01 GEOM ANALITICA ESTUDO DO PONTO

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PROF. NILO
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O que você escreve no envelope para enviar uma carta?
As informações necessárias para o correio localizar o destinatário, tais como Nome Completo, Rua ou Avenida, número, bairro, CEP etc. 
Tais informações funcionam como coordenadas do destino da sua carta. 
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Para localizar um ponto de uma estrada, onde não há numeração, é preciso ter a marca quilométrica. 
Para localizar um ponto sobre o planeta Terra, é preciso ter a latitude e a longitude. Se o ponto estiver no espaço aéreo, precisaremos também da altitude.
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Vejamos uma Projeção de Mercator do planeta Terra, onde vemos a latitude e a longitude de todos os pontos do globo.
Elaborou mapas de Flandres, da Grã-Bretanha, da Europa continental, Terra Santa, uma série de outros mapas do mundo antigo e um moderno atlas e globos e esferas celestes.
Nelas abandonou as concepções geográficas da Idade Média e da tradição ptolomeica, refletindo o Renascimento científico e técnico e de convergência da cartografia com as necessidades práticas dos avanços de navegação. 
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Na figuras ao lado e abaixo, respectivamente, vemos as escalas da latitude (x) e da longitude (y).
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Para localizar um ponto num plano, precisamos de um Sistema Cartesiano Ortogonal de Coordenadas. 
Embora outros matemáticos já utilizassem essa idéia, ela foi formalizada conceitualmente pelo físico, filósofo e matemático francês René Descartes no livro “La Géométrie” em 1637.
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Para localizar um ponto no plano, podemos fixar nesse plano um sistema cartesiano ortogonal de coordenadas, formado por dois eixos reais x e y perpendiculares entre si na origem O.
Nomes dos Eixos:
x – eixo das abscissas (horizontal);
y – eixo das ordenadas (vertical).
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Qualquer ponto no Plano Cartesiano pode ser localizado por duas coordenadas, a saber: abscissa e ordenada. Para isso, basta traçar perpendiculares aos eixos coordenados.
O ponto A(4, 3) está no 1º quadrante, onde x > 0 e y > 0.
A(4, 3)
B(-5, 2)
C(-4, -3)
D(5, -2)
O ponto B(5, 2) está no 2º quadrante, onde x < 0 e y > 0.
O ponto C(4, 3) está no 3º quadrante, onde x < 0 e y < 0.
O ponto D(5, 2) está no 4º quadrante, onde x > 0 e y < 0.
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Basta partir do princípio de que se um ponto está num certo eixo, a coordenada do outro eixo é igual a 0.
O ponto A(3, 0) está na parte da direita no eixo x, onde x > 0 e y = 0.
A(3, 0)
B(0, 2)
C(5, 0)
D(0, 4)
O ponto B(0, 2) está na parte de cima no eixo y, onde x = 0 e y > 0.
O ponto C(5,0) está na parte da esquerda no eixo x, onde x < 0 e y = 0.
O ponto D(0, 4) está na parte de baixo no eixo y, onde x = 0 e y < 0.
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I)Um ponto P(x, y) pertence ao eixo x, se y = 0. Logo P(x, 0) são suas coordenadas genéricas.
II)Um ponto P(x, y) pertence ao eixo y, se x = 0. Logo P(0, y) são suas coordenadas genéricas.
III)Um ponto P(x, y) pertence à bissetriz dos quadrantes ímpares, se y = x. Logo P(x, x) são suas coordenadas genéricas.
IV)Um ponto P(x, y) pertence à bissetriz dos quadrantes pares, se y = x. Logo P(x, x) são suas coordenadas genéricas.
Assim, o ângulo de inclinação no sentido anti-horário a partir do eixo x é de 45°.
Assim, o ângulo de inclinação no sentido anti-horário a partir do eixo x é de 135°.
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EXEMPLO 01
Marque no Plano Cartesiano abaixo, os pontos solicitados. 
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Resp: 
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EXEMPLO 02
Sem buscar marcar os pontos no Plano Cartesiano, em que quadrante ou eixo estão cada um dos pontos? 
