Cap. II- Equações e Diagramas dos Esforços Solicitantes V2

Prévia do material em texto

Cap.II- Equações e Diagramas dos 
Esforços Solicitantes
prof. MSc. João Carlos de Campos
1
Cap.II- Equações e Diagramas dos Esforços 
Solicitantes
1. Diagrama – nada mais é do que uma 
representação gráfica de uma equação y=f(x), 
onde, as abscissas indicam a posição de “x” e as 
ordenadas a posição de “y” correspondente ao 
valor de “x”
Ex: a) y = 6 – 2x b) y = 6x – 2x2/2
prof. MSc. João Carlos de Campos 2
Ex: a) y = 6 – 2x b) y = 6x – 2x2/2
Gráfico "y = 6-2x"
-6
-4
-2
0
2
4
6
0 1 2 3 4 5 6
Valores de "X"
V
a
l
o
r
e
s
 
d
e
 
"
y
"
Gráfico "y=6x-2x2/2"
-10
-8
-6
-4
-2
0
0 1 2 3 4 5 6
Valores de "X"
V
a
l
o
r
e
s
 
d
e
 
"
y
"
Cap. II Diagramas dos Esforços Solicitantes
1. Diagrama dos Esforços Solicitantes (V – Força 
Cortante, M- Momento Fletor; N – Força Normal, T –
Momento de Torção) em uma barra – da mesma forma que 
representamos graficamente a equação y=f(x), onde, as 
abscissas indicam a posição de “x” e as ordenadas a posição 
de “y” correspondente ao valor de “x”, podemos representar 
V = f(x); M=f(x); N=f(x); T=f(x). Vamos portanto, 
prof. MSc. João Carlos de Campos 3
V = f(x); M=f(x); N=f(x); T=f(x). Vamos portanto, 
desenhar esses gráficos (diagramas), para a barra da 
figura:
a) p=2 “carga un. Distribuída”
RVA=6
L = 6
Valores "X" Valores "V" Valores de "M"
0 6 0
1 4 -5
2 2 -8
3 0 -9
4 -2 -8
5 -4 -5
6 -6 0
Cap. II Diagramas dos Esforços Solicitantes
1. Diagrama dos Esforços Solicitantes (V – Força 
Cortante, M- Momento Fletor), podemos representar V = 
f(x); M=f(x), que representam: a variação da Força 
Cortante e Momento Fletor ao longo do eixo “X”. Portanto, 
vamos desenhar esses gráficos (diagramas), para a barra da 
figura:
p=2 “carga un. Distribuída”
prof. MSc. João Carlos de Campos 4
p=2 “carga un. Distribuída”
RVA=6 L = 6
Gráfico "V = 6-2x"
-6
-4
-2
0
2
4
6
0 1 2 3 4 5 6
Valores de "X"
V
a
l
o
r
e
s
 
d
e
 
"
V
"
Gráfico "M=6x-2x2/2"
-10
-8
-6
-4
-2
0
0 1 2 3 4 5 6
Valores de "X"
V
a
l
o
r
e
s
 
d
e
 
"
M
"
Cap. II Diagramas dos Esforços Solicitantes
2. Equações dos Esforços Solicitantes (V – Força 
Cortante, M- Momento Fletor), podemos representar V = 
f(x); M=f(x), que representam: a variação da Força 
Cortante e Momento Fletor ao longo do eixo “X”. Portanto, 
vamos desenhar esses gráficos (diagramas), para a barra 
da figura:
p=f(x) “carga Distribuída”
prof. MSc. João Carlos de Campos 5
p=f(x) “carga Distribuída”
RVA L 
S
Os esforços solicitantes em “S” são dados por:
Vs = RVA - ∫ p dx (integral de X0 até Xs)
Ms = RVA*Xs - ∫ p(Xs-X) dx (integral de X0 até Xs)
Cap. II Diagramas dos Esforços Solicitantes
2. Equações dos Esforços Solicitantes
p=cte “Carga Uniforme Distribuída”
RVA L 
S
prof. MSc. João Carlos de Campos 6
Os esforços solicitantes em “S” são dados por:
Vs = RVA – p*X (X = Xs)
Ms = RVA*Xs – p*X*X/2 (X=Xs)
Cap. II Diagramas dos Esforços Solicitantes
3. Equações dos Esforços Solicitantes – Utilizando-se 
das Funções Singulares
A vantagem que se tem em utilizarmos os conceitos das 
Funções Singulares é que, com esse conhecimento, 
poderemos representar as equações de Cortante, 
Momento e Normal (que deveriam ser desenvolvidas 
separadamente, para cada trecho, em uma barra com 
prof. MSc. João Carlos de Campos 7
separadamente, para cada trecho, em uma barra com 
carregamento diversos), através de uma única equação, 
para cada esforço.
Definição:
(X – a) n quando X ≥ a
< X- a > n = 0 quando X < a
Cap. II Diagramas dos Esforços Solicitantes
3. Equações dos Esforços Solicitantes – Utilizando-se 
das Funções Singulares
Para o caso de:
1 quando X ≥ a
< x- a > 0 = 0 quando X < a
prof. MSc. João Carlos de Campos 8
< x- a > 0 = 0 quando X < a
Da definição de funções fica claro que:
∫< x- a > n dx = 1 < x- a > n+1 p/ n≥0
n + 1
Cap. II Diagramas dos Esforços Solicitantes
3. Equações dos Esforços Solicitantes – Utilizando-se 
das Funções Singulares
e que:
d < x - a > n = n< x - a > n-1 p/ n ≥ 1
prof. MSc. João Carlos de Campos 9
d < x - a > n = n< x - a > n-1 p/ n ≥ 1
dx 
prof. MSc. João Carlos de Campos 10
prof. MSc. João Carlos de Campos 11
Cap. II Diagramas dos Esforços Solicitantes
4. Exercícios
Exercício 5 – Escrever as equações e desenhar os 
Diagramas dos Esforços Solicitantes, para a barra da 
figura: 
prof. MSc. João Carlos de Campos 12
Cap. II Diagramas dos Esforços Solicitantes
4. Exercícios
Exercício 6 – Escrever as equações dos Esforços 
Solicitantes e desenhar os respectivos diagramas, para a 
barra da figura: 
prof. MSc. João Carlos de Campos 13
Cap. II Diagramas dos Esforços Solicitantes
4. Exercícios
Exercício 7 – Escrever as equações dos Esforços 
Solicitantes e desenhar os respectivos diagramas, para 
a barra da figura: 
prof. MSc. João Carlos de Campos 14
3 m
p = 50 KN/m
Cap. II Diagramas dos Esforços Solicitantes
4. Exercícios
Exercício 8 – Escrever as equações dos Esforços 
Solicitantes e desenhar os respectivos diagramas, para a 
barra da figura: 
prof. MSc. João Carlos de Campos 15
Cap. II Diagramas dos Esforços Solicitantes
4. Exercícios
Exercício 9 – Escrever as equações dos Esforços 
Solicitantes e desenhar os respectivos diagramas, para a 
barra da figura: 
prof. MSc. João Carlos de Campos 16
AC1 – Avaliação Continuada 1
4. Exercício 10.
Calcular as reações, escrever as equações dos esforços 
solicitantes, os esforços internos e desenhando os seus 
respectivos diagramas (N, V, M) para a barra da figura 
abaixo, com o carregamento indicado, Considerar K
igual 1000.
prof. MSc. João Carlos de Campos 17