TELETRANSMITIDA AULA 5 - 2017.3

Prévia do material em texto

CÁLCULO III
Aula 5 – Superfícies de Revolução e Superfícies Quádricas
Conteúdo Programático
1. Superfícies de Revolução
2. Superfícies Quádricas
Definição → Superfície obtida pela rotação de uma curva 
plana em torno de uma reta fixa (eixo da superfície de 
revolução) que pertence ao mesmo plano da curva (curva 
geratriz).
Exemplo: Parabolóide circular → Superfície de Revolução 
obtida pela rotação da parábola z = x2 em torno do eixo z.
SUPERFÍCIE DE REVOLUÇÃO
SUPERFÍCIES QUÁDRICAS
Podemos escrever uma equação do segundo grau usando 
três variáveis → x, y e z, obtendo a seguinte equação:
Ax2 + By2 + Cz2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0
Uma superfície cuja equação é deste tipo denominamos 
Quádrica ou superfície quádrica.
Podemos ainda definir como sendo o conjunto dos pontos 
do espaço tridimensional cujas coordenadas formam um 
polinômio de segundo grau de no máximo três variáveis 
denominado de equação cartesiana da superfície.
�A equação do segundo grau será do tipo
Ax2 + By2 + Dxy + Gx + Hy + J = 0
Ela será definida como uma cônica.
Exemplo: A parábola é uma cônica.
GRÁFICO DE UMA QUÁDRICA
TRAÇO
Para desenhar o gráfico de uma quádrica, primeiro temos que 
conhecer o traço de uma superfície. 
Definição: traço é a interseção de uma superfície com um 
plano. Podemos chamar de traço da superfície no plano.
Exemplo: O traço da superfície quádrica 
Ax2 + By2 + Cz2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0
No plano z = 0 é a cônica Ax2 + By2 + Dxy + Gx + Hy + J = 0
SEÇÕES
Para desenhar o gráfico de uma quádrica, precisamos 
conhecer as seções de uma superfície. 
Definição: Definimos como seções de uma superfície as 
curvas de interseção da superfície com os planos paralelos 
aos planos coordenados.
Exemplo: Se estamos no plano yz, as seções serão obtidas 
fazendo x = c (c é uma constante) na equação da 
superfície.
GRÁFICO DE UMA QUÁDRICA
EXEMPLO 1
Elipsóide
12
2
2
2
2
2
=++
c
z
b
y
a
x
1º) Traço: 
Plano xy . Elipse de equação
12
2
2
2
=+
b
y
a
x
tomando z = 0
Plano xz. Elipse de equação
Plano yz. Elipse de equação
12
2
2
2
=+
c
z
a
x
12
2
2
2
=+
c
z
b
y
tomando y = 0
tomando x = 0
2º) Seções: 
Seção do elipsóide no plano z = k
Se |k| < a ⇒ seção é uma circunferência.
Se |k| = a ⇒ seção é um ponto (0,0,k).
Se |k| > a⇒ não existe interseção ⇒ não existe seção.
2
2
2
2
2
2
1
c
k
b
y
a
x
−=+
EXEMPLO 2
Esfera
12
2
2
2
2
2
=++
a
z
a
y
a
x
1º) Traço: 
12
2
2
2
2
2
=++
a
z
a
y
a
x
Plano xy Plano yz
Plano xz12
2
2
2
=+
a
y
a
x
12
2
2
2
=+
a
z
a
x
12
2
2
2
=+
a
z
a
y
Eq. da circunferência
2º) Seções: 
Seção da esfera no plano z = k
Se |k| < a ⇒ seção é uma circunferencia.
Se |k| = a ⇒ seção é um ponto (0,0,k).
Se |k| > a⇒ não existe interseção ⇒ não existe seção.
A esfera têm como equação geral 
(x - b)² + (y - c)² + (z - d)² = r², onde 
C = (b,c,d) é o centro e r é o raio da circunferência. 
2
2
2
2
2
2
1
a
k
a
y
a
x
−=+
EXEMPLO 3
Considere a equação padrão de uma superfície quádrica:
12
2
2
2
2
2
=++
c
z
b
y
a
x
Se apenas um dos sinais 
do lado esquerdo é 
negativo, então a 
superfície é chamada 
hiperbolóide de uma 
folha.
Se dois sinais do lado 
esquerdo são negativos e 
o outro é positivo, então 
a superfície é chamada 
hiperbolóide de duas 
folhas.
Hiperbolóide de uma folha
12
2
2
2
2
2
=−+
c
z
b
y
a
x
1º) Traço 12
2
2
2
2
2
=−+
c
z
b
y
a
x
12
2
2
2
=+
b
y
a
x
O traço xy é a elipse O traço xz é a hipérbole
12
2
2
2
=−
c
z
a
x
O traço yz é a hipérbole
12
2
2
2
=−
c
z
b
y
2º) Seções: 
A seção da superfície no plano z = k é a elipse de 
equação
As seções da superfície nos planos y = k e x = k são 
hipérboles ou pares de retas.
