Trabalho sobre flexão com estudo de caso nos postes

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Faculdade Católica do Tocantins
Engenharia Elétrica
Flexão
Derson Lucas B. de S. Lacerda
Dhiogo Alves Paixão 
Gabriel Miranda C. Doutor
Lucas Soares Montelo
Vinícius Morais Mesquita.
Palmas – TO
2018
Derson Lucas B. de S. Lacerda
Dhiogo Alves Paixão 
Gabriel Miranda C. Doutor
Lucas Soares Montelo
Vinícius Morais Mesquita.
Flexão
Trabalho apresentado à disciplina de Mecânica dos Sólidos como parte dos pré-requisitos para obtenção da aprovação nesta. 
Professor: Me. Rafael Augusto dos Anjos Rosa
Palmas – TO
2018
RESUMO
Estudar a resistência e as propriedades dos materiais vem desde os primórdios da humanidade. Com o passar dos séculos e diversos estudos, essas pesquisas tornam-se uma área da ciência denominada “resistência dos materiais”, graças à cientistas como Poisson e Saint-Venant. Dentre esse universo desse campo, está o estudo da flexão, que é uma deformação que ocorre perpendicularmente causada por uma força e possui diversas classificações, como a flexão pura, a simples, a composta, etc. O estudo desse fenômeno possui como uma das principais ferramentas o gráfico de força cortante e momento fletor, que possibilita obter a força de cisalhamento e o momento máximo. A flexão está presente no nosso dia a dia, como nas hastes das pontes ou, mais comumente observados, nos postes, que é causada pelo peso dos fios.
Palavras-chave: flexão, cisalhamento, viga, momento.
SUMÁRIO
Resistência dos materiais
A determinação da resistência dos materiais vem desde os primórdios do século XVII, mas com destaque principalmente para os séculos XVlll e XIV quando cientistas como Saint-Venant (1797 – 1886) e Poisson (1781-1840) revolucionaram essa área da ciência com definições do comportamento de hastes e vigas, de diferentes materiais, quando estas sofrem alguma força (carga).
Figura 1: Siméon Denis Poisson.
 (Wikipédia, 2018)
Em Resistência dos Materiais, há a percepção de que cargas externas e internas exercidas sobre um corpo poderão causar uma alteração nesse mesmo, seja definitiva ou não. Essa mudança depende do tamanho, da deflexão, estabilidade e principalmente do tipo do material em que esse elemento é feito. Esses itens irão “definir” qual será o comportamento do material mediante uma carga.
Com isso, surgiram duas áreas primordiais: a teoria da elasticidade, que define basicamente até onde um corpo irá se recuperar completamente de deformações, e a teoria da plasticidade, onde não há mais recuperação total de uma modificação no sólido.
Flexão e Vigas
	 Quando a deformação ocorre perpendicularmente à força que está atuando, isso é denominado flexão. Nesse campo da resistência dos materiais um dos principais aspectos analisados são as vigas. Esses corpos são barras, geralmente longas e retas, com área de seção transversal constante que suportam cargas perpendiculares a seu eixo longitudinal (linha que une o centro de gravidade de todas as seções transversais de uma barra).
As vigas são classificadas conforme o modo como são apoiadas. As do tipo simplesmente apoiadas são fixas em uma ponta e um apoio móvel (ou rolete) na outra extremidade. Já as que estão em balanço são presas em uma extremidade e livre na outra. Há também as apoiadas com extremidade em balanço, que possuem uma ou ambas extremidades ultrapassando livremente os apoios.
Figura 2: Classificação das vigas no modo que são apoiadas.
 (Hibbeler, 2008).
O estudo e classificação desse corpo é de fundamental importância visto que são utilizadas para suportar pisos de edíficios, as asas de aviõees e eixos de automóveis. Também há “vigas” no nosso corpo: a maioria dos nossos ossos se comportam como tal.
