Exercícios de Probabilidade e Estatística

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A´rea Interdepartamental de Matema´tica
Escola Superior de Tecnologia de Tomar
PROBABILIDADES
E
ESTATI´STICA
COLECTAˆNEA
DE
EXERCI´CIOS
Engenharia Informa´tica
Ano Lectivo 2006/2007
Os exerc´ıcios na˜o resolvidos nas aulas pra´ticas constituem elementos de trabalho com-
plementar que os alunos devem realizar e esclarecer junto da docente, salvo indicac¸a˜o em
contra´rio.
Nota: Os exerc´ıcios assinalados com um asterisco (*) sa´ıram em exames de anos lectivos
anteriores.
Atendimento / Orientac¸a˜o Tutorial
L´ıgia Henriques Rodrigues Gab. 106 5ª feira: 14h00 - 14h30 / 17h30 - 18h00
6ª feira: 14h00 - 14h30 / 16h00 - 18h30
1ª PARTE
Cap´ıtulo 1
Noc¸o˜es Ba´sicas de Probabilidades
1.1 Qual o nu´mero de permutac¸o˜es poss´ıveis com as letras A, B, C e D?
1.2 Qual o nu´mero de combinac¸o˜es para as mesmas letras, A, B, C e D, tomadas 3 a 3 ?
1.3 Qual o nu´mero total de chaves diferentes que e´ poss´ıvel formar num jogo de totobola?
1.4 Qual o nu´mero de permutac¸o˜es das letras da palavra ”estat´ıstica”?
1.5 As pec¸as que saem de uma linha de produc¸a˜o sa˜o marcadas defeituosas (D) ou na˜o
defeituosas (N). As pec¸as va˜o sendo inspeccionadas e registadas, procedendo-se a uma
paragem quando se obtenham duas pec¸as defeituosas consecutivas ou quando se tenham
registado quatro pec¸as.
Descreva o espac¸o de resultados desta experieˆncia.
1.6 Lanc¸a-se 3 vezes uma moeda equilibrada:
(a) Defina o espac¸o amostral desta experieˆncia.
(b) Calcule a probabilidade de obter:
i. duas caras;
ii. pelo menos uma cara.
1.7 Um dado e´ lanc¸ado duas vezes. Seja A o acontecimento “soma das pintas obtidas nos
dois lanc¸amentos diferente de quatro”. Calcule P (A).
1.8 Considere a experieˆncia aleato´ria do exerc´ıcio anterior e os acontecimentos:
A - “sa´ıda de um nu´mero de pintas, no primeiro lanc¸amento na˜o superior a 2”;
B - “sa´ıda de um nu´mero de pintas, no segundo lanc¸amento, pelo menos igual a 5”.
Qual a probabilidade de que se verifique A ou B.
1.9 Numa revista um economista afirmou que considerava a ”melhoria”da situac¸a˜o finan-
ceira ta˜o prova´vel como a sua ”estagnac¸a˜o”. No entanto encarava a ”melhoria”como
duas vezes mais prova´vel que a ”quebra”da actividade econo´mica.
(a) Que espac¸o de resultados esta´ impl´ıcito nestas observac¸o˜es?
(b) Qual a probabilidade associada a cada resultado deste espac¸o?
1
1.10 Treˆs atletas participam numa prova. A probabilidade de o atleta A ganhar e´ duas vezes
maior do que a do atleta B ganhar, e esta duas vezes maior que a do C ganhar. Qual a
probabilidade de cada um dos atletas ganhar a prova?
1.11 Mostre que, com P (A) = P (B) = 0.6, A na˜o pode ser mutuamente exclusivo com B.
1.12 Segundo certa empresa de estudos de mercado, a prefereˆncia da populac¸a˜o de certa
cidade pelas 3 marcas existentes (A, B e C) de um produto de grande consumo, e´ dada
pelos seguintes valores (percentagens sobre o total da populac¸a˜o):
Consumidores A B C A e B A e C B e C A, B e C
das Marcas 51 62 40 28 21 24 10
Qual a probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso nessa cidade, seja consumidora
de:
(a) Das marcas A ou B;
(b) Somente de A e C;
(c) Somente C;
(d) De pelo menos uma das marcas;
(e) De nenhuma delas.
1.13 Sejam A e B dois acontecimentos tais que:
P (A) + P (B) = x e P (A ∩B) = y.
Determine em func¸a˜o de x e y, a probabilidade de que:
(a) Na˜o se realize nenhum dos acontecimentos;
(b) Se realize um e um so´ dos acontecimentos;
(c) Se realize pelo menos um dos acontecimentos;
(d) Se realiza quanto muito um dos acontecimentos.
1.14 Suponha que A, B e C sa˜o acontecimentos tais que:
ˆ P (A) = P (B) = P (C)=14 ;
ˆ P (A ∩ B)=P (C ∩ B) = 0;
ˆ P (A ∩ C)=18 .
Calcule a probabilidade de que, pelo menos um dos acontecimentos ocorra.
1.15 Sejam A e B dois acontecimentos quaisquer, tais que:
P (A ∪ B) = 7
8
; P (A ∩ B) = 1
4
; P (A¯) =
5
8
Calcule:
(a) P (A).
2
(b) P (B).
(c) P (A ∩ B¯).
1.16 Se P (A ∩B) = 0.6, qual o maior valor para P (A|B).
1.17 Sendo P (A) = 0.5 e P (A ∪ B) = 0.7, determine:
(a) P (B) sendo A e B independentes.
(b) P (B) sendo A e B mutuamente exclusivos.
(c) P (B) sendo P (A|B) = 0.5.
(d) P (B) sendo P (A|B) = 0.4.
1.18 Considere treˆs acontecimentos A, B e C tais que:
P (C) = 0.3; P (B|C) = 0.4; P (B¯|C¯) = 0.8; P (A|(B ∩ C)) = P (A|(B ∩ C)) = 0.2.
(a) Calcule P (C|B).
(b) Calcule P [(B ∩ C)|A].
(c) Diga, justificando, se os treˆs acontecimentos sa˜o ou na˜o independentes.
1.19 Sejam A, B e C treˆs acontecimentos aleato´rios, com probabilidade na˜o nula, definidos
num espac¸o de resultados Ω. Mostre que:
P (A ∩ C|B ∩ C) = P (A|B ∩ C) = P (A ∩ B|C)
P (B|C) .
1.20 Considere um espac¸o de resultados constitu´ıdo por N elementos Ai e por M elementos
Bj . Os acontecimentos Ai sa˜o equiprova´veis, o mesmo se passando com os aconteci-
mentos Bj . Sabe-se, que P (Bj) = 2P (Ai). Considere o acontecimento A formado por
n acontecimentos Ai e por m acontecimentos Bj e prove que:
P (A) =
n+ 2m
N + 2M
.
1.21 Em certa escola 25% dos estudantes foram reprovados em matema´tica, 15% em qu´ımica
e 10% em matema´tica e qu´ımica. Um estudante e´ seleccionado aleatoriamente:
(a) Se ele foi reprovado em qu´ımica, qual a probabilidade de ter sido reprovado em
matema´tica?
(b) Se foi reprovado em matema´tica, qual a probabilidade de ter sido reprovado em
qu´ımica?
(c) Qual a probabilidade de ter sido reprovado em matema´tica ou em qu´ımica?
1.22 Numa certa cidade 40% da populac¸a˜o tem cabelos castanhos, 25% olhos castanhos e
15% tem cabelos e olhos castanhos. Uma pessoa e´ seleccionada aleatoriamente:
(a) Se ela tem cabelos castanhos, qual a probabilidade de ter tambe´m olhos castanhos?
(b) Se ela tem olhos castanhos, qual a probabilidade de na˜o ter cabelos castanhos?
3
(c) Qual a probabilidade de na˜o ter nem olhos nem cabelos castanhos?
(d) Se ela na˜o tem olhos castanhos, qual a probabilidade de ter cabelos castanhos?
(e) Se ela na˜o tem cabelos castanhos, qual a probabilidade de na˜o ter olhos castanhos?
1.23 Numa fa´brica trabalham 30 mulheres e 50 homens cuja distribuic¸a˜o por classes e por
idades e´ a seguinte:
Idades Homens Mulheres
ate´ 21 anos 5 3
de 21 ate´ 50 anos 30 18
mais de 50 anos 15 9
(a) Qual a probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso ser mulher?
(b) Qual a probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso ser homem, sabendo-se que
tem mais de 50 anos?
(c) Qual a probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso ser homem ou ter mais de
50 anos?
(d) Os acontecimentos ”a pessoa escolhida ao acaso e´ homem”e ”a pessoa escolhida ao
acaso tem mais de 50 anos”sa˜o independentes? Justifique a resposta.
1.24 As probabilidades de treˆs atiradores A, B e C acertarem no alvo sa˜o iguais a 0.75, 0.80
e 0.90, respectivamente. Determine a probabilidade de:
(a) Os treˆs atiradores acertarem simultaneamente.
(b) Pelo menos um dos atiradores acertar.
1.25 O Rui entrou na universidade e foi informado que ha´ 30% de possibilidade de vir a
receber uma bolsa de estudo. No caso de receber a bolsa de estudo a probabilidade
de se licenciar e´ 0.85, enquanto que no caso de na˜o obter bolsa a probabilidade de se
licenciar e´ 0.45.
(a) Qual a probabilidade de que o Rui se licencie.
(b) Se daqui a uns anos encontrar o Rui ja´ licenciado, qual a probabilidade de que
tenha recebido bolsa de estudo?
1.26 Dos candidatos a um emprego 30% sa˜o mulheres e 70% sa˜o homens; 60% das mulheres
e 40% dos homens teˆm estudos superiores.
Determine a probabilidade de que um candidato seleccionado aleatoriamente:
(a) Seja uma mulher, sabendo que tem estudos superiores.
(b) Seja um homem e na˜o tenha estudos superiores.
1.27 Uma empresa produz um bem a partir de 3 processos de fabrico. Sabe-se que 20% da
produc¸a˜o tem por base o 1ºprocesso, 30% o 2º e 50% o 3º.
Com base em estudos anteriores, chegou-se a` conclusa˜o que, do total de bens produ-
zidos pela empresa, 7.5% sa˜o defeituosos, sendo a percentagem de defeituosos entre os
produzidos pelo 1º processo de 10% e pelo 2º tambe´m de 10%.
4
(a) Determinado produto foi produzido pelo 3º processo de fabrico. Qual a probabili-
dade de ser defeituoso?
(b) Determinado produto esta´ defeituoso. Qual a probabilidade de ter sido produzido
pelo 3º processo de fabrico?
1.28 Uma loja de brinquedos emprega treˆs mulheres para tentar fazer embrulhos durante a
e´poca de Natal. Raquel embrulha 30% dos presentes e esquece-se de tirar o prec¸o 3%
das vezes; Helena embrulha 20% dos presentes e esquece-se de tirar o prec¸o 8% das
vezes; Joana embrulha os restantes presentes e esquece-se de tirar o prec¸o 5% das vezes.
(a) Qual a probabilidade de um presente comprado nessa loja ainda ter prec¸o?
(b) Suponha que tinha ido a essa loja, verificando em casa que o seu presente ainda
tinha prec¸o. Calcule a probabilidade de ter sido embrulhado pela Joana.
1.29 Parte dos acidentes escolares devem-se a acidentes laboratoriais; 25% dos estudantes
na˜o leˆem as instruc¸o˜es que acompanham os produtos que manipulam, e entre os que
as leˆem ainda ha´ 10% dos acidentes devido a` falta de precauc¸a˜o na utilizac¸a˜o desses
produtos.
Qual a probabilidade de que um estudante que na˜o leˆ as instruc¸o˜es venha a ter um
acidente, se e´ de 0.7, a probabilidade de que um acidentado na˜o tenha lido as instruc¸o˜es?
1.30 Uma empresa de construc¸a˜o civil produz telhas para o mercado nacional e internacional,
sendo ambos os mercados equiprova´veis. Sabendo que 10% das telhas lanc¸adas no
mercado nacional apresentam deficieˆncias e que a proporc¸a˜o e´ de 3.3% no mercado
externo. Determine:
(a) A percentagem de telhas defeituosas na produc¸a˜o total da empresa.
(b) Sabendo que encontrou uma telha sem defeitos, qual a probabilidade de ter sido
produzida para o mercado nacional?
1.31 Um fornecedor tem grande parte do seu stock constitu´ıdo por martelos pneuma´ticos do
mesmo tipo provenientes de treˆs fa´bricas A, B e C. 60% dos aparelhos sa˜o produzidos na
fa´brica A e os restantes em B e C na proporc¸a˜o de 3 : 1. Sabe-se que, respectivamente,
20%, 10% e 5% dos martelos provenientes de A, B e C teˆm defeitos.
(a) Determine a percentagem de aparelhos do stock que teˆm defeitos.
(b) Sabendo que foi encontrado um martelo pneuma´tico com defeito, indique qual a
fa´brica que, com maior probabilidade, lhe tera´ dado origem?
1.32 (*) Uma fa´brica de televisores compra 14 dos trans´ıstores de que necessita ao fornecedor
A que garante uma fiabilidade (bom funcionamento) de 0.8 ao seu material. A aquisic¸a˜o
do restante material e´ igualmente dividida por outras duas firmas, B e C, que garantem,
respectivamente, uma fiabilidade de 0.9 e 0.7.
(a) Qual a fiabilidade de um trans´ıstor seleccionado ao acaso?
(b) Qual a origem mais prova´vel de um trans´ıstor que, escolhido ao acaso, se verificou
ter funcionado bem?
5
1.33 (*) Uma companhia que produz trans´ıstores tem 3 linhas de montagem A, B e C
produzindo respectivamente 15%, 35% e 50% da sua produc¸a˜o global. Suponha que as
probabilidades de um trans´ıstor produzido por cada uma dessas linhas ser defeituoso
sa˜o, respectivamente de 0.01, 0.05 e 0.02.
(a) Se for escolhido ao acaso da produc¸a˜o global um trans´ıstor, qual a probabilidade
de ele na˜o ser defeituoso?
(b) Se ao seleccionarmos ao acaso um trans´ıstor, verificarmos que na˜o tem defeitos,
qual e´ a probabilidade de ter sido produzido na linha de montagem B?
1.34 (*) A execuc¸a˜o de um projecto de construc¸a˜o de um edif´ıcio no tempo programado esta´
relacionada com os seguintes acontecimentos:
E = ”escavac¸o˜es executadas a tempo”
F = ”fundac¸o˜es executadas a tempo”
S = ”superstrutura executada a tempo”
supostos independentes e com probabilidades iguais a, respectivamente, 0.8, 0.7 e 0.9.
Calcule a probabilidade de:
(a) O edif´ıcio ser terminado no tempo previsto, devido ao cumprimento dos prazos nas
treˆs actividades referidas.
(b) O prazo de execuc¸a˜o ser cumprido para a escavac¸a˜o e na˜o ser cumprido em pelo
menos uma das outras actividades.
1.35 (*) O Ze´ze´ vai tirar a carta de conduc¸a˜o. Antes de fazer os exames, com as novas regras,
estima em 0.9 a probabilidade de passar no exame de co´digo e como a´s no volante que e´,
em 0.95 a probabilidade de passar no exame de conduc¸a˜o se passou no exame de co´digo.
(a) Determine a probabilidade de o Ze´ze´ tirar a carta de conduc¸a˜o.
(b) Se na˜o tirar a carta, qual a probabilidade de na˜o ter passado no exame de co´digo.
6
Cap´ıtulo 2
Varia´veis Aleato´rias
2.1 Considere-se o lanc¸amento de treˆs moedas e a varia´vel aleato´ria X={nu´mero de faces}.
Determine a func¸a˜o de probabilidade e a func¸a˜o de distribuic¸a˜o.
2.2 Numa caixa esta˜o 5 bolas numeradas de 1 a 5. Duas bolas sa˜o extra´ıdas aleatoria-
mente e os seus nu´meros anotados. Determine a func¸a˜o de probabilidade e a func¸a˜o de
distribuic¸a˜o de:
(a) X={ma´ximo dos dois nu´meros seleccionados}.
(b) Y={soma dos dois nu´meros seleccionados}.
2.3 Sendo a func¸a˜o de probabilidade de X indicada por:
X 0 1 2 3
f(x) 110
1
5 K
1
10
(a) Indique o valor de K.
(b) Deduza a func¸a˜o de distribuic¸a˜o de X.
(c) Determine a de forma a ter P(X ≤ a) ≥ 0.5.
(d) Calcule P(X = 3|X ≥ 1).
2.4 A varia´vel discreta X apresenta a func¸a˜o de distribuic¸a˜o a seguir tabelada.
F (x) =

