P1, P2, P3 Algebra Linear UFES 2015 2

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Universidade Federal do Esp´ırito Santo
Centro de Cieˆncias Agra´rias
Primeira Avaliac¸a˜o de A´lgebra Linear - Substitutiva
07 de julho de 2015
NOME:
Justifique todas as respostas!
1. Seja A =

 2 1 34 2 2
2 5 3

. Determine:
(a) (1 pt) detA usando expansa˜o de cofatores.
(b) (1 pt) A−1.
2. (a) (1 pt) Se M =
(
0 x
1 0
)
e´ uma matriz ortogonal, isto e´, A−1 = AT , determine o(os) valor(es) de x.
(b) (1 pt) Sejam A e B matrizes reais de ordem 3, tais que det(A.B) = −2 e det(2A) + det(B) = 6.
Calcule det(A) e det(B), sabendo que det(A) e´ negativo.
3. (4 pts) Determine se cada um dos seguintes sistemas lineares dados e´ poss´ıvel ou imposs´ıvel. Se o sistema
for poss´ıvel, encontre a soluc¸a˜o, se for u´nica; caso contra´rio, descreva o infinito conjunto soluc¸a˜o.
a)


x+ 4y+ 6z = 11
2x+ 3y+ 4z = 9
3x+ 2y+ 2z = 7
b)


x+ 2y = 2
−3x+ 4y = −16
2x− y = 9
−4x+ 2y = −19
4. (2 pts) Responda se as afirmac¸o˜es abaixo sa˜o VERDADEIRAS ou FALSAS. Justifique sua resposta
provando as afirmac¸o˜es verdadeiras e apresentando um contra-exemplo para as afirmac¸o˜es falsas.
(a) Se A e´ uma matriz 3x3 enta˜o A+AT e´ sime´trica.
(b) Se A e B sa˜o matrizes 2x2, enta˜o (A+B)2 = A2 + 2AB+B2.
(c) Se A, B e C sa˜o matrizes 2x2 na˜o nulas, tais que A.B = A.C enta˜o B = C.
(d) Se Se A, B e P sa˜o matrizes nxn tais que B = P−1AP enta˜o detA = detB.
Universidade Federal do Esp´ırito Santo
Centro de Cieˆncias Agra´rias
Segunda Avaliac¸a˜o de A´lgebra Linear - Substitutiva
07 de julho de 2015
NOME:
Justifique todas as respostas!
1. Sejam ~v1 = (1, 0, 1, 0) , ~v2 = (1, 1, 0,−1) e ~v3 = (2,−1, k, 1) vetores de R
4.
(a) (1 pt) Determine o(s) valor(es) de k para que os vetores ~v1, ~v2 e ~v3 sejam LI.
(b) (1 pt) Para k = 0, determine condic¸o˜es sobre x, y, z,w para que o vetor (x, y, z,w) ∈ [ ~v1, ~v2, ~v3].
2. Sejam W1 e W2 dados por W1 = {(x, y, z,w) ∈ R
4 : 2x− y+ 3z = 0} e
W2 = {(x, y, z,w) ∈ R
4 : 4x− 2y+ 3w = 0} subespac¸os vetoriais de R4.
(a) (1 pt) Determine uma base de W1 ∩W2.
(b) (2 pts) Determine dim(W1 +W2).
(c) (1 pt) (4,−3, 7, 8) ∈ W1 +W2? Justifique.
3. Sejam β1 = {(2, 3), (−2, 0)} e β2 = {(−1, 1), (1, 1)} bases ordenadas de R
2. Determine:
(a) (1 pt) [(5, 7)]β2
(b) (1 pt) [I]β1β2
4. (a) (1 pt) Deˆ exemplo de dois subespac¸os vetoriais W1 e W2 de um espac¸o vetorial V tal que W1 ∪W2
na˜o e´ um subespac¸o vetorial de V. Justifique.
(b) (1 pt) R2 com as operac¸o˜es:
(x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, 0)
α(x, y) = (αx, 0)
e´ um espac¸o vetorial? Justifique.
Universidade Federal do Esp´ırito Santo
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Terceira Avaliac¸a˜o de A´lgebra Linear - Substitutiva
07 de julho de 2015
NOME:
Justifique todas as respostas!
1. (a) (1 pt) T : R → R dada por T(x) = |x| e´ linear? Justifique.
(b) (1 pt) Determine a transformac¸a˜o linear T : R2 → R3, sabendo que α = {(−1, 1), (1, 0)} e
β = {(1, 1,−1), (2, 1, 0), (3, 0, 1)} sa˜o bases ordenadas de R2 e R3, respectivamente e
[T ]αβ =

 3 12 5
1 −1


2. Seja T : R3 → R3 uma transformac¸a˜o linear dada por
T(x, y, z) = (2x+ y , y− z , 2y− 4z).
(a) (2 pts) Ache os autovalores de T e seus autovetores correspondentes.
(b) (1 pt) Determine o polinoˆmio minimal de T e conclua se T e´ ou na˜o e´ diagonaliza´vel.
(c) (2 pts) T e´ isomorfismo? Se T e´ isomorfismo, determine T−1.
3. Deˆ exemplos, caso exista, de transformac¸o˜es lineares satisfazendo as condic¸o˜es abaixo. Caso na˜o exista,
use o Teorema do Nu´cleo e da Imagem para justificar.
(a) (1 pt) T : R2 → R3, com ImT = [(1, 1, 1), (1, 0,−1)].
(b) (1 pt) T : R2 → R3 sobrejetora.
(c) (1 pt) T : R3 → R, com ker T = [(1, 0, 1), (0, 1, 0), (2,−1, 2)].