estac exerc diagramas 4

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I 
 
 
 
 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL 
LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL 
 
EEESSSTTTÁÁÁTTTIIICCCAAA 
 
 
DIAGRAMAS 
 
ESFORÇO AXIAL - ESFORÇO TRANSVERSO - MOMENTO FLECTOR 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RESOLUÇÃO DE EXERCÍCIO 
 
 
 
 
 
ISABEL ALVIM TELES
15kN
3kN
9kNm
20kN
8kNm
10
kN
/m
4 k
N/
m
1
0
kN
/m
 
ESTÁTICA ISABEL ALVIM TELES 
 
versão 0 1/9 Diagramas de esforços 
 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL 
 
EXERCÍCIO 
Sem determinar as reacções, determine as expressões analíticas do esforço axial (N), esforço 
transverso (V) e momento flector (M) em todas as barras da estrutura representada. 
Desenhe os diagramas dos esforços (N, V e M) caracterizando todos os pontos notáveis (máximos, 
mínimos e zeros). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RESOLUÇÃO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CONVENÇÃO DE SINAIS DA RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d
V
e
N
V
N +
d
V
e
N
V
N
+
d V
e
N
V
N
+
d
V
e
N
VN
+
4 m 2 m 2 m 1 m
1.5 m
2 m
3 m
3 m
F
B
A
C
D
E
15kN
3kN
9kNm
20kN
8kNm
10
kN
/m
4 k
N/
m
1
0
kN
/m
 
ESTÁTICA ISABEL ALVIM TELES 
 
versão 0 2/9 Diagramas de esforços 
 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL 
 
• Tramo AB 
 
Comprimento da barra AB = 5 m 
 
 
α




=
=
,60 α sen
,80 α cos 
 
 
Equação da carga trapezoidal: kN/m 1,2 10 (x) p x−= 
 
 
 
 
 
 
 
 C x 0,6 x 10 dx dx 2x) 1,2 10 ( x) 1,2 (10 ++−=== +∫ −−∫ −(x) V 
 61 C 
16 C x 0,6 x 10 V 
kN 61 
 0) (x 
2
0) (x 
=⇒




=++−==
=
=
=
 
V 
V 
A
 A
 A
 
 curva (2º grau) 
 
 
C x 16 x 5 x 0,2 dx ) 16 x 10 x 6,0 ( dx (x) 232V ++−=+−== ∫∫(x)M 
 8 C 
C C x 16 x 5 x 0,2 M 
kNm 8 
 0) (x 
23
0) (x 
=⇒




=++−==
=
=
=
 
M 
M 
A
 A
 A
 
 curva (3º grau) 
 
Tramo AB 
 grau) (3º curva kNm 8 16 5 0,2 (x) 
grau) (2º curva kN 16 10 0,6 )x( 
nível de recta kN 12 )x( 
23
2 






⇒++−=
⇒+−=
⇒−=
xxxM
xxV
N
 
 
 
kNm 8 M 
 kN 16 V 
kN 12 N 
 0)(x 
A 
A 
A 






=
=
−=
=A 






−=+×+×−×=
−=+×−×=
−=
=
 kNm 12 8 5 16 5 5 5 0,2 M 
 kN 19 16 5 10 5 0,6 V 
kN 12 N 
 m) 5 (x 
23
B 
2 
B 
B 
B 
 
Concavidade do diagrama de Esforço Transverso: 0 
x d
d
2
V 
2 
⇒> concavidade ∪∪∪∪ 
 
Secção onde o esforço transverso é nulo: m 1,793 0 16 10 0,6 0 2 =⇒=+−⇒= xxxV 
 
dx (x) p ∫ −=V 
 dx (x) V ∫=M 
kN 16 10 0,6 2 +−= xx(x) V 
 kNm 8 16 5 0,2 23 ++−= xxx(x) M 
B
A8kNm
10
kN
/m
4 k
N/
m
d
20kN
αααα
αααα
16
kN
m
12
kN
m
x
e
 
