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Todo material contido nesta lista foi desenvolvida pelo professor 
Lucas Octavio de Souza e não passou por nenhuma alteração
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geometria espacial
2
Autor - Lucas Octavio de Souza
 (Jeca)
Geometria de Posição
e
Geometria Espacial Métrica
Resumo teórico e exercícios.
3º Colegial / Curso Extensivo.
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geometria espacial
3
 Relação das aulas.
Aula 01 - Conceitos fundamentais de Geometria de Posição ...........
Aula 02 - Poliedros convexos ............................................................
Aula 03 - Prismas ...............................................................................
Aula 04 - Pirâmides ............................................................................
Aula 05 - Cilindro de revolução ..........................................................
Aula 06 - Cone de revolução .............................................................
Aula 07 - Esferas ...............................................................................
Aula 08 - Sólidos semelhantes ..........................................................
Aula 09 - Exercícios diversos sobre sólidos compostos .................... 
Jeca 01
02
17
21
30
38
45
51
56
61
Página
Geometria de Posição e Geometria Espacial Métrica.
Considerações gerais.
 Este estudo de Geometriade Posição e de Geometria Espacial Métrica tem como 
objetivo complementar o curso que desenvolvo com os alunos de 3º Colegial e de 
curso pré-vestibular. Não tem a pretensão de ser uma obra acabada e, muito 
menos, perfeita.
 Autorizo o uso pelos cursinhos comunitários que se interessarem pelo material, 
desde que mantenham a minha autoria e não tenham lucro financeiro com o 
material. Peço, entretanto que me comuniquem sobre o uso. Essa comunicação 
me dará a sensação de estar contribuindo para ajudar alguém.
 Peço a todos, que perdoem eventuais erros de digitação ou de resolução e que me 
comuniquem sobre esses erros, para que possa corrigí-los e melhorar este trabalho.
 Meu e-mail - jecajeca@uol.com.br
 Um abraço.
 Jeca
 (Lucas Octavio de Souza)
 Edição de 2014
 Os exercícios cujos números estão realçados com um círculo representam os 
exercícios que considero necessários à compreensão de cada aula. Nada impede 
que mais, ou outros exercícios sejam feitos, a critério do professor.
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geometria espacial
4
GEOMETRIA DE POSIÇÃO.
 A Geometria de Posição é a parte da Geometria 
que estuda a determinação dos elementos 
geométricos, bem como as posições relativas e as 
interseções desses elementos no espaço.
1) Elementos da Geometria.
 a) Ponto - A, B, P, …
 b) Reta - a, b, r, …
 c) Plano - a, b, g, …
2) Determinação dos elementos.
 2a) Determinação de ponto.
 Um ponto fica determinado :
 I - Pelo cruzamento de duas retas concorrentes.
 II - Pelo cruzamento de uma reta com um plano.
 2b) Determinação de reta.
 Uma reta fica determinada :
 I - Por dois pontos distintos.
 II - Por um ponto e uma direção.
 III - Pelo cruzamento de dois planos.
r
s
P
a
a
a
P
r
A
B r
di
re
çã
o
P
b
A B
C
a
r
P
r
2c) Determinação de plano.
 Um plano fica determinado :
 I - Por três pontos distintos não colineares.
 II - Por uma reta e um ponto fora dela.
 III - Por duas retas paralelas distintas.
 IV - Por duas retas concorrentes.
3) Combinações dos elementos.
(dois a dois)
4) Posições relativas e interseções dos 
elementos dois a dois.
 4a) Ponto - ponto.
 As posições relativas que dois pontos podem 
assumir são :
 I - Os dois pontos são coincidentes.
 II - Os dois pontos são distintos.
a
r
s
a
r
s
3a) Ponto - ponto.
3b) Ponto - reta.
3c) Ponto - plano.
3d) Reta - reta.
3e) Reta - plano.
3f) Plano - plano.
A B A B = A ( ou B )
A
B
A B = O
Jeca 02
Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
(São João da Boa Vista - SP)
Geometria de Posição
Aula 01
Conceitos fundamentais 
da Geometria de Posição.
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geometria espacial
5
 4b) Ponto - reta.
 As posições relativas que um ponto e uma reta 
podem assumir são :
 I - O ponto está contido na reta.
 II - O ponto está fora da reta.
 4c) Ponto - plano.
 As posições relativas que um ponto e um plano 
podem assumir são :
 I - O ponto está contido no plano.
 II - O ponto está fora do plano.
 4d) Reta - reta.
1) Retas coplanares.
 Duas retas são ditas coplanares se existe um 
plano que as contém.
 As posições relativas que duas retas coplanares 
podem assumir são :
 I - Duas retas paralelas coincidentes.
 II - Duas retas paralelas distintas.
 III - Duas retas concorrentes.
a
r
s
P
r s
a
r s = r (ou s)
r s = P
r s = a
r
s
O
s’
P
P’
r s = a
r
s
O
r a = ra
r
r’
r a = 
a
r
O
r
P
r a = P
a
 P é chamado de
“traço de r em a”.
III - A reta é secante ou concorrente com o plano.
Retas perpendiculares.
(caso particular de retas concorrentes)
 Duas retas concorrentes são ditas 
perpendiculares se fazem entre si ângulos de 90º. (no 
plano) 
2) Retas reversas (ou não coplanares)
 Duas retas são ditas reversas ou não coplanares 
se não existe um plano que as contém.
Retas ortogonais.
(caso particular de retas reversas)
 Duas retas reversas são ditas ortogonais se fazem 
entre si ângulos de 90º. (no espaço)
 4e) Reta - plano.
 As posições relativas que uma reta e um plano 
podem assumir são :
 I - A reta está contida no plano.
 II - A reta é paralela ao plano.
P r P r = P
O
P
r
P r = 
a
P
P a = P
a
P
OP’ P a = 
Jeca 03
(GeoJeca)
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geometria espacial
6
Projeções ortogonais (”Sombra”)
P
A
B
C
r
s
t
A - Projeção ortogonal de P em r.
B - Projeção ortogonal de P em s.
C - Projeção ortogonal de P em t.
A B
A’ B’
C
D
C’ D’
E
F
E’ = F’
r
Projeções ortogonais em r.
Ângulo.
Distância entre duas retas reversas.
 A distância entre duas retas reversas é a medida do 
segmento que tem extremidades nas duas retas e que 
é simultaneamente perpendicular a essas retas.
r
s
d
Distância.
Ângulo entre reta e plano.
 É o ângulo formado entre a reta e a projeção ortogo-
nal da reta sobre o plano.
q
P
P’
Ângulo entre dois planos.
 É o ângulo formado por duas retas, uma de cada pla-
no, perpendiculares à intersecção dos dois planos num 
mesmo ponto.
q
Intersecção
Determina Existe e é único
Onde se lê Entende-se
Existe um
Um único
Coincidentes
Distintos Têm pelo menos um ponto diferente.
Têm todos os pontos em comum.
Um e somente um.
Existe pelo menos um.
Concorrentes Se cruzam.
Colineares Existe uma reta que os contém.
Coplanares Existe um plano que os contém.
Reversos Não existe um plano que os contém.Reta perpendicular ao plano.
(caso particular de reta secante ao plano)
Teorema.
 Uma reta é perpendicular a um plano se é perpen-
dicular ou ortogonal a duas retas concorrentes do 
plano.
 4f) Plano - plano.
 As posições relativas que dois planos podem 
assumir são :
 I - Dois planos paralelos coincidentes.
 II - Dois planos paralelos distintos.
 III - Dois planos secantes (ou concorrentes)
Planos perpendiculares.
(caso particular de planos secantes ou concorrentes)
Teorema.
 Dois planos são perpendiculares entre si se um 
deles contém uma reta perpendicular ao outro.
t
a s
r
b
a b = a (ou b)
a
a b = b
a
O
a b = ra
b r
t
a
b
Jeca 04
(GeoJeca)
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geometria espacial
7
Um ponto contido num plano divide esse pla-
no em dois semiplanos.
Uma reta secante a um plano divide essa pla-
no em dois semiplanos.
Se duas retas são paralelas, então elas não 
têm ponto em comum.
Duas retas paralelas a uma terceira são para-
lelas entre si.
Duas retas ortogonais formam ângulo reto.
Se duas retas distintas não são paralelas, en-
tão são concorrentes.
Se três retas são paralelas, então existe um 
plano que as contém.
Uma reta e um plano secantes têm um ponto 
comum.
Três pontos não colineares são sempre distin-
tos.
Uma reta e um plano paralelo não têm ponto 
comum.
Uma reta está contida num plano quando eles 
coincidem.
Se uma reta é paralela a um plano, então ela é 
paralela a uma reta do plano.
Se uma reta é paralela a um plano, então ela é
paralela a todas as retas do plano.
Se uma reta é paralela a um plano, então ela é
reversa a uma reta do plano.
Se uma reta é paralela a um plano, então ela é
ortogonal a uma única reta do plano.
Se uma reta é secante a um plano, então essa 
reta é concorrente com infinitas retas desse 
plano.
Se uma reta é paralela a um plano, então 
existe no plano uma reta concorrente com ela.
Se duas retas são reversas, então qualquer 
reta que concorre com uma delas concorre 
com a outra.
Se duas retas distintas são paralelas, então 
todo plano que contém uma é paralelo ou 
contém a outra.
Se duas retas são reversas, então qualquer 
plano que contém uma intercepta a outra.
Se duas retas distintas são paralelas a um 
plano, então são paralelas entre si.
Dado uma reta e um plano quaisquer, existe 
no plano uma reta paralela à reta dada.
Dadas duas retas distintas quaisquer, existe 
um plano que contém uma e é paralelo à 
outra.
Dois planos secantes têm como interseção 
uma reta.
Se dois planos distintos têm um ponto comum 
então eles são secantes.
Dois planos que têm uma reta comum são se-
cantes.
Dois planos que têm uma única reta comum 
são secantes.
Dadas duas retas reversas, existe um plano 
que as contém.
Dois planos distintos são secantes.
Se dois planos distintos são paralelos entre si, 
então uma reta de um deles e uma reta do 
outro são paralelas entre si ou reversas.