0 , x < 1
0.1 , 1 ≤ x < 2
0.4 , 2 ≤ x < 3
0.9 , 3 ≤ x < 4
1 , x ≥ 4
(a) Calcule P(X ≤ 2) e P(X > 1).
(b) Deduza f(x) e represente graficamente as duas func¸o˜es.
2.5 Verifique se as func¸o˜es indicadas podem ser func¸o˜es de probabilidade de alguma varia´vel
aleato´ria.
(a) f(x) =
1
5
, para x = 0, 1, 2, 3, 4, 5.
7
(b) f(x) =
x+ 1
14
, para x = 1, 2, 3, 4.
2.6 Uma confeitaria estabeleceu um registo de vendas para um certo tipo de bolo. Determine
o nu´mero esperado de bolos encomendados.
N. de bolos/dia 0 1 2 3 4 5 6 7 8
Probabilidade 0.02 0.07 0.12 0.20 0.20 0.18 0.10 0.10 0.01
2.7 Seja X a varia´vel aleato´ria com a seguinte func¸a˜o de probabilidade:
X 2 3 4 5 6 7 8
f(x) 0.10 0.35 0.20 0.10 0.10 0.08 0.07
(a) Calcule o valor me´dio, a moda e a mediana.
(b) Qual o valor da variaˆncia e do desvio padra˜o.
(c) Verifique se a distribuic¸a˜o e´ sime´trica.
2.8 A func¸a˜o de probabilidade da varia´vel aleato´ria que designa o nu´mero de pec¸as defeitu-
osas numa amostra e´ definida por,
f(x) =

0.512 , x = 0
0.384 , x = 1
0.096 , x = 2
0.008 , x = 3
0 , outros valores de x
(a) Represente-a graficamente.
(b) Calcule:
ˆ P(X ≥ 1);
ˆ P(X < 2);
ˆ P(1 < X ≤ 4).
2.9 Seja Y a varia´vel aleato´ria com func¸a˜o de probabilidade:
f(y) =

y2 + 1
k
, y = −2,−1, 0, 1, 2
0 , outros valores de y
(a) Determine k de forma a que f(y) seja uma func¸a˜o de probabilidade.
(b) Fac¸a a representac¸a˜o gra´fica de f(y).
2.10 Considere a varia´vel aleato´ria discreta X, com a seguinte func¸a˜o de distribuic¸a˜o:
F (x) =

0 , x < 0
1/6 , 0 ≤ x < 2
1/4 , 2 ≤ x < 4
1/2 , 4 ≤ x < 6
1 , x ≥ 6
8
(a) Determine a func¸a˜o de probabilidade.
(b) Calcule:
ˆ P(X ≤ 1);
ˆ P(2 ≤ X < 6);
ˆ P(0 < X ≤ 2);
ˆ P (X > 5).
2.11 O nu´mero de automo´veis encomendados mensalmente num stand, e´ uma varia´vel aleato´ria
X com a seguinte func¸a˜o de distribuic¸a˜o:
F (x) =

0 , x < 0
0.3 , 0 ≤ x < 1
0.6 , 1 ≤ x < 2
0.8 , 2 ≤ x < 3
0.9 , 3 ≤ x < 4
1 , x ≥ 4
(a) Calcule a func¸a˜o de probabilidade.
(b) Quantos automo´veis o stand deve ter num meˆs, para que a probabilidade de satis-
fazer todas as encomendas na˜o seja inferior a 0.75?
2.12 Considere a seguinte func¸a˜o de probabilidade:f(x) =

x2
14
, x = 1, 2, 3
0 , outros valores de x
(a) Mostre que a func¸a˜o de probabilidade satisfaz as propriedades de qualquer func¸a˜o
de probabilidade e represente-a graficamente.
(b) Deduza a func¸a˜o de distribuic¸a˜o e represente-a graficamente.
(c) Calcule P(X = 1|X ≤ 2).
(d) Determine E(X) e V (X).
2.13 Determine E(X) e V (X) das distribuic¸o˜es dos exerc´ıcios 2.1, 2.2 e 2.6.
2.14 Relativamente a` distribuic¸a˜o da varia´vel X, sabe-se que: E(X)=6 e E(X2)=62. Sendo
Y uma outra varia´vel aleato´ria dada por Y =
1
2
X + 3, determine:
(a) E(Y ).
(b) V (Y ) e σY .
2.15 SejamX e Y duas varia´veis aleato´rias tais que V (X) = 2, V (Y ) = 4 e COV (X,Y ) = −2.
Determine V (3X − 4Y + 8).
2.16 Sejam X e Y duas varia´veis aleato´rias independentes tais que V (X) = 1, V (Y ) = 2.
Determine V (5X − 2Y + 3).
9
2.17 Sejam X e Y = aX + b duas varia´veis aleato´rias tais que E(X) = 1, E(Y ) = 5,
V (X) = 0.25 e V (Y ) = 4. Determine os valores de a e de b.
2.18 Considere a v.a. X, cont´ınua, com func¸a˜o densidade de probabilidade (f.d.p.) dada por:
f(x) =

