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Esforços axiais Tensões e Deformações Esforços multiaxiais Lei de Hooke generalizada Tradução e adaptação: Victor Franco Correia (versão 1/2013) Ref.: Mechanics of Materials, Beer, Johnston & DeWolf – McGraw-Hill. Mechanics of Materials, R. Hibbeler, Pearsons Education. Mecânica dos Materiais 2 2 - 2 Deformação normal normal deformação normal tensão L A P 2 - 3 Teste de tracção uniaxial: tensão-deformação 2 - 4 Diagrama tensão-deformação: materiais dúcteis 2 - 5 Diagrama tensão-deformação: materiais frágeis Aspecto da fractura de um material frágil Aspecto da fractura de um material dúctil 2 - 6 Lei de Hooke: Módulo de elasticidade • No regime elástico: E • A resistência mecânica é influenciada pelos elementos de liga, tratamentos térmicos, processos de fabrico, etc. mas não a rigidez – Módulo de Elasticidade – que se mantém inalterado. deelasticida de ódulo M ou Youngde MóduloE 2 - 7 Comportamento elástico vs. plástico • Quando a deformação se recupera totalmente quando a tensão é retirada, diz-se que o material tem um comportamento elástico • Quando a deformação não se recupera totalmente, depois de a tensão ter sido anulada, diz-se que o material tem um comportamento plástico • A maior tensão para a qual este comportamento ocorre é designado por limite elástico ou tensão limite de elasticidade 2 - 11 Deformações sob a acção de Forças Axiais AE P E E • Da Lei de Hooke • Da definição de deformação L • Igualando e resolvendo em ordem ao deslocamento AE PL • Se a barra tiver variações na força axial, na área da secção transversal ou nas propriedades materiais, ter-se-á: i ii ii EA LP Exercício Calcular: a) Diagrama de esforços normais b) Qual o perfil HEA adequado para suportar os esforços indicados, assumindo um aço S235 e um coeficiente de segurança de 2.5 em relação ao limite elástico? c) Expressão para cálculo do deslocamento vertical da extremidade superior do pilar? Exercício Considere o sistema da figura, que é composto por duas barras de aço ligadas à barra de cobre através de um pino. A barra de cobre tem um comprimento de 2 m, uma área da secção transversal de 4800 mm2 e um módulo de elasticidade Ec = 120 GPa. As barras de aço têm um comprimento de 0.5 m, uma área da secção transversal de 4500 mm2 e um módulo de elasticidade Ea = 200 GPa. a) Determinar o deslocamento vertical da extremidade inferior da barra de cobre provocado por uma força P = 180 kN. (0,625mm + 0,05mm = 0,675 mm) b) Qual a força P máxima admissível se o deslocamento vertical da extremidade inferior da barra de cobre for limitado a 1 mm? (266,7 kN) barra de aço barra de cobre Exercício Considere o sistema da figura, que é composto por três tirantes em Titânio, (AB, DC e EF) e uma viga rígida AEC. A área da secção transversal de cada tirante é indicada na figura. Se for aplicada uma força vertical P = 20 kN em F, determinar: a) As tensões nos tirantes. b) O deslocamento vertical do ponto E. c) O deslocamento vertical do ponto F. ETitânio = 114 GPa Exercício Considere o sistema da figura, constituído por uma viga rígida ABD e um tirante CB, contruído numa liga de alumínio 6061, cuja área da secção transversal é de 14 mm2. As ligações em C, B e A são efectuadas através de pinos. Determinar o deslocamento vertical do ponto D quando é aplicada a carga distribuída de 300 N/m conforme ilustrado. EAluminio = 70 GPa 2 - 20 Exemplo Determinar o deslocamento da extremidade D em relação a A, para a barra de aço ABCD, sujeita às forças indicadas. E = 200 GPa 2 - 21 Exemplo 