Força de Cisalhamento e Momento Fletor
Devido às cargas sofridas, as vigas geram forças de cisalhamento interna, também chamadas de força cortante. Desenvolvem ainda o momento fletor, que alterna de ponto para ponto no eixo desses corpos. O momento fletor é definido como a soma algébrica dos momentos relativas a seção XY, contidos no eixo da peça, gerados por cargas aplicadas transversalmente ao eixo longitudinal. 
Na projeção de vigas, é de fundamental importância quantificar a força de cisalhamento (V), que é tensão gerada por forças aplicadas em sentidos iguais ou contrários, em direções semelhantes, mas com intensidades diferentes. Também é necessário saber o momento (M) máximo que irão agir na viga. 
Para fazer a quantificação desses itens, basta expressar esses valores (V e M) em função de uma posição x ao longo do seu eixo. Devido à mudança de carga distribuída em cada ponto da viga, as funções de cisalhamento e o momento de fletor devem ser determinados para cada região em que ocorre essa alteração.
Conveção de Sinais e Diagramas de Força Cortante
Um princípio de fundamental importância nos cálculos envolvendo flexão é a convenção de sinal para vigas, onde atribui-se sinais positivos para forças que agem para baixo na viga e nas forças cortantes internas que acarretam em uma rotação no sentido horário. 
Figura 3: Conveção de sinais.
 (Hibbeler, 2008).
Após isso, esses valores serão representados por gráficos que são chamados de diagramas de força cortante e momento fletor e, a partir disso, será possível obter os valores máximos para esses quesitos.
Esses gráficos são bastantes utilizados por engenheiros no mundo todo para se saber em que local colocar materiais de reforço dentro das vigas e também como calcular as dimensões destas. Para contruir esses gráficos, é necessário seguir alguns procedimentos.
Nas chamadas reações de apoio, é preciso determinar todas as forças de reações e os momentos que estão agindo na viga e decompor todas as forças que são realizadas perpendicularmente e paralelamente ao eixo da viga.
Posteriormente, especifica-se as coordenadas x com origem na extrema esquerda da viga e que vão se estender até as regiões das forças e momentos ou até não haver mudanças na carga. O próximo passo é fazer o diagrama de corpo livre.
O cisalhamento será determinado com a soma das força que são perpendicular ao eixo da viga e o momento pelo somatórios dos momentos ao redor da extremidade. Por fim, é necessário construir o diagrama de força cortante (V vs x) e o de momento fletor (M vs x). Convenientemente, os diagramas de força cortante e momento fletor são colocados abaixo do de corpo livre da viga.
Estudo de caso: Flexão nos Postes
	 No Brasil, há diversidades no que se diz respeito ao material dos postes utlizados tanto para iluminação quanto para distribuição. Possui postes feitos de madeira, metal e os que vem ganhando mais espaço atualmente: cimento.
	 Para definir o tipo de poste que será utilizado há que se focar nos benefícios e em diversos quesitos. Um deles, é a forma que o mesmo é produzido. O de madeira polui muito menos no processo de fabricação que os concorrentes e, também, é um recurso natural, renovável e cultivado em zonas de reflorestamento (Lajoteiro, 2018).
	 Os postes de Eucalipto Tratado em Auto-Clave que possuem sua base enterrada no solo, sem qualquer proteção extra e sem manutenção pode chegar a uma duração de 30 anos ou até 40 anos com manutenções (Botelho, 2014).
	 Além desses aspectos, há ainda o fato de que a madeira tem baixa condutividade elétrica: seis vezes mais isolante que o concreto e suporta tensões de pulsos atmosféricos de até 50% a mais que uma estrutura armada. 
	 A ANEEL (Agência Nacional de Energia Elétrica) não faz objeções quanto ao material utilizado mas, um fato importante acerca da qualidade do poste, é que todos eles, quando submetidos a carga nominal, não podem apresentar fissuras superiores a 0,3mm.
Figura 4: Postes de Madeira
 (Lajoteiro, 2018).
	 Porém, um dos fatores primordiais para a escolha do material é a sua resistência à flexão, já que todos os postes sofrem desse fenômeno devido a força que os cabos de transimissão elétrica exercem para baixo, ocasionando assim uma cargaperpendicular.
