Aula 2 teste 1 bisseção falsa posicão

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Usando um método iterativo para buscar a raiz da equação f(x) = 0 são encontrados os valores: x1= 2,79 x2 = 2,75 x3= 2,74 x4 = 
 2,735 x5=2,734. Considerando que o critério de parada é obter um valor para a raiz cujo erro absoluto seja menor que 0,01, qual o maior 
valor que pode ser adotado para a raiz ? 
 
 
x1 
 
 
x3 
 
 
x5 
 
 
 x2 
 
 
 x4 
 
Explicação: 
Observa-se que de x2 para x3 o módulo da diferença ( 2,75 - 2,74) = 0,01 igual ao erro absoluto 0,01 ,não é menor . De x3 para x4 o 
módulo da diferença ( 2,74 -2,735 ) = 0,005 que é o primeiro erro menor que 0,01 , portanto pode-se parar no valor x4 como valor da raiz. 
 
 
2. 
 
 
Suponha a função contínua, definida por f(x) = x3 -10 . Marque o intervalo em que existe pelo menos 
uma raiz real da equação f(x) = 0. 
 
 
[2,3] 
 
 
 [0,1] 
 
 
[1,2] 
 
 
[-1,0] 
 
 
[-2,-1] 
 
Explicação: f(-2) = -18 f(-1) = -11 f(0) = -10 f(1) = -9 f(2) = -2 f(3) = 17 
Então apenas o intervalo [2,3] atende à condição f(2) .f(3) < 0 para que tenha ao menos uma raiz nesse intervalo. 
 
 
3. 
 
 
Seja a medida exata da área de uma laje igual a 24,8 m2 e o valor aproximado de 25m2. Qual o erro 
absoluto associado? 
 
 
0,2% 
 
 
0,2 m2 
 
 
99,8% 
 
 
1,008 m2 
 
 
0,992 
 
Explicação: 25 - 24,8 = 0,2m² 
 
 
4. 
 
 
Considere uma função real de R em R denotada por f(x). Ao se representar a função f(x) num par de 
eixos xy. percebe-se que a mesma intercepta o eixo horizontal x. Quanto a este ponto, é correto afirmar 
que: 
 
 
É a abscissa do ponto em que a derivada de f(x) é nula 
 
 
É o valor de f(x) quando x = 0 
 
 
Nada pode ser afirmado 
 
 
É a raiz real da função f(x) 
 
 
É a ordenada do ponto em que a derivada de f(x) é nula 
 
Explicação: 
 No ponto em que a função cruza o eixo x , o valor da abcissa x é denomindado raiz da função . 
 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
Vamos encontrar uma aproximação da raiz da função: f(x) = x3 - 9x + 3 utilizando o Método da Bisseção. 
Realize 2 iterações. Intervalo inicial de x0=0 e x1=0.5. Após a realização das iterações diga o valor 
encontrado para x3. 
 
 
1 
 
 
0.765625 
 
 
0, 375 
 
 
0,4 
 
 
0.25 
 
Explicação: 
 f(x) = x3 - 9x + 3 ... x0 =0 e x1 =0,5 . 
f(0 ) = +3 positivo e f(0,5) = 0,125 - 4,5 +3 = -1,375 negativo ( há pelo menos uma raiz) 
Primeiro x médio : x2 = 0,25 ... f (0,25) = 0,253 - 9. 0,25 +3 = 0,0156 + 0,75 = + 0,7656 valor positivo . então novo intervalo com 
raiz é ( x2, 0,5 ) 
Segundo x médio x3 = ( 0,25 + 0,5 ) /2 = 0,75/ 2 = 0,375 ..iteração pediada. 
 
 
 
6. 
 
 
Suponha um polinômio P(x) = x18 - 3x6 + 1. Sobre a equação P(x) = 0, é possível afirmar que existe 
ao menos uma raiz real em qual dos intervalos abaixo? 
 
 
(4, 5) 
 
 
(0; 1) 
 
 
(3; 4) 
 
 
(1,5; 2) 
 
 
(2,5; 3) 
 
Explicação: 
Teorema de Bolzano: 
P(0) = 018 - 3.06 + 1 = 1 
P(1) = 118 - 3.16 + 1 = -1 
P(0) x P(1) < 0, então pelo teorema de Bolzano existe um número ímpar de raízes reais neste intervalo, ou seja, ao menos uma. 
 
 
 
7. 
 
 
Abaixo tem-se a figura de uma função e a determinação de intervalos sucessivos em torno da 
raiz xR . Os expoentes numéricos indicam a sequência de iteração. 
 
 
 
Esta é a representação gráfica de um método conhecido com: 
 
 
 
Newton Raphson 
 
 
Bisseção 
 
 
Gauss Jordan 
 
 
Ponto fixo 
 
 
Gauss Jacobi 
 
 
 
Explicação: 
 No método da BISSEÇÃO divide-se o intervalo ao meio e testa-se em qual deles está a raiz . Então divide-se esse novo intervalo e refaz-seo 
teste repetindo divisões sucessivas até um valor próximo da raiz , conforme erro pré estabelecido 
 
 
 
 
 
 
8. 
 
 
Seja h uma função contínua, real de variável real. Sabe-se que h(-1) = 4; h(0) = 0; h(1) = 8. Seja uma 
função g definida como g(x) = h(x) - 2. Sobre a equação g(x) = 0 pode-se afirmar que: 
 
 
pode ter duas raízes 
 
 
tem uma raiz 
 
 
não tem raízes reais 
 
 
nada pode ser afirmado 
 
 
tem três raízes 
 
 
 
Explicação: 
g(x) = h(x) - 2. e h(-1) =4 , h(0) = 0; h(1) = 8 , então : 
g( -1) = h(-1) - 2 = 4 - 2 = 2 
 g(+ 1) = h(+1) - 2 = 8 -2 = 6 . 
Então como g(-1). g(+1) = +12 positivo , podemos afirmar que entre x =-1 e x=+1 g(x) pode ter um número par de raízes , como por 
exemplo 2 raízes positivas.