2 - 22 Problema 2.1 A barra rigida BDE é suportada por 2 barras AB e CD. A barra AB é de aluminio (E = 70 GPa) e tem uma área da secção transversal de 500 mm2. A barra CD é de aço (E = 200 GPa) e tem uma área da secção transversal de 600 mm2. Para a força de 30-kN ilustrada, determinar os deslocamento dos pontos: B, D e E. 2 - 23 Deslocamento de B: m10514 Pa1070m10500 m3.0N1060 6 926- 3 AE PL B mm 514.0B Deslocamento de D: m10300 Pa10200m10600 m4.0N1090 6 926- 3 AE PL D mm 300.0D Diagrama de corpo livre da barra BDE compressãoF F tracçãoF F M AB AB CD CD B kN 60 m2.0m4.0kN300 0M kN 90 m2.0m6.0kN300 0 D Problema 2.1 2 - 24 Deslocamento de D: mm 7.73 mm 200 mm 0.300 mm 514.0 x x x HD BH DD BB mm 928.1E mm 928.1 mm 7.73 mm7.73400 mm 300.0 E E HD HE DD EE Problema 2.1 2 - 25 Problemas estaticamente indeterminados • As estruturas, para as quais as forças internas e as reacções não podem ser calculadas através das equações da estática, dizem-se estaticamente indeterminadas (pq possuem mais apoios dos que aqueles que seriam estritamente necessários para manter o equilibrio) 0 RL • As deformações causadas pelas forças actuantes na estrutura e pelas reacções redundantes são calculadas separadamente e depois são adicionadas através do principio da sobreposição • As reacções redundantes são substituídas pelas forças correspondentes, que em conjunto com as restantes forças actuantes na estrutura, têm de originar deformações compatíveis 2 - 26 Exemplo Determinar as reacções em A e B para a barra de aço ilustrada na figura. Assumir um ajustamento perfeito entre a barra e os apoios antes da aplicação das cargas representadas. 0 RL 2 - 27 • Calcular o deslocamento em B devido às forças aplicadas com a reacção redundante libertada EEA LP LLLL AAAA PPPP i ii ii 9 L 4321 26 43 26 21 3 4 3 321 10125.1 m 150.0 m10250m10400 N10900N106000 • Calcular o deslocamento em B devido à reacção redundante i B ii ii R B E R EA LP δ LL AA RPP 3 21 26 2 26 1 21 1095.1 m 300.0 m10250m10400 Exemplo (cont.) 2 - 28 • Impor que os deslocamentos devidos às forças aplicadas e devido à reacção redundante têm de ser compatíveis: kN 577N10577 0 1095.110125.1 0 3 39 B B RL R E R E • Calcular a reacção em A kN323 kN577kN600kN 3000 A Ay R RF kN577 kN323 B A R R Exemplo (cont.) 2 - 29 Exemplo Determinar as reacções em A e B para a barra de aço ilustrada na figura. Assumir que existe uma folga de 4.5 mm entre a barra e o apoio em B, antes da aplicação das cargas representadas. kN 6.784 RkN; 115 105.41095.110125.1 105.4 A 3 39 3 B B RL R m E R E m =4.5 mm Problemas estaticamente indeterminados Equação adicional obtida através de compatibilização de deslocamentos Considere-se o sistema da figura composto por: uma barra rígida EAD articulada no pino A; um cabo de aço BC, com um comprimento não deformado de 200 mm e uma área da secção transversal de 22.5 mm2; um bloco de alumínio em D, com um comprimentos não deformado de 50 mm e uma área da secção transversal de 40 mm2. Se a barra rígida EAD for sujeita à força de 450 N ilustrada, calcular: a) As tensões normais médias no cabo BC e no bloco D b) A rotação da barra rígida E 2 - 31 Tensões de origem térmica • Uma variação de temperatura origina uma deformação de origem térmica: • Não existem tensões associadas, excepto se a deformação estiver restringida pelos apoios térmicadilatação de ecoeficient AE PL LT PT • Assumir o apoio como redundante e aplicar o principio da sobreposição 0 0 AE PL LT PT • A deformação térmica e a deformação provocada pela reacção redundante têm de ser compatíveis