Equações Diferenciais (MAT26) Avaliação II Individual e sem Consulta

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Disciplina:
	Equações Diferenciais (MAT26)
	Avaliação:
	Avaliação II - Individual e sem Consulta ( peso.:1,50)
	
	
	
	
	
	
Parte superior do formulário
	1.
	O diferencial total de uma função real de várias variáveis reais corresponde a uma combinação linear de diferenciais, cujos coeficientes compõem o gradiente da função. O que é realizado é a soma das derivadas parciais em cada direção dada na função de várias variáveis. Dada a função f(x,y) = x²y + xy², analise as sentenças a seguir:
I- O diferencial total de f é xy.
II- O diferencial total de f é 2xy.
III- O diferencial total de f é x² + y² + 4xy.
IV- O diferencial total de f é x² + y² + 8xy.
Assinale a alternativa CORRETA:
	 a)
	Somente a sentença II está correta.
	 b)
	Somente a sentença III está correta.
	 c)
	Somente a sentença I está correta.
	 d)
	Somente a sentença IV está correta.
	2.
	A que taxa está crescendo a área de um retângulo se seu comprimento é de 10 cm e está crescendo a uma taxa de 1 cm/s, sendo que sua largura é de 9 cm e está crescendo a 0,8 cm/s?
	 a)
	A taxa é 16 cm²/2.
	 b)
	A taxa é 17 cm²/2.
	 c)
	A taxa é 18 cm²/2.
	 d)
	A taxa é 22 cm²/2.
	3.
	A integral múltipla é uma integral definida para funções de múltiplas variáveis. Além de calcular áreas e volumes definidos por funções de mais de uma variável, este conceito também possui aplicações na área da física, como, por exemplo, no cálculo do centro de massa de um corpo. Baseado nisto, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas sobre as integrais abaixo quanto a sua relação com a região compreendida entre y = 5 - x² e y = x + 3. Em seguida, assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
	
	 a)
	V - F - F - F.
	 b)
	F - F - V - F.
	 c)
	F - V - F - F.
	 d)
	F - F - F - V.
	4.
	No cálculo, a integral de uma função foi criada originalmente para determinar a área sob uma curva no plano cartesiano e também surge naturalmente em dezenas de problemas de Física. Calculando a área entre as curvas y = 4 - x² e y = x + 2, obteremos:
	 a)
	Área igual a 11/2 u.a.
	 b)
	Área igual a 9/2 u.a.
	 c)
	Área igual a 8 u.a.
	  d)
	Área igual a 14/3 u.a.
	5.
	Uma das aplicações das derivadas parciais é a taxa de crescimento ao longo de mais de uma direção. Baseado nisto, calcule a taxa que está crescendo a área de um retângulo se seu comprimento é de 10 cm e está crescendo a uma taxa de 0,5 cm/s enquanto que sua largura é de 8 cm e está crescendo 0,2 cm/s. Em seguida, assinale a alternativa CORRETA:
	 a)
	6 cm²/s.
	  b)
	6,6 cm²/s.
	 c)
	0,7 cm²/s.
	 d)
	9 cm²/s.
	6.
	No cálculo diferencial, o gradiente (ou vetor gradiente) é um vetor que indica o sentido e a direção na qual, por deslocamento a partir do ponto especificado, obtém-se o maior incremento possível no valor de uma grandeza a partir da qual se define um campo escalar para o espaço em consideração. Baseado nisto, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas:
(    ) O gradiente de uma função determina o maior valor possível de uma curva.
(    ) O gradiente de uma função indica a direção de maior variação de uma curva.
(    ) Ao se afastar da origem, o vetor gradiente aumenta sua norma.
(    ) O vetor gradiente é um vetor normal à curva de nível da função.
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
	  a)
	F - V - F - V.
	 b)
	F - F - V - V.
	 c)
	F - V - V - V.
	 d)
	V - V - F - F.
	7.
	O estudo da derivação parcial permite que estendamos os conceitos estudados no Cálculo Diferencial e Integral para duas dimensões, para o espaço tridimensional. Com isto, podemos generalizar vários casos existentes e que antes não eram acessados. Baseado nisto, dada a função f(x,y) = 3x²y, analise as sentenças a seguir:
I- f(x,y) é diferenciável em todos os pontos do plano.
II- A soma de suas derivadas parciais é  x.(6y + 3x).
III- A soma de suas derivadas parciais é 6xy² + y².
IV- O limite da função quando (x,y) tende a (0,0) é zero.
Assinale a alternativa CORRETA:
	 a)
	As sentenças III e IV estão corretas.
	 b)
	As sentenças I e III estão corretas.
	 c)
	As sentenças II e III estão corretas.
	 d)
	As sentenças I, II e IV estão corretas.
	8.
	No cálculo, a diferenciação implícita é um meio de derivar equações implícitas, ou seja, funções onde y não está definido como função explícita de x. Em outras palavras, são equações onde não temos de um modo explícito uma relação entre as duas variáveis pela qual possamos escrever y = f(x). Baseado na função f(x,y) = x² + 5y², assinale a opção que apresenta o resultado correto para dy/dx:
	 a)
	x/y
	 b)
	-x/5y
	 c)
	-x/2y
	 d)
	2x/10y
	9.
	Em matemática, a matriz Hessiana de uma função f de n variáveis é a matriz quadrada com n colunas e n linhas (n X n) das derivadas parciais de segunda ordem da função. Por isto, esta matriz descreve a curvatura local da função "f". Matrizes hessianas são usadas em larga escala em problemas de otimização que não usam métodos newtonianos. Baseado na matriz hessiana a seguir, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas:
(    ) A matriz hessiana no ponto (0,-1) é a matriz identidade.
(    ) A matriz hessiana no ponto (0,-1) é a matriz nula.
(    ) A matriz hessiana ajuda a definir pontos críticos da função.
(    ) A matriz hessiana tem ordem igual ao maior grau da função.
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
	
	 a)
	F - F - V - V.
	 b)
	V - V - F - F.
	 c)
	V - F - V - F.
	 d)
	F - V - V - F.
	10.
	A que taxa está crescendo a área de um retângulo, em cm2/s, se seu comprimento é de 20 cm e está crescendo a uma taxa de 2 cm/s, enquanto que sua largura é de 10 cm e está crescendo a 1 cm/s?
Dado: Área do retângulo A(x, y) = x . y onde x é o comprimento e y é a largura.
	 a)
	A taxa de crescimento é 40 cm²/s.
	 b)
	A taxa de crescimento é 80 cm²/s.
	 c)
	A taxa de crescimento é 8 cm²/s.
	 d)
	A taxa de crescimento é 24 cm²/s.
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