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CÁLCULO II LISTA DE EXERCÍCIOS DAS AULAS 9–12 Samuel Rocha de Oliveira & Adolfo Maia Jr. Vídeo-Aula 9 EXERCÍCIO 1 Seja a função f (x , y) = x sen(x y). Encontre a derivada direcional dessa função ao longo da direção dada pelo ângulo θ = pi/3 no ponto (1,pi/4) EXERCÍCIO 2 Qual é a maior taxa de variação possível da função f (x , y, z) = (x + y)/z no ponto (1,1,−1). EXERCÍCIO 3 (portfólio) Digamos que um veículo motorizado de controle remoto esteja em uma montanha descrita pelo gráfico de z = f (x , y) = 1000− 5 1000 x2 − 1 100 y2 em que x , y e z são medidos em metros e o veículo está na posição (70,30,950). O sistema de coordenadas é tal que o sentido positivo do eixo-x aponta para o leste e o do eixo-y para o norte. (a) Se o veículo se movimentar para o noroeste, ele estará subindo ou descendo a montanha e a que taxa? (b) Qual é a direção mais íngrime da montanha nesse ponto? Cálculo II / Exercícios das aulas 9–12 2 (c) Quais são as taxas de subir e descer na direção de maior inclinação nesse ponto? (d) Qual é o ângulo em relação à horizontal desse ponto de maior incli- nação? Vídeo-Aula 10 EXERCÍCIO 1 Encontre os pontos de máximo, de mínimo e de sela, se existirem da função dada por f (x , y) = sen(x) sen(y), −pi < x < pi, −pi < y < pi. EXERCÍCIO 2 Enconte os pontos e os valores dos máximos e mínimos absolutos (glo- bais) da função dada por f (x , y) = x3 − 3x − y3 + 12y quando (x , y) está no quadrilátero definido pelos vértices (−2,3), (2,3), (2,2), (−2,−2). EXERCÍCIO 3 (portfólio) Um edifício em formato paralelepípedo retangular deve ser construído de forma a ter o menor aquecimento possível por suas faces retangu- lares durante o verão. Durante essa estação, em média, as faces para o leste e para oeste absorvem igualmente 10 unidades/m2 por dia. As outras absorções são as seguintes: A face para norte 8, para o sul 6, a do teto 15 e a do solo 2 unidades/m2 por dia. O volume total deve ser exatamente 7000m3. (a) Encontre a função que represente esse aquecimento externo em ter- mos dos comprimentos dos lados do edifício (duas variáveis). Expli- cite o domínio dessa função. Cálculo II / Exercícios das aulas 9–12 3 (b) Encontre as dimensões do edifício que minimizem esse aquecimento externo. Vídeo-Aula 11 EXERCÍCIO 1 Use os multiplicadores de Lagrange para encontrar os extremos máxi- mos e mínimos da seguinte função e suas restrições: f (x , y, z) = 3x− y−3z, g(x , y, z) = x+ y−z = 0, h(x , y, z) = x2+2z2 = 1 EXERCÍCIO 2 Encontre pelo método dos multiplicadores de Lagrange os pontos sobre a superfície y2 = 9+ xz que estão mais próximos à origem. EXERCÍCIO 3 (portfólio) (a) Maximize a soma n∑ i=1 x i yi sujeita aos vínculos n∑ j=1 x2j = 1, n∑ k=1 y2k = 1 (b) Defina x i ≡ aiq∑n k=1 a 2 k , yi ≡ biÇ∑n j=1 b 2 j para provar que n∑ i=1 ai bi ≤ √√√ n∑ j=1 a2j √√√ n∑ k=1 b2k para quaisquer números a1, a2, . . . , an, b1, b2, . . . , bn. Cálculo II / Exercícios das aulas 9–12 5 em que R= h 0, pi 4 i × hpi 2 , pi 4 i GABARITO Vídeo-Aula 9 EXERCÍCIO 1 Du f (1,pi/4) = 1 2 p 2 � 1+pi/4+ p 3 �≈ 1,2436 EXERCÍCIO 2 ||∇ f (1,1,−1)||=p6≈ 2,45 EXERCÍCIO 3 (portfólio) Resposta não disponível: este exercício faz parte do portfólio. Vídeo-Aula 10 EXERCÍCIO 1 Os cinco pontos dos eixos são de sela: (0,0), (0,pi), (0,−pi), (pi, 0), (−pi, 0) Dois pontos de quadrantes são de máximo, (pi/2,pi/2), (−pi/2,−pi/2) e dois são de mínimo (pi/2,−pi/2), (−pi/2,pi/2). EXERCÍCIO 2 Os máximos globais estão nos pontos (−1,2) e (2,2) com o valor 18 e o mínimo global acontece em (−2,−2) com o valor -18. EXERCÍCIO 3 (portfólio) Resposta não disponível: este exercício faz parte do portfólio. Vídeo-Aula 11 EXERCÍCIO 1 f q 2 3 ,− 1p6 ,− q 3 2 = 2 p 6 que é um máximo, e f q−23 , 1p6 ,q32 = −2p6que é um mínimo. EXERCÍCIO 2 Há dois pontos dessa superfície de maior proximidade à origem: (0,3,0) e (0,−3,0) com a distância 3. EXERCÍCIO 3 (portfólio) Resposta não disponível: este exercício faz parte do portfólio. Vídeo-Aula 12 EXERCÍCIO 1 O volume é dado por V = 12× 18× 1,57≈ 339m3 EXERCÍCIO 2 A integral dupla vale 122,5 que é o volume de um prisma, cuja base é um triângulo retângulo isósceles de lado 7, e altura 5. EXERCÍCIO 3 (portfólio) Resposta não disponível: este exercício faz parte do portfólio. Calculo Semana3_enunciado_B Calculo Semana3_enunciado.pdf Exercicios_Semana_3.pdf Exercicios_RESPOSTASalunos_Semana_3 Calculo Semana3_enunciado-4 pg 11 Calculo Semana3_enunciado Exercicios_Semana_3.pdf Exercicios_RESPOSTASalunos_Semana_3 Calculo Semana3_ALUNOS_B.pdf Calculo Semana3_enunciado.pdf Exercicios_Semana_3.pdf Exercicios_RESPOSTASalunos_Semana_3 Calculo Semana3_ALUNOS Exercicios_Semana_3.pdf Exercicios_RESPOSTASalunos_Semana_3
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