1
2
x , 0 < x < 2
0 , outros valores de x
(a) Fac¸a a sua representac¸a˜o gra´fica e mostre que se trata de uma f.d.p..
(b) Calcule P(X ≤ 1), P(14 < X ≤ 12) e P(X > 32).
(c) Calcule P(X < 1|12 < X < 2).
2.19 A v.a. X e´ caracterizada pela seguinte func¸a˜o densidade de probabilidade:
f(x) =

x2 , −1 < x ≤ 0
x , 0 < x ≤ 1
1
12
, 1 < x < 3
0 , outros valores de x
(a) Verifique que se trata de uma func¸a˜o densidade de probabilidade.
(b) Calcule P(12 < X < 2).
(c) Deduza a func¸a˜o de distribuic¸a˜o.
2.20 Uma varia´vel aleato´ria cont´ınua tem a seguinte func¸a˜o densidade de probabilidade:
f(x) =

0 , x < 0
k , 0 ≤ x < 1
k(2− x) , 1 ≤ x < 2
0 , x ≥ 2
(a) Calcule:
ˆ k.
ˆ P(X < 1.5).
ˆ E(X) e V (X).
(b) Obtenha a func¸a˜o de distribuic¸a˜o.
2.21 A quantidade de pa˜o que uma padaria vende diariamente (em quilogramas) e´ uma
varia´vel aleato´ria com distribuic¸a˜o de probabilidade dada pela seguinte func¸a˜o densi-
dade:
f(y) =

ky , 0 ≤ x ≤ 50
k(100− y) , 50 ≤ y ≤ 100
0 , c. c.
(a) Calcule o valor de k.
(b) Determine a quantidade me´dia de pa˜o vendida diariamente.
(c) Qual a probabilidade de um certo dia a venda de pa˜o ser superior a 80 kg?
10
2.22 Uma v.a. X tem a seguinte func¸a˜o densidade de probabilidade:
f(x) =

x− 1 , 1 ≤ x < 2
3− x , 2 ≤ x < 3
0 , outros valores de x
(a) Obtenha a func¸a˜o de distribuic¸a˜o.
(b) Calcule o valor me´dio e o desvio padra˜o.
(c) Calcule P(2 ≤ X ≤ 2.2).
2.23 As vendas semanais do produto A (em toneladas) comportam-se de forma aleato´ria de
acordo com a seguinte f.d.p.:
f(y) =
{
0.04y + 0.13 , 1 ≤ y ≤ 5
0 , outros valores de y
(a) Calcule E(Y ) e V (Y ).
(b) Calcule a mediana das vendas mensais.
(c) Para o produto A o lucro obtido em cada semana e´ uma varia´vel aleato´ria definida
por: X = 200Y − 60. Calcule E(X) e V (X).
2.24 O tempo de espera entre chamadas (em minutos) numa central telefo´nica, pode ser
considerado como uma varia´vel aleato´ria e e´ caracterizado pela seguinte f.d.p.,
f(x) =
{
(k − 2)e−x , x ≥ 0
0 , x < 0
(a) Determine o valor de k.
(b) Qual a probabilidade de que o tempo de espera entre duas chamadas, seja inferior
a 3 minutos?
(c) Determine o tempo me´dio de espera e o tempo de espera mais frequente entre duas
chamadas.
(d) Obtenha a func¸a˜o de distribuic¸a˜o da v.a. X.
(e) Calcule a probabilidade P (4 ≤ X < 6|X > 2).
2.25 (*) O diaˆmetro de um cabo (em polegadas) supo˜e-se ser uma varia´vel aleato´ria cont´ınua
X, com func¸a˜o densidade de probabilidade,
f(x) =
{
2kx(1− x) , 0 ≤ x ≤ 1
0 , x < 0 ∨ x > 1
(a) Determine o valor de k.
(b) Obtenha a func¸a˜o de distribuic¸a˜o de X.
(c) Qual a probabilidade de o diaˆmetro de um cabo ser superior a 0.80 polegadas?
(d) Calcule P(X ≤ 12 |13 ≤ X ≤ 23).
11
2.26 (*) A percentagem de a´lcool em determinado composto pode ser considerada uma
varia´vel aleato´ria X, com a seguinte f.d.p.:
f(x) =
{
20x3(1− x) , 0 < x < 1
0 , c. c.
(a) Determine a func¸a˜o de distribuic¸a˜o de X.
(b) Calcule E(X), V (X) e σX .
2.27 (*) A func¸a˜o densidade de probabilidade da varia´vel aleato´ria X tem a seguinte ex-
pressa˜o:
f(x) =

x3 + x , 0 ≤ x ≤ 1
3x2 + 2x− 394 , 1 < x ≤ 2
0 , c. c.
(a) Calcule o valor esperado e a variaˆncia de X.
(b) Calcule as probabilidades:
i. P(X < −1).
ii. P(X < 3).
2.28 (*) Seja X uma varia´vel aleato´ria com a seguinte func¸a˜o densidade de probabilidade:
f(x) =
{
x
k−1 , 2 ≤ x ≤ 4
0 , c. c.
Determine:
(a) k.
(b) V (X).
(c) A correspondente func¸a˜o de distribuic¸a˜o.
2.29 (*) Uma estac¸a˜o de gasolina enche os reservato´rios no princ´ıpio de cada semana. Su-
pondo o volume semanal X de vendas (em milhares de litros) de gasolina, uma varia´vel
aleato´ria cont´ınua com a seguinte f.d.p.:
f(x) =
{
k(40− x) , 0 ≤ x ≤ 40
0 , c. c.
(a) Determine o valor de k.
(b) Determine a me´dia e a variaˆncia da varia´vel aleato´ria Y = 2− 3X.
(c) Calcule a probabilidade de o volume de vendas numa semana ser superior a 30 (mil
litros) de gasolina.
2.30 (*) Admita que o nu´mero de licenciados, em Engenharia Qu´ımica Industrial, procurados
diariamente pelas empresas e´ uma varia´vel aleato´ria, distribu´ıda do seguinte modo:
12
X 0 1 2 3 4
f(x) 0.1 k 0.3 k4 0.1
(a) Deduza a func¸a˜o de distribuic¸a˜o e calcule a de modo que P(0 < X ≤ a)=0.8.
(b) Determine o valor esperado do nu´mero de licenciados procurados diariamente.
(c) Calcule E(3X2 + 1).
2.31 (*) A quantidade de bolos (expressa em kg) vendida diariamente no bar do IPT e´ uma
varia´vel aleato´ria com a seguinte f.d.p.,
f(x) =

