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LISTA RM II 01

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ANDRADINA 
2017 
 
 
1 
Faculdades Integradas Rui Barbosa – FIRB 
Engenharia Mecânica 
5º Período 
 
Discente: Eduardo Moreira Bezerra RA: 1530096890 
Docente: Prof. Juliano Torteli de Godoi Zucato Disciplina: Resistência dos Materiais II Data: 03/04/2017 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS – RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II 
 
1) Para o estado plano de tensão mostrado abaixo, determine as tensões normal e de 
cisalhamento que atuam na face do elemento triangular sombreado. Use o método de análise 
com base no equilíbrio desse elemento (Analiticamente). 
 
 
 
Solução. No triângulo retângulo, temos: 
 
 
 
i) Tensões normal 
 
𝜎𝑥′ =
𝜎𝑥 + 𝜎𝑦
2
+ (
𝜎𝑥 − 𝜎𝑦
2
) ⋅ cos 2𝜃 + 𝜏𝑥𝑦 sen 2𝜃 =
−60 + 0
2
+ (
−60 − 0
2
) ⋅ cos(2 ⋅ 30∘) + 90 ⋅ sen(2 ⋅ 30∘) 
 
𝜎𝑥′ = −30 + (−30) cos 60
∘ + 90 sen 60∘ = −30 − 15 + 77,94 
 
𝝈𝒙′ = 𝟑𝟐, 𝟗𝟒 MPa 
 
𝜎𝑦′ =
𝜎𝑥 + 𝜎𝑦
2
− (
𝜎𝑥 − 𝜎𝑦
2
) ⋅ cos 2𝜃 − 𝜏𝑥𝑦 sen 2𝜃 =
−60 + 0
2
− (
−60 − 0
2
) ⋅ cos(2 ⋅ 30∘) − 90 ⋅ sen(2 ⋅ 30∘) 
 
𝜎𝑦′ = −30 − (−30) cos 60
∘ + 90 sen 60∘ = −30 + 15 − 77,94 
 
𝝈𝒚′ = −𝟗𝟐, 𝟗𝟒 MPa 
 
 
ii) Tensão de cisalhamento 
 
𝜏𝑥′𝑦′ = − (
𝜎𝑥 − 𝜎𝑦
2
) sen 2𝜃 + 𝜏𝑥𝑦 cos 2𝜃 = − (
−60 − 0
2
) sen(2 ⋅ 30∘) + 90 ⋅ cos(2 ⋅ 30∘) 
 
𝜏𝑥′𝑦′ = −(−30) sen 60
∘ + 90 cos 60∘ = 25,98 + 45 
 
𝝉𝒙′𝒚′ = 𝟕𝟎, 𝟗𝟖 𝐌𝐏𝐚 
 
2) Para o estado de tensão dado, determine as tensões normal e de cisalhamento depois que o 
elemento abaixo sofreu uma rotação de 25° no sentido horário. Utilize o método analítico para 
solucionar o problema. 
 
 
𝜏𝑥′𝑦′ 
𝜎𝑥′ 𝜃 𝜎𝑥 
𝜎𝑦 
𝜏𝑥𝑦 
𝜎𝑥 = −60 MPa. 
𝜎𝑦 = 0. 
𝜏𝑥𝑦 = 90 MPa. 
𝜃 = 30°. 
60° 
 
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Engenharia Mecânica 
5º Período 
 
Discente: Eduardo Moreira Bezerra RA: 1530096890 
Docente: Prof. Juliano Torteli de Godoi Zucato Disciplina: Resistência dos Materiais II Data: 03/04/2017 
 Solução. No triângulo retângulo, temos: 
 
 
 
i) Tensões normal 
 
𝜎𝑥′ =
𝜎𝑥 + 𝜎𝑦
2
+ (
𝜎𝑥 − 𝜎𝑦
2
) cos 2𝜃 + 𝜏𝑥𝑦 sen 2𝜃 =
−40 + 60
2
+ (
−40 − 60
2
) cos[2 ⋅ (−25∘)] + 20 sen[2 ⋅ (−25∘)] 
 