TE A P TAEP T Problema estaticamente indeterminado (B&J 6th ed.) A barra de aço ABC está fixa entre dois suportes rígidos A e B e está livre de tensões a uma temperatura de 25ºC. Se a temperatura da barra for aumentada até 150 ºC, determinar: a) As tensões normais nos troços AC e CB b) O deslocamento do ponto C E = 200 GPa, α = 11.7 x 10-6 /ºC Exemplo 2.4 B&J 6th Ed. A barra rígida CDE está articulada num apoio em E e encosta em D num cilindro de latão BD com diâmetro de 30 mm. Um tirante AC, em aço, com 22 mm de diâmetro está fixo em C conforme mostra a figura e foi perfeitamente ajustado, quando a temperatura do conjunto era de 20ºC. A temperatura do cilindro de latão foi posteriormente aumentada até 50ºC enquanto o tirante de aço foi mantido a 20ºC. Assumindo que antes do aumento de temperatura as tensões eram zero, determinar as tensões no cilindro para as condições finais. Cont. 2 - 35 Coeficiente de Poisson • Para uma barra esbelta sujeita a força uniaxial: 0, zy x x E • O alongamento na direcção x é acompanhado de uma contracção nas outras direcções. Assumindo que o material é isotrópico, 0 zy • O coeficiente de Poisson é definido como x z x y axial deformação lateral deformação Compressão 2 - 36 Exemplo – determinação de E e 2 - 37 • Imaginemos uma secção que forma um ângulo q com a normal ao eixo da barra qq q q q q q q q cossin cos sin cos cos cos 00 2 00 A P A P A V A P A P A F • A tensão normal e a tensão de corte médias, no plano oblíquo são: Tensões em planos oblíquos qq sincos PVPF • Decompondo P nas suas componentes normal e tangencial à secção oblíqua, • Das condições de equilibrio, as forças distribuídas no plano – tensões – têm de equilibrar a força P. 2 - 38 • A tensão normal máxima ocorre quando o plano de referencia é perpendicular ao eixo da longitudinal da barra, ie. segundo a direcção da força aplicada: 0, 0 max A P • A tensão de corte máxima ocorre para um plano a + 45o em relação ao eixo longitudinal da barra: 000 22 4545 A P , A P ºcosºsin A P max Tensão normal e tensão de corte máximas qqq cossin A P ,cos A P 0 2 0 • Tensão normal e tensão de corte no plano oblíquo: • As componentes das tensões são definidas segundo as direcções dos eixos x, y e z e actuando em planos perpendiculares aos eixos x, y e z. • As forças resultantes têm de satisfazer as condições de equilibrio estático: 0;0;0 0;0;0 zyx zyx MMM FFF yxxy yxxyz aAaAM 0 zxxzzyyz e,igualmente • Se considerarmos os momentos em torno do eixo z : Estado de tensões num ponto 2 - 40 Estado de tensões num ponto – caso geral O estado de tensão num ponto pode ser representado, no caso geral, por 6 componentes independentes: xzzxzyyzyxxy zxyzxy zyx ,, :com corte de tensões,, normais tensões,, 2 - 41 2 - 42 Forças multiaxiais - Lei de Hooke generalizada • Para um elemento sujeito a forças multiaxiais, as componentes normais das deformações resultantes das tensões normais podem ser determinadas usando o principio da sobreposição, sendo condições necessárias: 1) relação linear entre deformações e tensões 2) pequenas deformações EEE EEE EEE zyx z zyx y zyx x • Nestas condições, as deformações normais são dadas pelas equações seguintes: Exemplo – Lei de Hooke generalizada Considere-se a barra de cobre representada na figura, que está sujeita às forças uniformemente distribuídas representadas. A barra tem comprimento a = 300 mm, largura b = 50 mm e espessura t = 20 mm, antes da aplicação das forças distribuídas. Determinar as novas dimensões da barra (comprimento, largura e espessura) após a aplicação das forças. Ecobre = 120 GPa, cobre = 0.34. Estado de tensões num ponto – Tensões de corte 2 - 45 2 - 46 Deformações ou distorções de corte • Um elemento cubico infinitésimal sujeito a uma tensão de corte deforma-se como representado na figura. • A relação entre as tensões de corte e as distorsões correspondentes é dada por: em que G é o módulo de elasticidade transversal. zxzxyzyzxyxy GGG Exemplo – distorções e tensões de corte 2 - 48 Relação entre E , e G • Considere-se a barra sólida sujeita a uma força axial que sofre um alongamento na direcção axial e uma contracção na direcção transversal )1(2 ou12 E GGE • Em materiais isotrópicos, o módulo de elasticidade E e o módulo de elasticidade transversal G estão relacionados: • Se o elemento cúbico estiver orientado como ilustrado na figura de baixo, sofrerá a distorção representada: A força axial origina também uma distorção de corte • Um elemento cúbico orientado como ilustrado na figura de cima, sofrerá a deformação representada. A força axial origina uma deformação axial 2 - 49 Materiais Compositos • Materiais compósitos reforçados com fibras: laminas; fibras de reforço; matriz z z z y y y x x x E,E,E • As tensões normais e as deformações estão relacionadas pela Lei de Hooke: x z xz x y xy , • As deformações transversais estão relacionadas com longitudinais através dos coeficientes de Poisson: • Os materiais compósitos, com propriedades mecânicas dependentes da direcção, dizem-se anisotrópicos. 2 - 50 Principio de Saint-Venant Principio de Saint-Venant: • Pode-se assumir que a distribuíção de tensões é independente do modo de aplicação da força, excepto na vizinhança imediata do ponto de aplicação da força. 2 - 51 Concentração de tensões: furo circularDescontinuídades da secção transversal podem resultar efeitos de concentração de tensões med max K med max 2 - 52 Concentração de tensões: concordância med max 2 - 53 Exemplo Determinar a maior força axial P que pode ser suportada em segurança por uma barra plana em aço com uma concordância, ou variação de secção: D para d , ambas com uma espessura de 10 mm. D= 60 mm; d= 40 mm; raio da concordância r = 8 mm. Assumir uma tensão normal admissivel de 165 MPa. r 2 - 54 • Determinar as relações geométricas e obter o factor K, a partir dos gráficos apropriados: 82.1 20.0 mm40 mm8 50.1 mm40 mm60 K d r d D • Tensão normal máxima: MPa7.90 82.1 MPa165 med K adm • Força máxima: N103.36 MPa7.90mm10mm40 3 medAP kN3.36P admmed K max 2 - 55 Deformações plásticas • Deformação elástica: enquanto a tensão máxima é menor que a tensão limite de elasticidade K A AP med max • A tensão máxima é igual à tensão limite de elasticidade para a carga máxima em regime elástico K A P eY 2.0 • Para cargas acima do limite elástico, desenvolve-se uma região de deformações plásticas junto ao furo • À medida que a carga aumenta, a região deformada plasticamente aumenta até que toda a secção está sujeita a uma tensão uniforme igual à tensão limite de elasticidade (material idealmente plástico) Y eU PK AP .02 2.0e 2.0max e Exemplo 250 mm O parafuso de aço tem um diâmetro nominal de 8 mm e é montado no tubo de alumínio como indicado na figura. O tubo de alumínio tem um diâmetro interior de 12 mm e um diâmetro exterior de 14 mm. A porca em A é ajustada por forma a somente eliminar a folga não introduzindo qualquer força de aperto. Se o conjunto estiver inicialmente a uma temperatura Ti = 20º C e fôr aquecido até à temperatura Tf = 80º C, calcular as tensões desenvolvidas no parafuso e no tubo.
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