5k
2 , 0 ≤ x < 5
k(10− x) , 5 ≤ x < 10
0 , c. c.
(a) Obtenha o valor da constante k.
(b) Calcule a quantidade me´dia de bolos vendida diariamente no bar do IPT.
(c) Determine a quantidade de bolos que deve ser recebida diariamente de forma a
satisfazer 80% dos pedidos.
13
Cap´ıtulo 3
Distribuic¸o˜es Teo´ricas
3.1 Uma empresa comercializa garrafas de vinho do Porto de 1 litro. Supo˜e-se no entanto
que 40% dessas garrafas conte´m realmente menor quantidade do que o volume indicado
no ro´tulo. Tendo adquirido 6 garrafas, qual a probabilidade de:
(a) Duas delas conterem menos de 1 litro?
(b) No ma´ximo 2 conterem menos de 1 litro?
(c) Pelo menos 2 conterem menos de 1 litro?
(d) Todas conterem menos de um litro?
(e) Todas conterem o volume indicado no ro´tulo?
3.2 Qual a probabilidade de, em 10 lanc¸amentos de um dado perfeito:
(a) Se obterem 5 faces par?
(b) Se obterem 5 faces superiores a 4?
3.3 Admite-se ser 0.4 a probabilidade de que um cliente que entra num supermercado M
realize despesa superior a 1.000$00.
(a) Qual a probabilidade de, em 3 clientes:
ˆ nenhum realizar despesa superior a 1.000$00?
ˆ no mı´nimo 2 gastarem mais de 1.000$00?
(b) Qual a probabilidade de, em 15 clientes:
ˆ nenhum realizar despesa superior a 1.000$00?
ˆ no mı´nimo 2 gastarem mais de 1.000$00?
3.4 Um estudante tem 3 exames. A probabilidade de ficar bem em cada um e´ de 12 . Calcule
a probabilidade de ficar bem:
(a) Em pelo menos 1 exame.
(b) Em exactamente 1 exame.
3.5 Se for estimada em 0.3 a probabilidade de uma pessoa contactada realizar uma compra,
calcule a probabilidade de um vendedor que visite num dia 16 pessoas:
14
(a) Realizar 5 vendas.
(b) Realizar entre 4 e 8 vendas.
(c) Realizar quando muito 2 vendas.
(d) Realizar no ma´ximo 10 vendas.
(e) Realizar pelo menos 12 vendas.
(f) Realizar no mı´nimo 3 vendas.
(g) Se o vendedor visitar 16 pessoas diariamente, qual o nu´mero me´dio dia´rio de ven-
das?
3.6 Um estudo encomendado pela empresa M permitiu apurar queaproximadamente 60%
dos seus trabalhadores mantinham uma atitude cooperativa face a` empresa, 30% uma
atitude hostil e 10% uma atitude na˜o definida. Qual a probabilidade de num grupo de
12 trabalhadores:
(a) Pelo menos 6 adoptarem uma atitude hostil face a` empresa?
(b) No ma´ximo 2 terem uma atitude bem definida?
(c) Qual o nu´mero esperado de trabalhadores com atitude hostil?
3.7 Um avia˜o comercial tem 4 motores independentes e num voo a probabilidade de cada
motor funcionar sem avarias e´ de 99%. Qual a probabilidade do avia˜o fazer uma viagem
segura se, para isso, precisar de pelo menos 2 motores a funcionar correctamente.
3.8 A probabilidade de um automo´vel efectuar uma lavagem automa´tica, quando vai ser
abastecido de combust´ıvel numa bomba de gasolina, e´ 0.1. Determine:
(a) A probabilidade de nenhum dos pro´ximos 6 carros ser lavado.
(b) A probabilidade de pelo menos um dos pro´ximos 10 automo´veis efectuar uma
lavagem.
(c) A probabilidade de pelo menos 2 dos pro´ximos 10 automo´veis efectuarem lavagens
automa´ticas.
(d) O numero me´dio de lavagens em cada grupo de 25 automo´veis.
3.9 Suponha que X tem distribuic¸a˜o binomial e que p=0.2 e E(X)=1. Calcule n e V (X).
3.10 Suponha queX tem distribuic¸a˜o binomial, com paraˆmetros n e p. Sabendo que E(X)=5
e V (X)=4, determine n e p.
3.11 O nu´mero de chamadas que chegam num per´ıodo de 5 minutos a` central telefo´nica de
uma empresa, e´ uma v.a. com distribuic¸a˜o Poisson, de paraˆmetro λ=10. Calcule a
probabilidade, de num per´ıodo de 5 minutos:
(a) Chegarem exactamente 8 chamadas.
(b) Chegarem menos de 5 chamadas.
(c) Chegarem, no mı´nimo, 3 chamadas.
(d) Chegarem pelo menos 20 chamadas.
15
(e) Na˜o chegar nenhuma.
(f) Calcule a probabilidade de num per´ıodo de 2 minutos chegarem exactamente 3
chamadas.
3.12 Numa fa´brica o nu´mero de acidentes por semana segue uma lei de Poisson, de paraˆmetro
igual a 2. Calcule a probabilidade de que:
(a) Numa semana haja menos de um acidente.
(b) Se verifiquem 4 acidentes.
3.13 Um retalhista vende um produto cuja procura se tem comportado segundo uma distri-
buic¸a˜o Poisson de paraˆmetro 5. Nos u´ltimos 300 dias seguiu uma pol´ıtica de adquirir
8 artigos por dia, tendo verificado que em 21 desses dias, o seu stock na˜o chegou para
satisfazer as encomendas.
Quantos produtos (no mı´nimo) devera´ ele passar a adquirir por dia se quiser fazer bai-
xar para 0.03 a probabilidade da ruptura de stock?
Nota: Os produtos na˜o vendidos no pro´prio dia sa˜o inutilizados.
3.14 Durante 40 minutos consecutivos foi registado o nu´mero de part´ıculas co´smicas que,
por minuto, incidem num dado aparelho detector. Os resultados foram compilados na
tabela que se encontra abaixo. Na suposic¸a˜o de que as part´ıculas atingem o detector de
um modo aleato´rio e a um ritmo constante, qual sera´ a probabilidade de cinco part´ıculas
serem detectadas no minuto seguinte?
3 0 0 1 0 2 1 0 1 1
0 3 4 1 2 0 2 0 3 1
1 0 1 2 0 2 1 0 1 2
3 1 0 0 2 1 0 3 1 2
3.15 Um material radioactivo emite part´ıculas α a uma taxa de duas por milisegundo. De-
termine a probabilidade de:
(a) Serem emitidas duas part´ıculas num milisegundo.
(b) Serem emitidas quatro part´ıculas em dois milisegundos.
(c) Serem emitidas pelo menos treˆs part´ıculas em dois milisegundos.
(d) Serem emitidas pelo menos cinco part´ıculas em dois milisegundos sabendo que ja´
foram emitidas pelo menos duas part´ıculas.
3.16 Admite-se que 5% da produc¸a˜o de certa fa´brica seja defeituosa. Numa encomenda de
100 unidades, qual a probabilidade de se encontrarem:
(a) 2 defeituosas.
(b) no ma´ximo 2 defeituosas.
3.17 Se a probabilidade de um carro furar um pneu durante a passagem pela ponte sobre
o Tejo for de 0.0004, qual a probabilidade de que em 10000 carros haja menos de 3 a
sofrer tal percalc¸o?
16
3.18 A procura dia´ria para certo tipo de artigo na loja A segue uma distribuic¸a˜o Poisson.
Sabendo que que a procura a me´dia dia´ria e´ de 3 produtos e que o stock dia´rio e´ mantido
em 6 unidades, calcule:
(a) A probabilidade de num dia serem procurados pelo menos 2 produtos.
(b) A probabilidade de se registar uma ruptura de stock.
(c) O nu´mero esperado de clientes que ficam por satisfazer.
(d) O novo stock dia´rio a assegurar de maneira que a probabilidade de ruptura seja no
ma´ximo de 0.004.
(e) Em me´dia quantos produtos sa˜o vendidos por dia, na hipo´tese:
ˆ de a loja poder satisfazer todo e qualquer pedido.
ˆ estar limitada ao stock dia´rio de 6 unidades.
(f) Qual a probabilidade de numa semana (6 dias) se terem verificado no ma´ximo 3
dias com vendas inferiores a 2 produtos.
(g) Durante o ano, qual o nu´mero esperado de dias com procura superior a 2 produtos
(admitir que o ano tem 365 dias u´teis).
3.19 Uma pessoa tem no bolso 5 chaves do mesmo tipo, mas so´ uma abre a porta. Considere
o seguinte me´todo:
Experimentar uma chave apo´s a outra, sem as repor no bolso apo´s cada tentativa.
Seja X a varia´vel aleato´ria que corresponde ao nu´mero de chaves experimentadas (in-
cluindo a que abre a porta).
(a) Determine a lei de probabilidade da varia´vel X.
(b) Qual o nu´mero me´dio de chaves experimentadas pelo me´todo considerado?
3.20 Considere o caso de uma fila de clientes, num estabelecimento comercial e suponha
que em cada unidade de tempo (30 segundos, por exemplo) chega ao estabelecimento,
no ma´ximo, 1 cliente. Suponha ainda que a probabilidade de chegar um cliente e´ p
e a probabilidade de na˜o chegar nenhum e´ 1 − p. Seja T uma varia´vel aleato´ria que
representa o tempo ate´ a` chegada do pro´ximo cliente.
(a) Qual a distribuic¸a˜o de T?
(b) Qual a probabilidade de na˜o chegar nenhum cliente nas pro´ximas t unidades de
tempo?
(c) Qual o tempo me´dio ate´ a` chegada do pro´ximo cliente?
3.21 Uma caixa tem doze ampolas, das quais quatro esta˜o estragadas. Dela extrai-se uma
amostra de treˆs ampolas, sem reposic¸a˜o. Determine a func¸a˜o de probabilidade e a func¸a˜o
de distribuic¸a˜o da v.a. que representa o nu´mero de ampolas estragadas.
3.22 De uma lista de 80 candidatos a um emprego sabe-se que apenas 20 teˆm menos de
25 anos. Se escolher 10 candidatos de uma forma aleato´ria e sem reposic¸a˜o, qual a
probabilidade de 5 terem menos de 25 anos?
17
3.23 Uma remessa de 20 barras de ac¸o e´ aceite pelo comprador se, numa amostra de 5
barras, tiradas ao acaso e sem reposic¸a˜o, na˜o houver mais do que uma defeituosa. Qual
a probabilidade de ser aceite um lote contendo 4 barras defeituosas?
3.24 Um determinado armaze´m de produtos alimentares possui em stock 4500 latas de con-
serva, entre as quais existem 225 cujo prazo de validade termina brevemente. Um
supermercado esta´ interessado em comprar as 4500 latas. No entanto a gereˆncia do su-
permercado decidiu na˜o efectuar a compra se numa amostra de 30 latas, recolhidas ao
acaso e sem reposic¸a˜o, forem encontradas pelo menos 3 cujo prazo de validade termine
brevemente.
Qual a probabilidade de a compra na˜o se efectuar?
3.25 Sabendo que a durac¸a˜o (em minutos) de uma conversa telefo´nica e´ uma v.a. T com
func¸a˜o densidade,
f(t) =
{
ke−
t
3 , t > 0
0 , t ≤ 0
(a) Calcule:
ˆ k.
ˆ A probabilidade de uma conversa durar mais de 3 minutos.
ˆ A probabilidade de uma conversa durar mais de 3 minutos mas menos de 5.
ˆ A probabilidade de uma conversa durar mais de 3 minutos dado que a conversa
ja´ dura a` 2 minutos.
ˆ A durac¸a˜o me´dia de uma conversa deste tipo.
(b) Obtenha a func¸a˜o de distribuic¸a˜o.
3.26 Muitos programas de computador possuem um utilita´rio chamado gerador de nu´meros
aleato´rios. Este utilita´rio permite obter um (pseudo) nu´mero aleato´rio distribu´ıdo, em
geral, uniformemente em ]0, 1].
(a) Determine a func¸a˜o densidade de probabilidade deste tipo de geradores.
(b) Qual a probabilidade de o nu´mero gerado estar entre0.3 e 0.5? E entre 0.2 e 0.4?
3.27 O gasto dia´rio para a manutenc¸a˜o de um laborato´rio e´ um nu´mero uniformemente
distribu´ıdo entre 10 euros e 50 euros.
(a) Determine a me´dia e a variaˆncia desta distribuic¸a˜o uniforme.
(b) Calcule a probabilidade de, num dia, o gasto ser superior a 40 euros. E qual sera´
a probabilidade de o gasto ser exactamente 20 euros?
3.28 A varia´vel T representa o tempo de funcionamento sem avarias, expresso em dias, de
um determinado equipamento. A f.d.p. da v.a. T e´ definida pela expressa˜o seguinte:
f(t) =
{
0.5e−0.5t , t > 0
0 , t ≤ 0
(a) Calcule a probabilidade de o equipamento funcionar sem avarias durante um per´ıodo
compreendido entre 1 e 3 dias.
18
(b) Determine o valor esperado e a variaˆncia da varia´vel T .
3.29 Considere uma varia´vel aleato´ria X cuja func¸a˜o densidade de probabilidade e´ (b, c > 0):
f(x) =
{
0 , x ≤ a
c
b
e−
x
b , x ≥ a
(a) Fac¸a um esboc¸o de f(x).
(b) Determine c em func¸a˜o d a e de b.
(c) Determine o E(X) e V (X).
3.30 Um departamento de reparac¸a˜o de ma´quinas recebe, em me´dia, 5 chamadas por hora.
Qual a probabilidade de que a primeira chamada chegue dentro de meia hora?
3.31 Em me´dia, atraca um navio em certo porto a cada dois dias. Qual a probabilidade de
que, a partir da partida de um navio, se passem 4 dias antes da chegada do pro´ximo
navio?
3.32 Suponha que T, tempo (em horas) de trabalho sem falhas de um dispositivo, segue uma
lei exponencial com λ = 0,03.
(a) Determine a probabilidade de o dispositivo trabalhar sem falhas nas primeiras 100
horas de funcionamento.
(b) Sabendo que o dispositivo na˜o falhou nas primeiras 100 horas, qual a probabilidade
de na˜o falhar nas 200 horas seguintes?
(c) Que distribuic¸a˜o segue o nu´mero de falhas por unidade de tempo?
3.33 O tempo de funcionamento T entre avarias consecutivas, de uma determinada ma´quina,
e´ uma varia´vel aleato´ria exponencial com me´dia de 1 hora.
(a) Considere umas da ma´quinas. Qual a probabilidade de estar a funcionar ao fim de
1 hora? E de 2 hora? E de 3 horas?
(b) Considere um sistema de montagem composto por 4 destas ma´quinas. Qual a
probabilidade de 2 ma´quinas estarem ainda a funcionar (sem avarias) ao fim de 1
hora? E de 2 horas?
3.34 Seja X ∼ N (µ, σ2) e Z = X − µ
σ
.
(a) Mostre que: E(Z)=0 e V(Z)=1.
(b) Calcule as seguintes probabilidades: P (µ−σ < X < µ+σ), P (µ−2σ < X < µ+2σ)
e P (µ− 3σ < X < µ+ 3σ).
3.35 A v.a. X segue uma distribuic¸a˜o Normal de paraˆmetros µ=20 e σ2=9.
(a) Determine as seguintes probabilidades:
ˆ P(X ≤ 23).
ˆ P(X ≤ 40).
ˆ P(X > 21).
19
ˆ P(X > 17).
ˆ P(21.5 < X < 25).
ˆ P(16.2 < X < 18.8).
ˆ P(17 < X < 29.3).
(b) Determine os valores da varia´vel X tais que:
ˆ P(X ≤ a)= 0.9332.
ˆ P(X ≤ b)= 0.1788.
ˆ P(X ≥ a)= 0.9989.
ˆ P(X > b)= 0.0062.
3.36 O tempo requerido para executar certa tarefa e´ uma v.a. com distribuic¸a˜o Normal com
me´dia 72 minutos e desvio padra˜o 12 minutos.
(a) Calcule a probabilidade de que:
ˆ A tarefa leve mais de 93 minutos.
ˆ Na˜o leve mais de 95 minutos.
ˆ Leve entre 63 e 78 minutos.
(b) Determine os valores de a e b tais que:
ˆ P(X > a)=0.2546.
ˆ P(X < b)=0.0054.
3.37 Sabe-se que a v.a. X tem distribuic¸a˜o Normal com paraˆmetros µ=3 e σ=2. Calcule:
(a) P(X < 4) ; P(X < 5) ; P(X > 15).
(b) P(X < 1); P(X < −1); P(X > 2); P(X > 3).
(c) P(4 < X < 5); P(−1 ≤ X ≤ 2); P(2 < X < 5).
3.38 O tempo (em minutos) que um opera´rio leva a executa certa tarefa e´ uma v.a. com
distribuic¸a˜o Normal. Sabe-se que a probabilidade de o opera´rio demorar mais de 13
minutos e´ de 0.0668 e a de demorar menos de 8 minutos e´ de 0.1587.
(a) Calcule o tempo me´dio requerido para executar a tarefa e o respectivo desvio
padra˜o.
(b) Calcule a probabilidade de o opera´rio demorar entre 9 e 12 minutos a executa´-la.
3.39 Calcule a me´dia e o desvio padra˜o da varia´vel X ∼ N (µ, σ2), sabendo que:
P(X ≥ 3)=0.8413 e P(X ≥ 9)=0.0228.
3.40 As varia´veis independentes X e Y especificam os desvios (erros elementares) introdu-
zidos por duas componentes de um aparelho ele´ctrico e teˆm distribuic¸o˜es normais de
me´dias 2 e 4 e variaˆncias 4 e 5, respectivamente. Sabendo que o erro a` sa´ıda do aparelho
esta´ associado aos erros destas duas componentes pela relac¸a˜o U = −X+3Y , determine
a probabilidade deste erro final ser superior a 15.
3.41 O conteu´do de certo tipo de garrafas e´ aleato´rio e com distribuic¸a˜o Normal de me´dia
1 e desvio padra˜o 0.020. Se 3 garrafas forem despejadas para um recipiente, qual a
probabilidade de este ficar com um volume de l´ıquido superior a 3.1 litros?
20
3.42 As pontuac¸o˜es obtidas com um teste psicote´cnico distribuem-se de uma forma apro-
ximadamente Normal, sendo a pontuac¸a˜o me´dia de 50p. e o desvio padra˜o de 10p..
Qual a probabilidade de, em 20 pessoas submetidas a esse teste, se registarem 5 com
pontuac¸o˜es inferiores a 41.6 pontos?
3.43 A distribuic¸a˜o dos rendimentos familiares de certo bairro de 5000 famı´lias (em u.m.) e´
satisfatoriamente representada por uma lei Normal com paraˆmetros 180u.m. e 25u.m..
(a) Qual o nu´mero esperado de famı´lias nesse bairro auferindo entre 175u.m. e 188u.m.?
(b) Qual a percentagem de famı´lias que ganham menos de 163u.m?
(c) Qual o rendimento ma´ximo auferido pelo grupo das 500 famı´lias de menores pro-
veitos?
3.44 A despesa (euros) de um cliente num supermercado e´ uma varia´vel aleato´riaX ∼ N (µ =
125, σ2 = 400). Determine:
(a) A fracc¸a˜o de clientes que gastam mais de 150euros.
(b) O valor do consumo abaixo do qual esta˜o os 10% de clientes menos gastadores.
(c) Considere o nu´mero de clientes que gastam uma importaˆncia entre 115euros e
135euros. Determine:
ˆ O nu´mero esperado destes clientes entre os pro´ximos 50.
ˆ A probabilidade de entre os pro´ximos 3 clientes estarem 2 destes clientes.
3.45 A despesa (euros) de um cliente num supermercado e´ uma varia´vel aleato´riaX ∼ N (µ =
125, σ2 = 400). Determine:
(a) A fracc¸a˜o de clientes que gastam mais de 150e.
(b) O valor do consumo abaixo do qual esta˜o os 10% de clientes menos gastadores.
(c) Considere o nu´mero de clientes que gastam uma importaˆncia entre 115e e 135e.
Determine:
ˆ O nu´mero esperado destes clientes entre os pro´ximos 50.
ˆ A probabilidade de entre os pro´ximos 3 clientes estarem 2 destes clientes.
3.46 Uma empresa comercializa garrafas de vinho do Porto de 1 litro. Supo˜e-se no entanto
que 40% dessas garrafas conte´m realmente menor quantidade do que o volume indicado
no ro´tulo. Em 100 garrafas existentes na loja, qual a probabilidade de:
(a) Haver 30 com menos de 1 litro?
(b) Haver na˜o mais de 30 com menos de 1 litro?
(c) Haver mais de 45 com menos de litro?
(d) Haver entre 44 e 50 com menos de 1 litro?
3.47 O nu´mero de chamadas que chegam num per´ıodo de 5 minutos a` central telefo´nica de
uma empresa e´ uma v.a. com distribuic¸a˜o Poisson de paraˆmetro 10.
Calcule a probabilidade de:
21
(a) Em 12 hora, chegarem:
ˆ 65 chamadas.
ˆ Pelo menos 70 chamadas.
(b) Num dia (8 horas) chegarem:
ˆ Menos de 900 chamadas.
ˆ Entre 900 e 1000 (inclusive) chamadas.
3.48 O nu´mero de avarias que uma ma´quina tem por dia e´ aleato´rio e segue uma distribuic¸a˜o
de Poisson de me´dia 0.2. Qual a probabilidade de num ano (365 dias), se registarem:
(a) 76 avarias.
(b) Entre 70 e 75 avarias.
(c) Mais de 77 avarias.
(d) No ma´ximo 70.
Nota: Considere que a ma´quina funciona nos 365 dias do ano.
3.49 (*) Suponha-se gestor de uma empresa, de componentes electro´nicas, cujos lucros men-
sais (em milhares de escudos) se comportam de forma aleato´ria e teˆm a seguinte f.d.p.,
f(x) =