Resp:
eixo y para cima;
eixo x para a esquerda;
c) eixo x para a direita;
d) eixo y para baixo;
e) 4º quadrante;
f) 2º quadrante;
g) 3º quadrante;
h) origem;
i) 1º quadrante.
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EXEMPLO 03
Considere os pontos genéricos P(2m – 8, m + 2). Para que valores de m, o ponto P está no(a):
Resp:
a) m = 2; b) m = 4; c) m = 2; d) 2 < m < 4; e) m < 2; f) m > 4; g) impossível
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EXEMPLO 04
Determine os números reais a e b de modo que (3a  2b, a + b) = (17, 1).
Resp: a = 3 e b = 4
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EXEMPLO 05
Determine os possíveis valores reais de x de modo que o ponto P(x2 + 2x, 15) esteja:
Resp: a) 5 ou 3; b) impossível
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EXEMPLO 06
Determine as coordenadas dos pontos dados na tabela abaixo, em relação às referências citadas.
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xA
yA
xB
yB
xP
yP
A e B são os extremos do segmento, sendo A o início e B o final, que devem ser arbitrados.
Ponto que divide o segmento
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Não consideraremos a situação em que P está num dos extremos, pois não seria necessário efetuar nenhum cálculo.
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Por Semelhança de Triângulos chegamos a:
e
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e
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Q(a, b)
a
b
e
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Observemos que:
 se dois vetores tem o mesmo sentido, temos: t > 0;
 se dois vetores tem sentidos contrários, temos: t < 0.
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EXEMPLO 07
Observe a figura abaixo, onde temos um segmento AB dividido em três partes iguais, sendo A(1, 7) e B(11, 8). Obtenha as coordenadas dos pontos C e D.
Resp: C(3, 2) e D(7, 3)
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EXEMPLO 08
Até que ponto P, o segmento AB deve ser prolongado no sentido de A para B, para que seu comprimento triplique, se A(4, 2) e B(2/3, 1)?
Resp: P(6, 1)
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É o ponto de interseção das diagonais do paralelogramo. Devemos lembrar que losangos, retângulos e quadrados são casos particulares de paralelogramos.
Suponha o paralelogramo ABCD da figura abaixo. O ponto P de interseção das diagonais pode ser obtido por:
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EXEMPLO 09
Resp: M(6, 3)
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EXEMPLO 10
Considere um paralelogramo de vértices consecutivos A(10, 8), B(7, 9), C(6, 4) e D. Quais são as coordenadas do ponto de interseção das diagonais e quais são as coordenadas do ponto D?
Resp: (2, 6) e D(3,  21)
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EXEMPLO 11
Num quadrado ABCD, temos A(8, 6), B(0, 1), C(2, 4). Quais são as coordenadas do vértice D? Lembre-se que todo quadrado é retângulo e que ambos são paralelogramos.
Resp: D(6, 11)
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Vejamos agora a localização desse ponto num triângulo, que nada mais é do que o ponto de interseção das Medianas.
Uma boa definição para Centro de Gravidade (Baricentro) de um corpo qualquer é o ponto onde uma única força peso do corpo, pode ser aplicada para representar o efeito da atração exercida pela Terra no corpo. 
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Observe o experimento abaixo, onde num pedaço de cartolina rígida, desenhamos as três Medianas e a partir do ponto comum entre elas, prendemos um barbante na vertical com fita adesiva e suspendemos o triângulo, que ficará em equilíbrio.
01.Marca-se os pontos médios M, P e Q dos lados do triângulo ABC e traça-se as três medianas obtendo-se o ponto G.
03.Liga-se os pontos PQRS formando um quadrilátero.
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PQRS é um paralelogramo.*-77
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PQRS é um paralelogramo.
08.Dos paralelogramos sabe-se que as diagonais se cortam ao meio .
Logo temos: 
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Quando estudamos Geometria Plana, também aprendemos que dado um quadrilátero convexo qualquer, se ligarmos os pontos médios dos lados, teremos a formação de um paralelogramo. Mostraremos isso por Geometria Plana e por Geometria Analítica.