Se dois planos são paralelos a uma reta, en-
tão são paralelos entre si.
 Responder V se verdadeira ou F se 
falsa nas afirmações abaixo.
O ponto não tem dimensão.
Uma reta contém infinitos pontos.
Um plano contém infinitos pontos.
Por um ponto sempre passa uma reta.
Dados dois pontos distintos, existe e é único 
o plano que os contém.
Três pontos distintos determinam um plano.
 
Três pontos colineares são coplanares.
Todo plano contém infinitas retas.
Um ponto separa uma reta em duas semirre-
tas.
Um ponto pertencente a uma reta, separa es-
sa reta em duas semirretas.
Uma reta divide um plano em dois semiplanos.
Uma reta pertencente a um plano, divide esse 
plano em dois semiplanos.
Qualquer plano divide o espaço em dois semi-
espaços.
Dois semiplanos são sempre coplanares.
Dois semiplanos opostos são sempre copla-
nares.
Se dois pontos pertencem a semiplanos opos-
tos, então o segmento que os une intercepta a 
origem dos dois semiplanos.
Existem infinitos semiplanos de mesma ori-
gem.
Três pontos distintos não são colineares.
Duas retas que têm um ponto comum são con-
correntes.
Duas retas que têm um único ponto comum 
são concorrentes.
Duas retas distintas que têm um ponto comum 
são concorrentes.
Uma reta e um ponto determinam um plano.
Uma reta e um ponto fora dela determinam um 
plano.
Duas retas distintas determinam um plano.
Duas retas paralelas determinam um plano.
Três retas, duas a duas paralelas distintas, de-
terminam três planos.
Três retas, duas a duas paralelas distintas, de-
terminam um único ou três planos.
Três retas, duas a duas concorrentes em pon-
tos distintos, são coplanares.
O espaço contém infinitos pontos, infinitas re-
tas e infinitos planos.
Quatro pontos coplanares, distintos e não co-
lineares, são vértices de um quadrilátero.
Quatro pontos coplanares, distintos e não co-
lineares três a três, são vértices de um quadri-
látero.
Quatro pontos distintos e não coplanares, três 
a três determinam quatro planos distintos.
Duas retas paralelas distintas e um ponto fora 
delas, determinam um único ou três planos.
Duas retas concorrentes e um ponto fora delas 
determinam três planos.
 
Três pontos distintos e não colineares deter-
minam um plano.
Por uma reta passam infinitos planos.
Se duas retas não têm ponto em comum, en-
tão elas são reversas.
Jeca 05
(GeoJeca)
01) ( )
02) ( )
03) ( )
04) ( )
05) ( )
06) ( )
07) ( )
08) ( )
09) ( )
10) ( )
11) ( )
12) ( )
13) ( )
14) ( )
15) ( )
16) ( )
17) ( )
18) ( )
19) ( )
20) ( )
21) ( )
22) ( )
23) ( )
24) ( )
25) ( )
26) ( )
27) ( )
28) ( )
29) ( )
30) ( )
31) ( )
32) ( )
33) ( )
34) ( )
35) ( )
36) ( )
37) ( )
38) ( )
39) ( )
40) ( )
41) ( )
42) ( )
43) ( )
44) ( )
45) ( )
46) ( )
47) ( )
48) ( )
49) ( )
50) ( )
51) ( )
52) ( )
53) ( )
54) ( )
55) ( )
56) ( )
57) ( )
58) ( )
59) ( )
60) ( )
61) ( )
62) ( )
63) ( )
64) ( )
65) ( )
66) ( )
67) ( )
68) ( )
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geometria espacial
8
Se uma reta é paralela a dois planos se-
cantes, então ela é paralela à interseção des-
ses planos.
Se dois planos distintos são paralelos, en-
tão toda reta paralela a um deles é paralela 
ao outro.
Se dois planos distintos são paralelos a um 
terceiro, então são paralelos entre si.
Se uma reta é perpendicular a um plano, en-
tão ela é perpendicular a uma reta do plano.
Se uma reta é perpendicular a um plano, en-
tão ela é perpendicular a todas as retas desse 
plano.
Se uma reta é perpendicular a um plano, en-
tão ela é perpendicular a infinitas retas desse 
plano.
Se uma reta é perpendicular a um plano, en-
tão ela é perpendicular ou ortogonal a todas 
as retas do plano.
Uma reta é perpendicular a um plano se é 
perpendicular a duas retas desse plano.
Uma reta é perpendicular a um plano se é 
perpendicular a duas retas concorrentes des-
se plano.
Se uma reta e um plano são paralelos, então 
toda reta perpendicular à reta dada é perpen-
dicular ao plano.
Por um ponto dado pode-se conduzir uma 
única reta perpendicular a um plano dado.
Dois planos perpendiculares a um terceiro, 
podem ser perpendiculares entre si.
Se dois planos são perpendiculares a uma 
mesma reta, então são paralelos entre si.
Se uma reta é ortogonala duas retas para-
lelas distintas, então ela é paralela ao plano 
que as contém.
Se uma reta é perpendicular a um plano, en-
tão toda reta perpendicular a ela é paralela ao 
plano.
Se uma reta é paralela a uma reta do plano, 
então ela é paralela ao plano.
Dadas duas retas reversas, existe um plano 
que contém uma e é perpendicular à outra.
As intersecções de dois planos paralelos com 
um terceiro plano, são retas paralelas.
Se um plano contém duas retas concorrentes 
e ambas paralelas a um outro plano, então 
esses planos são paralelos entre si.
A projeção ortogonal de um ponto sobre um 
plano é um ponto.
A projeção ortogonal de uma reta sobre um 
plano é uma reta.
A projeção ortogonal de uma reta sobre um 
plano é um ponto ou uma reta.
 A projeção ortogonal de um quadrilátero pla-
no sobre um plano é um quadrilátero.
A projeção ortogonal de um plano sobre outro 
plano é um plano ou uma reta.
Jeca 06
69) ( )
70) ( )
71) ( )
72) ( )
73) ( )
74) ( )
75) ( )
76) ( )
77) ( )
78) ( )
79) ( )
80) ( )
81) ( )
82) ( )
83) ( )
84) ( )
85) ( )
86) ( )
87) ( )
88) ( )
89) ( )
90) ( )
91) ( )
92) ( )
21 - F
22 - V
23 - V
24 - F
25 - V
26 - F
27 - F
28 - F
29 - V
30 - V
31 - V
32 - F
33 - V
34 - V
35 - V
36 - F
37 - F
38 - F
39 - F
40 - F
01 - V
02 - V
03 - V
04 - V
05 - F
06 - F
07 - V
08 - V
09 - V
10 - V
11 - F
12 - V
13 - F
14 - V
15 - V
16 - F
17 - V
18 - V
19 - V
20 - F
41 - V
42 - V
43 - F
44 - F
45 - V
46 - V
47 - V
48 - F
49 - V
50 - F
51 - V
52 - F
53 - V
54 - F
55 - F
56 - V
57 - F
58 - F
59 - F
60 - F
61 - V
62 - V
63 - F
64 - V
65 - F
66 - F
67 - V
68 - F
69 - V
70 - F
71 - V
72 - V
73 - F
74 - V
75 - V
76 - F
77 - V
78 - F
79 - V
80 - V
81 - V
82 - F
83 - F
84 - F
85 - F
86 - V
87 - V
88 - V
89 - F
90 - V
91 - F
92 - V
GABARITO
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geometria espacial
9
Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
(São João da Boa Vista - SP)
Geometria de Posição
Aula 01
Exercícios complementares.
(Geometria de Posição)
Jeca 07
01) (FUVEST) Uma formiga resolveu andar de um 
vértice a outro do prisma reto de bases triangulares 
ABC e DEG, seguindo um trajeto especial. Ela partiu 
do vértice G, percorreu toda a aresta perpendicular à 
base ABC, para em seguida caminhar toda a diagonal 
da face ADGC e, finalmente completou seu passeio 
percorrendo a aresta reversa a CG. A formiga chegou 
ao vértice :
a) A
b) B
c) C
d) D
e) E
A
B
C
D
E
G
03) (Unifesp-SP) Dois segmentos dizem-se 
reversos quando não são coplanares. Nesse caso, o 
número de pares de arestas reversas num tetraedro, 
como o da figura, é:
a) 6
b) 3
c) 2
d) 1
e) 0
A
B
C
D
cumeeira
t
s
v
r
u
3 m
4 m
4 m
02) (FAAP-SP) O galpão da figura a seguir está no 
prumo e a cumeeira está "bem no meio" da parede.
 Das retas assinaladas, podemos afirmar que:
a) t e u são reversas.
b) s e u são reversas.
c) t e u são concorrentes.
d) s e r são concorrentes.
e) t e u são perpendiculares.
04) (Vunesp-SP) Na figura a seguir o segmento AB 
é perpendicular ao plano a, CD e BC estão 
contidos nesse plano e CD é perpendicular a BC. 
Se AB = 2 cm, BC = 4 cm e CD = 3 cm, ache a dis-
tância de A a D.
A
B
C
Da
05) (Unimontes-MG) "Chama-se projeção ortogonal 
de uma figura sobre um plano o conjunto de todas as 
projeções ortogonais dos pontos da figura sobre esse 
plano."
 Na figura abaixo, determine a medida da projeção 
ortogonal do segmento AB sobre o plano a.
06) (Fatec-SP) Na figura exposta tem-se: o plano a 
definido pelas retas c e d, perpendiculares entre si; 
a reta b, perpendicular a a em A, com A c, o 
ponto B, intersecção de c e d. Se X é um ponto 
de b, X a, então a reta s, definida por X e B:
C
C
a) é paralela à reta c.
b) é paralela à reta b
c) está contida no plano a.
d) é perpendicular à reta d.
e) é perpendicular à reta b.
a
b
A
d
c
B
a e p são planos secantes
A p e B t
AB t e BC t
AB = 10 cm
C
T T
C
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
60º
p
a
t
A
B
C
(GeoJeca)
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geometria espacial
10
Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
(São João da Boa Vista - SP)
Geometria de Posição
Aula 01
Exercícios complementares.