k(2x+ 10) , −5 ≤ x < 5
k(22.5− x2 ) , 5 ≤ x < 45
0 , c. c.
(a) Determine o valor da constante k.
(b) Calcule a probabilidade de a empresa:
ˆ ter preju´ızos (lucrosnegativos) num meˆs;
ˆ ter preju´ızos quando muito num meˆs de um trimestre;
ˆ ter preju´ızos em 3 meses de oito trimestres.
3.50 (*) O comprimento das pec¸as produzidas por uma ma´quina e´ uma v.a. normal com valor
esperado µ e variaˆncia σ2. Uma pec¸a e´ defeituosa se o comprimento diferir do valor
esperado mais do que σ. Sabe-se que 50% das pec¸as produzidas teˆm um comprimento
inferior a 2.5mm e 47.5%, das pec¸as produzidas, teˆm um comprimento entre 2.5mm e
3.42mm.
(a) Calcule µ e σ.
(b) Determine a probabilidade de que uma pec¸a, escolhida ao acaso, na˜o seja defeitu-
osa.
3.51 (*) Um sistema complexo e´ constitu´ıdo por 100 componentes que funcionam indepen-
dentemente. A probabilidade de que qualquer das componentes venha a falhar durante
o per´ıodo de operac¸a˜o e´ igual a 0.1. Sabendo que o funcionamento do sistema exige
que estejam operacionais pelo menos 85 componentes, calcule a probabilidade de que o
sistema funcione.
22
3.52 (*) Suponha que o desvio da medida das pec¸as produzidas por uma ma´quina em relac¸a˜o
a` norma especificada no mercado e´ uma varia´vel aleato´ria X com a seguinte func¸a˜o
densidade de probabilidade:
f(x) =

