Lista 1 - Probabilidade e Estatística

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ENG. DE CONTROLE E AUTOMAC¸A˜O -
Luzerna
PROBABILIDADE E ESTATI´STICA
Prof. Katielle de M. Bilhan
Exerc´ıcios: Probabilidade
1. Fornec¸a uma descric¸a˜o razoa´vel do espac¸o amostral para cada um dos experimentos aleato´rios:
(a) Cada uma das quatro pec¸as usinadas e´ classificadas como acima ou abaixo da especi-
ficac¸a˜o padra˜o para a pec¸a.
(b) Na inspec¸a˜o final de suprimentos eletroˆnicos de poteˆncia, treˆs tipos de na˜o conformi-
dades podem ocorrer: funcional, menor ou cosme´tica.
(c) Um pedido de compra de um automo´vel pode especificar uma transmissa˜o automa´tica
ou padra˜o, com ou sem ar-condicionado e qualquer uma das quatro cores vermelha,
azul, preta e branca. Descreva o conjunto de pedidos poss´ıveis para esse experimento.
(d) Chamadas sa˜o repetidamente feitas em uma linha telefoˆnica ocupada ate´ que uma
conexa˜o seja alcanc¸ada.
(e) No lanc¸amentos de dois dados na˜o viciados.
(f) O conjunto de nu´meros inteiros entre 1 e 50 divis´ıveis por 8.
(g) O conjunto S = {x|x2 + 4x− 5 = 0}.
(h) O conjunto S = {x|2x− 4 ≥ 0ex < 1}.
2. Treˆs eventos sa˜o mostrados no diagrama de Venn na seguinte figura:
Reproduza a figura e sombreie a regia˜o que corresponde
a cada um dos eventos:
a) B′ b) A ∩ C c) (A ∩ C) ∪B d) (A ∪B)′ e) (A ∩B) ∩ C ′
3. Considere o espac¸o amostral S = {cobre, so´dio, nitrogeˆnio, pota´ssio, uraˆnio, oxigeˆnio, zinco}
e os eventos
A = {cobre, so´dio, zinco}
B = {so´dio, nitrogeˆnio, pota´ssio}
C = {oxigeˆnio}
Liste os elementos dos grupos correspondentes aos seguintes eventos:
a) A′ c) (A ∩B′) ∪ C ′ e) A ∩B ∩ C
b) A ∪ C d) B′ ∩ C ′ f) (A′ ∪B′) ∩ (A′ ∩ C)
4. Se S = {x|0 < x < 12}, M = {x|1 < x < 9} e N = {x|0 < x < 5}. Determine:
(a) M ∪N
(b) M ∩N
1
(c) M ′ ∩N ′
5. Treˆs bits sa˜o transmitidos em um canal digital de comunicac¸o˜es. Cada bit e´ distorcido ou
recebido sem distorc¸a˜o. Seja Ai o evento em que o i-e´simo bit e´ distorcido, i = 1, 2, 3, 4.
(a) Descreva o expac¸o amostral para esse experimento.
(b) Encontre
⋃2
i=1 Ai.
6. Amostras de uma pec¸a de alumı´nio fundido sa˜o classificadas com base no acabamento (em
micropolegadas) da superf´ıcie e no acabamento de borda. Os resultados de 100 pec¸as sa˜o
resumidos a seguir.
Acabamento da borda
excelente bom
acabamento excelente 80 2
de superf´ıcie bom 10 8
Sejam:
A → conjunto de pec¸as com bom acabamento na superf´ıcie
B → conjunto de pec¸as com excelente acabamento na borda
Determine o nu´mero de pec¸as de A ∪B, A ∩B e A′.
7. Em um estudo me´dico, os pacientes sa˜o classificados em oito maneiras, de acordo com seu tipo
sanguineo, AB+, AB−, A+, A−, B+, B−, O+ ou O−, e tambe´m de acordo com sua pressa˜o
arterial, baixa, alta ou normal. Determine o nu´mero de maneiras em que os pacientes podem
ser classificados.
8. Em um estudo para economia de combust´ıvel, cada um dos treˆs carros de corrida e´ testado
usando cinco marcas diferentes de gasolina, em sete pistas de testes localizadas em diferentes
regio˜es do pa´ıs. Se dois motoristas sa˜o usados no estudo, e testes de corridas sa˜o realizados
sob cada um dos conjuntos distintos de condic¸o˜es, quantos testes de corrida sa˜o necessa´rios?
9. Uma amostra de duas placas de circuito impresso e´ selecionada sem reposic¸a˜o a partir de uma
batelada. Descreva o espac¸o amostral (ordenado) para cada uma das seguintes bateladas.
a) A batelada conte´m 90 placas que sa˜o na˜o defeituosas, 8 placas com pequenos defeitos e 2
placas com grandes defeitos.
b) A batelada conte´m 90 placas que sa˜o na˜o defeituosas, 8 placas com pequenos defeitos e 1
placas com grandes defeitos.
