Antiderivadas

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Prof. Fernando B. Salomão 
 
2012 
 
 
 
 
AA mmeennttee qquuee ssee aabbrree aa uummaa nnoovvaa iiddééiiaa jjaammaaiiss vvoollttaarráá aaoo sseeuu ttaammaannhhoo oorriiggiinnaall.. 
AAllbbeerrtt EEiinnsstteeiinn 
 
2 
 
 
 
 
 Até agora, tratamos do “problema das tangentes”. Dada uma curva, achar o coeficiente 
angular de sua tangente ou, de modo equivalente , dada uma função, achar sua derivada. 
 Newton e Leibniz descobriram que muitos problemas de geometria e física dependem de 
“derivação para trás” ou “antiderivação”. Este é, às vezes, chamado problema inverso das 
tangentes: dada a derivada de uma função, achar a própria função. 
Veremos que o conceito de integral, que é formado totalmente independente do conceito 
de derivada, guarda com este uma relação muito importante. Esta relação entre os dois conceitos 
foi estabelecida por Newton e Leibniz no século XVII, sendo hoje conhecida como o 
Teorema Fundamental do Cálculo. Assim, além de introduzirmos técnicas de integração (anti-
diferenciação), o conceito de integral e tratarmos das propriedades e de suas relações com a 
derivada, apresentaremos algumas aplicações do cálculo de comprimentos, áreas, volumes e 
equações diferenciáveis com variáveis separáveis, onde esta última, na versão bem leve, pois 
equações diferenciáveis será uma unidade da disciplina Cálculo III. 
 De agora em diante trabalharemos com as mesmas regras de derivação. No entanto, aqui 
essas regras são usadas no sentido contrário e levam em particular á “Integração” de polinômios. 
 
 Se y = F(x) é uma função cuja derivada é conhecida, por exemplo: 
x
dx
xdF
2
)(

 
 Podemos descobrir qual a função F(x)? 
 
 F(x) = x2 Podemos acrescentar um termo constante que não muda a 
derivada. x2 +1; x2 - 
3
; x2 + 5

.... e mais geralmente, x2 + C onde C é uma constante 
qualquer. 
 
Proposição: Se F(x) e G(x) são duas funções tendo a mesma derivada f(x) num certo 
intervalo, então G(x) difere de F(x) por uma constante, isto é, existe uma constante C com a 
propriedade de que: 
Exemplo: F(x) = 1/3 x3 + 3 e G(x) = 1/3 x3+ 
3
 tem a mesma derivada: 
 
Para ver por que essa afirmação é verdadeira, notemos que a derivada da diferença G(x) – 
F(x) é igual a zero no intervalo considerado. 
 
 
Segue-se que essa diferença deve ter um valor constante C, e assim: 
G(x) – F(x) = C ou G(x) = F(x) + C 
 Que é o que queríamos estabelecer: 
 Esse princípio permite-nos concluir que toda solução da equação deve 
ter a forma para alguma constante c. 
 
3 
 
O problema que acabamos de discutir envolveu a descoberta de uma função desconhecida 
cuja derivada é conhecida. Se f(x) é dada e 
)(
)(
xf
dx
xdF

, então podemos calcular F(x). 
 Chama-se Integral Indefinida, anti-derivada (ou primitiva) de f(x), e o processo de achar 
F(x) a partir de f(x). Vimos que f(x) não precisa ter uma anti-derivada única, mas se pudermos 
achar a anti-derivada F(x), então todas as outras terão a forma: F(x) + C para vários valores 
da constante C. 
 Por exemplo, 1/3x3 é uma antiderivada de x2 e a fórmula 1/3 x3 + C inclui todas as 
possíveis antiderivadas de x2. 
 
Definição: Se F(x) é uma primitiva de f(x), a expressão F(x) + C é chamada integral 
indefinida da função f(x) e é denotada por: 
 
 O símbolo ∫ é chamado sinal de integração, f(x) função integrando e f(x)dx integrando. 
O processo que permite achar a integral indefinida de uma função é chamado integração. 
O símbolo dx que aparece no integrando serve para identificar a variável de integração. 
 Assim no exemplo anterior temos que: 
 
 Da definição da integral indefinida, decorre que: 
(i) 
)()(')()( xfxFcxFdxxf 
 
(ii) 
 ,)( dxxf
 representa uma família de funções (a família de todas as primitivas da função 
integrando.) 
 
