LISTA RM II 02

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ANDRADINA 
2017 
 
 
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Engenharia Mecânica – 5º Período 
 
Discente: Eduardo Moreira Bezerra RA: 1530096890 
Docente: Prof. Juliano Torteli de Godoi Zucato Disciplina: Resistência dos Materiais II Data: 17/04/2017 
 
 1) Determine a coordenada do centroide do perfil sólido abaixo. 
 
 
 
Solução. Temos as seguintes componentes: 
 
I II III 
 
𝐶1(�̅�; �̅�) = 𝐶1(50; 10) 𝐶2(�̅�; �̅�) = 𝐶2(10; 100) 𝐶3(�̅�; �̅�) = 𝐶3(50; 190) 
 
Componente Área (mm2) 𝒙 ̅(mm) 𝒚 ̅(mm) �̅�𝑨 (mm3) �̅�𝑨 (mm3) 
I 2.000 50 10 100.000 20.000 
II 3.200 10 100 32.000 320.000 
III 2.000 50 190 100.000 380.000 
 ∑ 𝐴 = 7.200 ∑ �̅�𝐴 = 232.000 ∑ �̅�𝐴 = 720.000 
 
Logo, temos que a centroide pode ser encontrada por 
 
�̅� ∑ 𝐴 = ∑ �̅�𝐴 ⟹ �̅� =
∑ �̅�𝐴
∑ 𝐴
=
232.000
7.200
=
290
9
⟹ �̅� = 𝟑𝟐, 𝟐𝟐 mm 
 
 
�̅� ∑ 𝐴 = ∑ �̅�𝐴 ⟹ �̅� =
∑ �̅�𝐴
∑ 𝐴
=
720.000
7.200
⟹ �̅� = 𝟏𝟎𝟎 mm 
 
Portanto as coordenadas da centroide é o ponto 𝑪(�̅�; �̅�) = 𝑪(𝟑𝟐, 𝟐𝟐; 𝟏𝟎𝟎) 𝐦𝐦. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑥 
𝐶1 
100 
𝑥 𝑥 
160 
𝐶2 
�̅� 
𝐶3 
20 100 
20 
20 
�̅� 
�̅� 
�̅� 
𝑦 
�̅� 
�̅� 
𝑦 𝑦 
 
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Engenharia Mecânica – 5º Período 
 
Discente: Eduardo Moreira Bezerra RA: 1530096890 
Docente: Prof. Juliano Torteli de Godoi Zucato Disciplina: Resistência dos Materiais II Data: 17/04/2017 
 
 2) A figura abaixo é feita de um pedaço de arame fino e homogêneo. Determine a localização do 
centro de gravidade. 
 
 
Solução. Podemos considerar os seguintes seguimentos de reta no arame: 
 
𝐴𝐶 𝐴𝐵 𝐶𝐵 
 
𝐶1(�̅�; �̅�) = 𝐶1(0; 12,5) 𝐶2(�̅�; �̅�) = 𝐶2(30; 0) 𝐶3(�̅�; �̅�) = 𝐶3 (
60
2
;
25
2
) 
 
Seguimento Comprimento 𝒍 (cm) �̅� (cm) �̅� (cm) �̅�𝒍 (cm2) �̅�𝒍 (cm2) 
𝐴𝐶 25 0 12,5 0 312,5 
𝐴𝐵 60 30 0 1.800 0 
𝐶𝐵 65 30 12,5 1.950 812,5 
 ∑ 𝑙 = 150 ∑ �̅�𝑙 = 3.750 ∑ �̅�𝑙 = 1.125 
 
Assim podemos determinar o centro de gravidade de uma linha composta, ou seja, 
 
�̅� ∑ 𝑙 = ∑ �̅�𝑙 ⟹ �̅� =
∑ �̅�𝑙
∑ 𝑙
=
3.750
150
⟹ �̅� = 𝟐𝟓 cm 
 
 
�̅� ∑ 𝑙 = ∑ �̅�𝑙 ⟹ �̅� =
∑ �̅�𝑙
∑ 𝑙
=
1.125
150
⟹ �̅� = 𝟕, 𝟓 cm 
 
Portanto as coordenadas do centro de gravidade é o ponto 𝑪(�̅�; �̅�) = 𝑪(𝟐𝟓; 𝟕, 𝟓) 𝐜𝐦. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑦 𝑦 𝑦 
𝑥 𝑥 𝑥 
�̅� 
�̅� �̅� 
�̅� 𝐶1 
𝐶2 
𝐶3 
𝐶 
𝐴 𝐴 𝐵 
𝐶 
𝐵 
 
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 3) Encontre as coordenadas do centroide da figura abaixo: 
a) por Integração Direta; 
b) pelo Teorema de Pappus‐Guldinus. 
 