(Geometria de Posição)
Jeca 07
01) (FUVEST) Uma formiga resolveu andar de um 
vértice a outro do prisma reto de bases triangulares 
ABC e DEG, seguindo um trajeto especial. Ela partiu 
do vértice G, percorreu toda a aresta perpendicular à 
base ABC, para em seguida caminhar toda a diagonal 
da face ADGC e, finalmente completou seu passeio 
percorrendo a aresta reversa a CG. A formiga chegou 
ao vértice :
a) A
b) B
c) C
d) D
e) E
A
B
C
D
E
G
03) (Unifesp-SP) Dois segmentos dizem-se 
reversos quando não são coplanares. Nesse caso, o 
número de pares de arestas reversas num tetraedro, 
como o da figura, é:
a) 6
b) 3
c) 2
d) 1
e) 0
A
B
C
D
cumeeira
t
s
v
r
u
3 m
4 m
4 m
02) (FAAP-SP) O galpão da figura a seguir está no 
prumo e a cumeeira está "bem no meio" da parede.
 Das retas assinaladas, podemos afirmar que:
a) t e u são reversas.
b) s e u são reversas.
c) t e u são concorrentes.
d) s e r são concorrentes.
e) t e u são perpendiculares.
04) (Vunesp-SP) Na figura a seguir o segmento AB 
é perpendicular ao plano a, CD e BC estão 
contidos nesse plano e CD é perpendicular a BC. 
Se AB = 2 cm, BC = 4 cm e CD = 3 cm, ache a dis-
tância de A a D.
A
B
C
Da
05) (Unimontes-MG) "Chama-se projeção ortogonal 
de uma figura sobre um plano o conjunto de todas as 
projeções ortogonais dos pontos da figura sobre esse 
plano."
 Na figura abaixo, determine a medida da projeção 
ortogonal do segmento AB sobre o plano a.
06) (Fatec-SP) Na figura exposta tem-se: o plano a 
definido pelas retas c e d, perpendiculares entre si; 
a reta b, perpendicular a a em A, com A c, o 
ponto B, intersecção de c e d. Se X é um ponto 
de b, X a, então a reta s, definida por X e B:
C
a) é paralela à reta c.
b) é paralela à reta b
c) está contida no plano a.
d) é perpendicular à reta d.
e) é perpendicular à reta b.
a
b
A
d
c
B
a e p são planos secantes
A p e B t
AB t e BC t
AB = 10 cm
C
T T
C
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
60º
p
a
t
A
B
C
(GeoJeca)
saída
chegadaResp e)
t e u são retas reversas pois não são paralelas en-
tre si e pertencem a planos paralelos distintos. a)
AC é reversa a BD.
AB é reversa a CD.
AD é reversa a BC.
Três pares de retas reversas. (resp. b)
D
C B
4
3
D B
A
2
d
x
x
2 2 2
x = 3 + 4
x = 5 cm
2 2 2
d = 2 + 5
d = 29 cm
B
A
60º
10
X
cos 60º = x / 10
x = 10 cos 60º
x = 10 . 1 / 2
x = 5 cmX
 A reta d é perpendicular à 
reta XB porque a reta d é per-
pendicular ao plano ABX.
(resp. d)
(GeoJeca)
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geometria espacial
11
Jeca 08
x
y
z
s
t
r
07) (FAAP-SP) A figura abaixo mostra uma porta en-
treaberta e o canto de uma sala:
 As retas r e s; s e t; x e r têm, respectivamente, 
as posições relativas:
a) paralelas, paralelas e perpendiculares.
b) paralelas, perpendiculares e reversas.
c) paralelas, perpendiculares e perpendiculares.
d) reversas, paralelas e perpendiculares.
e) perpendiculares, reversas e paralelas.
09) (Vunesp-SP) Sobre a perpendicularidade não 
se pode afirmar:
a) Se uma reta é perpendicular a duas retas concor-
rentes de um plano, então é perpendicular a esse 
plano.
b) Existem 4 retas passando por um ponto, tais que 
sejam perpendiculares duas a duas.
c) Se uma reta é perpendicular a um plano, existem 
infinitas retas desse plano perpendiculares a ela.
d) Retas distintas perpendiculares ao mesmo plano 
são paralelas.
e) Dados uma reta e um ponto distintos, podemos 
passar um e apenas um plano perpendicular à reta e 
passando pelo ponto.
10) (Fatec-SP) O ponto A pertence à reta r, contida 
no plano a. A reta s, perpendicular a a, o intercep-
ta no ponto B. O ponto C pertence a s e dista 2 5 
cm de B. Se a projeção ortogonal de AB em r 
mede 5 cm e o ponto B dista 6 cm de r, então a 
distância de A a C, em centímetros, é igual a:
a) 9 5
b) 9
c) 7
d) 4
e) 3 5 
11) (Fuvest-SP) O segmento AB é um diâmetro de 
uma circunferência e C, um ponto dela, distinto de A 
e de B. A reta VA, V = A, é perpendicular ao plano 
da circunferência. O número de faces do tetraedro 
VABC que são triângulos retângulos é:
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
12) (Fuvest-SP) São dados 5 pontos não-coplana-
res A, B, C, D, E. Sabe-se que ABCD é um retân-
gulo, AE perpendicular a AB e AE perpendicular a 
AD. Pode-se concluir que são perpendiculares as 
retas:
a) EA e EB
b) EC e CA
c) EB e BA
d) EA e AC
e) AC e BE
08) (Fuvest-SP) São dados um plano a, uma reta r 
contida em a e uma reta s perpendicular a r, mas 
não a a. Demonstre que a projeção ortogonal de s 
sobre a é perpendicular a r.
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca) (GeoJeca)
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geometria espacial
12
Jeca 08
x
y
z
s
t
r
07) (FAAP-SP) A figura abaixo mostra uma porta en-
treaberta e o canto de uma sala:
 As retas r e s; s e t; x e r têm, respectivamente, 
as posições relativas:
a) paralelas, paralelas e perpendiculares.
b) paralelas, perpendiculares e reversas.
c) paralelas, perpendiculares e perpendiculares.
d) reversas, paralelas e perpendiculares.
e) perpendiculares, reversas e paralelas.
09) (Vunesp-SP) Sobre a perpendicularidade não 
se pode afirmar:
a) Se uma reta é perpendicular a duas retas concor-
rentes de um plano, então é perpendicular a esse 
plano.
b) Existem 4 retas passando por um ponto, tais que 
sejam perpendiculares duas a duas.
c) Se uma reta é perpendicular a um plano, existem 
infinitas retas desse plano perpendiculares a ela.
d) Retas distintas perpendiculares ao mesmo plano 
são paralelas.
e) Dados uma reta e um ponto distintos, podemos 
passar um e apenas um plano perpendicular à reta e 
passando pelo ponto.
10) (Fatec-SP) O ponto A pertence à reta r, contida 
no plano a. A reta s, perpendicular a a, o intercep-
ta no ponto B. O ponto C pertence a s e dista 2 5 
cm de B. Se a projeção ortogonal de AB em r 
mede 5 cm e o ponto B dista 6 cm de r, então a 
distância de A a C, em centímetros, é igual a:
a) 9 5
b) 9
c) 7
d) 4
e) 3 5 
11) (Fuvest-SP) O segmento AB é um diâmetro de 
uma circunferência e C, um ponto dela, distinto de A 
e de B. A reta VA, V = A, é perpendicular ao plano 
da circunferência. O número de faces do tetraedro 
VABC que são triângulos retângulos é:
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
12) (Fuvest-SP) São dados 5 pontos não-coplana-
res A, B, C, D, E. Sabe-se que ABCD é um retân-
gulo, AE perpendicular a AB e AE perpendicular a 
AD. Pode-se concluir que são perpendiculares as 
retas:
a) EA e EB
b) EC e CA
c) EB e BA
d) EA e AC
e) AC e BE
08) (Fuvest-SP) São dados um plano a, uma reta r 
contida em a e uma reta s perpendicular a r, mas 
não a a. Demonstre que a projeção ortogonal de s 
sobre a é perpendicular a r.
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca) (GeoJeca)
r e s são paraleas
s e t são perpendiculares
x e r são reversas
(resp. b)
a
r
s
A
A'
B
r é perpendicular a s (do enunciado).
AA' é perpendicular a a porque é a projeção ortogonal.
A reta r é perpendicular ou ortogonal a duas retas con-
correntes do plano AA'B. Portanto a reta r é perpendi-
cular ao plano AA'B. Se a reta A'B está contida no plano
AA'B, então a reta r é perpendicular à reta A'B. (CQD)
a) V
b) F
c) V
d) V
e) V
r
s
t
 É possível passar 3 retas per-
pendiculares entre si num mesmo 
ponto.
cubo
r
s
B
C
A
Da
d
x
BC = 2 5 cm
AD = 5 cm (proj. ortogonal)
BD = 6 cm
2 2 2
x = 5 + 6
2
x = 61
x = 61 cm
2 2 2
d = (2 5 ) + x
2
d = 20 + 61 = 81
d = 9 cm (resp. b)
V
A
B
C
VAC e VAB são retos pois VA é perpendicular ao plano ABC.
ACB é reto porque ACB é um triângulo inscrito numa semicircun-
ferência.
VCB é reto porque BC é perpendicular ao plano ACV.
(BC é perpendicular a AC e BC é ortogonal a AV)
Teorema - Uma reta é perpendicular a um plano se é perpendi-
cular ou ortoggonal a duas retas concorrentes desse plano.
A
BC
D
E
 São perpendiculares as retas EA e AC. (resp. d)
 A reta EA é perpendicular ao plano ABCD porque é perpendi-
cular às retas AD e AB, que pertencem a ABCD. Portanto a reta 
EA é perpendicular a qualquer reta de ABCD que passe por A.
resp. e)
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geometria espacial
13
Jeca 09
13) (Fuvest-SP) São dados um plano p, um ponto P 
do mesmo e uma reta r oblíqua a p que o fura num 
ponto distinto de P. Mostre que existe uma única reta 
por P, contida em p, e ortogonal a r.