𝜎𝑥′ = 10 + (−50) cos(−50
∘) + 20 sen(−50∘) = 10 − 32,14 − 15,32 
 
𝝈𝒙′ = −𝟑𝟕, 𝟒𝟔 MPa 
 
𝜎𝑦′ =
𝜎𝑥 + 𝜎𝑦
2
− (
𝜎𝑥 − 𝜎𝑦
2
) cos 2𝜃 − 𝜏𝑥𝑦 sen 2𝜃 =
−40 + 60
2
− (
−40 − 60
2
) cos[2 ⋅ (−25∘)] − 20 sen[2 ⋅ (−25∘)] 
 
𝜎𝑦′ = 10 − (−50) cos(−50
∘) − 20 sen(−50∘) = 10 + 32,14 + 15,32 
 
𝝈𝒚′ = 𝟓𝟕, 𝟒𝟔 MPa 
 
 
ii) Tensão de cisalhamento 
 
𝜏𝑥′𝑦′ = − (
𝜎𝑥 − 𝜎𝑦
2
) sen 2𝜃 + 𝜏𝑥𝑦 cos 2𝜃 = − (
−40 − 60
2
) sen[2 ⋅ (−25∘)] + 20 ⋅ cos[2 ⋅ (−25∘)] 
 
𝜏𝑥′𝑦′ = −(−50) sen(−50
∘) + 20 cos(−50∘) = −38,302 + 12,855 
 
𝝉𝒙′𝒚′ = −𝟐𝟓, 𝟒𝟒𝟕 𝐌𝐏𝐚 
 
 
3) Para o estado de tensão dado, determine (utilizando o método analítico): 
a) Os planos principais; 
b) As tensões principais; 
c) A orientação dos planos de máxima tensão de cisalhamento; 
d) Máxima tensão de cisalhamento no plano; 
e) Tensão normal correspondente. 
 
Solução. Dados: 
𝜎𝑥 = −60 MPa. 
𝜎𝑦 = −40 MPa. 
𝜏𝑥𝑦 = 35 MPa. 
Ponto: 𝑋(𝜎𝑥; −𝜏𝑥𝑦) ⟶ 𝑋(−60; −35) 
Ponto: 𝑌(𝜎𝑦; 𝜏𝑦𝑥) ⟶ 𝑌(−40; 35) 
 
a) Planos principais 
 
tg 2𝜃𝑝 =
2𝜏𝑥𝑦
𝜎𝑥 − 𝜎𝑦
=
2 ⋅ 35
−60 + 40
= −
70
20
= −3,5 
 
2𝜃𝑝 = −74,054
∘ 
 
𝜽𝒑 = −𝟑𝟕, 𝟎𝟐𝟕
∘ 
 
𝜃𝑝 = −37,027
∘ + 90∘ ⟹ 𝜽𝒑 = 𝟓𝟐, 𝟗𝟕𝟑
∘ 
𝜏𝑥′𝑦′ 
𝜎𝑥′ 𝜃 𝜎𝑥 
𝜎𝑦 
𝜏𝑥𝑦 
𝜎𝑥 = −40 MPa. 
𝜎𝑦 = 60 MPa. 
𝜏𝑥𝑦 = 20 MPa. 
𝜃 = −25°. 
65° 
 
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5º Período 
 
Discente: Eduardo Moreira Bezerra RA: 1530096890 
Docente: Prof. Juliano Torteli de Godoi Zucato Disciplina: Resistência dos Materiais II Data: 03/04/2017 
 b) Tensões principais 
 
𝜎máx =
𝜎𝑥 + 𝜎𝑦
2
+ √(
𝜎𝑥 − 𝜎𝑦
2
)
2
+ 𝜏𝑥𝑦
2 =
−60 − 40
2
+ √(
−60 + 40
2
)
2
+ 352 = −50 + √1325 
 
𝝈máx ≅ −𝟏𝟑, 𝟔 𝐌𝐏𝐚 
 
𝜎mín =
𝜎𝑥 + 𝜎𝑦
2
− √(
𝜎𝑥 − 𝜎𝑦
2
)
2
+ 𝜏𝑥𝑦
2 =
−60 − 40
2
− √(
−60 + 40
2
)
2
+ 352 = −50 − √1325 
 
𝝈mín ≅ −𝟖𝟔, 𝟒 𝐌𝐏𝐚 
 
 
c) Orientação dos planos de máxima tensão de cisalhamento 
2𝜃𝑐 = 2𝜃𝑝 + 90
° = −74,054∘ + 90° = 15,946° 
 