1 + k + x , −1 ≤ x < 0
1 + k − x , 0 ≤ x < 1
0 , c. c.
(a) Calcule o valor de k.
(b) Calcule a mediana de X.
(c) Calcule a probabilidade de que em duas pec¸as extra´ıdas ao acaso, e com reposic¸a˜o,
da produc¸a˜o da ma´quina aparec¸a uma com um desvio positivo em relac¸a˜o a` norma.
3.53 (*) Um processo de fabrico de placas de vidro produz, em me´dia, 4 bolhas de ar espalha-
das aleatoriamente por 10m2 de placa. Sabendo que a distribuic¸a˜o do nu´mero de bolhas
de ar pode ser modelada por uma distribuic¸a˜o de Poisson, calcule a probabilidade de:
(a) Uma placa de 2.5m×2m ter mais de 2 bolhas de ar.
(b) Obter, num lote de 10 placas de vidro com 1m×2.5m, 6 placas perfeitas.
(c) Obter, num lote de 225 placas de vidro com 2.5m×5m, 45 placas com 4 bolhas de
ar.
23
2ª PARTE
Cap´ıtulo 4
Distribuic¸o˜es por Amostragem
4.1 Consultando a tabela da distribuic¸a˜o t de Student, determine:
(a) t(10;0.99) e t(10;0.01);
(b) t(18;0.025);
(c) O nu´mero real a tal que P(−a < t < a)=0.99 para 23 g.l..
4.2 Consultando a tabela da distribuic¸a˜o χ2, determine:
(a) χ2(9;0.99);
(b) χ2(15;0.975);
(c) χ2(18;0.01);
(d) χ2(28;0.9);
(e) Os nu´meros reais positivos a e b tais que P(a < χ2 < b)=0.9 para 19 g.l. e tais que
P(χ2 < a)= P(χ2 > b).
4.3 Consultando a tabela da distribuic¸a˜o F de Snedecor e usando as suas propriedades,
determine:
(a) O valor de F(5,10;0.995) e F(5,10;0.005);,
(b) O valor de F(7,5;0.975) e F(7,5;0.025);
(c) O valor da probabilidade p, sabendo que, F(9,15;p)=2.09 e o valor de F(9,15;1−p).
4.4 Uma amostra de dimensa˜o n = 100 e´ seleccionada de uma populac¸a˜o cujo valor me´dio
e´ µ = 50 e o desvio padra˜o e´ σ = 10.
(a) Determine o valor me´dio e o desvio padra˜o de X.
(b) Qual a distribuic¸a˜o de probabilidade aproximada de X.
(c) Calcule P(X > 52) e P(47.5 < X < 52.5).
4.5 Em determinada cidade, os resultados de um exame oficial acusaram me´dia 72 e desvio
padra˜o 8. Qual a percentagem de amostras de dimensa˜o 100 onde se encontra uma
me´dia amostral inferior a 70?
25
4.6 Com base numa populac¸a˜o normal, qual devera´ ser a dimensa˜o da amostra para que
seja de pelo menos 0.95 a probabilidade de que a me´dia amostral na˜o se afaste da me´dia
da populac¸a˜o mais do que 0.5σ?
4.7 O conteu´do (em litros) de garrafas de azeite Azeitoninha segue uma distribuic¸a˜o Normal
de me´dia µ = 0.99 e desvio padra˜o σ = 0.02.
(a) Seleccionaram-se aleatoriamente 16 garrafas deste azeite para inspecc¸a˜o. Qual a
probabilidade de o conteu´do me´dio das garrafas ser superior a 1 litro?
(b) Considerando uma amostra de 100 garrafas:
ˆ Calcule a probabilidade do conteu´do me´dio ser inferior a 9.85dl.
ˆ Determine a e b tais que P(a ≤ X ≤ b)=0.95.
4.8 Em 1000 amostras de 200 crianc¸as cada, considerando que os dois sexos sa˜o equi-
prova´veis, em quantas se esperaria encontrar:
(a) Menos de 40% do sexo masculino?
(b) Entre 40% e 60% do sexo feminino?
4.9 Admita que a vida de certo fa´rmaco segue uma distribuic¸a˜o normal com vida me´dia
de 2000 dias e desvio padra˜o σ = 60 dias. Num lote de 10 medicamentos, qual a
probabilidade de que o desvio padra˜o amostral na˜o exceda os 50 dias?
4.10 Admitindo que o peso do conteu´do de embalagens de ac¸u´car tem distribuic¸a˜o Nor-
mal com σ2 = 1, seleccionou-se uma amostra aleato´ria de 10 embalagens e pesou-se
o conteu´do de cada embalagem. Determine b1 e b2, tal que P(b1 ≤ S′2 ≤ b2)=0.9 e
P(S′2 ≤ b1)=P(S′2 ≥ b2).
4.11 As vendas dia´rias de dois estabelecimentos sa˜o aleato´rias. As vendas dia´rias de A
possuem valor me´dio µA = 1400 contos e desvio padra˜o σA = 200 contos, enquanto que
para B tem-se µB = 1200 contos e σB = 100 contos.
Nestas condic¸o˜es, qual a probabilidade de, em dois meses de actividade (60 dias), a
me´dia dia´ria de vendas no estabelecimento A ser superior a` me´dia dia´ria de vendas no
estabelecimento B, em pelo menos 150 contos?
4.12 Os resultados de uma eleic¸a˜o acusam 65% de votos a favor de determinado candidato.
Determine a probabilidade de duas amostras aleato´rias independentes, cada uma com
200 eleitores, acusarem, em mo´dulo, uma diferenc¸a superior a 10% nas proporc¸o˜es dos
votos a favor do candidato?
26
Cap´ıtulo 5
Estimac¸a˜o
5.1 Considere um modelo normal e a estat´ıstica T definida da seguinte forma:
T =
X1 + 2X2
2
para amostras aleato´rias de dimensa˜o n = 2.
(a) Determine a distribuic¸a˜o amostral de T e os respectivos paraˆmetros.
(b) T e´ um estimador centrado para µ?
(c) Obtenha uma estimativa para T com base na amostra (7,8; 6,7).
5.2 Para o paraˆmetro θ de certa populac¸a˜o, foram indicados dois estimadores: θˆ1 e θˆ2. Qual
o estimador que escolheria, sabendo que:
E(θˆ1) =
n+ 1
n
θ V (θˆ1) =
k
n
E(θˆ2) =
n+ 1
n
θ V (θˆ2) =
k
n+ 3
, onde k e´ uma constante.
5.3 Considere uma amostra aleato´ria de dimensa˜o n proveniente de uma populac¸a˜o, X,
normal com me´dia µ e variaˆncia σ2.
Prove que X e´ um estimador na˜o enviesado e consistente de µ.
5.4 Considere uma amostra aleato´ria de dimensa˜o n proveniente de uma populac¸a˜o, X,
normal com me´dia µ e variaˆncia σ2:
(a) Mostre que a variaˆncia amostral corrigida, S′2 =
∑n
i=1(Xi −X)2
n− 1 , e´ um estimador
na˜o enviesado da variaˆncia populacional σ2.
(b) Tendo em conta a relac¸a˜o existente entre a variaˆncia amostral, S2 =
∑n
i=1(Xi −X)2
n
,
e a variaˆncia amostral corrigida, S′2, o que podera´ dizer sobre a propriedade de
na˜o enviesamento de S2
(c) Calcule as estimativas fornecidas por cada estimador com base na seguinte amostra:
(32; 27; 32; 28; 31; 37; 25; 26; 30).
27
5.5 O peso de componentes electro´nicas produzidas por determinada empresa e´ uma v.a.
que se supo˜e ter distribuic¸a˜o normal. Pretendendo-se estudar a variabilidade do peso
das referidas componentes, recolheu-se uma amostra de 60 elementos e, obtiveram-se os
seguintes valores, em gramas:
60∑
i=1
xi = 6528gr ;
60∑
i=1
x2i = 1003296gr
2
(a) Apresente uma estimativa para a me´dia do peso das componentes.
(b) Apresente uma estimativa para a variaˆncia do peso das componentes.
(c) Construa um intervalo de confianc¸a para a me´dia do peso com um grau de confianc¸a
de 95%.
5.6 Sabe-se que o tempo de vida u´til de um componente electro´nico tem desvio padra˜o
σ = 500 horas, mas o tempo me´dio de vida u´til e´ desconhecido. Supo˜e-se que o tempo de
vida u´til dos componentes electro´nicos tem uma distribuic¸a˜o aproximadamente normal.
Numa amostra de n = 15, o tempo me´dio de vida u´til e´ x = 8900 horas. Pretende-se que
construa intervalos de confianc¸a para a me´dia da populac¸a˜o com um grau de confianc¸a
de:
(a) 95%.(b) 90%.
5.7 Certo equipamento de empacotamento automa´tico encontra-se regulado para encher
embalagens de um quilo de certo produto e o seu deficiente funcionamento origina
preju´ızo para a empresa. Aceita-se, da experieˆncia passada, que o peso das embalagens
se comporta normalmente com uma dispersa˜o dada por σ = 12gr. Para verificar a
afinac¸a˜o do equipamento, seleccionaram-se em certo per´ıodo nove embalagens cujos
pesos exactos foram anotados (em gramas):
983 992 1011 976 997 1000 1004 983 998
(a) Construa intervalos de confianc¸a para a me´dia, com os seguintes graus de confianc¸a:
90%, 95% e 99%.
(b) Suponha que, em vez de uma amostra de nove embalagens , tinha sido obtido uma
outra de 100 embalagens que, apo´s os necessa´rios ca´lculos tinha fornecido um peso
me´dio x = 994gr. Construa um novo intervalo de confianc¸a, a 95%, com base nesta
segunda amostra. Que ilac¸a˜o retira do aumento do tamanho da amostra
(c) Qual devera´ ser o tamanho da amostra a recolher, de tal forma que a amplitude
do intervalo, a 95%, seja 2?
5.8 O tempo de resoluc¸a˜o de determinado tipo de teste e´ uma varia´vel que segue uma
distribuic¸a˜o normal, com σ = 14 minutos. Uma amostra de 12 alunos aleatoriamente
escolhidos resolveram o teste no tempo me´dio de 148.3 minutos.
(a) Determine o intervalo de confianc¸a a 99% para µ.
(b) Caso pudesse aumentar a dimensa˜o da amostra, o que esperaria obter em termos
de amplitude do novo intervalo comparativamente com o anterior.
28
(c) Qual devera´ ser o novo n para que o erro da estimativa na˜o ultrapasse os 5 minutos,
com um grau de confianc¸a de 99%.
(d) Supondo que σ e´ desconhecido e que o desvio padra˜o da amostra e´ igual a 12
minutos, determine o intervalo de confianc¸a a 90% para µ.
5.9 (a) Determine o intervalo de confianc¸a a 90% para o valor me´dio de uma distribuic¸a˜o
normal com desvio padra˜o 3, a partir da amostra: 3.3; -0.3 ; -0.6 ; -0.9.
(b) Calcule o intervalo de confianc¸a a 90% para o valor me´dio admitindo que o desvio
padra˜o da populac¸a˜o e´ desconhecido.
5.10 Uma amostra de 144 observac¸o˜es possui me´dia igual a 160 e variaˆncia igual a 100.
(a) Determine o intervalo de confianc¸a para a me´dia da populac¸a˜o com um grau de
significaˆncia de 5%.
(b) Se pretendermos que este intervalo tenha semi-amplitude de 1.2, quantas ob-
servac¸o˜es sera´ necessa´rio efectuar, supondo que a variaˆncia populacional e´ igual
a` variaˆncia amostral?
5.11 Num exame de Electro´nica foram avaliados 31 alunos. Considerando estes alunos como
uma amostra representativa da populac¸a˜o dos alunos matriculados na disciplina e tendo
em conta que, para essa amostra , se obtiveram os seguintes resultados:
31∑
i=1
xi = 299 ;
31∑
i=1
(xi − x)2 = 120
Determine um intervalo de confianc¸a, com α = 10%, para a variaˆncia dos resultados em
Electro´nica dos alunos matriculados na disciplina.