01. Marcamos inicialmente os pontos médios dos lados do quadrilátero ABCD, obtendo o quadrilátero MNPQ.
03. Por experiência anterior sabemos que:
Logo o quadrilátero MNPQ é um paralelogramo.
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Vamos partir de duas figuras, sendo a primeira com o traçado da diagonal MP e a segunda com a diagonal QN do quadrilátero MNPQ, obtido ao unirmos os pontos médios do quadrilátero convexo inicial ABCD.
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e
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Concluímos então que os pontos P1 e P2, tem a mesma localização, não tendo falhado nossa intuição e que as diagonais se cortam ao meio. Assim temos que o quadrilátero MNPQ é um paralelogramo. 
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Dos cálculos anteriores temos:
Somando-se as quatro equações obtidas, chegamos a:
Dividindo toda a equação por 2, chegamos a:
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xB
yB
xC
yC
xM
yM
xA
yA
e
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onde
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Lembremos que:
Logo:
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A Geometria Analítica e a Álgebra Linear se preocupam com a resolução de problemas geométricos através da Álgebra.
Dentro de tal concepção, é comum encontrarmos soluções pela via algébrica que talvez não conseguíssemos visualizar geometricamente.
Que Legal!
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EXEMPLO 12
Um triângulo possui vértices A(9, 3), B(1, 2) e C(5, 4). Quais são as coordenadas do Baricentro G?
Resp: G(5, 1)
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EXEMPLO 13
Um triângulo ABC possui para pontos médios de seus lados os pontos M(2, 2), N(1, 1) e P(0,3). Quais são as coordenadas de seus vértices e quais as coordenadas do seu Baricentro?
Resp: (3, 2), (1, 0) e (3, 4) e G(1/3, 2)
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xA
yA
xB
yB
d
C
Pelo teorema de Pitágoras temos:
xB  xA
yB  yA
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Como sabemos, o módulo de um vetor é o seu comprimento. Então:
Temos então que:
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EXEMPLO 14
Obtenha a distância entre os pares de pontos abaixo.
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EXEMPLO 15
Classifique o triângulo com vértices nos pontos A(2, 2), B(4, 4) e C(3, 1), quanto aos ângulos e quanto aos lados. Qual é o perímetro do triângulo?
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EXEMPLO 16
Dados os pontos A(x, 3), B(1, 4) e C(5, 2), obtenha o valor de x tal que A seja equidistante de B e C.
Resp: 2
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EXEMPLO 17
Obtenha o valor de x para que o ponto P(x, 2x + 3), seja equidistante dos pontos A(1, 2) e B(2, 3).
Resp: 1
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EXEMPLO 18
Obtenha as coordenadas de um ponto P pertencente ao eixo das abscissas que seja equidistante dos pontos A(2, 1) e B(3, 5).
Resp: (29/2, 0)
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EXEMPLO 19
Obtenha as coordenadas de um ponto P pertencente ao eixo das ordenadas que seja equidistante dos pontos A(1, 3) e B(3, 5).
Resp: (0, 3/2)
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EXEMPLO 20
Um ponto P, situado na bissetriz dos quadrantes ímpares, dista 2 unidades da origem. Quais são as coordenadas desse ponto?
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EXEMPLO 21
Um ponto P, situado na bissetriz dos quadrantes pares, é equidistante dos pontos A(2, 3) e B(0, 1). Quais são as coordenadas desse ponto?
Resp:(3/2, 3/2)
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EXEMPLO 22
Os vértices A(5,2) e B(4, 1) são consecutivos de um quadrado. Quais são as coordenadas dos dois outros vértices C e D?
Resp: C(3, 2) e D(4, 3) ou C(5, 0) e D(6, 1)
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EXEMPLO 23
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Resp: 5x 2y 1 = 0. Parece representar sua mediatriz, pois passa pelo ponto médio entre A e B e visualmente é perpendicular ao segmento formado.