	 Segundo a NBR 8456, a norma que registra os postes de eucalipto, o limite de resistência a flexão desse material deve ser de 850 N/cm2. Já o módulo de elasticidade a flexão deve ser de 130.000 N/cm2. 
Figura 5: Ilustração da flexão nos postes
(Própria autoria).
	 Para saber e dimensionar quanto de tensão de flexão um poste irá suportar, são feitos testes chamados “ensaios de ruptura”, que consiste em aplicar uma carga perpendicula ao posto e força-lo até o momento da ruptura, o que simula o peso dos cabos de transmissão elétrica. Os postes de luz também sofrem desse fenômeno.
Figura 6: Flexão agindo no poste de luz
 (UFPR, 2016).
	 Nas situações em que o poste está danificado ou foi feito um dimensionamento equivocado dos pesos dos cabos de transminssão, acontece a ruptura no ponto onde a tensão de flexão é maior. Acidentes causado por flexão são consideravelmente raro, visto que para ocorrer a fratura o poste deve estar bastanre detriorado, uma vez que os cabos não possuem uma massa tão alta a ponte de danificar de uma vez só a estrutura em que está, seja de madeira ou aço.
Figura 7: Poste rompido devido à condições precárias da estrutura
 (CVC, 2013)
Deformação por flexão de um elemento reto
	 Quando um momento fletor é aplicado a um elemento prismático (uma superfície que pode considerar-se gerada por uma reta geratriz que, conservando-se constantemente paralela a si mesma)(Info-pedia, 2018) e altamente deformável, as linhas das grades desse item tendem a se distorcer segundo um padrão,como mostra a figura abaixo.
Figura 8: Deformação em um elemento reto
 (Hibbeler, 2008)
	 É possível perceber que as linhas longitudinais acabam se tornando curvas. As tranversais, por sua vez, permacem retas mas sofrem algumas rotações.
	 Toda e qualquer barra que é deformável e sofre um momento fletor irá resultar em um alongamento desse material na parte inferior e na compressão do material na parte superior. Entre essas duas regiões, está a chamda superfície neutra, onde não haverá mudança no comprimento longitudinal.
Figura 9: Superfície neutra do material deformado.
(Hibbeler, 2008).
	 Existem três regras básicas quando se estuda o modo que a tensão deforma o material. A primeira delas é que o eixo longitudinal (x) fica localizado no interior da superfície neutra e não sofrerá mudança no comprimento, já que o momento fletor tenderá a deformar a viga para que se torne uma curva no plano de simetria x-y.
	 A segunda diz que todas as seções transversais da viga irão permanecer planas e também perpendiculares ao eixo longitudinal durante o processo da deformação. A terceira e última é que qualquer deformação da seção transversal dentro do própria plano é desprezada.
Classificação das Flexões
	 No “mundo” das flexões, há também o estudo das tensões sobre a flexão. Primeiramente, é necessário classifica-las. Quanto a classificação baseado na força que acompanha o momento fletor, existem três tipos de flexão.
	 A primeira delas é a flexão pura, que ocorre quando o momento fletor é o único esforço que atua na seção (o esforço cortante e esforço normal são nulos.). A segunda é a flexão simples, ocorrendo quando o esforço normal é nulo (há dois esforços internos: o esforço cortante e o momento fletor). A terceira e última é a flexão composta que é acompanhada de esforços normais não nulos. (Martha, 2009)
Fórmula da flexão
	 Para estabelecer uma fórmula pra flexão é adotado que o material irá se comportar de maneira linear elástica, onde se encaixa a lei de Hooke (σ = E.ɛ). Com isso, é possível afirmar que a variação linear da deformação normal é consequência da variação linear da tensão normal. Ou seja, σ irá variar de zero (eixo neutro) até o valor máximo (σmáx), relacionado a distância (c) mais longe do eixo neutro.
Figura 10: Variações da deformação e da tensão.