17) (Mackenzie-SP) Assinale a única proposição 
verdadeira.
a) Uma reta é perpendicular a um plano, quando ela 
é perpendicular a todas as retas do plano.
b) Dois planos distintos perpendiculares a um tercei-
ro são paralelos entre si.
c) A projeção ortogonal de uma reta num plano é 
sempre uma reta.
d) Um plano paralelo a duas retas de um plano é 
paralelo ao plano.
e) Duas retas perpendiculares, respectivamente, a 
três planos paralelos, são paralelas.
18) (FEI-SP) Assinale a proposição falsa.
a) Por uma reta perpendicular a um plano a passa 
pelo menos um plano perpendicular a a.
b) A projeção ortogonal sobre um plano a de um 
segmento oblíquo a a é menor do que o segmento.
c) Uma reta ortogonal a duas retas concorrentes de 
um plano a é perpendicular ao plano a.
d) Um plano perpendicular à dois planos concorren-
tes é perpendicular à intersecção deles.
e) No espaço, duas retas perpendiculares a uma ter-
ceira reta são paralelas.
14) (ITA-SP) Qual dasafirmações abaixo é verda-
deira ?
a) Três pontos, distintos dois a dois, determinam um 
plano.
b) Um ponto e uma reta determinam um plano.
c) Se dois planos distintos têm um ponto em comum, 
tal ponto é único.
d) Se uma reta é paralela a um plano e não está con-
tida neste plano, então ela é paralela a qualquer reta 
desse plano.
e) Se a é o plano determinado por duas retas con-
correntes r e s, então toda reta m desse plano, 
que é paralela à r, não será paralela à reta s.
15) (Uminontes-MG) Sejam r, s e t três retas no 
espaço. Analise as seguintes afirmações:
( ) Se r e s são paralelas, então existe um plano 
que as contém.
( ) Se a intersecção de r e s é o conjunto vazio, 
então r é paralela a s.
( ) Se r, s e t são duas a duas paralelas, então 
existe um plano que as contém.
( ) Se r s = O e r não é paralela a s, então r e 
s são reversas.
 Considerando V para sentença verdadeira e F 
para sentença falsa, a sequência correta que classi-
fica essas afirmações é:
a) V, V, V, V.
b) F, V, V, F.
c) V, F, F, V.
d) V, V, F, F.
U
16) (PUC-SP) Qual das afirmações abaixo é verda-
deira ?
a) Se duas retas distintas não são paralelas, então 
elas são concorrentes.
b) Duas retas não coplanares são reversas.
c) Se a intersecção de duas retas é o conjunto vazio, 
então elas são paralelas.
d) Se três retas são paralelas, existe um plano que 
as contém.
e) Se três retas distintas são duas a duas concorren-
tes, então elas determinam um e um só plano.
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
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geometria espacial
14
Jeca 09
13) (Fuvest-SP) São dados um plano p, um ponto P 
do mesmo e uma reta r oblíqua a p que o fura num 
ponto distinto de P. Mostre que existe uma única reta 
por P, contida em p, e ortogonal a r.
17) (Mackenzie-SP) Assinale a única proposição 
verdadeira.
a) Uma reta é perpendicular a um plano, quando ela 
é perpendicular a todas as retas do plano.
b) Dois planos distintos perpendiculares a um tercei-
ro são paralelos entre si.
c) A projeção ortogonal de uma reta num plano é 
sempre uma reta.
d) Um plano paralelo a duas retas de um plano é 
paralelo ao plano.
e) Duas retas perpendiculares, respectivamente, a 
três planos paralelos, são paralelas.
18) (FEI-SP) Assinale a proposição falsa.
a) Por uma reta perpendicular a um plano a passa 
pelo menos um plano perpendicular a a.
b) A projeção ortogonal sobre um plano a de um 
segmento oblíquo a a é menor do que o segmento.
c) Uma reta ortogonal a duas retas concorrentes de 
um plano a é perpendicular ao plano a.
d) Um plano perpendicular à dois planos concorren-
tes é perpendicular à intersecção deles.
e) No espaço, duas retas perpendiculares a uma ter-
ceira reta são paralelas.
14) (ITA-SP) Qual das afirmações abaixo é verda-
deira ?
a) Três pontos, distintos dois a dois, determinam um 
plano.
b) Um ponto e uma reta determinam um plano.
c) Se dois planos distintos têm um ponto em comum, 
tal ponto é único.
d) Se uma reta é paralela a um plano e não está con-
tida neste plano, então ela é paralela a qualquer reta 
desse plano.
e) Se a é o plano determinado por duas retas con-
correntes r e s, então toda reta m desse plano, 
que é paralela à r, não será paralela à reta s.
15) (Uminontes-MG) Sejam r, s e t três retas no 
espaço. Analise as seguintes afirmações:
( ) Se r e s são paralelas, então existe um plano 
que as contém.
( ) Se a intersecção de r e s é o conjunto vazio, 
então r é paralela a s.
( ) Se r, s e t são duas a duas paralelas, então 
existe um plano que as contém.
( ) Se r s = O e r não é paralela a s, então r e 
s são reversas.
 Considerando V para sentença verdadeira e F 
para sentença falsa, a sequência correta que classi-
fica essas afirmações é:
a) V, V, V, V.
b) F, V, V, F.
c) V, F, F, V.
d) V, V, F, F.
U
16) (PUC-SP) Qual das afirmações abaixo é verda-
deira ?
a) Se duas retas distintas não são paralelas, então 
elas são concorrentes.
b) Duas retas não coplanares são reversas.
c) Se a intersecção de duas retas é o conjunto vazio, 
então elas são paralelas.
d) Se três retas são paralelas, existe um plano que 
as contém.
e) Se três retas distintas são duas a duas concorren-
tes, então elas determinam um e um só plano.
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
 Demonstração
r
A
B
A' B'C
Pp
Sejam A e B dois pontos da reta r e A' e B' suas pro-
jeções ortogonais sobre o plano p.
A reta de p ortogonal a r é a única reta de p que passa 
por P e é perpendicular à reta A'B'. Portanto é única.
(CQD) 
a) F
b) F
c) F
d) F
e) V
r
s
m
m // r
a
V
F
F
V
resp. c)
Resp. b)
 Reversa é sinônimo de não coplanar.
 Duas retas são reversas se não existe um plano que as contém.
a) F
b) F
c) F
d) F
e) V
a) V
b) V
c) V
d) V
e) F
r
s
t
cubo
A reta r é perpendicular à reta s.
A reta r é perpendicular à reta t.
As retas s e t não são paralelas entre si.
resp. e)
resp. e)
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geometria espacial
15
A B
CD
E F
GH
19) A figura ao lado representa um cubo de vértices A, B, C, D, 
E, F, G e H. Com base nessa figura e utilizando os vértices como 
pontos, as arestas como retas suportes das retas (entende-se: 
AC é uma reta mas não contém nenhuma aresta) e as faces 
como planos, responda as solicitações abaixo. 
Observação - Na correção, as respostas das solicitações serão 
consideradas certas ou erradas (não existe meio certa), levando-
se em consideração o rigor matemático dos termos próprios da 
Geometria de Posição.
a) Cite uma reta que seja paralela distinta com a reta 
AB.
Resp.
b) Cite uma reta que seja perpendicular à reta DH.
Resp.
c) Cite uma reta que seja ortogonal com a reta EH.
Resp.
d) Cite uma reta que seja concorrente com a reta 
AD.
Resp.
e) Cite um plano que seja paralelo distinto com o 
plano EAB.
Resp.
f) Cite um plano que seja perpendicular ao plano 
EHG.
Resp.
g) Cite um plano que seja secante ou concorrente 
com o plano ADC.
Resp.
h) O que é e qual é a intersecção entre as retas HG 
e EH ?
Resp.
i) O que é e qual é a intersecção entre a reta DH e o 
plano ABF ?
Resp.
j) O que é e qual é a intersecção entre o plano AEF 
e o plano FGH ? 
Resp.
k) Determine todas as arestas do cubo que são 
perpendiculares à reta BC.
Resp.
l) Determine todas as arestas do cubo que são or-
togonais à reta EF.
Resp. 
m) Determine todas as arestas do cubo que são 
concorrentes com a reta DH.
Resp.
n) Determine todas as arestas do cubo que são pa-
ralelas ao plano BCG.
Resp.
o) Determine todas as arestas do cubo que são pa-
ralelas ao plano BDH.
Resp.
p) Determine todas as faces do cubo que são para-
lelas à aresta CG.
Resp.
q) Determine todas as faces do cubo que são per-
pendiculares à face AEF.
Resp.
r) Determine todos os vértices do cubo que não es-
tão contidos no plano FGH.
Resp.
s) Determine todas as arestas do cubo que são pa-
ralelas distintas à aresta AB.
Resp.
t) Determine todos os vértices do cubo que não es-
tão contidos no plano EGD.
Resp.
Jeca 10
(GeoJeca)
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geometria espacial16
A B
CD
E F
GH
19) A figura ao lado representa um cubo de vértices A, B, C, D, 
E, F, G e H. Com base nessa figura e utilizando os vértices como 
pontos, as arestas como retas suportes das retas (entende-se: 
AC é uma reta mas não contém nenhuma aresta) e as faces 
como planos, responda as solicitações abaixo. 
Observação - Na correção, as respostas das solicitações serão 
consideradas certas ou erradas (não existe meio certa), levando-
se em consideração o rigor matemático dos termos próprios da 
Geometria de Posição.
a) Cite uma reta que seja paralela distinta com a reta 
AB.
Resp.
b) Cite uma reta que seja perpendicular à reta DH.
Resp.
c) Cite uma reta que seja ortogonal com a reta EH.
Resp.
d) Cite uma reta que seja concorrente com a reta 
AD.
Resp.
e) Cite um plano que seja paralelo distinto com o 
plano EAB.
Resp.
f) Cite um plano que seja perpendicular ao plano 
EHG.
Resp.
g) Cite um plano que seja secante ou concorrente 
com o plano ADC.
Resp.
h) O que é e qual é a intersecção entre as retas HG 
e EH ?