ESTÁTICA ISABEL ALVIM TELES 
 
versão 0 3/9 Diagramas de esforços 
 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL 
 
Secção onde o momento é máximo: 
 kNm 21,767 
 8 1,793 16 1,793 5 1,793 0,2 M M(x) 0 V(x)
máx 
2 3 
1,793) (xmáx máx 
=
+×+×−×==⇒=⇒= =
M
MM
 
 
Secção onde o momento é nulo: m 4,316 0 8 16 5 0,2 0 23 =⇒=++−⇒= xxxxM 
 
Concavidade do diagrama de Momentos: 0 
x d
Md
2
 
2 
⇒< concavidade ∪∪∪∪ 
_______________________________________________________________________________________ 
 
• Tramo EC 
 
Comprimento da barra EC = m 13 
 
 



=β
=β
⇒==β
,5550 sen
,8320 cos 
 33,69 
3
2
 arctg o 
 
Decomposição das forças: 
Força 15 kN � ⇒ 




=β
=β
 
 kN 8,3205 sen 15
 kN 12,4808 cos 15
 
����
����
 
 
 
Força 3 kN � ⇒ 




=β
=β
 
 kN 2,4962 cos 3
 kN 1,6641 sen 3
 
����
����
 
 
 
Resultante na perpendicular à barra: 12,4808 + 1,6641 = 14,1449 kN ���� 
 
Resultante na direcção do eixo da barra: 8,3205 – 2,4962 = 5,8243 kN ���� 
 
 
 
 
 
 recta kNm 14,145 (x) 
 nível de recta kN 145,14 )x( 
nível de recta kN 5,824 )x( 





⇒−=
⇒=
⇒−=
xM
V
N
 
 
 
 
 
C
E 5,8
24
kN
14
,14
5k
N
d
e
x
ββββ
E
15kN
8,3205kN
12,4808kN
ββββ
ββββ
C
E 3kN
1,6641kN
2,4962kN
ββββ
ββββ
C
 
ESTÁTICA ISABEL ALVIM TELES 
 
versão 0 4/9 Diagramas de esforços 
 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL 
 
0 M 
 kN 14,145 V 
kN 5,824 N 
 0)(x 
E 
E 
E 





=
=
−=
=E 





−=×−=
=
−=
=
 kNm 51 13 14,145 M 
 kN 14,145 V 
kN 5,824 N 
 m) 13 (x 
C 
C 
C 
C 
 
• Tramo DC 
Comprimento da barra DC = 2,5 m 
 
0,6 α sen 
 0,8 α cos 
 36,8699 
2
1,5
 arctg 




=
=
⇒== o
αααα
 
 
 
b = x sen α 
b = 0,6 x 
 
 
 
 kNm b 5 9 
2
b
 b 10 9 (b) M 2 +=+= 
 
 grau) (2º curva kNm 1,8 9 ) (0,6 5 9 (x) M 2 2 ⇒+=+= xx 
 
Concavidade do diagrama de Momentos: 0 
x d
Md
2
 
2 
⇒> concavidade ∩∩∩∩ 
 
 
R – resultante de todas as forças à 
direita do ponto. 
 
R = 10 b kN 
 
 
N = R cos α = 10 b cos α 
V = R sen α = 10 b sen α 
 
 
 
 
 
 recta kN 3,6 0,6 0,6 01 sen sen 10 )x( V 
 recta kN ,84 0,8 0,6 10 cos sen 10 )x( N 
 
 sen b 10 )b( V 
 cos b 10 )b( N 
 sen x b




⇒−=××−=αα−=
⇒=××−=αα=
 →




α−=
α=
α=
xxx
xxx
 
 
Tramo DC 
 grau) (2º curva kNm 1,8 9 (x) 
rectakN 3,6 )x( 
recta kN ,84 )x( 
2 





⇒+=
⇒−=
⇒=
xM
xV
xN
 
 
x b
αααα
αααα
C
D
9kNm
10 kN/m
b
d
b
2 R=10b kN
x
αααα
e
C
D
9kNm
10 kN/m
b
d
R=10b kN
x
αααα
e
V
R
N
αααα
 