 (Hibbeler, 2008)
	 Como mostra a figura, devido a proporcionalidade dos triângulos, e a lei de Hooke pode ser escrita como: 
 ,
que representa a área da seção tranversal da figura em questão. Também é possível ver que, quando y ou c for negativo, o resultado final será positivo
	 Para determinar a tensão na viga, é importante atentar ao fato de que o momento resultante interno M deverá ser igual ao momento produzido pela distribuição de tensão ao redor do eixo neutro. Após uma série de algebrizações, a fórmula final se resume em:
onde σmáx é a tensão máxima no elemento, M é o momento interno resultante, I é o momento de inércia da área da seção transversal ao redor do eixo neutro e c é a distância perpendical do eixo neutro a um ponto mais afastado deste. Também é possível determinar a tensão normal em uma distância intermediária y através da equação: 
	 Assim como o diagrama de forças cortantes, é importantes seguir alguns passos para aplicar a fórmula da flexão. Primeiramente, é necessário determinar o momento interno. Para isso, é preciso escolher um ponto onde a flexão ou a tensão normal deverá ser determinada e, além disso, o eixo neutro precisa ser conhecido. Uma vez que tenha a tensão de flexão máxima, deve ser representado graficamente o diagrama de momento fletor para que seja determinado o momento máximo da viga.
	 Com relação às propriedades da seção, primeiramente determina-se o momento da inércia da área da seção tranversal ao redor do eixo neutro. Na tensão normal, o passo inicial é especificar a distância y perpendicular ao eixo neutro até onde essa tensão deve ser determinada.
REFERÊNCIAS
Botelho, F. Especialista da Unicamp defende o uso dos postes de madeira. 05 de Março de 2014. Disponível em < https://www.portalcbncampinas.com.br/2014/03/especialista-da-unicamp-defende-o-uso-dos-postes-de-madeira >. Acesso: 31/05/2018, às 14:39
CVC, NOTIVISION. Ruptura de poste causa congestionamiento vehicular. 11 de Dezembro de 2013. Disponível em < https://www.youtube.com/watch?v=TmhYsBSOFTU >. Acesso: 31/05/2018, às 14:50.
HIBBELER, R. C. Resistência dos Materiais. Ed 7. São Paulo - Pearson.
INFOPEDIA. Prismático. 2018. Disponível em < https://www.infopedia.pt/dicionarios/lingua-portuguesa/prism%C3%A1ticas >. Acesso: 21/05/2018, às 09:45
LAJOTEIRO. QUAL O MELHOR MATERIAL PARA A UTILIZAÇÃO EM POSTES PÚBLICOS?. 2018. Disponível em < http://www.lajoteiro.com.br/casa-e-construcao/qual-o-melhor-material-para-a-utilizacao-em-postes-publicos >. Acesso: 31/05/2018, às 14:27
MARTHA, L. F. Tensões associadas a esforços internos. 2009. Disponível em < http://webserver2.tecgraf.puc-rio.br/ftp_pub/lfm/civ1112-aula06.pdf >. Acesso: 23/05/2018, às 10:01
SILVA, Francisco Lourenço. DIMENSIONAMENTO DE POSTE DE CONCRETO COM SEÇÃO CIRCULAR, UTILIZADO EM REDE DE DISTRIBUIÇÃO. 2010. Disponível em < https://www.aeseletropaulo.com.br/padroes-e-normas-tecnicas/manuais-normas-tecnicas-e-de-seguranca/Documents/Padr%C3%B5es%20e%20Normas%20T%C3%A9cnicas/RT-2003.pdf >. Acesso: 31/05/2018, às 15:04
UFPR. Seção 7 (Flexão) - Exemplos dados em aula. 2016 de Outubro de 2016. Disponível em < http://ftp.demec.ufpr.br/disciplinas/EngMec_NOTURNO/TM346/Prof.Marcos_Lenzi/Listas%20de%20exerc%C3%ADcios/Secao_7_Flexao.pdf >. Acesso: 31/05/2018, às 14:12
WIKIPÉDIA. Siméon Denis Poisson. 2018. Disponível em < https://pt.wikipedia.org/wiki/Sim%C3%A9on_Denis_Poisson >. Acesso: 21/05/2018, às 10:45