𝜽𝒑 = 𝟕, 𝟗𝟕𝟑
∘ 
 
𝜃𝑐 = 7,973
° + 90∘ ⟹ 𝜽𝒄 = 𝟗𝟕, 𝟗𝟕𝟑
∘ 
 
d) Máxima tensão de cisalhamento no plano 
 
𝑟 = √(
𝜎𝑥 − 𝜎𝑦
2
)
2
+ 𝜏𝑥𝑦
2 = √(
−60 + 40
2
)
2
+ 352 = √1325 ⟹ 𝒓 = 𝟑𝟔, 𝟒 MPa 
 
e) Tensão normal 
 
𝜏′ = 𝜏méd =
𝜎𝑥 + 𝜎𝑦
2
=
−60 + 40
2
= −
100
2
 
 
𝝉′ = −𝟓𝟎 MPa 
 
 
 
 
4) Para o estado de tensão dado, determine através do Círculo de Mohr: 
a) Os planos principais; 
b) As tensões principais; 
c) A orientação dos planos de máxima tensão de cisalhamento; 
d) Máxima tensão de cisalhamento no plano; 
e) Tensão normal correspondente. 
𝑌 
𝑋 
𝑥 
𝑦 
𝜏máx 𝜏mín 0 
35 
−35 
−60 
−40 𝜏méd 
𝑟 
2𝜃𝑝 
 
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Solução. Dados: 
𝜎𝑥 = 16 MPa. 
𝜎𝑦 = −48 MPa. 
𝜏𝑥𝑦 = 60 MPa. 
Ponto: 𝑋(𝜎𝑥; −𝜏𝑥𝑦) ⟶ 𝑋(16; 60) 
Ponto: 𝑌(𝜎𝑦; 𝜏𝑦𝑥) ⟶ 𝑌(−48; −60) 
 
a) Planos principais 
 
tg 2𝜃𝑝 =
2𝜏𝑥𝑦
𝜎𝑥 − 𝜎𝑦
=
2 ⋅ 60
16 + 48
=
120
64
= 1,875 
 
2𝜃𝑝 = 61,92
∘ 
 
𝜽𝒑 = 𝟑𝟎, 𝟗𝟔
∘e 𝜽𝒑 = 𝟑𝟎, 𝟗𝟔
∘ + 𝟗𝟎∘ = 𝟏𝟐𝟎, 𝟗𝟔∘ 
b) Tensões principais 
 
𝜎máx =
𝜎𝑥 + 𝜎𝑦
2
+ √(
𝜎𝑥 − 𝜎𝑦
2
)
2
+ 𝜏𝑥𝑦
2 =
16 − 48
2
+ √(
16 + 48
2
)
2
+ 602 = −16 + √4624 
 
𝝈máx = 𝟓𝟐 𝐌𝐏𝐚 
 
𝜎mín =
𝜎𝑥 + 𝜎𝑦
2
− √(
𝜎𝑥 − 𝜎𝑦
2
)
2
+ 𝜏𝑥𝑦
2 =
16 − 48
2
− √(
16 + 48
2
)
2
+ 602 = −16 − √4624 
 
𝝈mín = −𝟖𝟒 𝐌𝐏𝐚 
 
 
c) Orientação dos planos de máxima tensão de cisalhamento 
2𝜃𝑐 = 2𝜃𝑝 + 90
° = 90° − 61,92∘ = 28,08° 
 
𝜽𝒄 = 𝟏𝟒, 𝟎𝟒
∘ 
 
𝜃𝑐 = 14,04
° + 90∘ ⟹ 𝜽𝒄 = 𝟏𝟎𝟒, 𝟎𝟒
∘ 
 
d) Máxima tensão de cisalhamento no plano 
 
𝑟 = √(
𝜎𝑥 − 𝜎𝑦
2
)
2
+ 𝜏𝑥𝑦
2 = √(
16 + 48
2
)
2
+ 602 = √4624 ⟹ 𝒓 = 𝟔𝟖 MPa 
 
e) Tensão normal 
 
𝜏′ = 𝜏méd =
𝜎𝑥 + 𝜎𝑦
2
=
16 − 48
2
= −
32
2
 
 
𝝉′ = −𝟏𝟔 MPa 
 
 
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