Resumo 01 - Funções de várias variavéis

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UNIVERSIDADE SÃO JUDAS TADEU 
 
DATA: 
CURSO: ENGENHARIA TURMA: 
 
 
 
Nº DE ORDEM: 
DISCIPLINA: CÁLCULO II Prof. Ms Rogério Lobo 
 
 
 
 
 
 
 
FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS RESUMO 01 
 
 
FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS 
REAIS A VALORES REAIS 
 
 Uma função de duas variáveis reais a valores 
reais é uma função f: D → IR, onde D é um 
subconjunto de IR2. Esta função associa, a cada 
par (x, y) ∈ D, um único número f(x, y) ∈ IR. O 
conjunto D é o domínio de f e a imagem é o 
conjunto Im = {f(x, y) ∈ IR: (x, y) ∈ D}. 
 As variáveis x e y são chamadas variáveis 
independentes, e a variável z = f(x, y), que 
depende dos valores de x e y, é denominado 
variável dependente. 
 Na função real de duas variáveis reais, o 
número z = f(x, y) é conhecido como valor de f 
no ponto (x, y). E, a menos que seja 
especificado, o domínio da função f será 
tomado como o maior conjunto possível para o 
qual a regra que define f faz sentido. 
 
Exemplos 
 
1-) Seja f a função definida por 
f(x, y) = x + xy + x2 + 4. Calcule 
f(0, 0) e f(-1, 2). 
 
Solução: 
●f(0, 0) = 0 + 0.0 + 02 + 4 = 4; 
●f(−1, 2) = −1 + (−1). 2 + 22 + 4 = −1 − 2 +
4 + 4 = −3 + 8 = 5. 
 
2-) Faça o esboço da região do plano que 
representa o domínio da função f(x, y) =
4
x−y
. 
●f está definida para todo 𝑥 ≠ 𝑦. Então, o 
domínio de f é o conjunto de todos os pontos do 
plano xOy, exceto aqueles sobre a reta y=x. Em 
símbolos: 
D = {(x, y) ∈ IR: y ≠ x}. 
Logo, a representação será: 
 
 Exercícios de Aula 
 
1-) Para cada uma das funções, calcule f(3, 2), 
encontre e faça o esboço do seu domínio. 
a-) f(x, y) =
√x+y+1
x−1
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
 
b-) f(x, y) = xln(y2 − x) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2-) Seja g(x, y) = cos (x+2y). 
a)Calcule g(2,-1). 
 
 
 
 
b)Determine o domínio de g. 
 
 
 
 
 
 
c)Determine a imagem de g 
 
 
 
 
 
 
3-)Determine e esboce o domínio das funções: 
a-) f(x, y) =
√y−x2
1−x2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4-) f(x, y) = ln (9 − x2 − 9y2) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5-) f(x, y) = √1 − x2 − √1 − y2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
 
Exercícios de Casa 
 
1-) Seja f(x, y) = 2x + 4y − 10. Calcule f(0, 0), 
f(-1,0), f(-1, -3) e f(-3, 4). 
 
2-) Seja f(x, y) = 2x2 − y2. Calcule f(3,0), f(-1,4), 
f(-1, 3) e f(0, 4). 
 
3-) Seja f(s, t) = 3s√t + t√sy + 2. Calcule f(1,2), 
f(1, 3), f(0, 4) e f(4, 9). 
 
4-) Seja f(x, y) = xyex
2+y2. Calcule f(0,0), f(-1,0), 
f(-1, -3) e f(-3, 4). 
 
5-) Seja f(x, y) = xlny − ylns. Calcule f(1,e), 
f(e,1) e f(e, e). 
 
6-) Faça um esboço da região do plano que 
representa o domínio de cada função abaixo: 
a-)f(x, y) = 2x + 3y. 
b-) f(x, y) =
xy
x−y
. 
c-) f(x, y) = √4 − x2 − y2. 
d-) f(x, y) = 2x + 3y. 
e-) f(x, y) =
3
x+y
. 
 
7-) O volume de um tanque cilíndrico de raio r e 
altura h é dado por 
 V(r, h) = πr2h. 
Encontre o volume de um tanque cilíndrico de 
raio 1,5 m e altura 4m. 
 
8-) O QI (quociente de inteligência) de uma 
pessoa com idade mental m anos e com idade 
cronológica c anos é definida como f(m, c) =
100m
c
. 
Qual é o QI de uma criança de 9 anos com 
idade mental de 13,5 anos? 
 
9-) O índice de massa corpórea (IMC) é usado 
na identificação e tratamento de sobrepeso e 
obesidade em adultos. O valor do IMC para um 
adulto com peso w (em quilos) e altura h (em 
metros) é definido como M(w, h) =
w
h2
. 
De acordo com diretivas federais, um adulto 
com IMC entre 25 e 29,9 é considerado com 
excesso de peso, e um adulto com IMC acima 
de 30 é considerado obeso. 
a-) Qual é o IMC de um adulto com 80 kg e 
medindo 1,80 m? 
b-) Qual é o maior peso que um adulto com 
1,80m de altura pode ter para que não seja 
classificado como obeso? 
 
10-) Suponha que a produção de um país seja 
dada por f(x, y) = 100x
3
5y
2
5 
bilhões de dólares se x bilhões de dólares são 
gastos com mão-de-obra e y bilhões de dólares 
são gastos com capital. Encontre a produção se 
o país gastou US$ 32 bilhões com mão-de-obra 
e US$ 243 bilhões com capital.