 
 
Solução. Na reta (função 𝑓(𝑥)) temos que quando 𝑥 = 2, 𝑓(𝑥) = 4. 𝑏 é o coeficiente linear da reta, isto é, 𝑏 = 0. Logo 
o coeficiente angular é da do por 
 
𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 ⟺ 4 = 𝑎 ⋅ 2 + 0 ⟺ 𝑎 =
4
2
= 2 
 
Temos que a função 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 2𝑥. 
 
a) Integração Direta 
 �̅�𝑒𝑙 = 𝑥 
 �̅�𝑒𝑙 = 𝑦 2⁄ 
 𝑑𝐴 = 𝑦 𝑑𝑥 
 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 2𝑥 
 
 
𝑑𝐴 = 𝑦 𝑑𝑥 ⟹ ∫ 𝑑𝐴 = ∫ 𝑦 𝑑𝑥 ⟹ 𝐴 = ∫ 2𝑥
2
0
𝑑𝑥 = 2 ∫ 𝑥
2
0
𝑑𝑥 = 2 ⋅ [
𝑥2
2
]
0
2
⟹ 𝐴 = 4 m2 
 
i) Momento de primeira ordem em relação ao eixo 𝑦 (𝑄𝑦) 
 
𝑄𝑦 = �̅�𝐴 = ∫ �̅�𝑒𝑙 𝑑𝐴 = ∫ 𝑥 ⋅ 𝑦
2
0
𝑑𝑥 = ∫ 𝑥 ⋅ 2𝑥
2
0
𝑑𝑥 = 2 ∫ 𝑥2
2
0
𝑑𝑥 = 2 ⋅ [
𝑥3
3
]
0
2
=
16
3
⟹ 𝑄𝑦 = 5,33 m
3 
 
Logo �̅�𝐴 = 5,33 ⟹ �̅� ⋅ 4 = 5,33 ⟹ �̅� = 𝟏, 𝟑𝟑 m. 
 
ii) Momento de primeira ordem em relação ao eixo 𝑥 (𝑄𝑥) 
 
𝑄𝑥 = �̅�𝐴 = ∫ �̅�𝑒𝑙 𝑑𝐴 = ∫
𝑦
2
⋅ 𝑦
2
0
𝑑𝑥 =
1
2
∫ 𝑦2
2
0
𝑑𝑥 =
1
2
∫ (2𝑥)2
2
0
𝑑𝑥 =
1
2
∫ 4𝑥2
2
0
𝑑𝑥 = 2 ∫ 𝑥2
2
0
𝑑𝑥 = 2 ⋅ [
𝑥3
3
]
0
2
 
 
𝑄𝑥 = �̅�𝐴 = 5,33 m
3 
 
Logo �̅�𝐴 = 5,33 ⟹ �̅� ⋅ 4 = 5,33 ⟹ �̅� = 𝟏, 𝟑𝟑 m. 
 
Portanto as coordenadas da centroide é o ponto 𝑪(�̅�; �̅�) = 𝑪(𝟏, 𝟑𝟑; 𝟏, 𝟑𝟑) 𝐦. 
 
b) Teorema de Pappus‐Guldinus 
 
 
A área do triângulo é 
 
𝐴 =
𝑏ℎ
2
 
 
onde 𝑏 = 2 m e ℎ = 4 m. 
 