10. Um pedido de compra de um computador pessoal digital pode especificar qualquer um dos
cinco tamanhos de memo´ria, qualquer um dos treˆs tipos de v´ıdeo, qualquer um dos quatros
tamanhos de disco r´ıgido e pode incluir ou na˜o uma plataforma de desenho. Quantos sis-
temas diferentes podem ser encomendados?
11. Um lote de 100 chips semicondutores e´ inspecionado, escolhendo-se uma amostra de cinco
chips. Suponha que dez dos chips na˜o obedec¸am aos requerimentos dos consumidores.
a) Quantas amostras diferentes sa˜o poss´ıveis?
2
b) Quantas amostras de cinco conteˆm exatamente um chip na˜o conforme?
c) Quantas amostras de cinco conteˆm no mı´nimo um chip na˜o conforme?
12. Considere um projeto de sistema de comunicac¸a˜o.
a) Quantos prefixos de telefone com treˆs d´ıgitos, que sa˜o usados para representar uma a´rea
geogra´fica particular (tal como um co´digo de a´rea), podem ser criados a partir dos d´ıgitos 0
a 9?
b) Como no item (a), quantos prefixos de telefone com treˆs d´ıgitos sa˜o poss´ıveis que na˜o
comecem com 0 ou 1, pore´m contenham 0 e 1 como d´ıgitos intermedia´rios?
c) Quantos prefixos de telefone com treˆs d´ıgitos sa˜o poss´ıveis em que nenhum d´ıgito aparec¸a
mais de uma vez em cada prefixo?
13. Cada um dos cinco resultados poss´ıveis de um experimento aleato´rio e´ igualmente prova´vel.
O espac¸o amostral e´ {a, b, c, d, e}. Seja A o evento {a, b}e B o evento {c, d, e}. Determine o
seguinte.
a) P (A) b) P (A′) c) P (A ∩B) d) P (B) e) P (A ∪B)
14. O espac¸o amostral de um experimento aleato´rio e´ {a, b, c, d, e}, com probabilidades 0, 1; 0, 1; 0, 2; 0, 4;
e 0, 2, respectivamente. Seja A o evento {a, b, c} e B o evento {c, d, e}. Determine o seguinte.
a) P (A) b) P (A′) c) P (A ∩B) d) P (B) e) P (A ∪B)
15. Uma pec¸a moldada por injec¸a˜o e´ igualmente prova´vel de ser obtido, a partir de qualquer
uma das oito cavidades de um molde.
a) Qual e´ o espac¸o amostral?
b) Qual e´ a probabilidade de a pec¸a ser proveniente da cavidade 1 ou 2?
c) Qual e´ a probabilidade de a pec¸a na˜o ser proveniente nem da cavidade 3 nem da 4?
16. Um carta˜o de cre´dito conte´m 16 d´ıgitos entre 0 e 9. No entanto, somente 100 milho˜es de
nu´meros sa˜o va´lidos. Se um nu´mero for selecionado aleatoriamente, qual e´ a probabilidade
de que esse seja um nu´mero va´lido?
17. Se A, B e C forem eventos mutuamente excludentes, com P (A) = 0, 2, P (B) = 0, 3 e
P (C) = 0, 4, determine as seguintes probabilidades:
a) P (A ∪B ∪ C) b) P (A ∩B ∩ C) c) P (A ∩B d) P [(A ∪B) ∩ C] e) P (A′ ∩B′ ∩ C ′)
18. A ana´lise de eixos para um compressor esta´ resumida de acordo com as especificac¸o˜es.
atende aos requerimentos
de aspecto arredondado
sim na˜o
atende aos requerimentos sim 345 5
de acabamento da superf´ıcie na˜o 12 8
a) Se o eixo for selecionado ao acaso, qual sera´ a probabilidade de o eixo atender aos requer-
imentos de acabamento da superf´ıcie?
3
b) Qual a probabilidade de o selecionado atender aos requerimentos de acabamento da su-
perf´ıcie ou aos requerimentos de aspecto arredondado?
c) Qual e´ a probabilidade de o eixo selecionado atender aos requerimentos de acabamento da
superf´ıcie ou na˜o atender aos requerimentos do aspecto arredondamento?
19. Discos de pla´sticos de policarbonato, provenientes de um fornecedor, sa˜o analisados com
relac¸a˜o a` resisteˆncia a arranho˜es e a choque. Os resultados de 100 discos esta˜o resumidos a
seguir:
resisteˆncia a choque
alta baixa
resisteˆncia alta 70 9
aos arranho˜es baixa 16 5
Seja A o evento em que um disco tenha alta resisteˆncia a choque e seja B o evento em que
um disco tenha alta resisteˆncia a arranho˜es. Determine as seguintes probabilidades:
a) Se um disco for selecionado ao acaso, qual sera´ a probabilidade de sua resisteˆncia a ar-
ranho˜es ser alta e de sua resisteˆncia a choque ser alta?
b) Se um disco for selecionado ao acaso, qual sera´ a probabilidade de sua resisteˆncia a ar-
ranho˜es ser alta ou de sua resisteˆncia a choque ser alta?
