito 
1. B 2. B 3.B 4.B 
 
 
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Parte 4 – Integral Tripla 
Questão (1) - Determine a massa de um sólido com densidade constante, isto 
é, ρρ =),,( zyx e é limitado pelo cilindro parabólico 2yx = e pelos planos 
 ,1 e 0 , === xzzx conforme figura abaixo: 
 
(A) ρ
5
4
=m 
(B) ρ
5
3
=m 
(C) ρ
5
2
=m 
(D) ρ
5
1
=m 
Questão (2) - A integral tripla pode ser utilizada para determinar o volume de 
alguns sólidos. O volume da região entre cilindro z = y2 e o plano xy que é 
delimitada pelos planos x = 0, x = 1, y = - 1 e y = 1, é igual a 
(A) 
(B) 
(C) 
6
1 
(D) 
12
1
 
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Questão (3) - O tetraedro é um sólido geométrico composto por quatro faces 
triangulares, três delas encontrando-se em cada vértice. Pedro precisa calcular 
∫∫∫EzdV , onde E é o tetraedro sólido delimitado pelos quatros planos 
0,0,0 === zyx e ,1=++ zyx conforme abaixo (Figura 1). Ao lado foi dada a 
projeção do tetraedro no plano xy (Figura 2). O resultado obtido por Pedro foi? 
 
 Figura 1 Figura 2 
(A) 
24
1 
(B) 
24
1
− 
(C) 
12
1 
(D) 
12
1
− 
Questão (4)- Para desenvolver um certo protótipo é necessário fazer o 
seguinte cálculo .1
1 1 1
2 3
dxdydz
xyz
e e e
∫ ∫ ∫ Qual será o valor obtido? 
(A) 6e 
(B) 16 −e 
(C) 12 
(D) 6 
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Questão (5) - Foi dado o seguinte sólido: 
 
 
 
 
 
 
A integral que calcula o volume de tal sólido é: 
(A) ∫ ∫ ∫
− −−1
0
1
0
1
0
y yx
dzdxdy 
(B) ∫ ∫ ∫
− −−1
0
1
0
1
0
x yx
dzdxdy 
(C) ∫ ∫ ∫
−−1
0
1
0
1
0
yx
dzdxdy 
(D) ∫ ∫ ∫
−
−−
1
0
1
0
1
1
x
yx
dzdydx 
Questão (6)- Um determinado tijolo retangular possui dimensões a, b, c, massa 
M e densidade constante. O centro deste sólido está localizado na origem e 
suas arestas paralelas aos eixos coordenados. Nessas condições qual integral 
representa o momento de inércia em relação ao eixo x? 
(A) Ix= ∫ ∫ ∫ 𝑘(𝑦2 + 𝑧2)𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧𝑎0𝑏0𝑐0 
(B) Ix=∫ ∫ ∫ 𝑘(𝑦2 + 𝑧2)𝑑𝑧 𝑑𝑦 𝑑𝑥𝑎20𝑏20𝑐20 
(C) Ix=∫ ∫ ∫ 𝑘(𝑦2 + 𝑧2)𝑎2−𝑎
2
𝑏
2
−
𝑏
2
𝑐
2
−
𝑐
2
dx dy dz 
(D) Ix=∫ ∫ ∫ 𝑘(𝑦2 + 𝑧2)𝑐2−𝑐
2
𝑏
2
0
𝑎
2
0
dz dy dx 
Gabarito 
1. A 2. A 3. A 4. D 5. A 6. C 
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Parte 5 – Integral Tripla em Coordenada Cilíndrica 
Questão (1) - Pode-se afirmar que o volume do sólido que está dentro tanto do 
cilindro 𝑥2 + 𝑦2 = 1 como da esfera 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 4 é igual a: 
(A) 4
3
𝜋(8 − 33 2� ) 
(B) 2
3
𝜋(8 − 33 2� ) 
(C) 5
3
𝜋(8 − 33 2� ) 
(D) 𝜋(8 − 33 2� ) 
 
Questão (2) - Um sólido tem a forma da região delimitada pelo paraboloide 
𝑧 = 1 − 𝑥2 − 𝑦2 e o plano 𝑥𝑦. A densidade em 𝑃(𝑥,𝑦, 𝑧) é proporcional à 
distância de 𝑃 até a origem. Em coordenadas cilíndricas podemos encontrar a 
massa por meio da integral 
(A) M= ∫ ∫ ∫ 𝑘(𝑟2 + 𝑧2)121−𝑟20102𝜋0 r dz dr d𝜃 
(B) M=∫ ∫ ∫ 𝑘(𝑟2 + 𝑧2)121−𝑟2010𝜋20 r dz dr d𝜃 
(C) M=∫ ∫ ∫ 𝑘(𝑟2 + 𝑧2)121−𝑟2010𝜋0 r dz dr d𝜃 
(D) M=∫ ∫ ∫ 𝑘(𝑟2)121−𝑟2𝑟102𝜋0 r dz dr d𝜃 
 