Pelo segundo teorema de Pappus, podemos obter: 
 
𝑉𝑦 = 2𝜋�̅�𝐴 ⟹ �̅� =
𝑉𝑦
2𝜋𝐴
 
 
𝑉𝑥 = 2𝜋�̅�𝐴 ⟹ �̅� =
𝑉𝑥
2𝜋𝐴
 
𝑥 
𝑥 
�̅�𝑒𝑙 
𝑦 
2 m 
�̅� 
4 m 
�̅� 
�̅�𝑒𝑙 𝑑𝑥 
𝑦 
𝑦 
𝑥 
(𝑥; 𝑦) 
𝑓(𝑥) ⟶ 
↙ 
𝑒𝑙 
 
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 i) Centroide �̅� 
 
 
𝑉𝐶𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 = 𝐴𝑏ℎ = 𝜋𝑏
2ℎ 𝑉𝐶𝑜𝑛𝑒 =
1
3
𝐴𝑏ℎ =
1
3
𝜋𝑏2ℎ 
 
𝑉𝑦 = 𝑉𝐶𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 − 𝑉𝐶𝑜𝑛𝑒 
𝑉𝑦 = 𝜋𝑏
2ℎ −
1
3
𝜋𝑏2ℎ =
2
3
 𝜋𝑏2ℎ 
 
A centroide �̅� é igual a: 
 
�̅� =
𝑉𝑦
2𝜋𝐴
=
2
3 𝜋𝑏
2ℎ
2𝜋𝐴
=
2
3 𝜋𝑏
2ℎ
2𝜋
𝑏ℎ
2
=
2
3
𝜋𝑏2ℎ ⋅
1
𝜋𝑏ℎ
⟹ �̅� =
𝟐
𝟑
𝒃 
 
ii) Centroide �̅� 
 
 
 
 
𝑉𝑥 =
1
3
𝐴𝑏𝑏 =
1
3
𝜋ℎ2𝑏 
 
A centroide �̅� é igual a: 
 
�̅� =
𝑉𝑥
2𝜋𝐴
=
1
3 𝜋ℎ
2𝑏
2𝜋𝐴
=
1
3 𝜋ℎ
2𝑏
2𝜋
𝑏ℎ
2
=
1
3
𝜋ℎ2𝑏 ⋅
1
𝜋𝑏ℎ
⟹ �̅� =
𝟏
𝟑
𝒉 
 
Portanto, a centroide é 𝐶 (
2
3
𝑏; 
1
3
ℎ) = 𝑪(𝟏, 𝟑𝟑; 𝟏, 𝟑𝟑) m 
 
 
 
 
 
𝑦 
𝑥 
𝑧 
𝑏 
ℎ 
𝑦 
𝑥 
�̅� =
2
3
𝑏 
�̅� =
1
3
ℎ 
 
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4) Encontre o centroide da área plana mostrada abaixo. 
 
 
 
Solução. Na curva (função 𝑦 = 𝑓(𝑥)) temos que quando 𝑥 = 480, 𝑓(𝑥) = 200. Por hipótese a curva é uma parábola 
passando pela origem. Então seja 𝑘 coeficiente angular, temos que: 
 
𝑓(𝑥) = 𝑘𝑥2 ⟺ 𝑓(480) = 𝑘(480)2 ⟺ 200 = 230.400𝑘 ⟺ 𝑘 =
200
230.400
⟺ 𝑘 =
1
1.152
 
 
Por integração direta, temos 
 
 
 �̅�𝑒𝑙 = 𝑥 
 �̅�𝑒𝑙 = 𝑦 2⁄ 
 𝑑𝐴 = 𝑦 𝑑𝑥 
 𝑦 = 𝑓(𝑥) =
1
1.152
𝑥2 
 
𝑑𝐴 = 𝑦 𝑑𝑥 ⟹ ∫ 𝑑𝐴 = ∫ 𝑦 𝑑𝑥 ⟹ 𝐴 = ∫
1
1.152
𝑥2
480
240
𝑑𝑥 =
1
1.152
∫ 𝑥2
480
240
𝑑𝑥 =
1
1.152
⋅ [
𝑥3
3
]
240
480
 
 
𝐴 =
1
1.152
⋅ [
4803
3
−
2403
3
] = 28 ⋅ 103 mm2 
 
i) Momento de primeira ordem em relação ao eixo 𝑦 (𝑄𝑦) 
 
𝑄𝑦 = �̅�𝐴 = ∫ �̅�𝑒𝑙 𝑑𝐴 = ∫ 𝑥 ⋅ 𝑦
480
240
𝑑𝑥 = ∫ 𝑥 ⋅
1
1.152
𝑥2
480
240
𝑑𝑥 =
1
1.152
∫ 𝑥3
480
240
𝑑𝑥 =
1
1.152
⋅ [
𝑥4
4
]
240
480𝑄𝑦 = �̅�𝐴 =
1
1.152
⋅ [
4804
4
−
2404
4
] = 10,8 ⋅ 106 mm3 
 