20. Um lote de 100 chips semicondutores conte´m 20 itens defeituosos. Dois deles sa˜o seleciona-
dos, ao acaso, sem reposic¸a˜o.
a) Qual a probabilidade de que o primeiro chip selecionado seja defeituoso?
b) Qual a probabilidade de que o segundo chip selecionado seja defeituoso, dado que o
primeirodeles foi defeituoso?
c) Qual a probabilidade de que ambos sejam defeituosos?
21. Suponha que P (A) = 0, 4 e P (B) = 0, 5. Determine o seguinte:
a) P (A ∩B) b) P (A′ ∩B)
22. Alan precisa sortear alguns nu´meros primos para elaborar uma questa˜o de teoria dos nu´meros
para a Prova de Matema´tica. Ele resolve jogar um dado comum e ir somando os pontos ate´
alcanc¸ar um primo. Ele pede para o seu filho mais velho Lucas ir anotando as respostas.
Da primeira vez que ele joga o dado sai o nu´mero 2. Lucas anota que o primeiro primo sera´
p1 = 2. No segundo lanc¸amento sai 1. Como 1 na˜o e´ primo, Alan volta a lanc¸ar o dado e
desta vez sai 4. lucas anota que o segundo primo sera´ p2 = 5. Alan lanc¸a o dado novamente e
obte´m 6. Neste momento seu segundo filho Matheus, que assistia ao sorteio, declara: Tenho
a intuic¸a˜o de que o pro´ximo primo sera´ p3 = 11.. Alan fica um pouco surpreso mas decide
continuar a lanc¸ar o dado normalmente. Qual a probabilidade de que o palpite de Matheus
venha a se confirmar?
4
Gabarito
1. (a) C:acima e B: abaixo da especificac¸a˜o S = {CCCC,CCCB,CCBC,CBCC,BCCC,CCBB,BBCC,CBBC,BCCB,CBCB,
BCBC,CBBB,BCBB,BCBB,BBCB,BBBC,BBBB}
(b) S = {funcional,menor, cosme´tica}
(c) transm. automa´tica (TA) ou transm. padra˜o (TP)
com ar cond. (CA) ou sem ar cond. (SA)
vermelha (V), azul (A), preta (P), branca (B)
S = {TA− CA− V, TA− CA−A, TA− CA− P, TA− CA−B, TA− SA− V, TA− SA−A, TA− SA− P,
TA−SA−B, TP−CA−V, TP−CA−A, TP−CA−P, TP−CA−B, TP−SA−V, TP−SA−A, TP−SA−P, TP−SA−B, }
(d) S = {C,OC,OOC,OOOC, · · · , OOOOOO...OOOC}
(e) S = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 1),
(4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}
(f) S = {8, 16, 24, 32, 40, 48}
(g) S = {−5, 1}
(h) S = {}
2.
3. (a) {N,P,O,U}
(b) {Z,C, S,O}
(c) {Z,C, S,N, P, U}
(d) {Z,C,U}
(e) {}
(f) {O}
4. (a) 0 < x < 9
(b) 1 < x < 5
(c) x ≤ 0 e x ≥ 9
5. (a) D: distorcido e R: recebido S = {DDD,DDR,DRD,RDD,DRR,RDR,RRD,RRR}
(b) {DDD,DDR}
6. n(A ∪B) = 92; n(A ∩B) = 80; n(A′) = 18
7. 32
8. 210
9. (a) {BB, dd,DD,Bd, dB,BD,DB, dD,Dd}
(b) {BB, dd,Bd, dB,BD,DB, dD,Dd}
10. 120 sistemas diferentes
11. (a) 75.287.520
(b) 25.551.900
(c) 31.338.252
12. (a) 1000
(b) 160
(c) 720
13. (a) 2
5
⇔ 40%
(b) 3
5
⇔ 60%
(c) 0
(d) 3
5
⇔ 60%
(e) 1⇔ 100%
14. (a) 0, 4⇔ 40%
5
(b) 0, 6⇔ 60%
(c) 0, 2⇔ 20%
(d) 0, 8⇔ 80%
(e) 1⇔ 100%
15. (a) S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
(b) 25%
(c) 75%
16. 10−8
17. (a) 90%
(b) 0%
(c) 0%
(d) 0%
(e) 10%
18. (a) 95%
(b) 98%
(c) 97%
19. (a) 70%
(b) 95%
20. (a) 20%
(b) 19%
(c) 3, 8%
21. (a) 20%
(b) 30%
22. Aproximadamente 26, 47%
6