Avaliaçao II - Equações Diferenciais

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Disciplina:
	Equações Diferenciais (MAT26)
	Avaliação:
	Avaliação II - Individual FLEX ( Cod.:513809) ( peso.:1,50)
Legenda:  Resposta Certa   Sua Resposta Errada  
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	1.
	O diferencial total de uma função real de várias variáveis reais corresponde a uma combinação linear de diferenciais, cujos coeficientes compõem o gradiente da função. O que é realizado é a soma das derivadas parciais em cada direção dada na função de várias variáveis. Dada a função f(x,y) = x²y + xy², analise as sentenças a seguir:
I- O diferencial total de f é xy.
II- O diferencial total de f é 2xy.
III- O diferencial total de f é x² + y² + 4xy.
IV- O diferencial total de f é x² + y² + 8xy.
Assinale a alternativa CORRETA:
	 a)
	Somente a sentença I está correta.
	 b)
	Somente a sentença II está correta.
	 c)
	Somente a sentença III está correta.
	 d)
	Somente a sentença IV está correta.
	2.
	Uma das aplicações das derivadas parciais é a taxa de crescimento ao longo de mais de uma direção. Baseado nisto, calcule a taxa com que está crescendo a área de um retângulo se seu comprimento é de 6 cm e está crescendo a uma taxa de 0,5 cm/s, enquanto que sua largura é de 10 cm e está crescendo 0,2 cm/s. Sobre o exposto, assinale a alternativa CORRETA:
	 a)
	9 cm²/s.
	 b)
	6 cm²/s.
	 c)
	6,2 cm²/s.
	 d)
	5,6 cm²/s.
	3.
	Uma peça cilíndrica tem 10 cm de raio e 18 cm de altura. Se o raio aumentar à razão de 0,1 cm/s e a altura diminuir à razão de 0,05 cm/s, qual a taxa de variação do volume desse cilindro em relação ao tempo?
	
	 a)
	108,04.
	 b)
	97,34.
	 c)
	97,7.
	 d)
	98,1.
	4.
	Uma das aplicações clássicas dentro da análise de integração é o cálculo de área. Neste sentido, leia a questão a seguir e assinale a alternativa CORRETA:
	
	 a)
	A opção III está correta.
	 b)
	A opção IV está correta.
	 c)
	A opção I está correta.
	 d)
	A opção II está correta.
	5.
	A integral dupla é um recurso matemático usado para calcular o volume sobre uma superfície. Considere a região R do plano como apresentado na figura. Qual é o volume do sólido compreendido entre a região pintada e a superfície?
	
	 a)
	16.
	 b)
	0.
	 c)
	32.
	 d)
	64.
	6.
	O estudo da derivação parcial permite que estendamos os conceitos estudados no Cálculo Diferencial e Integral para duas dimensões, para o espaço tridimensional. Com isto, podemos generalizar vários casos existentes e que antes não eram acessados. Baseado nisto, dada a função f(x,y) = 3x²y, analise as sentenças a seguir:
I- f(x,y) é diferenciável em todos os pontos do plano.
II- A soma de suas derivadas parciais é  x.(6y + 3x).
III- A soma de suas derivadas parciais é 6xy² + y².
IV- O limite da função quando (x,y) tende a (0,0) é zero.
Assinale a alternativa CORRETA:
	 a)
	As sentenças I e III estão corretas.
	 b)
	As sentenças II e III estão corretas.
	 c)
	As sentenças I, II e IV estão corretas.
	 d)
	As sentenças III e IV estão corretas.
	7.
	Em matemática, a matriz Hessiana de uma função f de n variáveis é a matriz quadrada com n colunas e n linhas (n X n) das derivadas parciais de segunda ordem da função. Por isto, esta matriz descreve a curvatura local da função "f". Matrizes hessianas são usadas em larga escala em problemas de otimização que não usam métodos newtonianos. Baseado na matriz hessiana a seguir, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas:
(    ) A matriz hessiana no ponto (0,-1) é a matriz identidade.
(    ) A matriz hessiana no ponto (0,-1) é a matriz nula.
(    ) A matriz hessiana ajuda a definir pontos críticos da função.
(    ) A matriz hessiana tem ordem igual ao maior grau da função.
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
	
	 a)
	F - V - V - F.
	 b)
	V - V - F - F.
	 c)
	F - F - V - V.
	 d)
	V - F - V - F.
	8.
	Uma das aplicações das derivadas parciais é a taxa de crescimento ao longo de mais de uma direção. Baseado nisto, calcule a taxa que está crescendo a área de um retângulo se seu comprimento é de 10 cm e está crescendo a uma taxa de 0,5 cm/s enquanto que sua largura é de 8 cm e está crescendo 0,2 cm/s. Em seguida, assinale a alternativa CORRETA:
	 a)
	0,7 cm²/s.
	 b)
	9 cm²/s.
	 c)
	6,6 cm²/s.
	 d)
	6 cm²/s.
	9.
	Quando podemos escrever uma função na forma y = f(x) temos uma função explícita. No entanto, em muitas situações não conseguimos escrever uma função dessa forma, então dizemos que y é uma função implícita de x. Para derivar funções dessa forma usamos o método de derivação implícita. Analise as opções a seguir e, depois, assinale a alternativa CORRETA que apresenta a derivada da função implícita y dada pela equação:
	
	 a)
	Somente a opção I está correta.
	 b)
	Somente a opção III está correta.
	 c)
	Somente a opção II está correta.
	 d)
	Somente a opção IV está correta.
	10.
	Um problema de otimização é um problema para o qual precisamos determinar os extremos da função, ou seja, o maior e o menor valor que a função assume numa região. Problemas de otimização são muito comuns, por exemplo para otimizar lucros e minimizar custos. Sabendo que o ponto (0, 0) é um ponto crítico da função
	
	 a)
	Onde H(0, 0) = 0.
	 b)
	De mínimo.
	 c)
	De sela.
	 d)
	De máximo.
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