ESTÁTICA ISABEL ALVIM TELES 
 
versão 0 5/9 Diagramas de esforços 
 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL 
 
kNm 9 M 
 0 V 
0 N 
 0)(x 
D 
D 
D 






=
=
=
=D 






=×+=
−=×−=
=×=
=
 kNm 0,252 2,5 1,8 9 M 
 kN 9 2,5 3,6 V 
kN 12 2,5 4,8 N 
 m) 2,5 (x 
2 
C 
C 
C 
C 
 
 
• Tramo DC - outra resolução 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para os dois sistemas serem equivalentes, a Resultante tem que ser igual, ou seja: 
R = 10 x 1,5 = 15 kN ⇒ p x 2,5 = R = 15 kN ⇒ p = 6 kN/m 
 
 
pv= p sen α = 6 x 0,6 = 3,6 kN/m 
pn= p cos α = 6 x 0,8 = 4,8 kN/m 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tramo DC 
 grau) (2º curva kNm 1,8 9 
2
 3,6 9 (x) 
recta kN 3,6 . pv )x( 
recta kN 4,8 . pn )x( 
2 






⇒+=+=
⇒−=−=
⇒==
xxxM
xxV
xxN
 
 
C
9 kNm
10 kN/m
R=15kN
2.0 m
1.5 m
C
D
9kNm
p=6 kN/m
R=15kN
2.0 m
1.5 m⇔⇔⇔⇔
D
2
.5
 m
p
αααα
pn =pcosα
pv =psenα
2
.5
 m
αααα
pv=3,6 kN/m
pn=4,8 kN/m
+
x
⇔⇔⇔⇔
9kNm 9kNm
D
C
D
C
d
e
 
ESTÁTICA ISABEL ALVIM TELES 
 
versão 0 6/9 Diagramas de esforços 
 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL 
 
kNm 9 M 
 0 V 
0 N 
 0)(x 
D 
D 
D 






=
=
=
=D 






=×+=
−=×−=
=×=
=
 kNm 0,252 2,5 1,8 9 M 
 kN 9 2,5 3,6 V 
kN 12 2,5 4,8 N 
 m) 2,5 (x 
2 
C 
C 
C 
C 
 
 
• Tramo CB 
 
 
Resultante de todas as acções à direita do ponto C com a direcção do eixo da barra CB: 
3 + 10x1,5 = 18 kN ���� 
 
Resultante de todas as acções à direita do ponto C com a direcção perpendicular ao eixo da barra CB: 
15 kN ���� 
 
Momento no ponto C devido a todas as acções à direita do ponto C: 
 kNm 30,75 20,25 51 M 
 kNm 51 M EC Barra 
 kNm 20,25 M DC Barra 
 C 
C 
C 
����
����
����
=−=




⇒
=⇒
=⇒
 
 
 
 
 recta kNm 15 30,75 (x) 
nível de recta kN 51 )x( 
nível de recta kN 81 )x( 
 





⇒−−=
⇒=
⇒=
xM
V
N
 
 
 
 
kNm 30,75 M 
 kN 15 V 
kN 18 N 
 0)(x 
C 
C 
C 






−=
=
=
=C 






−=×−−=
=
=
=
 kNm 60,75 2 15 30,75 M 
 kN 15 V 
kN 18 N 
 m) 2 (x 
B 
B 
B 
B 
 
_______________________________________________________________________________________ 
 
• Tramo BF 
 
Resultante de todas as acções à direita do ponto B (acções transmitidas à barra BF pela barra CB): 
 
 
 







− kNm 60,75 
 kN 15 
 kN 18 
 
����
� � � � 
 
 
 
