VETORES cap.5

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VETORES.
Cap.3
Movimento em duas dimensões.
Professor Antenor
Grandezas escalares e grandezas 
vetoriais
5.1
Grandeza física
Escalar:
é aquela que fica perfeitamente
caracterizada quando
conhecemos seu módulo 
(ou intensidade), representado pelo valor numérico e a unidade de medida correspondente.
Vetorial:
para sua caracterização
devemos conhecer,
além de seu módulo 
(ou intensidade), sua direção e seu sentido.
2
4
5
Vetor
A representação de uma grandeza física vetorial é feita com base em um ente geométrico denominado vetor.
Um vetor consiste em um segmento de reta orientado e a grandeza correspondente é representada por uma letra encimada por uma setinha. Por exemplo: v
5.2
ADILSON SECCO

3
Produto de um número real por um vetor
Seja  um número real qualquer e um vetor, também qualquer.
Operação com vetores
5.3
 · v = u
v

Características do vetor 
Módulo: u = |a|· v
Direção: a mesma direção
Sentido: igual ao de se a > 0 ou
	oposto ao de se a < 0 
 
ADILSON SECCO
3v
–2v
v
u

v

v

v

4
Operação com vetores
Soma de vetores
Consideremos os vetores: (abaixo).
5.4
ADILSON SECCO
ADILSON SECCO
V = V1 + V2 + V3
V1, V2 e V3
O vetor soma dado por pode ser obtido com 
o método do polígono.
V = V1 + V2 + V3
V
5
Soma de vetores de mesma direção
Casos particulares da soma de 
dois vetores
5.5
v =|v1 – v2|
v = v1 + v2
ADILSON SECCO
V
V2
V1
V2
V1
V
V1
V2
V1
V2
6
Casos particulares da soma de 
dois vetores
5.6
1o passo: posicione os vetores com uma origem comum
2o passo: trace retas paralelas a cada um dos vetores pela extremidade do outro
3o passo: trace o vetor soma (diagonal do paralelogramo com 
origem na origem 
comum dos vetores)
ADILSON SECCO
Soma de dois vetores quaisquer
(regra do paralelogramo)
ADILSON SECCO
V1
V2
7
Soma de dois vetores perpendiculares um ao outro
Usando o método do polígono, teremos:
5.7
Casos particulares da soma de 
dois vetores
ADILSON SECCO
V1
V2
E, com o teorema de Pitágoras:
v2 = (v1)2 + (v2)2
ADILSON SECCO
V
V2
V1
V
V2
V1
ou
8
Componentes ortogonais de um vetor
5.8
ADILSON SECCO
Consideremos o vetor mostrado ao lado:
V
V
Podemos escrever esse vetor como a soma de dois outros vetores, , perpendiculares entre si.
vx + vy
Assim:
v = vx + vy 
Os vetores são as componentes ortogonais do vetor .
vx e vy
v
9
Componentes ortogonais de um vetor
v² = (vx)² + (vy)²
E, pelo teorema de Pitágoras: 
5.8
ADILSON SECCO
Consideremos o sistema de eixos ortogonais, x e y, abaixo, 
e o vetor recém-mostrado. 
Com o método do paralelogramo (ao inverso), podemos obter as componentes ortogonais do vetor: .
No triângulo retângulo destacado, teremos:
vx e vy
cos  =
sen  =
vx
v
 vx = v · cos 
vy
v
 vy = v · sen 
10
Vetor é um símbolo físico-matemático utilizado para representar o módulo, a direção e o sentido de uma grandeza física vetorial.
Ex: Deslocamento, aceleração, força, etc.
  
 
Parece ser bem complicado, mas na realidade é uma coisa bastante simples. Para facilitar, imagine uma situação em que você está em uma rua movimentada de Natal e visualiza uma moto muito bonita.
. Impressionado com a imagem corre para contar a um colega sobre a tal moto, e no mesmo instante este colega lhe pergunta:
    - Uau! Onde você viu esta moto?
    - No centro de Natal    - Mas a moto ia em que direção?
    - Ela ia na mesma direção da Av. Deodoro.
    - Mas em que sentido a moto seguia?
    - Ela ia pela Deodoro sentido ao centro.
    - E qual era a velocidade em que a moto se movia?
    - Pô! uma máquina daquelas só podia estar a uns 190 km/h. 
   Sem perceber você acabou de determinar ao seu colega o VETOR que representa a moto vista.
    Antes de lembrá-los como é que se pode enxergar um vetor em uma história como esta, precisamos lembrar da definição de um vetor.
Para quem não estava lá!
Vetor
O vetor é um segmento de reta orientado, com um comprimento, uma direção e um sentido (uma flecha). O comprimento do vetor mede a sua intensidade ou módulo.
Grandezas escalares e grandezas vetoriais.
Há certas grandezas, como volume, massa, temperatura, tempo, energia, etc., que são definidas apenas por um número. Este número expressa a medida da grandeza numa escala, razão por que recebem o nome de grandezas escalares. Quando dizemos que a massa de um corpo é igual a 5 kg e que seu volume é de 20 litros, nada mais precisamos acrescentar.
Grandezas Vetoriais.
Outras, entretanto, não ficam definidas com um número, mas necessitam alem disso, de uma direção e sentido: são as grandezas vetoriais. Exemplo de grandezas vetoriais: deslocamento de um ponto, velocidade, aceleração, força, campo magnético, etc. Não basta dizer que um móvel percorreu 100 km; é preciso indicar em que direção e sentido realizou o movimento. O exemplo dado seria:O vetor velocidade.
Modulo 190km/h
Direção horizontal.
Sentido centro da cidade.
Exemplo de vetores
a fig. 2 representa um cruzamento de ruas, tal que você, situado em O, pode realizar os deslocamentos indicados pelos vetores d1, d2, d3, e d4. Diferenciando estes vetores segundo suas características, tem-se que: 
O tamanho das flechas são os módulos. 
Bernado vieira
Av.Coronel estevam
Os vetores d1 e d3 têm a mesma direção, mesmo módulo, e sentidos opostos. 
Os vetores d2 e d4 têm a mesma direção, módulos diferentes e sentidos opostos. 
Os vetores d1 e d2 têm o mesmo módulo, direções e sentidos diferentes. 
Os vetores d3 e d4 têm módulos, direções e sentidos diferentes. 
      Trace no mapa uma linha reta, unindo as duas cidades.
b.      Com essas informações é possível saber a cidade de onde partiu o passageiro? ________________
c.       Oriente a linha traçada no mapa no sentido Natal – Mossoró. Esta linha orientada vai representar uma grandeza física. Diga qual é o nome dessa grandeza:
_______________________________________________________________________________
 
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
d.      Que grandeza física representa o traçado da BR-304, estrada que liga a cidade de Mossoró à Natal?_________________________________________________________________________
 
e.       Essa é uma grandeza escalar ou é uma grandeza vetorial? Justifique.
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
 
f.        Considerando o sentido positivo do deslocamento, o da reta orientada no mapa, uma pessoa que viaja de Mossoró até Natal deslocou-se: ( ) 280km ( ) – 280km? 
Justifique. ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
 
g.       Que outras grandezas físicas você conhece que são grandezas vetoriais?
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
 
h.       O que caracteriza uma grandeza vetorial?
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
 
i.         Como se reconhece que uma determinada grandeza física é vetorial?
___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________Exemplo de grandeza vetorial o deslocamento.
Percebemos a distancia de Mossoró a Natal por vetores diferentes em vermelho o vetor deslocamento de verde o vetor caminho percorrido.
Deslocamento
Caminho percorrido
O
A
•
B
V1
-V1