5x 2y 1 = 0
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Quando estudamos Geometria Plana, aprendemos que o comprimento da Mediana Relativa à Hipotenusa de um triângulo retângulo é igual a metade da hipotenusa. Mostraremos isso agora por Geometria Plana e depois por Geometria Analítica.
x
D
Aplicando a Lei dos Cossenos aos triângulos ADC e ADB, obtemos:
Somando as duas equações e lembrando que a2 = b2 + c2, obtemos:
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 d
Buscando provar por Geometria Analítica, é conveniente adotar um par de eixos cartesianos posicionando o vértice reto na origem desse sistema, como na figura ao lado.
Achando a distância entre A e M, obtemos:
Pelo Teorema de Pitágoras, temos:
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Lembremos que a área (A) de um trapézio pode ser obtida dividindo-o num paralelogramo e num triângulo.
Entendi tudo !
B  b
b
xA
yA
xB
yB
xC
yC
Observe agora o triângulo da figura abaixo. Qual seria a sua área?
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Para chegarmos na área do triângulo necessitamos calcular as áreas de três trapézios.
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A expressão acima equivale ao desenvolvimento do determinante de 3ª ordem abaixo. 
Aplique a Regra de Sarrus para um determinante de 3ª ordem. Utilize o mesmo sinal que o resultado do determinante para garantir uma área positiva.
Essa Regra Prática evita preocupações com relação à sequência de lançamento das coordenadas dos vértices, que pode ser qualquer uma que você arbitrar.
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EXEMPLO 24
Obtenha a área do triângulo MNP abaixo por qualquer processo e calcule as medidas das três alturas.
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É cômodo utilizar o dispositivo abaixo não só para calculara áreas de triângulos como também de polígonos com gênero superior. 
Note que a primeira linha é sempre repetida. Isso também vale para outros polígonos.
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EXEMPLO 25
Certo triângulo tem vértices (1, 1), (5, 4) e (0, m). Que valor(es) de m fazem com que a área do triângulo formado seja igual a 11/2?
Resp: 3 ou 5/2
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EXEMPLO 26
Dados os pontos A(8, 11), B(4, 5) e C(6, 9), vértices de um triângulo ABC, quais são as coordenadas do circuncentro desse triângulo e quanto mede o raio do círculo circunscrito a ele?
Resp: O(2, 3) e R = 10
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EXEMPLO 27
Demonstre que a área de um triângulo é o quádruplo da área do triângulo cujos vértices são os pontos médios de seus lados.
Resp: demonstração
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EXEMPLO 28
Obtenha a área do pentágono cujos vértices são (5,2), (2, 5), (2, 7), (5,1), (2,4).
Resp: 66
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Basta percebermos que três pontos alinhados não formam triângulo. Daí, é como se visualizássemos um triângulo de altura zero e portanto área zero. Isso ocorrerá se o determinante abaixo for igual a zero.
Também se pode utilizar o dispositivo ao lado!
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EXEMPLO 29
Resp: a) sim
b) não, pois temos um triângulo
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EXEMPLO 30
Obtenha o valor de m tal que os pontos A(1, 3), B(m, 2) e C(4, 1) sejam colineares.
Resp: 5/2
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Ok?
Agora vocês são Pós-Doutores em Ponto no IR2 !
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D. Kléténic, Problemas de Geometria Analítica, Livraria Cultura Brasileira Editora, 2ª Edição, 1984.
J. N. Pompeo, O. Dolce, Fundamentos de Matemática Elementar, Geometria Plana, Editora Atual, 2005.
G. Iezzi, Fundamentos de Matemática Elementar, GeometriaAnalítica, Editora Atual, 2005.
J.R. Bonjorno, J.R. Giovanni, Matemática Completa, volume 3, Editora FTD, 2005.
C.H. Lehmann, Geometria Analítica, Editora Globo, 1974.
J.H. Kindle, Geometria Analítica, Coleção Schaum, Editora Mc Graw-Hill do Brasil, 1974.
N.J. Machado, Matemática por Assunto, volume 7, Editora Scipione, 1990.
J.L. Boldrini, S. I. R. Costa, V. L. F. F. Ribeiro, H. G. Wetzler, Álgebra Linear, Editora Harbra, 1980.
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