Exemplo: 
32
3
1
xdxx 
 e 
cxdxx 
32
3
1
 
Estão ambas corretas, mas a primeira dá uma integral enquanto a segunda dá todas as possíveis 
integrais. A constante c na segunda fórmula chama-se constante de integração e é 
freqüentemente referida como uma constante arbitrária. 
 
Propriedades da Integral Indefinida 
 
Proposição Sejam f, g: I  R e K uma constante. Então: 
 
(i) 
  .)()( dxxfKdxxKf
 
 
(ii) 
   .)()())()(( dxxgdxxfdxxgxf 
A integral da soma é a soma das integrais separadas. 
Isto se aplica a qualquer número finito de termos. 
 
(iii) 
,
1
1



 n
x
dxx
n
n
 n≠ -1 Para integrar uma potência, some ao expoente uma unidade e divida a 
nova potência pelo novo expoente. 
 
 
 
 
 
 
 
4 
 
Exemplos: 
 
1. Calcular as integrais indefinidas: 
a) 
dxx
3
 = 
cx
x



4
13
4
1
13 
 
b) 
dxx
= 
dxx
2/1
 = 
2
3
2
3
x = 
cx 2
3
3
2 
c) 
 dxxx )63(
24
 
dxxdxx  
24 63
= 
cxx  35 2
5
3
 
 
d) 
 dxxectgxx )cos.sec3(
2
 
   xdxectgxdxx
2cos.sec3
 3secx – cotgx +c 
 
e)
  cxxdxtgxdxx
senx
x
dx
gx
x
secsec.
cos
.
cos
1
cot
sec
 
 
 As identidades trigonométricas são freqüentemente utilizadas quando calculamos integrais 
envolvendo funções trigonométricas. As sete identidades a seguir são crucias: 
 
 
 
f) 
  dxxgxtg )4)(cot)((
22
 = 
  dxdxxecdxxdxxecx 2)(cos)(sec)4)1)((cos)1)((sec
2222 
= tg(x) – cotg(x) + 2x + c 
 
Tabela de integrais imediatas 
 
 
 
 
Mais exemplos: 
5 
 
 
Exercícios para o trabalho 1 (parte A): 
1. Calcular as integrais indefinidas: 
a) 
 3x
dx
 
b) 
dt
t
t 







3
2 19
 
c) 
dxcbxax )3( 34  
d) 
dx
xx
x
 







3
1 
e) 
dxx 
22 )32( 
f) 
 xsen
dx
2 
g) 
dx
x
x


2
2 1
 
h) 
dx
x
senx
 2cos
 
i) 
dt
t
t
e t
 






1
2
 
j)
  dtg ..cos
 
k) 



dx
x
x
)
5
(
3
1
 
l) 
  dxxx )1(cossec
32
 
m) 
dxxecxtg .cos. 22
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7 
 
 
 
 
 
Exercícios para o trabalho 1 (parte B): 
1) Uma pedra é arremessada para cima a partir do solo com uma velocidade inicial de 40 m/s. 
Considere a pedra como um corpo em queda livre e responda: 
a) Qual é a altura máxima alcançada pela pedra? 
b) Onde está a pedra 2 segundos após o lançamento? 
c) Quando e com que velocidade ela atingirá o solo? 
 
2) Uma bola é lançada de um edifício de 50m de altura com uma velocidade inicial de -10 m/s. 
Encontre uma expressão algébrica para representar a altura da bola em função do tempo 
após o lançamento, considerando a bola como um objeto em queda livre e responda em 
quanto tempo a bola atinge o solo? 
 
3) Um foguete atravessa o firmamento numa jornada diretamente além da Terra. Num certo 
dia à tarde o navegador lê o velocímetro do foguete como função do tempo, e conclui que ele 
é dado por: f(t) = 100t 3 – 400t 2 + 800t, onde t é o tempo em horas. Se a função f fornece a 
velocidade em km/h, encontre a distância percorrida pelo foguete: 
a) Entre o início da tarde e as duas horas; 
b) Entre uma e 4 horas da tarde. 
8 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9 
 
 
 
 
 
 
10 
 
 
Exercícios para o trabalho 1 (parte C): Problema: Calcule as seguintes integrais por integração 
por substituição:11 
 
 
 
 
 
 
 
12 
 
 
 
Exercícios para o trabalho 2 (parte A): 
Problema: Calcule as seguintes integrais por integração por partes: 
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
 
