P3 GASL 2010_1

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3a Prova de Geometria Anal´ıtica e Sistemas Lineares
Curso de Cieˆncias Exatas - 07/07/2010
Departamento de Matema´tica - ICE - UFJF
Quest. Notas
1
2
3
4
Total
Aluno: Matr´ıcula: Turma:
Observac¸o˜es: Esta prova deve conter 4 questo˜es, encerrando-se no item 4(d). A prova
e´ individual, sem consulta e na˜o e´ permitido o uso de calculadora.
1. Considere a reta X = (1, 0, 0) + t(1, 1, 1), t ∈ R, e os pontos A = (1, 1, 1) e B = (0, 0, 1).
(a) Ache o ponto da reta r que e´ equidistante aos pontos A e B. (30 pts)
(b) Ache o ponto P de r tal que o vetor ~PB faz aˆngulo medindo
pi
3
rad com o vetor
diretor da reta r.
2. Considere o plano pi : 2x+ y − z = 1.
(a) Encontre a equac¸a˜o geral do plano pi1 que conte´m a origem e e´ paralelo ao plano
pi. Calcule a distaˆncia entre os planos pi e pi1. (20 pts)
(b) Verifique se a reta r : (x, y, z) = (2−2t, 4t,−1+t), t ∈ R, e´ paralela ou concorrente
ao plano pi. Se forem paralelos, calcule a distaˆncia entre eles; se forem concorrentes,
ache o ponto de intersec¸a˜o.
3. Identifique a coˆnica de equac¸a˜o 16x2 − 9y2 − 64x − 18y + 199 = 0 e fac¸a o seu esboc¸o (25pts.)
no sistema de coordenadas xy.
4. Classifique cada uma das afirmac¸o˜es abaixo como VERDADEIRA ou FALSA. Se ver-
dadeira, prove; se falsa, prove ou deˆ um contra-exemplo. (25 pts)
(a) Se P = (x, y) for um ponto que satisfac¸a a equac¸a˜o x2 − 3y2 = 9, enta˜o
|d(P, (−2√3, 0))− d(P, (2√3, 0))| = 6.
(b) Os focos da elipse de equac¸a˜o 5x2 + 2y2 = 10 sa˜o os pontos (−√3, 0) e (√3, 0).
(c) A curva de equac¸a˜o polar r = 5senθ tangencia o eixo polar no polo.
(d) A para´bola1 de equac¸a˜o x2 = 2y tem foco em (0, 1) e reta diretriz r : y = −1.
1Atenc¸a˜o! Os alunos que desejarem fazer a Prova Opcional de Geometria Anal´ıtica e Sistemas Lineares,
que ocorrera´ no dia 14/07/2010, devera˜o fazer sua inscric¸a˜o na sala da Coordenac¸a˜o do Curso de Cieˆncias
Exatas, ate´ a manha˜ do dia 13/07/2010.