B C
d
x
e
15 kN
18 kN
30,75 kNm
B
60,75kNm
F
A
C
18kN
15kN
 
ESTÁTICA ISABEL ALVIM TELES 
 
versão 0 7/9 Diagramas de esforços 
 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL 
 
Resultante de todas as acções à esquerda do ponto B (acções transmitidas à barra BF pela barra AB): 
 
 
 
 







− kNm 12 
 kN 19 
 kN 12 
 
����
����
����
 
 
 
 
 
Resultante de todas as acções à direita do ponto B com o referencial da barra BF: 
 
 
 







=αα−
=α+α
 kNm 12 
 kN 8 cos 19 - sen 12 
 kN 21 sen 19 cos 12 
 
����
����
 
 
 
 
 
Resultante de todas as acções transmitidas à barra BF: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 recta kNm 39 48,75 (x) 
nível de recta kN 39 )x( 
nível de recta kN 23 )x( 
 




⇒−=
⇒−=
⇒=
xM
V
N
 
 
 
 
B
αααα
19
kN
12
kN
12kNm
F
A
C
B
αααα
19
kN
12
kN
12kNm
F
A
C B
12kNm
F
A
C
21kN
8kN
⇔⇔⇔⇔
B
12kNm
F
A
C
21kN
8kN
B
60,75kNm
F
A
C
18kN
15kN
B
48,75kNm
F
A
C
39kN
23kN
+ ⇔⇔⇔⇔
F
B
e
d
x
39 kN
23 kN
48,75 kNm
 
ESTÁTICA ISABEL ALVIM TELES 
 
versão 0 8/9 Diagramas de esforços 
 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL 
 
 
 
kNm 48,75 M 
 kN 39 V 
kN 23 N 
 0)(x 
B 
B 
B 





=
=
=
=B 





−=×−=
=
=
=
 kNm 68,25 3 39 48,75 M 
 kN 39 V 
kN 23 N 
 m) 3 (x 
F 
F 
F 
F 
 
 
 
Secção onde o momento é nulo: m 1,25 0 39 48,75 0 =⇒=−⇒= xxM 
_______________________________________________________________________________________ 
 
VERIFICAÇÃO DO DIAGRAMA DE MOMENTOS FLECTORES 
 
 
 
 
• Nó B 
 
No nó B concorrem três barras: Barra BC – extremidade esquerda: Me = -60,75 kNm 
 Barra BF – extremidade esquerda: Me = 48,75 kNm 
 Barra AB – extremidade direita: Md = 12 kNm 
∑ ∑=⇒




=∑
=+−=∑
 M M dir esq 
kNm 12 dir M 
kNm 12 48,75 60,75 esq M 
 ���� 
 
• Nó C 
 
No nó C concorrem três barras: Barra CD – extremidade esquerda: Me = 20,25 kNm 
 Barra CE – extremidade esquerda: Me = -51 kNm 
 Barra BC – extremidade direita: Md = -30,75 kNm 
∑ ∑=⇒




−=∑
−=−=∑
 M M dir esq 
kNm 75,30 dir M 
kNm 30,75 51 20,25 esq M 
 ���� 
∑ ∑= M M diresq 
 
ESTÁTICA ISABEL ALVIM TELES 
 
versão 0 9/9 Diagramas de esforços 
 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL 
DIAGRAMAS+
+
-
-
+
2
3
18
12
-12
-5,
82
4
N
unidade: kN
ESFORÇO AXIAL
-3
9
1.7
93 
m
c
r
-
+
-
15
+
+
c
r
--9
14
,14
5
V
unidade: kN
ESFORÇO TRANSVERSO
16
-19
M
unidade: kNm
MOMENTO FLECTOR
c
r
r
r
c
1.7
93 
m
21
,77
8
12
1.25 m
4.3
16 
m
+
-
-6
8,
25
48
,7
5
-60,75
-
+
-30,75-
-51 -
20,25
9
+