Lista de Estatística 2

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LISTA I – ESTATÍSTICA II 
 
 
1. Os depósitos efetuados no Banco, num determinado mês, têm distribuição normal com média 
R$ 9.000,00 e desvio padrão R$ 1.500,00. 
a. Um depósito é selecionado ao acaso dentre todos os referentes ao mês em questão. 
Qual é a probabilidade de que o depósito exceda R$6.000,00? 
b. Qual é o percentual de depósitos que estão na faixa de R$7.200 a R$11.800 reais? 
c. Se 200 depósitos forem selecionados, qual é o número esperado de depósitos com valor 
abaixo de 7.000 reais? 
2. Um fabricante de pneus sabe que a duração dos seus pneus segue a distribuição normal com 
média de 80.000 km e desvio-padrão de 4.500 km. 
a. Se um pneu for selecionado ao acaso, qual é a probabilidade de ele durar mais de 82 
mil km? 
b. Se uma amostra de 36 pneus for selecionada, qual é a probabilidade: 
i. De que a média da amostra (�̅�) seja maior que 82 mil km? 
ii. De que a média amostral (�̅�) esteja dentro do intervalo de µ ± 1,96? 
iii. Se uma amostra de n pneus for selecionada, e a probabilidade da média amostral 
ser maior que 82 mil km for 0,1867. Qual é o valor do tamanho da amostra (n) 
selecionada? 
3. O supervisor de um setor acredita que os operários gastam 55 minutos, em média, para 
completar uma determinada montagem. Para avaliar se o tempo médio de execução da montagem 
é realmente 55 minutos, o supervisor decide registrar, em um determinado dia, os tempos 
de execução para uma amostra de 16 operários. Assumindo que a distribuição do tempo de 
execução da montagem tenha distribuição normal com um desvio-padrão de 6 minutos. 
a. Se o tempo médio de montagem for realmente 55 minutos, determine a probabilidade de 
uma amostra de 16 operários apresentar um tempo médio de montagem superior a 1 hora. 
b. É comum uma amostra de 16 operários apresentar um tempo médio de montagem superior 
a uma hora? E, se após coletar os dados, você constatar que os 16 operários tiveram 
REALMENTE um tempo médio amostral (�̅�) maior que uma hora, ainda haveria evidências 
para acreditaria no supervisor? Justifique a sua resposta. 
4. Considere a função de probabilidade conjunta da amostra de tamanho 2 da população 
{1,3,5,5,7} (fizemos em classe.) 
a. Seja �̂�2 =
∑ (𝑋𝑖−�̅�)
22
1
2
 e 𝑠2 = ∑ (𝑋𝑖 − �̅�)
22
1 . Construa a distribuição amostral de �̂�
2 e compare 
com a distribuição amostral de 𝑠2 Identifique uma propriedade de 𝑠2 que seja melhor 
que �̂�2. 
b. Seja U a média de elementos distintos de amostras de tamanho 3. Por exemplo, se a 
amostra observada for (1,1,3), então u= (1+3) /2=2. Construa a distribuição amostral 
de U. 
c. Compare as distribuições amostrais de U e �̅�. 
 
 
X1 X2 Total 
1 1 3 5 7 
1 1/25 1/25 2/25 1/25 1/5 
3 1/25 1/25 2/25 1/25 1/5 
5 2/25 2/25 2/25 2/25 2/5 
7 1/25 1/25 2/25 1/25 1/5 
Total 1/5 1/5 2/5 1/5 1 
 
 
Respostas: a) 0,9773 b) 0,8542 c) 18 
Respostas: a) 0,33 b) 0,0038 e 0,95 c) n = 4 pneus 
Respostas: a) 0,0004 b)2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
LISTA 2 – BUSSAB ESTATÍSTICA II 
Distribuição amostral da média e proporção 
 