5.12 Uma grande cidade dos E.U.A. pretende construir um complexo desportivo . Antes de
tomar a decisa˜o foi feito um estudo no aˆmbito do qual 400 pessoas foram entrevistadas.
Destas, 310 indicaram poder vir a utilizar o complexo regularmente.
Encontre um intervalo de confianc¸a a 95% para a proporc¸a˜o de pessoas que podera´ ser
cliente habitual do complexo.
5.13 Num estudo de mercado, quantas pessoas devem ser inquiridas de modo a, com 95%
de confianc¸a, se cometer um erro inferior a 3% (para mais ou menos) na estimac¸a˜o da
proporc¸a˜o de potenciais clientes do novo servic¸o de televisa˜o por cabo? E se pretender
uma estimativa a menos de 1%.
5.14 Duas v.a.’s X1 e X2 seguem uma distribuic¸a˜o normal com variaˆncias σ21 = 3.64 e
σ22 = 4.03, respectivamente. Construa um intervalo de confianc¸a a 90% para a diferenc¸a
entre as suas me´dias, sabendo que em amostras recolhidas se obtiveram os seguintes
resultados:
Amostra 1: n1 = 32 x1 = 16.20
Amostra 2: n2 = 40 x2 = 14.85
5.15 Pretende-se investigar o n´ıvel de remunerac¸o˜es de certa categoria profissional.
29
(a) Construa um intervalo de confianc¸a a 99% para a diferenc¸a de me´dias com base
nos seguintes resultados (em u.m.):
Amostra de 250 Homens: x = 33.8 s2 = 5.7
Amostra de 150 Mulheres: x = 31 s2 = 10.3
(b) Construa um intervalo de confianc¸a a 95% para o quociente das variaˆncias dos
n´ıveis de remunerac¸a˜o dos homens e das mulheres (
σ21
σ22
) com base nos seguintes
resultados (em u.m.):
Amostra de 31 Homens: s′2 = 5.0
Amostra de 16 Mulheres: s′2 = 9.0
5.16 Uma empresa encomendou um estudo sobre as prefereˆncias das senhoras entre dois
detergentes para a loic¸a: A e B (sendo o detergente B pertencente a uma empresa con-
corrente). Verificou-se que, numa amostra de 100 senhoras de uma cidade do Norte, 40%
das senhoras preferem o detergente A. Numa cidade do Sul do Pa´ıs, das 200 senhoras
inquiridas, 60 revelaram que tambe´m preferem o mesmo detergente.
Determine um intervalo de confianc¸a a 90%, para a diferenc¸a entre proporc¸o˜es de se-
nhoras das duas cidades que preferem o detergente A.
5.17 Presume-se que certo projecto governamental tem aceitac¸a˜o muito diferente consoante
se trate de meios urbanos ou rurais. Informac¸a˜o recolhida a propo´sito forneceu os se-
guintes resultados:
• Nos meios urbanos, das 200 pessoas inquiridas, 78 afirmaram concordar com o pro-
jecto;
• Nos meios rurais, em 300 pessoas, 153 mostraram-se favora´veis.
(a) Apresente uma estimativa para a diferenc¸a entre proporc¸o˜es de pessoas que favo-
recem o projecto nos dois meios.
(b) Construa um intervalo de confianc¸a a 99%.
5.18 (*) A capacidade (em amperes-hora) de um tipo de bateria varia segundo uma dis-
tribuic¸a˜o normal. Seleccionadas aleatoriamente 10 baterias registaram-se as seguintes
capacidades:
140 136 150 144 148 152 138 141 143 151
10∑
i=1
xi = 1443 ;
10∑
i=1
(xi − x)2 = 290.1
(a) Determine um intervalo de confianc¸a a 99% para o valor esperado e para o desvio
padra˜o da capacidade da bateria, indicando, para cada caso, a varia´vel aleato´ria
fulcral.
(b) Qual o nu´mero aproximado de baterias que deveriam ser seleccionadas se se quiser
estimar o valor esperado da capacidade com um grau de confianc¸a de 99% dentro
de uma margem de erro de ±1.5 amperes-hora?
Nota: Suponha que a variaˆncia amostral e´ igual a` variaˆncia populacional.
30
5.19 (*) Considere uma populac¸a˜o X com distribuic¸a˜o N(µ, σ2) e seja (X1, . . . , Xn) uma
amostra aleato´ria dessa populac¸a˜o.
(a) Calcule a probabilidade de o intervalo aleato´rio
(
X − σ√
n
, X + σ√
n
)
conter µ.
(b) Admitindo que σ = 2, determine a menor dimensa˜o da amostra correspondente a
um intervalo de amplitude menor do que 0.3.
(c) Considerando 50 amostras, independentes, de dimensa˜o n, obtidas da populac¸a˜o
X, determine qual o nu´mero me´dio de intervalos de confianc¸a, constru´ıdos com
base naquelas amostras, que conte´m µ.
5.20 (*) Uma amostra de 100 pec¸as de uma linha de produc¸a˜o revelou 17 pec¸as defeituosas.
(a) Determine um intervalo de confianc¸a a 95% para a verdadeira proporc¸a˜o p de pec¸as
defeituosas produzidas indicando a varia´vel aleato´ria fulcral utilizada.
(b) Quantas pec¸as adicionais devemos recolher para estarmos confiantes a 99% que o
erro de estimac¸a˜o de p seja menor que 2%?
31
Cap´ıtulo 6
Testes de Hipo´teses
6.1 Um gestor de produc¸a˜o observou uma certa caracter´ıstica X que segue uma distribuic¸a˜o
N(µ, 22). Para estabelecer uma infereˆncia sobre µ fez 5 observac¸o˜es:
108 109 107.4 109.6 112
(a) Teste ao n´ıvel de significaˆncia α = 5% a hipo´tese: H0 : µ = 109 versusH1 : µ 6= 109.
(b) Explique, sucintamente, a relac¸a˜o entre α, β e n (respectivamente, erros de 1ª e
2ª espe´cie e dimensa˜o da amostra).
(c) Calcule o p-valor associado a este teste.
6.2 Num exame de Estat´ıstica foram avaliados 31 alunos. Considerando estes como amostra
representativa da populac¸a˜o dos alunos matriculadosna cadeira de estat´ıstica e tendo
em conta que, para essa amostra, se obtiveram os seguintes resultados:
31∑
i=1
xi = 299 ;
31∑
i=1
(xi − x)2 = 120
(a) Com base num ensaio de hipo´teses, com α = 0.05, comente a afirmac¸a˜o:
”A me´dia dos resultados na˜o difere significativamente de 10.”
(b) Calcule o p-valor para este teste.
(c) Se a me´dia dos resultados de todos os alunos matriculados na cadeira for na reali-
dade de 11, qual a probabilidade de estar a tomar a decisa˜o incorrecta?
6.3 O departamento de Controlo de Qualidade de uma firma produtora de conservas de
alimentos, especifica que o peso l´ıquido me´dio por embalagem de certo produto deve ser
de 500 gramas.
Experieˆncia passada indica que os pesos sa˜o normalmente distribu´ıdos com desvio-
padra˜o σ = 15 gramas.
Se numa amostra de 20 embalagens for encontrado um peso l´ıquido me´dio de 495 gramas,
constitui isso prova suficiente de que o verdadeiro peso me´dio e´ inferior ao estabelecido?
(α = 5%).
6.4 Um trabalhador leva em me´dia 7 minutos (=420 segundos) para executar certa tarefa.
Um te´cnico sugere uma maneira ligeiramente diferente de execuc¸a˜o e decide recolher
32
uma amostra para se certificar se ha´ realmente algum ganho de tempo.
Os dados recolhidos sa˜o os seguintes:
16∑
i=1
xi = 6528seg. ;
16∑
i=1
x2i = 2673296seg
2.
Pressupondo que se esta´ perante uma populac¸a˜o normal e para o n´ıvel de significaˆncia
de 10%, comente a sugesta˜o do te´cnico.
6.5 Suponha que, de entre todos os alunos que frequentam um dos cursos de Engenharia do
IPT foram seleccionados, ao acaso, 6 alunos e registadas as suas idades:
27 29 26 26 23 25
Admitindo que a varia´vel em estudo tem distribuic¸a˜o normal, responda a`s questo˜es
seguintes:
(a) Com base num teste de hipo´teses com α = 5%, comente a afirmac¸a˜o:
”A me´dia das idades na˜o difere significativamente de 24 anos.”
(b) Calcule o p-valor associado a este teste.
(c) Teste para um n´ıvel de confianc¸a de 99% a hipo´tese H0 : σ = 1 versus H1 : σ > 1.
(d) Calcule o p-valor para este teste.
6.6 Admita que o tra´fego de informac¸a˜o gerido diariamente por uma empresa de telecomu-
nicac¸o˜es tem distribuic¸a˜o N(µ, σ2). Para avaliar o tra´fego me´dio dia´rio observou-se a
quantidade de informac¸a˜o processada em 26 dias, tendo-se constatado um volume de
tra´fego total de 260 unidades de informac¸a˜o nos 26 dias, com um desvio padra˜o corrigido
de 2.5. Teste para α = 5% a hipo´tese H0 : σ = 7 versus H1 : σ 6= 7.
6.7 No fabrico de certo tipo de pec¸as admite-se uma variabilidade ma´xima nos respectivos
diaˆmetros traduzida por σ = 0.5 mil´ımetros.
Perante uma amostra de 20 pec¸as em que se calculou s′2 = 0.3, e´ de concluir que o
processo de fabrico esta´ fora de controle? (isto e´, que a especificac¸a˜o na˜o esta´ sendo
respeitada). Use α = 1%.
Pressupo˜e-se que os diaˆmetros das pec¸as obedecem a uma lei normal.
6.8 Uma estac¸a˜o de ra´dio de uma vila pretende efectuar, no mesmo dia em que se realizam
as Eleic¸o˜es Europeias, uma previsa˜o da votac¸a˜o num dos candidatos. As intenc¸o˜es de
voto sera˜o recolhidas ”a` boca da urna”, ou seja, imediatamente apo´s os eleitores terem
votado. A ra´dio tem divulgado que o candidato devera´ ter 50% dos votos.
(a) Dos 100 inquiridos, 45 revelaram ter votado no referido candidato. Teste, para um
n´ıvel de significaˆncia de 5%, as expectativas da ra´dio.
(b) Considerando que o verdadeiro valor e´ de 40%, calcule a probabilidade de estar a
aceitar indevidamente H0.
(c) Calcule o p-valor associado a este teste.
33
6.9 O departamento de Recursos Humanos de uma grande empresa portuguesa, afirma que
o nu´mero de empregados que trabalha com uma taxa de alcoolemia superior ao permi-
tido e´ de, apenas, 6%. Feito o teste a 100 indiv´ıduos, este revelou-se positivo em 9.
Poder-se-a´ concluir-se que a afirmac¸a˜o do departamento de R.H. esta´ correcta? (consi-
dere α = 1%)
6.10 Numa amostra de 100 homens de certa cidade, 38 afirmaram preferir as laˆminas ”Dural”.
Teste a hipo´tese de a percentagem de homens que prefere a referida marca ser de 40%
contra a alternativa de ser inferior. Utilize α = 10%.
6.11 Uma empresa de estudos de mercado esta´ a estudar se ha´ diferenc¸a entre os sala´rios dos
trabalhadores indiferenciados numa certa indu´stria, em duas regio˜es do pa´ıs (A e B).
Os resultados obtidos foram:
Regia˜o A: nA=100; xA=1000; sA=26,7
Regia˜o B: nB=200; xB= 980; sB=30,4
Se se pretender limitar a 1% o risco de rejeitar incorrectamente a hipo´tese de as me´dias