13 
 
 
 
Integrais de Funções Racionais Impróprias 
 
 
 
 
14 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
15 
 
 
 
 
 Suponha que você conheça a taxa f(x) = dF/dx, na qual uma certa grandeza F está 
variando e deseje encontrar a quantidade pela qual a grandeza F variará entre x = a e x = b. Você 
pode primeiro encontrar F por antidiferenciação, e então calcular a diferença: 
 
Variação em F entre x= a e x = b = F(b) – F(a) 
 
 O resultado numérico deste cálculo é chamado de integral definida da função f e é 
denotado pelo símbolo: 

b
a
dxxf )(
 
 
 O símbolo 

b
a
dxxf )(
 é lido como “ a integral definida de f de a até b”. Os números a e b 
são denominados limites de integração. Nos cálculos que envolvem as integrais definidas, é 
freqüentemente conveniente usar o símbolo: 
b
axF )( para a diferença F(b) – F(a). 
 
Ex.: Um estudo indica que, daqui a x meses a população de uma cidade estará crescendo a uma 
taxa de 2 + x6 pessoas por mês. Em quanto a população crescerá durante os próximos 4 
meses? 
 
 
Solução: 
 
 
P(x) = população daqui a x meses, então a taxa da variação da população em relação ao tempo 
dP/dx = 2 + x6 e a quantidade pela qual a população crescerá durante os próximos 4 meses 
será a integral definida: 
 
 
 
P(4) – P(0) = 
dx)x62(
4
0
 
= 2
dx
4
0 + 6
dx
4
0
1/2x(
= 2x + 
4
0
2/3
2/3
6
C
x

= 2x + 4x 2/3 + C 40 
 
= (2(4) + 4(4)3/2 + C) – ( 2.(0) + 4(0) + C) = 40 pessoas 
16 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
17 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
18 
 
 
Exercícios para o trabalho 2 (parte B): 
 
1. Calcular as integrais. 
 
a) 

2
1
3 )1( dxxx
 b) 



0
3
2 )74( dxxx
 
 
c) 
2
1
6x
dx
 d) 


1
0 13y
dy
 
 
e) 

4
3
4
cos


dxsenx
 f) 

 
1
1
3
2
9x
dxx
 
 
g) 
dxxx )1(
3
0
 
 
 
 
 
 
 
 
19 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
20 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios para o trabalho 2 (parte C): 
 
1. Encontre a área da região limitada pelas curvas y = x2 +1 e y = 2x – 2 entre 
x = -1 e x = 2. 
 
3. Encontre a área da região limitada pelas curvas y = x3 e y = x2 . 
4. Encontre a área da região limitada pela curva y = -x2 + 4x – 3 e pelo eixo x. 
5. Encontre a área da Região R no primeiro quadrante que se situa sob a curva y = 1/x e é 
limitado por esta curva e pelas retas y = x, x=0 e x =2. 
6. Encontre a área da região S, limitada pela curva y = senx e pelo eixo dos x de 0 até 2π. 
7. Encontre a área limitada por y = x2 e y = x+2. 
8. Encontre a área limitada pelas curvas y = x2 – 1 e y = x +1. As curvas interceptam-se nos 
pontos de abscissa -1 e 2. 
9. Para cada par de funções, encontre a área limitada pelos seus gráficos: 
 
 
 
 
 
21 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Uma região tridimensional (S) que possui as propriedades a) e b) a seguir é um sólido: 
 
a) A fronteira de S consiste em um número finito de superfícies lisas que se interceptam num 
número finito de arestas que por sua vez, podem se interceptar num número finito de vértices. 
b) S é uma região limitada. 
 
 
Exemplos de sólidos (esfera, cone circular, cubo, cilindro) 
 
 
 
 
 
 
 
 
22 
 
Um sólido de revolução se forma da seguinte maneira: 
Dada uma região R plana e l uma linha reta que pode tocar ou não em R e que esteja no mesmo 
plano de R. Girando-se R em torno de l, forma-se uma região chamada de sólido de revolução. 
 
 
Exemplos: 
 
 
 
 
 
23 
 
 
 
 
 
 
24 
 
 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
25 
 
 
 
 
 
26 
 
 
 
 
 
 
 
27 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
28 
 
 
 
Exercícios para o trabalho 2 (parte D): 
1)
 
 
 
2)
 
 
3)