2
2
2
2
2
2
1
c
k
b
y
a
x
+=+
EXEMPLO 4
Hiperbolóide de duas folhas
12
2
2
2
2
2
=−+−
c
z
b
y
a
x
1º) Traço
12
2
2
2
2
2
=−+−
c
z
b
y
a
x
�Plano xy - Hipérbole de equação → 12
2
2
2
=+−
b
y
a
x
�Plano yz - Hipérbole de equação → 12
2
2
2
=−
c
z
b
y
�Plano xz - Não existe traço
2º) Seções: 
A seção da superfície no plano z = k é a hipérbole de 
equação
A seção da superfície no plano x = k é a hipérbole de 
equação
2
2
2
2
2
2
1
c
k
b
y
a
x
+=+−
2
2
2
2
2
2
1
a
k
c
z
b
y
+=−
A seção da superfície no plano y = k possui equação
Se |k| < b ⇒ seção é vazia.
Se |k| = b ⇒ seção é um ponto (0,k,0).
Se |k| > b ⇒ a seção é uma elipse.
12
2
2
2
2
2
−=+
b
k
c
z
a
x
EXEMPLO 5
Cones Elípticos
02
2
2
2
2
2
=±±±
c
z
b
y
a
x
Temos a,b e c são constantes 
positivas e nem todos os 
sinais do lado esquerdo da 
equação são iguais.
1º) Traço
02
2
2
2
2
2
=−+
c
z
b
y
a
x
�Plano xy é a origem
Suponhamos que o cone elíptico tenha como equação 
�Plano xz e yz são os pares de retas concorrentes 
y
b
c
zex
a
c
z ±=±=
2º) Seções: 
A seção da superfície no plano x = k, k ≠ 0 é uma 
hipérbole de equação
A seção da superfície no plano y = k, k ≠ 0 é uma 
hipérbole de equação
2
2
2
2
2
2
a
k
c
z
b
y
=+−
2
2
2
2
2
2
b
k
c
z
a
x
=+−
A seção da superfície no plano z = k, k ≠ 0 é uma 
elipse de equação
2
2
2
2
2
2
1
c
z
b
y
a
x
+=+
EXEMPLO 6
Parabolóides Elípticos e Hiperbólico
Considere uma superfície quádrica onde a equação padrão 
pode ter os seguintes modelos:
y
c
z
a
x
oux
c
z
b
y
ouz
b
y
a
x
=±±=±±=±± 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
Onde a,b e c são constantes positivas.
�Parabolóide elíptico → os termos do lado esquerdo das 
equações possuem o mesmo sinal. 
�Parabolóide hiperbólico → os termos do lado esquerdo 
das equações possuem sinais opostos. 
y
c
z
a
x
oux
c
z
b
y
ouz
b
y
a
x
=±±=±±=±± 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
�Parabolóide elíptico → os termos do lado esquerdo das 
equações possuem o mesmo sinal. 
z
b
y
a
x
=+ 2
2
2
2
1º) Traço
z
b
y
a
x
=+ 2
2
2
2
O traço xy é a origem O traço xz é uma parábola 
2
2
a
x
z =
O traço yz é uma parábola
2
2
b
y
z =
2º) Seções: 
A seção da superfície no plano z = k possui equação
A seção da superfície no plano x = k é a parábola
k
b
y
a
x
=+ 2
2
2
2
2
2
2
2
b
y
a
k
z +=
A seção da superfície no plano y = k é a parábola
2
2
2
2
b
k
a
x
z +=
k > 0, a seção é uma elipse.
k < 0, a seção é vazia.
�Parabolóide hiperbólico → os termos do lado esquerdo 
das equações possuem sinais opostos. 
z
b
y
a
x
=+− 2
2
2
2
1º) Traço
z
b
y
a
x
=+− 2
2
2
2
O traço xy é o par de retas concorrentes x
a
by ±=
O traço yz é uma parábola 2
2
b
y
z =
O traço xz é uma parábola 2
2
a
x
z −=
2º) Seções: 
A seção da superfície no plano z = k é uma hipérbole
Se k > 0, a hipérbole possui equaçãoSe k < 0, a hipérbole possui equação
No plano y = k é uma parábola com concavidade para baixo.
No plano x = k é uma parábola com concavidade para cima.
k
b
y
a
x
=+− 2
2
2
2
k
b
y
a
x
=+− 2
2
2
2
k
b
y
a
x
=− 2
2
2
2
RESUMINDO
Quádricas
Cilindro circular → 12
2
2
2
=+
a
y
a
x
Cilindro hiperbólico 
( ) ( ) 12
2
2
2
±=−−−
b
ky
a
hx
Cilindro parabólico 
( )
2
2
a
hxy −±=
Cilindro elíptico
( ) ( ) 12
2
2
2
=
−
+
−
b
ky
a
hx
Esfera12
2
2
2
2
2
=++←
a
z
a
y
a
x
Elipsóide → →=++ 12
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x
Cone elíptico02
2
2
2
2
2
=±±±
c
z
b
y
a
x
Parabolóide elíptico → →=+ z
b
y
a
x
2
2
2
2
Parabolóide hiperbólico
→=+− z
b
y
a
x
2
2
2
2
Hiperbolóide de uma folha
→=−+ 12
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x
Hiperbolóide de duas folhas
12
2
2
2
2
2
=−+−
c
z
b
y
a
x