Resp.
i) O que é e qual é a intersecção entre a reta DH e o 
plano ABF ?
Resp.
j) O que é e qual é a intersecção entre o plano AEF 
e o plano FGH ? 
Resp.
k) Determine todas as arestas do cubo que são 
perpendiculares à reta BC.
Resp.
l) Determine todas as arestas do cubo que são or-
togonais à reta EF.
Resp. 
m) Determine todas as arestas do cubo que são 
concorrentes com a reta DH.
Resp.
n) Determine todas as arestas do cubo que são pa-
ralelas ao plano BCG.
Resp.
o) Determine todas as arestas do cubo que são pa-
ralelas ao plano BDH.
Resp.
p) Determine todas as faces do cubo que são para-
lelas à aresta CG.
Resp.
q) Determine todas as faces do cubo que são per-
pendiculares à face AEF.
Resp.
r) Determine todos os vértices do cubo que não es-
tão contidos no plano FGH.
Resp.
s) Determine todas as arestas do cubo que são pa-
ralelas distintas à aresta AB.
Resp.
t) Determine todos os vértices do cubo que não es-
tão contidos no plano EGD.
Resp.
Jeca 10
(GeoJeca)
 Podem ser citadas as retas
CD , GH ou EF
 Podem ser citadas as retas
AD , CD , EH ou GH
 Podem ser citadas as retas
AB , BF , CD ou CG
 Podem ser citadas as retas
AB , AE , DC ou DH
CDHG
 Podem ser citados os planos
ABFE , BCGF , CDHG ou DAEH
 Podem ser citados os planos
ABFE , BCGF , CDHG ou DAEH
 A intersecção entre as retas HG e 
EH é um ponto. O ponto H.
 A reta DH é paralela ao plano ABF. 
Não existe intersecção entre DH e 
ABF.
AB , BF , DC e GC.
 É uma reta. A intersecção entre o 
plano AEF e o plano FGH é a reta 
EF.
AD , DH , BC e CG
AD , CD , EH e GH
AD , DH , HE e AE
AE e CG
ABFE e ADHE
ABCD , BCGF , FGHE e ADHE
A , B , C e D
CD , GH e EF
A , B , C , F e H
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geometria espacial
17
A
B
CD
E
F
G
H
R
S
T
U
20) A figura ao lado é um paralelepípedo retorretan-
gular de dimensões AE = 6 cm, AD = 8 cm e AB = 10 
cm. Os pontos R, S, T e U são os centros das 
faces ADHE, CDHG, BCGF e EFGH, respecti-
vamente. Sendo A, B, C, D, E, F, G e H os vértices 
desse paralelepípedo, determinar o que se pede em 
cada questão a seguir :
a) Quais arestas do paralelepípedo são paralelas dis-
tintas à aresta AD ?
Resp. 
b) Qual a posição relativa entre as retas HG e BF ?
Resp . 
c) O que é e qual é a intersecção entre os planos 
ADB e EFH ? 
Resp . 
d) Qual a distância entre o ponto T e o plano CGH ?
Resp . 
e) Quais arestas do paralepepípedo são perpendicu-
lares à aresta EF ?
Resp . 
f) Quais arestas do paralelepípedo são ortogonais à 
aresta DC ?
Resp . 
g) Quais faces do paralelepípedo são perpendicula-
res ao plano AEH ?
Resp . 
h) Qual a distância entre o ponto F e o plano ABC ?
Resp . 
i) O que é e qual é a intersecção entre os planos 
CGH e BFH ?
Resp . 
j) Qual a posição relativa entre as retas AC e HF ?
Resp . 
l) Qual a distância entre os pontos S e R ?
Resp . 
m) Quais arestas do paralelepípedo são paralelas ao 
plano BCG ?
Resp
n) Quais faces do paralelepípedo são paralelas ao 
plano CDH ?
Resp . 
o) Qual a tangente do ângulo formado entre os 
planos ABF e BFH ?
Resp . 
p) O que é e qual é a intersecção entre as retas FH e 
EG ?
Resp .
q) Quais vértices do paralelepípedo distam 10 cm 
do vértice E ?
Resp 
r) Quais faces do paralelepípedo contêm o vértice 
D ?
Resp . 
s) Quais arestas do paralelepípedo são ortogonais à 
reta FC ?
Resp . 
t) O que é e qual é a intersecção entre os planos 
AHG e DEF ?
Resp .
u) Qual a medida da soma dos comprimentos de 
todas as arestas do paralelepípedo ?
Resp . 
Jeca 11
(GeoJeca)
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geometria espacial
18
A
B
CD
E
F
G
H
R
S
T
U
20) A figura ao lado é um paralelepípedo retorretan-
gular de dimensões AE = 6 cm, AD = 8 cm e AB = 10 
cm. Os pontos R, S, T e U são os centros das 
faces ADHE, CDHG, BCGF e EFGH, respecti-
vamente. Sendo A, B, C, D, E, F, G e H os vértices 
desse paralelepípedo, determinar o que se pede em 
cada questão a seguir :
a) Quais arestas do paralelepípedo são paralelas dis-
tintas à aresta AD ?
Resp. 
b) Qual a posição relativa entre as retas HG e BF ?
Resp . 
c) O que é e qual é a intersecção entre os planos 
ADB e EFH ? 
Resp . 
d) Qual a distância entre o ponto T e o plano CGH ?
Resp . 
e) Quais arestas do paralepepípedo são perpendicu-
lares à aresta EF ?
Resp . 
f) Quais arestas do paralelepípedo são ortogonais à 
aresta DC ?
Resp . 
g) Quais faces do paralelepípedo são perpendicula-
res ao plano AEH ?
Resp . 
h) Qual a distância entre o ponto F e o plano ABC ?
Resp . 
i) O que é e qual é a intersecção entre os planos 
CGH e BFH ?
Resp . 
j) Qual a posição relativa entre as retas AC e HF ?
Resp . 
l) Qual a distância entre os pontos S e R ?
Resp . 
m) Quais arestas do paralelepípedo são paralelas ao 
plano BCG ?
Resp
n) Quais faces do paralelepípedo são paralelas ao 
plano CDH ?
Resp . 
o) Qual a tangente do ângulo formado entre os 
planos ABF e BFH ?
Resp . 
p) O que é e qual é a intersecção entre as retas FH e 
EG ?
Resp .
q) Quais vértices do paralelepípedo distam 10 cm 
do vértice E ?
Resp 
r) Quais faces do paralelepípedo contêm o vértice 
D ?
Resp . 
s) Quais arestas do paralelepípedo são ortogonais à 
reta FC ?
Resp . 
t) O que é e qual é a intersecção entre os planos 
AHG e DEF ?
Resp .
u) Qual a medida da soma dos comprimentos de 
todas as arestas do paralelepípedo ?
Resp . 
Jeca 11
(GeoJeca)
EH , FG e BC
São retas reversas e ortogonais.
É um conjunto vazio. Não existe intersecção.
d = 4 cm
AE , EH , BF e FG
ABCD , DCGH , EFGH e ABFE
d = 6 cm
É uma reta. A reta DH.
São retas reversas.
AE , EH , BF e FG
2 2 2
d = 4 + 5 = 41
d = 41 cm
AD , DH , HE e AE
ABFE
tg q = 8 / 10 = 4 / 5
É um ponto. O ponto U.
F e D
ABCD , HGCD e AEHD
AB e HG
É uma reta. A reta RT.
S = 4 . 6 + 4 . 8 + 4 . 10 = 24 + 32 + 40
S = 96 cm
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geometria espacial
19
Observação -Na correção, as respostas das solicitações serão 
consideradas certas ou erradas (não existe meio certa), levando-
se em consideração o rigor matemático dos termos próprios da 
Geometria de Posição.
a) Cite uma reta que seja paralela distinta com a 
reta AB.
Resp.
b) Cite uma reta que seja perpendicular à reta DJ.
Resp.
c) Cite uma reta que seja ortogonal com a reta DE.
Resp.
d) Cite uma reta que seja concorrente com a reta 
AF.
Resp.
e) Cite um plano que seja paralelo distinto com o 
plano GMA.
Resp.
f) Cite um plano que seja perpendicular ao plano 
JLE.
Resp.
g) Cite um plano que seja secante ou concorrente 
com o plano ABH.
Resp.
h) O que é e qual é a intersecção entre as retas HG 
e GM ?
Resp.
i) O que é e qual é a intersecção entre a reta DC e o 
plano HIB ?
Resp.
j) O que é e qual é a intersecção entre o plano AEF 
e o plano CDJ ? 
Resp.
k) Determine todas as retas do prisma que são 
perpendiculares à reta AG.
Resp.
l) Determine todas as retas do prisma que são or-
togonais à reta EF.
Resp. 
m) Determine todas as retas do prisma que são con-
correntes com a reta CD.
Resp.
n) Determine todas as retas do prisma que são para-
lelas ao plano BCE.
Resp.
o) Determine todas as retas do prisma que são pa-
ralelas ao plano BCH.
Resp.
p) Determine todas as faces do prisma que são pa-
ralelas à reta DJ.
Resp.
q) Determine todas as faces do prisma que são per-
pendiculares à face AEF.
Resp.
r) Determine todos os vértices do prisma que não 
estão contidos no plano JLD.
Resp.
s) Determine todas as retas do prisma que são per-
pendiculares à reta AB.
Resp.
t) Determine todas as retas do prisma contidas no 
plano GMA.
Resp.
A
B
C D
E
F
A
B
C D
E
F
G
H
I J
L
M
figura
01
figura
02
21) A figura 01 ao lado representa um prisma hexagonal regular 
de vértices A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, L e M visto em perspectiva, e 
a figura 02 a sua base vista por cima. Com base nessas figuras e 
utilizando os vértices como pontos, as retas suportes das arestas 
como retas e as faces como planos, responda as solicitações 
abaixo. Apenas usar como respostas as retas que contenham 
uma aresta. Por exemplo: AE é uma reta mas não contém 
nenhuma aresta. 