Questão (3) - Um reservatório para armazenamento de água é constituído por 
um corpo cilíndrico e um tampo curvo. 
O reservatório ocupa a região do espaço limitada pelo plano xy, pelo 
parabolóide de equação, 228 yxz −−= , e pelo cilindro de equação, 422 =+ yx . 
Nestas condições, o volume do reservatório será. 
(A) 340π 
(B) π24 
(C) 380π 
(D) π36 
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Questão (4) - Para resolver um determinado problema é necessário fazer o 
seguinte cálculo: Vdyx
E∫∫∫ + .)(
22 , onde E é a região sólida e a sua projeção 
sobre o plano xy é o disco ,422 ≤+ yx conforme figura abaixo. Qual será o 
valor obtido? 
 
 
 (A) π
3
8 
(B) π
5
16 
(C) π
3
16 
(D) π
5
8 
 
 
 
 
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Questão (5) - Todas as aplicações de integrais duplas que foram estudadas no 
Cálculo de Várias Variáveis podem ser estendidas para as integrais triplas. Na 
Física, por exemplo: se a função densidade de um objeto sólido que ocupa a 
região E é ),,( zyxρ em unidades de massa por unidade de volume, em 
qualquer ponto (x, y, z) então sua massa é dVzyxm
E
∫∫∫= ),,(ρ . Com base 
nessas informações, a integral tripla que representa a massa de um sólido com 
densidade 1, delimitado inferiormente pelo disco R: x2 + y2 ≤ 4 no plano z = 0 e 
superiormente pelo paraboloide z = 4 – x2 – y2 será 
(A) ∫ ∫ ∫ 𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝑧 𝑑𝜃4−𝑟20202𝜋0 
(B) ∫ ∫ ∫ 𝑟 𝑑𝑧 𝑑𝑟 𝑑𝜃40202𝜋0 
(C) ∫ ∫ ∫ 𝑟 𝑑𝑧 𝑑𝑟 𝑑𝜃4−𝑟20202𝜋0 
(D) ∫ ∫ ∫ 𝑑𝑧 𝑑𝑟 𝑑𝜃4−𝑟20202𝜋0 
 
Gabarito 
1. A 2. A 3. B 4. B 5. C 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Parte 6 – Campo Vetorial 
Questão (1) - A altitude de um certo relevo no ponto (𝑥, 𝑦) é dada pela função 
ℎ(𝑥,𝑦). Sabendo-se que ℎ(0,0) = 0 e que ∇ℎ(𝑥,𝑦) = (2𝑥𝑐𝑜𝑠(𝑦),−𝑥2𝑠𝑒𝑛(𝑦)) 
podemos afirmar que 
(A) ℎ(3,0) = (6,0). 
(B) ℎ(3,0) = 6. 
(C) ℎ(3,0) = 9. 
(D) ℎ(3,0) = (0,−9). 
 
Questão (2)- Partículas movem-se no espaço de modo que o vetor velocidade 
de cada partícula, num certo instante, depende apenas da posição (𝑥,𝑦, 𝑧) em 
que ela se encontra. O vetor velocidade na posição (𝑥,𝑦, 𝑧) é 𝑉(𝑥,𝑦, 𝑧) =(𝑒𝑥(𝑦2 − 𝑧), 𝑒−𝑥(𝑧 − 𝑦4), 𝑥 − 𝑦). Podemos então afirmar que só permanecem 
paradas as partículas que estiverem nas posições 
(A) (1,1,1) e (−1,−1,1). 
(B) (0,0,0), (1,1,1) e (−1,−1,−1). 
(C) (0,0,0) e (1,1,1). 
(D) (0,0,0), (1,1,1) e (−1,−1,1). 
 
 
Gabarito 
1. C 2. D 
 
 
 
 
 
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Questões subjetivas 
Integral dupla sobre regiões retangulares 
Questão (1) Uma empresa vende dois produtos (A e B) em que a quantidade 
vendida de cada um em função do preço de comercialização é dada por: 
 𝑥 = 500 − 3𝑎, em que 𝑥 é a quantidade de produtos A vendida e 𝑎 é o 
preço cobrado por unidade de A. 
 𝑦 = 750 − 2,4𝑏, em que 𝑦 é a quantidade de produtos B vendida e 𝑏 é o 
preço cobrado por unidade de B. 
Sabendo que a receita total da empresa, em reais, é dada por: 
𝑅 = 𝑥.𝑎 + 𝑦. 𝑏 
Determine o valor médio da receita para quando o preço de A variar entre 5 e 
10 reais e o preço de B variar entre 0 e 2 reais. 
 