 
1. Uma v.a. X tem distribuição normal, com média 100 e desvio padrão 10. 
a. Qual a P(90 < X < 110)? 
b. Se �̅� for a média de uma amostra de 16 elementos retirados dessa população, calcule 
𝑃(90 < �̅� < 110). 
c. Represente, num único gráfico, as distribuições de X e �̅�. 
d. Que tamanho deveria ter a amostra para que 𝑃(90 < �̅� < 110) = 0,95? 
2. A máquina de empacotar um determinado produto o faz segundo uma distribuição normal, com 
média μ e desvio padrão 10 g. 
a. Em quanto deve ser regulado o peso médio μ para que apenas 10% dos pacotes tenham 
menos do que 500 g? 
b. Com a máquina assim regulada, qual a probabilidade de que o peso total de 4 pacotes 
escolhidos ao acaso seja inferior a 2 kg? 
3. No exemplo anterior, e após a máquina estar regulada, programou-se uma carta de controle 
de qualidade. De hora em hora, será retirada uma amostra de quatro pacotes e esses serão 
pesados. Se a média da amostra for inferior a 495 g ou superior a 520 g, encerra-se a 
produção para reajustar a máquina, isto é, reajustar o peso médio. 
a. Qual é a probabilidade de ser feita uma parada desnecessária? 
b. Se o peso médio da máquina se desregulou para 500 g, qual é a probabilidade de 
continuar a produção fora dos padrões desejados? 
4. A capacidade máxima de um elevador é de 500 kg. Se a distribuição X dos pesos dos usuários 
for suposta N~ (70, 100): 
a. Qual é a probabilidade de sete passageiros ultrapassarem esse limite? 
b. E seis passageiros? 
5. Sabe-se que 20% das peças de um lote são defeituosas. Sorteiam-se oito peças, com reposição, 
e calcula-se a proporção �̂� de peças defeituosas na amostra. 
a. Construa a distribuição exata de �̂� (use a tabela da distribuição binomial). 
b. Construa a aproximação normal à binomial. 
c. Você pensa que a segunda distribuição é uma boa aproximação da primeira? 
d. Já sabemos que, para dado p fixo, a aproximação melhora à medida que n aumenta. 
Agora, se n for fixo, para qual valor de p a aproximação é melhor? 
6. Um procedimento de controle de qualidade foi planejado para garantir um máximo de 10% de 
itens defeituosos na produção. A cada 6 horas sorteia-se uma amostra de 20 peças e, havendo 
mais de 15% de defeituosas, encerra-se a produção para verificação do processo. Qual a 
probabilidade de uma parada desnecessária? 
7. Supondo que a produção do exemplo anterior esteja sob controle, isto é, p = 10%, e que os 
itens sejam vendidos em caixas com 100 unidades, qual a probabilidade de que uma caixa: 
a. Tenha mais do que 10% de defeituosos? 
b. Não tenha itens defeituosos? 
8. Suponha que uma indústria farmacêutica deseja saber a quantos voluntários se deva aplicar 
uma vacina, de modo que a proporção de indivíduos imunizados na amostra difira de menos 
de 2% da proporção verdadeira de imunizados na população, com probabilidade 90%. Qual o 
tamanho da amostra a escolher? Use a expressão com p máximo. 
9. No problema anterior, suponha que a indústria tenha a informação de que a proporção de 
imunizados pela vacina seja p  0,80. Qual o novo tamanho de amostra a escolher? Houve 
redução? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
LISTA 3 – ESTATÍSTICA II 
 
1. De uma população com N = 12 elementos é retirada uma amostra aleatória simples, sem 
reposição, de n = 5. 
a. Quantas são as possíveis amostras? 
b. Qual a probabilidade de cada uma destas amostras ser selecionada? 
2. Uma população é composta dos elementos: A, B, C, D e F. 
a. Liste todas as possíveis amostras aleatórias simples, com reposição, com n = 2. 
b. Determine a probabilidade de ser sorteada a amostra BC. 
3. A tabela, abaixo, é a distribuição de frequências de uma amostra aleatória simples 
proveniente de determinada população. 
a. Determine o tamanho da amostra. 
b. O estimador da média da população, , é a média amostral �̅�. Determine uma estimativa 
da média da população , , baseado nesta amostra. 
c. Um estimador da variância da população,2, é a variância amostral, s2, Determine uma 
estimativa da variância da população,2. 
d. Um estimador para proporção populacional p e é a proporção amostra, �̂�. Determine 
uma estimativa da proporção de valores pares na população. 
X Frequência (%) 
1 40 
2 45 
3 8 
4 7 
4. Uma população é formada pelos elementos: A = 3, B = 6, C = 9 e D = 12. 
a. Determine os seguintes parâmetros: 
i. Média; 
ii. Variância; 
iii. Proporção de elementos menores que 8; 
b. Construa a distribuição amostral da média da amostra utilizando aas, com reposição, 
de tamanho n = 2. 
i. Determine a esperança e a variância da distribuição amostral da média. 
5. De uma população com N = 4000 pessoas de uma região foi obtida uma amostra aleatória, 
simples, de 400 pessoas que revelou 60 analfabetos. Estime: 
a. A proporção de analfabetosda região. 
b. O erro amostral do estimador proporção. 
c. Uma AAS de tamanho 900 extraída de uma população bastante grande apresentou 40% de 
pessoas do sexo masculino. Estime o erro amostral do estimador proporção de pessoas 
do sexo masculino. 
6. Uma população tem média 500 e desvio padrão 30. 
a. Determinar a probabilidade que uma AAS de 100 elementos apresentar um valor médio 
superior a 504,50. 
b. Calcule a probabilidade de que uma AAS com n = 64 valores apresentar média entre 
492,5 e 507,5. 
c. Se uma AAS de n = 144 for extraída desta população, qual o percentual de médias 
amostrais que estarão entre 495,5 e 504,5? 
7. Uma população é normalmente distribuída com média 800 e desvio padrão 60. 
a. Determine a probabilidade de que uma AAS de tamanho 9 apresentar média menor que 
780. 
b. Calcule a probabilidade de que uma AAS de tamanho n = 16 tenha média entre os 
valores 781,4 e 818,6. 
c. Que percentual de médias amostrais de uma amostra de tamanho n = 25 estarão no 
intervalo [776,824]? 
8. A proporção de eleitores de um candidato é 20%. 
a. Qual a probabilidade de uma amostra aleatória simples de 100 eleitores apresentarem 
uma proporção amostral superior a 26%? 
b. Qual a probabilidade de uma amostra aleatória simples de 400 eleitores apresentarem 
uma proporção de eleitores do candidato entre 17% e 23%? 
c. Se a amostra aleatória for de 625 eleitores, qual a percentual de valores do 
estimador proporção amostral que estarão no intervalo [0,16864; 0,23136]? 
9. Admitindo que a probabilidade nascer um menino ou uma menina seja igual, determine a 
probabilidade de que das próximas 400 crianças a nascerem. 
a. Menos de 45% sejam meninas. 
b. Mais de 54% sejam meninos.