Jeca 12
(GeoJeca)
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geometria espacial
20
Observação - Na correção, as respostas das solicitações serão 
consideradas certas ou erradas (não existe meio certa), levando-
se em consideração o rigor matemático dos termos próprios da 
Geometria de Posição.
a) Cite uma reta que seja paralela distinta com a 
reta AB.
Resp.
b) Cite uma reta que seja perpendicular à reta DJ.
Resp.
c) Cite uma reta que seja ortogonal com a reta DE.
Resp.
d) Cite uma reta que seja concorrente com a reta 
AF.
Resp.
e) Cite um plano que seja paralelo distinto com o 
plano GMA.
Resp.
f) Cite um plano que seja perpendicular ao plano 
JLE.
Resp.
g) Cite um plano que seja secante ou concorrente 
com o plano ABH.
Resp.
h) O que é e qual é a intersecção entre as retas HG 
e GM ?
Resp.
i) O que é e qual é a intersecção entre a reta DC e o 
plano HIB ?
Resp.
j) O que é e qual é a intersecção entre o plano AEF 
e o plano CDJ ? 
Resp.
k) Determine todas as retas do prisma que são 
perpendiculares à reta AG.
Resp.
l) Determine todas as retas do prisma que são or-
togonais à reta EF.
Resp. 
m) Determine todas as retas do prisma que são con-
correntes com a reta CD.
Resp.
n) Determine todas as retas do prisma que são para-
lelas ao plano BCE.
Resp.
o) Determine todas as retas do prisma que são pa-
ralelas ao plano BCH.
Resp.
p) Determine todas as faces do prisma que são pa-
ralelas à reta DJ.
Resp.
q) Determine todas as faces do prisma que são per-
pendiculares à face AEF.
Resp.
r) Determine todos os vértices do prisma que não 
estão contidos no plano JLD.
Resp.
s) Determine todas as retas do prisma que são per-
pendiculares à reta AB.
Resp.
t) Determine todas as retas do prisma contidas no 
plano GMA.
Resp.
A
B
C D
E
F
A
B
C D
E
F
G
H
I J
L
M
figura
01
figura
02
21) A figura 01 ao lado representa um prisma hexagonal regular 
de vértices A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, L e M visto em perspectiva, e 
a figura 02 a sua base vista por cima. Com base nessas figuras e 
utilizando os vértices como pontos, as retas suportes das arestas 
como retas e as faces como planos, responda as solicitações 
abaixo. Apenas usar como respostas as retas que contenham 
uma aresta. Por exemplo: AE é uma reta mas não contém 
nenhuma aresta. 
Jeca 12
(GeoJeca)
DE , JL ou GH
JL , JI , ED ou CD
FM , AG , BH ou CI
AB , EF , DE . BC , FM ou AG
CDJI
GHIJLM ou ABCDEF
GHIJLM , ABCDEF , HICB , AFMG , EFML 
ou CDJI
É um ponto. O ponto G.
É um ponto. O ponto C.
É uma reta. A reta CD.
GM , GH , AF e AB
AG , BH , CI e DJ
FE , DE , AB , BC , IC e JD
IJ , JL , LM , MG , GH e HI
ML , EF , JD , LE , MF e AG
FELM , MGAF , GHBA e HICB
ABHG , BCIH , CDJI , DELJ , EFML e FAGM
HB e AG
GM , MF , AF e AG
M , G , H , I , F , A , B e C
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geometria espacial
21
22) As questões abaixo referem-se ao paralelepípedo retor-
retangular ABCDEFGH ao lado, cujas dimensões são:
 AB = 9 cm, BC = 12 cm e AE = 6 cm.
A
B C
D
E
F G
H
a) Qual é a distância, em cm, entre o ponto E e o 
plano BCG ?
a) 6 b) 12 c) 9 d) 8 e) 10
b) Qual é a distância, em cm, entre a reta AB e a reta 
GH ?
a) 7 5 b) 5 7 c) 5 6 d) 6 5 e) 7 6
c) Qual é a distância, em cm, entre as retas BC e FH ?
a) 9 b) 6 c) 8 d) 12 e) 10
d) Qual é a distância, em cm, entre o ponto G e a reta 
FH ?
a) 36/5 b) 24/5 c) 18/5 d) 27/5 e) 21/5
e) Qual é a distância, em cm, entre o ponto H e o ponto 
B ?
a) 273 b) 247 c) 257 d) 261 e) 253
f) Qual é a distância, em cm, entre a reta FG e a reta 
AD ?
a) 109 b) 117 c) 123 d) 113 e) 127
g) Qual é a tangente do ângulo formado entre a reta BH 
e a face EFGH ?
a) 2/5 b) 2/3 c) 3/2 d) 3/4 e) 4/3
h) Qual é a tangente do ângulo formado entre os planos 
BCG e BCH ?
a) 2/3 b) 5/2 c) 3/2 d) 3/4 e) 4/3
Jeca 13
(GeoJeca)
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22
22) As questões abaixo referem-se ao paralelepípedo retor-
retangular ABCDEFGH ao lado, cujas dimensões são:
 AB = 9 cm, BC = 12 cm e AE = 6 cm.
A
B C
D
E
F G
H
a) Qual é a distância, em cm, entre o ponto E e o 
plano BCG ?
a) 6 b) 12 c) 9 d) 8 e) 10
b) Qual é a distância, em cm, entre a reta AB e a reta 
GH ?
a) 7 5 b) 5 7 c) 5 6 d) 6 5 e) 7 6
c) Qual é a distância, em cm, entre as retas BC e FH ?
a) 9 b) 6 c) 8 d) 12 e) 10
d) Qual é a distância, em cm, entre o ponto G e a reta 
FH ?
a) 36/5 b) 24/5 c) 18/5 d) 27/5 e) 21/5
e) Qual é a distância, em cm, entre o ponto H e o ponto 
B ?
a) 7 5 b) 3 31 c) 5 11d) 3 29 e) 4 17 
f) Qual é a distância, em cm, entre a reta FG e a reta 
AD ?
a) 4 7 b) 3 13 c) 7 3 d) 8 2 e) 2 21
g) Qual é a tangente do ângulo formado entre a reta BH 
e a face EFGH ?
a) 2/5 b) 2/3 c) 3/2 d) 3/4 e) 4/3
h) Qual é a tangente do ângulo formado entre os planos 
BCG e BCH ?
a) 2/3 b) 5/2 c) 3/2 d) 3/4 e) 4/3
Jeca 13
(GeoJeca)
A
B C
D
E
F G
H
FE = 9 cm
A
B C
D
E
F G
H
A
B C
D
E
F G
H
A
B C
D
E
F G
H
A
B C
D
E
F G
H
A
B C
D
E
F G
H
A
B C
D
E
F G
H
A
B C
D
E
F G
H
2 2 2
(AH) = (AE) + (EH)
2 2 2
(AH) = 6 + 12
2
(AH) = 180
AH = 6 5 cm
N
Relações métricas no triângu-
lo retângulo a . h = b . c
HF . GN = HG . FG
2 2 2
(HF) = 9 + 12 = 225
HF = 15 cm
15 . GN = 9 . 12
GN = 108 / 15 
GN = 36 / 5 cm
d = BF = 6 cm
FH = 15 cm 
(calculado no ítem d)
2 2 2
(BH) = (FH) + (BF)
2 2 2
(BH) = 15 + 6 = 261
BH = 261 = 3 29 cm
2 2 2
(DG) = (DH) + (HG)
2 2 2
(DG) = 6 + 9 = 117
DG = 117 = 3 13 cm
q
tg q = BF / FH
tg q = 6 /15
tg q = 2 / 5
q
tg q = HG / CG
tg q = 9 / 6
tg q = 3 / 2
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23
face A
face C
face D face E
face B
peça 1 peça 2
face A face B face C face D face E
esboços
fa
c
e
 A
24) As peças 1 e 2 são maciças e se fossem divididas, juntas formariam 8 cubos idênticos. Mantendo-se a 
peça 1 na mesma posição e juntando-se as peças 1 e 2, forma-se um sólido composto na forma de um cubo 
maior. Utilizando os esboços abaixo, represente através de um desenho a visão que você teria olhando 
frontalmente as faces A, B, C, D e E do cubo composto.
face A
face C
face D face E
face B
face A face B face C face D face E
esboços
fa
c
e
 A
peça 1 peça 2
23) As peças 1 e 2 são maciças e se fossem divididas, juntas formariam 8 cubos idênticos. Mantendo-se a 
peça 1 na mesma posição e juntando-se as peças 1 e 2, forma-se um sólido composto na forma de um cubo 
maior. Utilizando os esboços abaixo, represente através de um desenho a visão que você teria olhando 
frontalmente as faces A, B, C, D e E do cubo composto. 
A
B
C
D
25) A figura 1 mostra um cubo, que se fosse dividido em 27 cubos menores e idênticos, formariam a figura 2, 
com as suas respectivas faces A, B, C e D. A figura 3 mostra uma parte retirada do cubo original. 
Mantendo-se a base do cubo na mesma posição, desenhe nos esboços abaixo como você visualiza as faces 
A, B, C e D após a retirada do corpo da figura 3.
face A face B face C face D
esboços
figura 2figura 1 figura 3
Jeca 14
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
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24
face A
face C
face D face E
face B
peça 1 peça 2
face A face B face C face D face E
esboços
fa
c
e
 A
24) As peças 1 e 2 são maciças e se fossem divididas, juntas formariam 8 cubos idênticos. Mantendo-se a 
peça 1 na mesma posição e juntando-se as peças 1 e 2, forma-se um sólido composto na forma de um cubo 
maior. Utilizando os esboços abaixo, represente através de um desenho a visão que você teria olhando 
frontalmente as faces A, B, C, D e E do cubo composto.
face A
face C
face D face E
face B
face A face B face C face D face E
esboços
fa
c
e
 A
peça 1 peça 2
23) As peças 1 e 2 são maciças e se fossem divididas, juntas formariam 8 cubos idênticos. Mantendo-se a 
peça 1 na mesma posição e juntando-se as peças 1 e 2, forma-se um sólido composto na forma de um cubo 
maior. Utilizando os esboços abaixo, represente através de um desenho a visão que você teria olhando 
frontalmente as faces A, B, C, D e E do cubo composto. 