Integral dupla sobre regiões genéricas 
Questão (2) Uma lâmina fina tem sua forma determinada pela região 
delimitada por 𝑦 = 𝑥/2 ,𝑦 = 3 − 𝑥, 𝑥 = 0 𝑒 𝑥 = 2. Se a densidade da placa dada 
por 𝛿(𝑥,𝑦) = 𝑥 + 𝑦. Encontre seu centrode massa em relação aos eixos 
coordenados. 
 
Integral dupla em coordenada polar 
Questão (3)- Uma carga elétrica é distribuída sobre um disco 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 ≤ 𝟒 de 
modo que a densidade de carga em um ponto (𝒙,𝒚) seja dada por 𝝈(𝒙,𝒚) =
𝒙 + 𝒚 + 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 (medida em coulombs por metro quadrado). Qual a carga total 
no disco? 
 
 
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Integral Tripla 
Questão (4) Um engenheiro projetou uma peça para uma determinada 
estrutura. O sólido tridimensional representado na figura abaixo foi delimitado 
sob a superfície 𝑧 = 𝑒−𝑥𝑒−𝑦 e acima do triângulo cujos vértices estão em (0, 0), 
(1,0) e (0,1). Utilize integral tripla para determinar o volume deste sólido. 
 
Questão (5) Determine o volume do sólido delimitado inferiormente por z = 3 − y
2
, superiormente por z = 6 e lateralmente pelo cilindro vertical que 
contorna a região R delimitada por y = x2 e y = 4. 
 
Questão (6) Determine os momentos de inércia para um cubo com densidade 
constante k e lados de comprimento L se um vértice está localizado na origem 
e três arestas estão nos eixos coordenados. 
Integral Tripla em Coordenada Cilíndrica 
Questão (7) Determine a massa do sólido, com densidade 𝛿 = 1, delimitado 
pelo cilindro x2 + y2 = 4, delimitado superiormente pela paraboloide z = x2 + y2 e 
delimitado inferiormente pelo plano xy. 
 
Questão (8) Um tanque de armazenagem está completamente cheio de grãos. 
A densidade de massa deste tanque cheio é constante igual 4kg/m2. Adotando 
um sistema de coordenadas retangulares, o tanque assemelha-se à superfície 
acima de 22 yxz += e abaixo de 4=z . 
Ache o centro de massa deste tanque. 
 
 
 
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Integrais Triplas em Coordenadas Esféricas 
Questão (9) Uma fábrica de produtos químicos possui um tanque usado 
durante o processo de misturas de substâncias. Este tanque possui uma tampa 
metálica com densidade de massa igual a 1 kg/m2 e tem o formato de uma 
calota. Adotando um sistema de coordenadas retangulares, a tampa deste 
tanque pode ser descrita pela superfície delimitada por 1222 =++ zyx e z = 0. 
Use uma integral tripla para encontrar a massa da tampa. 
 
Questão (10) Um dispositivo mecânico possui um sistema pendular. A esfera 
do pêndulo é metálica e tem densidade de massa igual a1kg/m2. Este sistema 
tem a função de fazer um contra peso quando o dispositivo estiver em 
funcionamento. 
Determine o momento de inércia da esfera do pêndulo, em relação ao seu 
diâmetro vertical, supondo que a esfera tem representação cartesiana 
1222 =++ zyx . 
 
Integral de Linha 
Questão (11)- Calcular o trabalho realizado pela força constante 𝑓 = 𝚤 − 𝚥 para 
deslocar uma partícula ao longo da reta 𝑥 + 𝑦 = 2 de 𝐴(0,2) até 𝐵(2,0). 
 
Questão (12)- Calcular o trabalho realizado pela força constante 𝑓 = (𝑦, 𝑧, 𝑥) 
para deslocar uma partícula ao longo da hélice 𝑟 = (𝑐𝑜𝑠𝑡, 𝑠𝑒𝑛𝑡, 2𝑡) de 𝑡 = 0 a 
𝑡 = 𝜋. 
 
Questão (13)- Um arame com o formato de um semicírculo 𝑥2 + 𝑦2 = 1, 𝑦 ≥ 0 
é mais grosso perto da base do que perto do topo. Encontre as coordenadas 
do centro de massa deste arame, considerando a densidade linear em 
qualquer ponto 𝜌(𝑥, 𝑦) = 4(1 − 𝑦). 
 
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Gabarito Questões subjetivas 
Respostas das questões dissertativas 
 
1. R$ 4321,80. 
2. (3/4 , 3/2) . 
3. 8𝜋 Coulombs 
4. . 𝑉 = −2𝑒−1 + 1 𝑢. 𝑣 
5. 224
5
 
6. I𝑥 = I𝑦 = I𝑧 = 2𝐾𝐿53 
7. 8𝜋 
8. Centro de massa �0, 0, 8
3
� 
9. 
3
2π
=m unidades de massa 
10. 
15
8π
=zI 
11. . 𝑇 = 4 
12. 𝑇 = −𝜋
2
− 4 
13. �0, 4−𝜋
2(𝜋−2)