determinante

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UFF – Instituto de Matema´tica – Departamento de Ana´lise
Prof. Ana Isabel – A´lgebra Linear – Lista sobre Determinantes
1. Calcule os seguintes determinantes por inspec¸a˜o:
A =
 2 −40 430 1 29
0 0 4
 B =
 3 −1 26 −2 4
1 7 3

C =
 10 20 30−3 17 6
10 20 30
 D =

1 0 0 0
−2 −7 0 0
5
√
2 7 0
5567 pi 23 −2

2. Calcule os determinantes das seguintes matrizes:
A =

1 4 −3 1
2 0 6 3
4 −1 2 5
1 0 −2 4
 B =

2 1 3 2
3 0 1 −2
1 −1 4 3
2 2 −1 1
 C =

0 0 0 0 1
0 0 0 2 0
0 0 3 0 0
0 4 0 0 0
5 0 0 0 0

D =

0 4 0 0 0
0 0 0 2 0
0 0 3 0 0
0 0 0 0 1
5 0 0 0 0
 E =

0 −1 0 0
1 −1 1 1
−3 −1 4 −5
9 −1 16 25
 F =

0 1 2 3
1 1 1 1
−2 −2 3 3
1 2 −2 −3

3. Supondo A =
 a b cd e f
g h i
 e detA = 5, calcule:
a) det
 d e fg h i
a b c
 b) det
 −a −b −c2d 2e 2f
−g −h −i
 c) det(3A)
d) det
 a b cd− 5a e− 5b f − 5c
3g 3h 3i
 e) det((2A)−1) f) det(2A−1)
g) det
 a+ d b+ e c+ fd e f
g h i
 h) det
 a g db h e
c i f

4. Resolva as equac¸o˜es:
a) det
 x 2 2x− 1 x −3
1 x+ 2 −1
 = 0 b) det
 x− 2 x+ 3 1−2 2 3
−2 1 4
 = 7
c) det
 x x xx x 2
x 2 3
 = 0
5. Sabendo que A =
 2 −1−2 2
0 1
 e B = ( −1 2 3
2 1 1
)
e sabendo que
N = 50 + det(AB), encontre o valor de N .
6. Sabendo que det
 x+ 1 x 22x 1 −1
1 2 x
 = 0, calcule o valor de det
 x 1 11 x 1
1 1 1
.
7. Os valores de x que satisfazem a det
 sin x − cosx − cosxcosx sin x sin x
sin x −1 cosx
 = 1 e
−2pi < x < 2pi sa˜o: a) − 2pi,−pi, 0, pi e 2pi b) − 3pi
2
,−pi
2
, pi
2
e 3pi
2
c) − 2pi, 0, 2pi
d) − pi
2
e 3pi
2
e) − pi e pi
8. Determine x ∈ R tal que det
 x− 2 x+ 3 x− 12 1 3
3 2 1
 = 60
9. Determine a ∈ R para que det(AB) = 8, onde A =
(
2 1
0 3
)
e B =(
2a −a
a a
)
.
10. Dadas as matrizes A =
(
1 2
1 0
)
e B =
(
3 −1
0 1
)
, calcule det(A) +
det(B) e det(A+B).
11. Sabendo que A e´ uma matriz quadrada de ordem 2 com determinante
igual a 4, determine o valor de det(A−1) e det(4A).
12. Dada a matriz A =
 0 1 10 0 1
1 2 0
, calcule o determinante de A por
meio de operac¸o˜es elementares, det(3A−1) e det(A.At).
13. Se B e´ invert´ıvel prove que det(B−1AB) = det(A).
14. Se A e´ idempotente (A2 = A), ache todos os poss´ıveis valores de det(A).
15. Escolha todos os valores poss´ıveis de c que tornam a matriz A invers´ıvel,
onde A =
 1 1 11 9 c
1 c 3

Respostas:
1. det A = 8, det B = 0, det C = 0, det D = 98
2. detA=275, detB=-55, detC=120, detD=-120, detE=126, detF=10
3. a) 5; b) 10; c) 135; d) 15; e) 1/40; f) 8/5; g) 5; h) -5
4. a) 1 e 3; b) 9/7; c) 0,2,2
5. 64
6. 1, 9/4 ou 9
7. e
8. 10
9. ±2/3
10. 1 e 3
11. 1/4 e 64
12. 1, 27 e 1.
15. c 6= −3 e c 6= 5