A
B
C
D
25) A figura 1 mostra um cubo, que se fosse dividido em 27 cubos menores e idênticos, formariam a figura 2, 
com as suas respectivas faces A, B, C e D. A figura 3 mostra uma parte retirada do cubo original. 
Mantendo-se a base do cubo na mesma posição, desenhe nos esboços abaixo como você visualiza as faces 
A, B, C e D após a retirada do corpo da figura 3.
face A face B face C face D
esboços
figura 2figura 1 figura 3
Jeca 14
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
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25
F
26) Um cubo é composto pelas faces J, R, P, L, G e F. A figura 1 abaixo, mostra o cubo, a figura 2 mostra 
a planificação do cubo com as suas respectivas faces e a figura 3 mostra dois observadores, A e B, olhando 
frontalmente, e sempre da mesma posição, uma das faces do cubo. Em cada caso abaixo, desenhe a forma 
que cada observador visualiza a face observada.
G
L
R
R P
J J
figura 1
F
R
J
figura 3
Observador A
O
b
servad
o
r B
F
R
J
figura 1
F
figura 1
figura 1
figura 1
figura 1
figura 1
Observador A Observador B
Observador A Observador B
Observador A Observador B
Observador A Observador B
Observador A Observador B
Observador A Observador B
P L(exemplo)
P
R
J
R
J
L
F
L
P
L
J
a)
b)
c)
d)
e)
Jeca 15
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
F
figura 2
(GeoJeca)
G
G
G
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26
F
26) Um cubo é composto pelas faces J, R, P, L, G e F. A figura 1 abaixo, mostra o cubo, a figura 2 mostra 
a planificação do cubo com as suas respectivas faces e a figura 3 mostra dois observadores, A e B, olhando 
frontalmente, e sempre da mesma posição, uma das faces do cubo. Em cada caso abaixo, desenhe a forma 
que cada observador visualiza a face observada.
G
L
R
R P
J J
figura 1
F
R
J
figura 3
Observador A
O
b
servad
o
r B
F
R
J
figura 1
F
figura 1
figura 1
figura 1
figura 1
figura 1
Observador A Observador B
Observador A Observador B
Observador A Observador B
Observador A Observador B
Observador A Observador B
Observador A Observador B
P L(exemplo)
P
R
J
R
J
L
F
L
P
L
J
a)
b)
c)
d)
e)
Jeca 15
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
F
J R
F P
F
J
L
P
R
figura 2
(GeoJeca)
G
G
G
G
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27
Respostas da aula 01.
Jeca 16
Respostas da Aula 01
 Favor comunicar eventuais erros deste trabalho 
através do e-mail
jecajeca@uol.com.br Obrigado.
 As respostas das afirmações Verdadeiras ou Falsas das 
páginas 05 e 06 estão na página 06.
Respostas da Aula 01 - Exercícios comple-
mentares.
01) e
02) a
03) b
04) AD = 29 cm
05) 5 cm
06) d
07) b
08) Demonstração
a
r
s
A
A'
B
r é perpendicular a s (do enunciado).
AA' é perpendicular a a porque é a projeção ortogonal.
A reta r é perpendicular ou ortogonal a duas retas con-
correntes do plano AA'B. Portanto a reta r é perpendi-
cular ao plano AA'B. Se a reta A'B está contida no plano
AA'B, então a reta r é perpendicular à reta A'B. (CQD)
09) b
10) b
11) e
12) d
13) Demonstração
r
A
B
A' B'C
Pp
Sejam A e B dois pontos da reta r e A' e B' suas pro-
jeções ortogonais sobre o plano p.
A reta de p ortogonal a r é a única reta de p que passa 
por P e é perpendicularà reta A'B'. Portanto é única.
(CQD) 
14) e
15) c
16) b
17) e
18) e
19) a) CD, HG ou EF
 b) AD, CD, EH ou GH
 c) AB, BF, CD ou CG
 d) CD, DH, EA ou BA
 e) CDH
 f) EAD, HDC, BCG ou EAB
 g) EAD, HDC, BCG ou EAB
 h) o ponto H
 i) não existe intersecção
 j) a reta EF
 k) AB, BF, CD e CG
 l) BC, CG, AD e DH
 m) AD, CD, EH e GH
 n) AD, DH, HE e EA
 o) AE e CG
 p) ABE e ADH
 q) ADC, BCG, EFG e AEH
 r) A, B, C e D
 s) CD, GH e EF
 t) A, B, C, H e F
20) a) CB, FG e EH
 b) retas reversas e ortogonais
 c) não existe intersecção
 d) 4 cm
 e) EA, EH, BF e GF
 f) EA, EH, BF e GF
 g) ADC, DHG, HEF e AEB
 h) 6 cm
20) i) a reta DH
 j) retas reversas
 l) 41 cm
 m) AD, DH, HE e EA
 n) ABF
 o) 4/5
 p) o ponto U
 q) D e F
 r) ADC, ADH e CDH
 s) AB e HG
 t) a reta RT
 u) 96 cm
21) a) DE, JL ou HG
 b) JI, JL, CD ou DE
 c) IC, HB, GA ou MF
 d) AB, BC, GA, MF, FE ou DE
 e) CDJ
 f) JLM ou DEF
 g) GHI, ABC, BCI, DCI, AFM ou FEM
 h) o ponto G
 i) o ponto C
 j) a reta CD
 k) GH, GM, AB e AF
 l) JD, IC, HB e AG
 m) DE, EF, JD, IC, BC e AB
 n) HI, IJ, JL, LM, MG e GH
 o) ML, EF, JD, LE, MF e AG
 p) BCH, HGA, GMA e MLF
 q) GHA, MGF, LME, JLD, IJC e HIB
 r) M, G, H, I, F, A, B e C
 s) HB e GA
 t) GM, MF, AG e AF
22) a) c
 b) d
 c) b
 d) a
 e) d
 f) b
 g) a
 h) c
23)
24)
25)
26) a)
 b)
 c)
 d)
 e)
face A face B face C face D face E
face A face B face C face D face E
face A face B face C face D
Obs. A Obs. B
J R
F P
F
J
L
P
RG
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28
Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
(São João da Boa Vista - SP)
Geometria Espacial Métrica
Aula 02
Poliedros convexos.
I - Elementos dos poliedros.
face
aresta
vértice
ângulo
poliédrico
Poliedro - É a região do espaço limitada por quatro ou mais polígonos planos.
Face do poliedro - É qualquer polígono plano que limita o poliedro.
Aresta do poliedro - É o segmento obtido da intersecção de duas faces.
Vértice do poliedro - É o ponto obtido da intersecção de três ou mais 
arestas.
Ângulo poliédrico - É a região do espaço constituída por um vértice e três ou 
mais arestas.
Poliedro convexo - Um poliedro é dito convexo se, dados dois pontos quais-
quer do poliedro, o segmento que os une está inteiramente contido nele.
A B
poliedro não convexopoliedro convexo
Classificação dos poliedros.
4 faces - tetraedro
5 faces - pentaedro
6 faces - hexaedro
7 faces - heptaedro
8 faces - octaedro
9 faces - eneaedro
10 faces - decaedro
11 faces - undecaedro
12 faces - dodecaedro
13 faces - tridecaedro
14 faces - quadridecaedro
15 faces - pentadecaedro
16 faces - hexadecaedro
17 faces - heptadecaedro
18 faces - octodecaedro
19 faces - eneadecaedro
20 faces - icosaedro
Classificação dos ângulos
poliédricos.
3 arestas - ângulo triédrico
4 arestas - ângulo tetraédrico
5 arestas - ângulo pentaédrico
6 arestas - ângulo hexaédrico
etc
Relação de Euler.
 Todo poliedro convexo e fechado satisfaz a relação:
 V - A + F = 2
Soma das medidas dos ângulos internos
de todas as faces do poliedro convexo.
 S = 360 (V - 2)
Cálculo do número de arestas de um poliedro convexo.
 a) Através das faces. b) Através dos vértices.
 A - número de arestas do poliedro.
 n - número de lados de cada face.
 F - número de faces do mesmo tipo.
 m - número de arestas de cada vértice poliédrico.
 V - número de vértices poliédricos do mesmo tipo.
A =
n . F
2
m . V
A =
2
V - nº de vértices
A - nº de arestas
F - nº de faces
S - soma dos ângulos
V - nº de vértices
Poliedros de Platão.
 Um poliedro é dito de Platão se:
 - é convexo e fechado;
 - tem todas as faces do mesmo tipo;
 - tem todos os vértices do mesmo tipo.
Existem apenas 5 poliedros de Platão.
Tetraedro
Hexaedro
Octaedro
Dodecaedro
 Icosaedro
não é de
Platão
é de Platão
Poliedro regular.
 Um poliedro é dito regular se tem todas as faces 
formadas por polígonos regulares e congruentes.
Existem apenas 5 poliedros regulares
Tetraedro regular
Hexaedro regular
Octaedro regular
Dodecaedro regular
 Icosaedro regular
3
4
5
3
3
nº de lados 
de cada face
- Todo poliedro regular é de Platão mas nem todo 
poliedro de Platão é regular.
- Todo poliedro regular pode ser inscrito e 
circunscrito numa esfera.
Jeca 17
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geometria espacial
29
01) Determine o número de vértices de um poliedro 
convexo fechado que tem 1 face pentagonal, 5 faces 
triangulares e 5 faces quadrangulares.
Observação - A figura foi colocada no exercício para que o 
aluno possa comprovar a veracidade dos cálculos.
Observação - A figura foi colocada no exercício para que o 
aluno possa comprovar a veracidade dos cálculos.
02) Determine o número de faces de um poliedro con-
vexo fechado que tem 6 vértices triédricos e 14 vér-
tices tetraédricos.
03) Determine o número de vértices de um poliedro 
convexo e fechado que tem 1 face hexagonal, 4 fa-
ces triangulares e 2 faces quadrangulares.
04) Determine o número de faces de um poliedro 
convexo e fechado que tem 7 vértices tetraédricos e 
2 vértices heptaédricos.
