Teoria das estrutura I - Vigas isostaticas

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VIGAS ISOSTÁTICAS 
 
Uma maneira conveniente para traçar os Diagramas de Esforços Internos (DEI) é percorrer as seções 
transversais da viga (de esquerda para direita ou de direita para esquerda) determinando a resultante das 
forças verticais, horizontais e do momento do ponto de partida até a seção chave. 
São consideradas seções chaves todas as seções em que ocorrem alterações da estrutura e da configuração do 
carregamento a ela aplicado (ver figura 2): 
a) Início e final da estrutura, 
b) Seções em que ocorrem forças ou momentos concentrados, as quais incluem os apoios devido às 
forças reativas, 
c) Seções onde se iniciam ou terminam carregamentos de forças ou momentos distribuídos, 
d) Seções onde ocorrem os valores máximos e mínimos dos DEI. Atenção especial deve ser 
dedicada a estas seções, pois, embora não possam ser identificadas a priori como as demais, elas 
são importantíssimas de serem convenientemente indicadas nos diagramas. 
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Convenção de Sinais para os esforços internos 
Para determinar a força axial, o cortante e o momento fletor e depois determinar os DEI, é necessário 
estabelecer uma convenção de sinais. Usaremos a convenção geralmente adotada na prática da engenharia e 
mostrada na Figura 3. Onde é POSITIVA: 
• A força axial interna que traciona o segmento de viga sobre o qual atua; 
• A força cortante interna que provoca rotação no sentido horário do segmento de viga sobre o qual 
atua e; 
• O momento fletor interno que provoca tração nas fibras inferiores do segmento de viga sobre a qual 
atua. 
 
 
Figura 3: Convenção de Sinais de Viga 
Convenção de sinais para os diagramas 
 
Para traçar os DEI, toma-se como abscissa a posição da seção transversal “x” (sempre coincidente com o 
eixo do elemento), e como ordenada os valores correspondentes dos esforços solicitantes internos para cada 
seção chave analisada. 
 
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 Como mostra a figura 4 os esforços normais e cortantes internos positivos são marcados no 
sentido positivo do eixo “y” e o momento fletor é traçado pelo lado da fibra tracionada 
 
Figura 4 
 
Passo a passo para o traçado dos DEI: 
10- São calculadas as reações de apoio(se necessário): 
 
 
 
 
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2o – São determinados os esforços solicitantes internos: 
 
 
Exemplo 1: 
Determinar as reações de apoio e os DEI para a viga a seguir: 
 
Resolução: 
1-Cálculo das reações de apoio: 
 
�𝐹𝐹𝑥𝑥 = 𝑜𝑜 → 𝑹𝑹𝑿𝑿𝑿𝑿 = 𝟎𝟎 
�𝑀𝑀𝐴𝐴 = 𝑜𝑜 → 1(1) + 3(3)− 𝑅𝑅𝑌𝑌𝑌𝑌(5) = 0 
𝑹𝑹𝒀𝒀𝒀𝒀 = 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 
�𝐹𝐹𝑦𝑦 = 𝑜𝑜 → 𝑅𝑅𝑌𝑌𝐴𝐴 + 𝑅𝑅𝑌𝑌𝑌𝑌 − (1 + 3) = 0 
𝑅𝑅𝑌𝑌𝐴𝐴 + 2 − 4 = 0 
𝑹𝑹𝒀𝒀𝑿𝑿 = 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 
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2- Determinar os esforços internos: 
 
 
2.1- Esforço Normal 
Neste exemplo N=0 
 
2.2- Esforço Cortante 
 Análise de esquerda para direita 
 
 Verificação pela direita Isto é para demostrar que o valor do esforço é o mesmo 
independente do sentido de análise utilizado 
 
 
2.3- Momento fletor 
 
 Análise de esquerda para direita 
MAd=0 
MBe= MBd= 2(1)=2 kN.m (t.f.i) 
MCe= MCd=2(3)-1(2)= 4 kN.m (t.f.i) 
MDe = 2(5)-1(4)-3(2)=0 
 Na prática o MCe= MCd e o MDe são calculados de direita para esquerda, pois é mais rápido 
e fácil 
MDe=0 
MCe= MCd=2(2)= 4 kN.m (t.f.i) 
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Relações diferenciais entre carregamento transversal, esforços cortantes e momentos fletores. 
 
Estas relações diferenciais podem auxiliar tanto na determinação dos diagramas quanto na 
verificação dos mesmos. 
Consideremos a viga indicada na figura 5 submetida a um carregamento transversal distribuído 
segundo uma função q(x). A relação entre o carregamento, o esforço cortante e o momento fletor é obtida 
considerando o equilíbrio do elemento infinitesimal dx, com as mesmas condições em que se encontrava 
quando integrante da viga. 
Devido ao carregamento aplicado q(x) pode-se afirmar que os esforços cortantes e os momentos 
fletores que surgem à direita e à esquerda do elemento são diferentes. Utilizando as equações de equilíbrio 
obtém-se: 
 
Figura 5 -Viga submetida a carregamento distribuído q(x). Esforços internos, colocados no sentido positivo 
no elemento dx da viga. 
 
• Relação entre o esforço cortante e o carregamento 
 
 
 
dQdxxq
dxxqdQ
dxxqdQQQ
Fy
=−
=−−
=−+−
=↑ ∑+
)(
0)(
0)()(
0
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• Relação entre Cortante e Momento 
 
 
 
 A variação do momento fletor entre os pontos a e b, de abcissas xa e xb respetivamente, 
pode ser obtida como: 
 𝑴𝑴𝒃𝒃 −𝑴𝑴𝒂𝒂 = ∫ 𝑸𝑸(𝒙𝒙)𝒅𝒅𝒙𝒙𝒙𝒙𝒃𝒃𝒙𝒙𝒂𝒂 Área definida pela função cortante e o eixo “x”, entre estes dois pontos. 
 
Segundo as relações diferenciais pode-se prever a forma dos diagramas de esforços M(x) e Q(x) 
para os diversos tipos de carga distribuída: 
 
 Se q(x)=0 Q(x) - constante M(x) - variação linear 
 Se q(x)=constante Q(x) - variação linear M(x) - polinômio 2o. grau 
 Se q(x)=linear Q(x) - pol. 2o. Grau M(x) - polinômio 3o. grau 
 
E ainda: 
 
Por exemplo, como se mostra na figura 6, se a carga é uniformemente distribuída, o diagrama de Q(x) será 
linear, e o de momento será um polinómio de segundo grau (parábola). 
 Como ( )
dx
xdMxQ =)( então os pontos onde Q(x)=0, o gráfico de M(x) tem uma reta tangente 
horizontal o que significa que o momento atinge nestes pontos seus valores máximos ou mínimos. Esta 
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propriedade é muito importante porque facilita a determinação dos pontos onde é mais provável a ruptura da 
viga à flexão. 
 
Figura 6: DEI de uma viga com carga uniformemente distribuída. 
Exercícios: 
Determinar os DEI das seguintes vigas. (exercícios resolvidos na aula)