Lista4_ProdutoMisto

Prévia do material em texto

Universidade Federal Rural do Semi-Árido
Departamento de Ciências Exatas e Naturais
Disciplina: Geometria Analítica Período: 2012.2
Lista de Exercícios 4: Produto Misto
1. Os vetores
−→
i +
−→
j + 3
−→
k , 2
−→
i −−→j + 5−→k e 4−→i − 3−→j +−→k são coplanares? Explique a sua resposta.
2. Calcule o volume do paralelepípedo que tem um dos vértices no ponto A = (2, 1, 6) e os três vértices
adjacentes nos pontos B = (4, 1, 3), C = (1, 3, 2) e D = (1, 2, 1).
3. Verifique, em cada caso, se os pontos são coplanares:
(a) A = (0, 2,−2), B = (−1, 0,−2), C = (−2,−1,−3), D = (1, 1, 1).
(b) A = (−1, 0, 3), B = (−1,−2, 2), C = (1, 0, 2), D = (2, 4, 1).
4. Determine x de modo que −→a = (1, x, 0),−→b = (−x,−1, 1),−→c = (1, 1, 1) não sejam coplanares.
5. Considere o triângulo cujos vértices são os pontos A = (3, 2, 1), B = (3, 2, 2), C = (3, 3, 2). Deter-
mine:
(a) Os ângulos do triângulo 4ABC.
(b) O vetor projeção do menor lado sobre o maior lado.
(c) A altura do triângulo, relativa ao maior lado.
(d) A área do triângulo ABC.
(e) O volume do paralelepípedo gerado pelos vetores
−−→
AB,
−→
AC e
−−→
AB ×−→AC.
6. Calcule o ângulo entre os vetores 2i− j + k e −i+ 2j + 4k. Esses vetores são L.I. ou L.D.?
7. Dados
−→u = 2−→i − −→j + 2−→k ,−→v = −→i + 3−→j , determine uma base ortonormal negativa {−→a ,−→b ,−→c }
com
−→a paralelo a −→u e −→b coplanar com −→u e −→v
8. Dados
−→a = 2x−→i + 2x−→j + x−→k ,−→b = x−→i − 2x−→j + 2x−→k ,−→c = 2x−→i − x−→j − 2x−→k , mostre que
{−→a ,−→b ,−→c } é base ortogonal negativa se x < 0. Para que valor(es) de x, {−→a ,−→b ,−→c } será uma base
ortonormal? Ache as coordenadas de
−→y na base ortonormal obtida, sendo −→y o vetor que na base
canônica {−→i ,−→j ,−→k } tem coordenadas (1,−2,−3).
9. Os vetores
−→a ,−→b e −→c formam um terno ordenado positivo, e são perpendiculares entre si. Sabendo
que ‖ −→a ‖= 4, ‖ −→b ‖= 2, ‖ −→c ‖= 3, calcule
[−→a ,−→b ,−→c ].
10. Os pontos A = (4, 6, 2), B = (1, 2, 1), C = (3, 3, 3), D = (7, 4, 3) podem ser vértices de um paralele-
pípedo? Em caso afirmativo, calcule o volume do sólido considerado, as coordenadas do ponto E,
sendo AE uma diagonal interna.
11. Determine uma base ortonormal positiva a partir dos vetores
−→u = 2−→i −−→j +−→k e −→v = −→i −−→j −−→k .
12. Dados os vetores
−→a = (x, 2x, x),−→b = (−x, 0, x),−→c = (x,−x, x), para que valores de x, {−→a ,−→b ,−→c }
é base negativa? Para que valores de x, {−→a ,−→b ,−→c } é base ortogonal? Para que valores de x,
{−→a ,−→b ,−→c } é base ortonormal?
13. Dados os vetores
−→a ,−→b e −→c tais que o ângulo entre dois quaisquer deles, na ordem dada acima, é
pi
3 rd e sabendo que ‖ −→a ‖= 4, ‖
−→
b ‖= 2, ‖ −→c ‖= 6, determine ‖ −→a +−→b +−→c ‖.
1