05) (UFJF-MG) A figura a seguir representa a planifi-
cação de um poliedro convexo. O número de vértices 
desse poliedro é:
a) 12
b) 14
c) 16
d) 20
e) 22
06) (UFTM-MG) Um poliedro convexo, com 32 ares-
tas e 14 vértices, possui apenas faces triangulares e 
quadrangulares. Sendo q o número de faces qua-
drangulares e t o número de faces triangulares, en-
tão os valores de q e t são, respectivamente,
a) q = 6 e t = 14
b) q = 16 e t = 4
c) q = 4 e t = 14
d) q = 14 e t = 4
e) q = 4 e t = 16
Jeca 18
Poliedros regulares (T H O D I)
Tetraedro OctaedroHexaedro Dodecaedro Icosaedro
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca) (GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
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geometria espacial
30
01) Determine o número de vértices de um poliedro 
convexo fechado que tem 1 face pentagonal, 5 faces 
triangulares e 5 faces quadrangulares.
Observação - A figura foi colocada no exercício para que o 
aluno possa comprovar a veracidade dos cálculos.
Observação - A figura foi colocada no exercício para que o 
aluno possa comprovar a veracidade dos cálculos.
02) Determine o número de faces de um poliedro con-
vexo fechado que tem 6 vértices triédricos e 14 vér-
tices tetraédricos.
03) Determine o número de vértices de um poliedro 
convexo e fechado que tem 1 face hexagonal, 4 fa-
cestriangulares e 2 faces quadrangulares.
04) Determine o número de faces de um poliedro 
convexo e fechado que tem 7 vértices tetraédricos e 
2 vértices heptaédricos.
05) (UFJF-MG) A figura a seguir representa a planifi-
cação de um poliedro convexo. O número de vértices 
desse poliedro é:
a) 12
b) 14
c) 16
d) 20
e) 22
06) (UFTM-MG) Um poliedro convexo, com 32 ares-
tas e 14 vértices, possui apenas faces triangulares e 
quadrangulares. Sendo q o número de faces qua-
drangulares e t o número de faces triangulares, en-
tão os valores de q e t são, respectivamente,
a) q = 6 e t = 14
b) q = 16 e t = 4
c) q = 4 e t = 14
d) q = 14 e t = 4
e) q = 4 e t = 16
Jeca 18
Poliedros regulares (T H O D I)
Tetraedro OctaedroHexaedro Dodecaedro Icosaedro
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca) (GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
m.V
Euler V - A + F = 2
A =
2
1 face pentagonal
5 faces triangulares
5 faces quadrangulares
F = 11 faces
A =
n.F
2
A =
2
5 . 1
+
3 . 5 4 . 5
2
+
2
A = 20 arestas
Euler V - A + F = 2
V - 20 + 11 = 2
V = 11 faces (resp.)
6 vértices triédricos
14 vértices tetraédricos
V = 20 vértices
A =
2
3 . 6
+
4 . 14
2
A = 37 arestas
20 - 37 + F = 2
F = 19 faces (resp.)
m.V
Euler V - A + F = 2
A =
2
1 face hexagonal
4 faces triangulares
2 faces quadrangulares
F = 7 faces
A =
n.F
2
A =
2
6 . 1
+
3 . 4 4 . 2
2
+
2
A = 13 arestas
Euler V - A + F = 2
V - 13 + 7 = 2
V = 8 vértices (resp.)
7 vértices tetraédricos
2 vértices heptaédricos
V = 9 vértices
A =
2
4 . 7
+
7 . 2
2
A = 21 arestas
9 - 21 + F = 2
F = 14 faces (resp.)
6 faces quadrangulares
8 faces triangulares
F = 14 faces
A =
n.F
2
A =
2
4 . 6
+
3 . 8
2
A = 24 arestas
Euler V - A + F = 2
V - 24 + 14 = 2
V = 12 faces (resp.)
1
2
3
4
5
6
1
2
3 4
5
6
7
8
Euler V - A + F = 2
A = 32 arestas
V = 14 vértices
14 - 32 + F = 2
F = 20 faces
 q faces quadrangulares
(20 - q) faces triangulares
A =
n.F
2
32 =
2
4 . q
+
3 . (20 - q)
2
q = 4 faces quadrangulares
t = 20 - 4 = 16 faces triangulares
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geometria espacial
31
Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
(São João da Boa Vista - SP)
Geometria Espacial Métrica
Aula 02
Exercícios complementares.
(Poliedros convexos)
Tetraedro regular
Hexaedro regular
Octaedro regular
Dodecaedro regular
 Icosaedro regular
n F A m V S
07) Preencha a tabela ao lado, sabendo que:
n - nº de lados de cada face do poliedro regular;
F - nº de faces do poliedro regular;
A - nº de arestas do poliedro regular;
m - nº de arestas de cada vértice poliédrico do poliedro;
V - nº de vértices poliédricos do poliedroregular;
S - soma das medidas dos ângulos internos das faces do 
 poliedro regular.
09) Um poliedro convexo tem o mesmo número de 
faces triangulares e quadrangulares. Qual o número 
de vértices desse poliedro, sabendo-se que tem 21 
arestas e apenas esses dois tipos de face ?
a) 9
b) 15
c) 11
d) 13
e) 12
11) Um poliedro convexo fechado tem 1 face decago-
nal, 10 faces triangulares e 6 faces pentagonais. Qual 
é o número de vértices desse poliedro ?
a) 24
b) 20
c) 18
d) 16
e) 25
08) Quantas faces tem um poliedro convexo fechado 
que tem 2 vértices pentaédricos, 10 vértices tetraédri-
cos e 10 vértices triédricos ?
a) 25
b) 18
c) 16
d) 24
e) 20
10) Qual é a soma das medidas dos ângulos internos 
de todas as faces de um poliedro convexo fechado 
que tem 20 faces e 30 arestas ?
a) 2560º
b) 2160º
c) 3800º
d) 3600º
e) 5260º
Jeca 19
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca) (GeoJeca)
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Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
(São João da Boa Vista - SP)
Geometria Espacial Métrica
Aula 02
Exercícios complementares.
(Poliedros convexos)
Tetraedro regular
Hexaedro regular
Octaedro regular
Dodecaedro regular
 Icosaedro regular
n F A m V S
07) Preencha a tabela ao lado, sabendo que:
n - nº de lados de cada face do poliedro regular;
F - nº de faces do poliedro regular;
A - nº de arestas do poliedro regular;
m - nº de arestas de cada vértice poliédrico do poliedro;
V - nº de vértices poliédricos do poliedroregular;
S - soma das medidas dos ângulos internos das faces do 
 poliedro regular.
09) Um poliedro convexo tem o mesmo número de 
faces triangulares e quadrangulares. Qual o número 
de vértices desse poliedro, sabendo-se que tem 21 
arestas e apenas esses dois tipos de face ?
a) 9
b) 15
c) 11
d) 13
e) 12
11) Um poliedro convexo fechado tem 1 face decago-
nal, 10 faces triangulares e 6 faces pentagonais. Qual 
é o número de vértices desse poliedro ?
a) 24
b) 20
c) 18
d) 16
e) 25
08) Quantas faces tem um poliedro convexo fechado 
que tem 2 vértices pentaédricos, 10 vértices tetraédri-
cos e 10 vértices triédricos ?
a) 25
b) 18
c) 16
d) 24
e) 20
10) Qual é a soma das medidas dos ângulos internos 
de todas as faces de um poliedro convexo fechado 
que tem 20 faces e 30 arestas ?
a) 2560º
b) 2160º
c) 3800º
d) 3600º
e) 5260º
Jeca 19
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
(GeoJeca) (GeoJeca)
3
4
3
5
3
4
6
8
12
20
6
12
12
30
30
3
3
4
3
5
4
8
6
20
12
720º
2160º
1440º
6480º
3600º
n - «telefone» 3 4 3 5 3
F - nome do poliedro
A = n . F / 2
Euler V - A + F = 2 V = A - F + 2
A = m . V / 2 m = 2.A / V
S = 360(V - 2)
m.V
Euler V - A + F = 2
A =
2
2 vértices pentaédricos
10 vértices tetraédricos
10 vértices triédricos
V = 22 vértices
A =
2
5 . 2
+
4 . 10
2
A = 40 arestas
22 - 40 + F = 2
F = 20 faces (resp.)
+
3 . 10
2
x faces triangulares
x faces quadrangulares
F = 2x faces
A =
n.F
2
21
42 = 7x
x = 6
F = 2x = 12 faces
=
2
3 . x
+
4 . x
2
Euler V - A + F = 2
V - 21 + 12 = 2
V = 11 vértices (resp.)
Euler V - A + F = 2
V - 30 + 20 = 2
V = 12 vértices
S = 360.(12 - 2)
S = 3600º 
(resp. d)
S = 360.(V - 2)
 1 face decagonal
10 faces triangulares
 6 faces pentagonais
F = 17 faces
A =
n.F
2
A
A = 35 arestas 
=
2
10 . 1
+
3 . 10
2
Euler V - A + F = 2
V - 35 + 17 = 2
V = 20 vértices (resp.)
+
5 . 6
2
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geometria espacial
33
13) Um poliedro convexo fechado tem faces triangu-
lares, quadrangulares e hexagonais. Determine o nº 
de faces hexagonais, sabendo-se que esse poliedro 
tem 25 arestas e 14 vértices, e que o nº de faces 
quadrangulares é o dobro do nº de faces triangulares.
14) (MACK) Um poliedro convexo e fechado tem 15 
faces. De dois de seus vértices partem 5 arestas, de 
quatro outros partem quatro arestas, e dos restantes 
partem 3 arestas. Determine o nº de arestas do 
poliedro.
15) Um poliedro convexo e fechado que tem somente 
faces quadrangulares e pentagonais, tem 15 arestas. 
Quantas faces tem de cada tipo se a soma das 
medidas dos ângulos internos das suas faces é 
2880º ?
Jeca 20
(GeoJeca) (GeoJeca)
(GeoJeca) (GeoJeca)
12) Um poliedro convexo fechado tem faces triangu-
lares, quadrangulares e hexagonais. Determine o nº