das duas populac¸o˜es em causa sa˜o iguais, que conclusa˜o se podera´ extrair dos dados?
6.12 Para estudar dois tipos de gasolina foram recolhidas duas amostras aleato´rias de 15
carros do mesmo modelo e observada a distaˆncia me´dia (por litro) percorrida por carro.
Os resultados obtidos foram:
Gasolina 1: x1=17,93; s′21=4,38
Gasolina 2: x2=19,47; s′22=2,41
Com um n´ıvel de significaˆncia de 5%, poder-se-a´ concluir que ha´ uma diferenc¸a signifi-
cativa entre as duas me´dias?
6.13 Foram usados dois tipos de adubo em dois campos experimentais, em tudo equivalentes,
com o objectivo de analisar a produc¸a˜o de um certo tipo de plantas:
Adubo 1: n1=31; x1=12,9; s′1=2,1
Adubo 2: n2=21; x2= 14,7; s′2=1,8
Sera´ de admitir uma variaˆncia na produc¸a˜o de um certo tipo de plantas significativa-
mente diferente quando se utiliza o adubo 1 ou o adubo 2? (considere α = 5%)
6.14 Foi efectuado um estudo em duas empresas do mesmo ramo de actividade sobre a pre-
fereˆncia dos trabalhadores por dois tipos de aumentos salariais: um pacote de benef´ıcios
extra ou um determinado aumento no sala´rio base.
Dos 150 trabalhadores da empresa 1, 75 preferiram um aumento no sala´rio base; dos
200 trabalhadores da empresa 2, 103 tambe´m preferiram esse aumento.
Comente a seguinte afirmac¸a˜o:
”A diferenc¸a de uma empresa para a outra na proporc¸a˜o de trabalhadores que preferem
o acre´scimo no sala´rio base (e na˜o os benef´ıcios extra) na˜o difere significativamente de
zero. (considere α = 1%)”.
34
Cap´ıtulo 7
Introduc¸a˜o a` Regressa˜o Linear
Simples
7.1 Considere os 5 pontos observados, dados na tabela:
x -2 -1 0 1 2
y 0 0 1 1 3
(a) Represente graficamente os dados.
(b) Use o me´todo dos mı´nimos quadrados para ajustar uma recta aos pontos observados
e represente-a graficamente.
(c) Apresente uma estimativa da variaˆncia do erro.
7.2 Use os valores dados abaixo para estimar as equac¸o˜es de regressa˜o:
(a)
n∑
i=1
xi=200 ;
n∑
i=1
yi=300 ;
n∑
i=1
xiyi=6200 ;
n∑
i=1
x2i=3600 ; n=20.
(b)
n∑
i=1
xi=700 ;
n∑
i=1
yi=-250 ;
n∑
i=1
xiyi=-1400 ;
n∑
i=1
x2i=21000 ; n=30.
(c)
n∑
i=1
xi=33 ;
n∑
i=1
yi=207 ;
n∑
i=1
xiyi=525 ;
n∑
i=1
x2i=750 ; n=40.
7.3 Use os valores dados em baixo para determinar o valor de:
(a)
∑
si sabendo que n = 10; s = 6.44;
∑
s2i = 439.22;
∑
siri = 880.66;∑
r2i = 1792.44; SQsr = 26.716;
(b)
∑
xi sabendo que n = 10 ; y = 5.21 ;
∑
x2i = 1560 ;
∑
xiyi = 637.1 ;∑
y2i = 275.13 ; SQxx = 22.4;
(c) n sabendo que
∑
xi = 64.2 ;
∑
yi = 62 ;
∑
x2i = 345.54 ;
∑
xiyi = 341.5 ;∑
y2i = 390 ; SQxx = 2.07.
7.4 Mostre que: SQE =
n∑
i=1
(yi − yˆi)2 = SQyy − βˆ1SQxy. (Nota: yˆi = βˆ0 + βˆ1xi.)
35
7.5 A altura de saba˜o numa bacia e´ importante para os fabricantes de saba˜o. Foi efectuada
uma experieˆncia fazendo variar a quantidade de saba˜o e medindo a altura da espuma
numa bacia standard, depois de uma certa agitac¸a˜o da a´gua. Os resultados obtidos
foram:
gramas de saba˜o x 4,0 4,5 5,0 5,5 6,0 6,5 7,0
altura de espuma y 33 42 45 51 53 61 62
(a) Admitindo que o modelo Y = β0 + β1x + ² e´ satisfato´rio, determine a melhor
equac¸a˜o da recta ajustada.
(b) Calcule s2.
(c) Pretende-se saber qual a altura da espuma de saba˜o quando a quantidade de saba˜o
e´igual a 6,3 gramas.
7.6 Os dados da tabela abaixo da˜o a distribuic¸a˜o no mercado de um produto e os gastos
com anu´ncios de televisa˜o:
Meˆs Distribuic¸a˜o no mercado Gastos com anu´ncios na TV
(trimestre) y (%) x (milhares de contos)
Janeiro 15 230
Marc¸o 17 250
Maio 13 210
Julho 14 240
Setembro 16 260
(a) Determine a equac¸a˜o da recta de mı´nimos quadrados que da´ a relac¸a˜o entre a
distribuic¸a˜o no mercado e os gastos publicita´rios na TV.
(b) Construa o quadro ANOVA.
(c) Estime a variaˆncia do erro.
(d) Qual a distribuic¸a˜o no mercado quando forem despendidos em publicidade 250 mil
contos? E se forem dispendidos 230 mil contos?
7.7 A seguinte tabela fornece os dados de uma amostra referente ao nu´mero de horas de
estudo fora da sala de aula para um curso de estat´ıstica com durac¸a˜o de 3 semanas,
bem como as classificac¸o˜es obtidas no final do curso.
Estudante 1 2 3 4 5 6 7 8
Horas de estudo x 20 16 34 23 27 32 18 22
Classificac¸a˜o no exame y 64 61 84 70 88 92 72 77
(a) Calcule a equac¸a˜o de regressa˜o e interprete as estimativas de β0 e β1.
(b) Utilize a equac¸a˜o de regressa˜o para estimar a classificac¸a˜o obtida por um estudante
que dedicou 30 horas de estudo fora da sala de aula.
(c) Construa o quadro ANOVA e calcule s2.
(d) Teste a adequabilidade do modelo (α = 1%).
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7.8 Como resultado do aumento de centros comerciais suburbanos, muitos armaze´ns do cen-
tro da cidade esta˜o a sofrer financeiramente. Um departamento de um destes armaze´ns
acha que o aumento de publicidade poderia ajudar a atrair mais compradores. Para
estudar o efeito da publicidade nas vendas obtiveram-se registos para meses de meados
do ano durante os quais o armaze´m diversificou os gastos na publicidade. Esses registos
encontram-se na tabela:
Despesas Publicita´rias x Vendas y
(milhares de escudos) (milhares de escudos)
9 30
11 34
8 32
12 37
7 31
(a) Estime o coeficiente de correlac¸a˜o entre as vendas e os gastos publicita´rios.
(b) Determine a equac¸a˜o de regressa˜o linear para estes dados.
(c) Calcule o coeficiente de determinac¸a˜o. Interprete o seu significado.
(d) Teste a hipo´tese: H0 : β1 = 0 versus H1 : β1 6= 0 (α = 5%)
7.9 Seja Y uma varia´vel que representa o valor do frete rodovia´rio de determinada merca-
doria e x a varia´vel distaˆncia (em km) ao destino da mercadoria. Uma amostra de 10
observac¸o˜es das varia´veis apresentou os seguintes resultados:
n=10 ;
n∑
i=1
xi=1200 ;
n∑
i=1
yi=6480,5 ;
n∑
i=1
xiyi=842060 ;
n∑
i=1
x2i=186400 ;
n∑
i=1
y2i=4713304,03.
(a) Determine a recta de regressa˜o dos mı´nimos quadrados.
(b) Interprete os valores estimados para β0 e β1.
(c) Calcule o coeficiente de determinac¸a˜o e interprete o seu significado.
7.10 Os seguintes dados referem-se a uma amostra de vendas versus a´rea de mostrua´rio, para
livros num supermercado:
Livros / Dia 40 25 30 32 17 38 44 27 30 30
A´rea de Mostrua´rio 7.0 4.0 4.4 5.0 3.2 6.0 8.0 4.2 4.8 3.4
(a) Calcule βˆ0 e βˆ1 para a recta de regressa˜o de mı´nimos quadrados.
(b) Construa o quadro ANOVA.
(c) Apresente uma estimativa para a variaˆncia do erro.
(d) Estime o coeficiente de correlac¸a˜o entre as vendas e a a´rea de mostrua´rio.
(e) Calcule o coeficiente de correlac¸a˜o.
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7.11 Uma unidade industrial ao destilar ar l´ıquido ”produz”oxige´nio, nitroge´nio e arga˜o.
Pensa-se que a percentagem de impurezas encontradas esta´ relacionada linearmente
com as impurezas existentes na atmosfera. Com o fim de investigar essa relac¸a˜o linear
registaram-se 15 medic¸o˜es da poluic¸a˜o atmosfe´rica, em partes por milha˜o (ppm). Os
resultados encontram-se no quadro a seguir:
x Impureza (%) y Poluic¸a˜o (ppm) x2 y2 xy
6.70 1.10
8.00 1.45
7.60 1.36
8.30 1.59
6.00 1.08
5.40 0.75
6.40 1.20
6.90 0.99
6.80 0.83
7.10 1.22
7.80 1.47
8.70 1.81
9.90 2.03
8.40 1.75
8.10 1.68
Soma 112.100 20.310 856.63 29.459 157.48
(a) Ajuste o modelo, Y = β0 + β1x+ ², a`s observac¸o˜es.
(b) Determine o valor do coeficiente de determinac¸a˜o e interprete-o.
(c) Fac¸a uma previsa˜o para o n´ıvel de poluic¸a˜o na atmosfera quando a percentagem
de impurezas e´ de 7.5.
(d) Construa o quadro ANOVA.
7.12 (*) Da ana´lise do consumo me´dio de energia por agregado familiar durante 10 dias de
um meˆs de Inverno numa cidade obtiveram-se os seguintes resultados:
i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
xi 15 14 12 14 12 11 11 10 12 13
yi 4.3 4.4 5.3 4.6 5.5 5.9 5.7 6.2 5.2 5.0
Admita que o modelo de regressa˜o linear simples foi usado para estudar a relac¸a˜o entre
o consumo me´dio de energia por agregado familiar e a temperatura me´dia dia´ria.
(a) Determine a recta de mı´nimos quadrados.
(b) Interprete as estimativas de βˆ0 e βˆ1.
(c) Construa a tabela ANOVA.
7.13 (*) Numa fa´brica deseja-se estimar o valor esperado do custo total para produzir um
item, E(Y ), como func¸a˜o do nu´mero de unidades produzidas (x). Apo´s um certo per´ıodo
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de observac¸a˜o, foi poss´ıvel obter:
7∑
i=1
xi=1084 ;
7∑
i=1
yi=1331 ;
7∑
i=1
xiyi=251519 ;
7∑
i=1
x2i=205096 ;
7∑
i=1
y2i=313513.
Admitindo que as varia´veis em causa esta˜o relacionadas de acordo com o modelo de
regressa˜o linear simples:
(a) Escreva a equac¸a˜o da recta de regressa˜o estimada e interprete as estimativas βˆ0 e
βˆ1.
(b) Acha que a variabilidade registada no custo total de produc¸a˜o do item e´ bem
explicada pelo nu´mero de unidades produzidas? Justifique.
7.14 (*) Dez varas de ac¸o de diaˆmetro 0.5mm e de comprimento 2.5m foram submetidas
a umm teste laboratorial para ana´lise do alongamento quando submetidas a forc¸as
verticais dee va´rias intensidades. Os resultados obtidos foram:
Forc¸a (f - kg) 15 19 25 35 42 48 53 56 62 65
Aumento no comprimento (c - mm) 1.7 2.1 2.5 3.4 3.9 4.9 5.4 5.7 6.6 7.2
10∑
1
f=420 ;
10∑
1
c=43.4 ;
10∑
1
f ∗ c=2128.5 ;
10∑
1
f2=20518 ;
10∑
1
c2=221.38
(a) Utilizando o me´todo dos mı´nimos quadrados, escreva a equac¸a˜o da recta de re-
gressa˜o estimada.
(b) Construa a tabela ANOVA.
(c) Analise o grau de associac¸a˜o linear entre as duas varia´veis.
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