Logo 
 
�̅�𝐴 = 10,8 ⋅ 106 ⟹ �̅� ⋅ 28 ⋅ 103 = 10,8 ⋅ 106 ⟹ �̅� =
10,8 ⋅ 106
28 ⋅ 103
⟹ �̅� = 𝟑𝟖𝟓, 𝟕𝟏 mm 
 
ii) Momento de primeira ordem em relação ao eixo 𝑥 (𝑄𝑥) 
 
𝑄𝑥 = �̅�𝐴 = ∫ �̅�𝑒𝑙 𝑑𝐴 = ∫
𝑦
2
⋅ 𝑦
480
240
𝑑𝑥 =
1
2
∫ 𝑦2
480
240
𝑑𝑥 =
1
2
∫ (
1
1.152
𝑥2)
2480
240
𝑑𝑥 =
1
2 ⋅ 1.1522
∫ 𝑥4
480
240
𝑑𝑥 =
1
2 ⋅ 1.1522
⋅ [
𝑥5
5
]
240
480
 
 
 
𝑄𝑥 = �̅�𝐴 =
1
2 ⋅ 1.1522
⋅ [
4805
5
−
2405
5
] = 1,86 ⋅ 106 mm3 
 
Logo 
 
�̅�𝐴 = 1,86 ⋅ 106 ⟹ �̅� ⋅ 28 ⋅ 103 = 1,86 ⋅ 106 ⟹ �̅� =
1,86 ⋅ 106
28 ⋅ 103
⟹ �̅� = 𝟔𝟔, 𝟒𝟐 mm 
 
Portanto as coordenadas da centroide é o ponto 𝑪(�̅�; �̅�) = 𝑪(𝟑𝟖𝟓, 𝟕𝟏; 𝟔𝟔, 𝟒𝟐) 𝐦. 
 
 
𝑦 
𝑥 
𝑑𝑥 �̅�𝑒𝑙 
𝑦 
�̅�𝑒𝑙 = 𝑥 
200 mm 
240 mm 240 mm 
480 mm 
↙ 
𝑒𝑙𝑒𝑚. 
𝑓(𝑥) ⟶ 
𝑃(𝑥; 𝑦) 
0 
 
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5) Determine o volume gerado pela rotação do trapézio abaixo. 
a) Em torno do eixo 𝑥. 
b) Em torno do eixo 𝑦. 
 
 
 
Solução. Temos as seguintes componentes: 
 
I II 
 
 
 
 
𝐶1(�̅�; �̅�) = 𝐶1(75; 50) 𝐶2(�̅�; �̅�) = 𝐶2(100; 125) 
 
Componente Área (mm2) 𝒙 ̅(mm) 𝒚 ̅(mm) �̅�𝑨 (mm3) �̅�𝑨 (mm3) 
I 15.000 75 50 1.125.000 750.000 
II 5.625 100 125 562.500 703.125 
 ∑ 𝐴 = 20.625 ∑ �̅�𝐴 = 1.687.500 ∑ �̅�𝐴 = 1.453.125 
 
a) Volume em torno do eixo 𝑥 
 
𝑉𝑥 = 2𝜋�̅�𝐴 = 2𝜋 ∑ �̅�𝐴 
 
𝑉𝑥 = 2𝜋 ⋅ 1.453.125 
 
𝑉𝑥 = 9.130.253,65 mm
3 
 
𝑽𝒙 = 𝟗, 𝟏𝟑 ⋅ 𝟏𝟎
𝟔 mm3 
 
 
 
b) Volume em torno do eixo 𝑦 
 
𝑉𝑦 = 2𝜋�̅�𝐴 = 2𝜋 ∑ �̅�𝐴 
 
𝑉𝑦 = 2𝜋 ⋅ 1.687.500 
 
𝑉𝑦 = 10.602.875,21 mm
3 
 
𝑽𝒚 = 𝟏𝟎, 𝟔𝟎 ⋅ 𝟏𝟎
𝟔 mm3 
 
 
𝑦 
𝑥 
𝑦 
𝑥 
�̅� 
�̅� 
100 mm 
0 
150 mm 
𝐶1 
𝐶2 �̅� 
�̅� 0 
75 mm 
150 mm 
𝑦 
𝑥 
𝑧 
𝑦 
𝑥 
𝑧