taxas e otimizacao

Prévia do material em texto

Universidade Federal da Bahia
Instituto de Matema´tica
Departamento de Matema´tica
Taxas Relacionadas e Problemas de Otimizac¸a˜o
MAT A02 - Ca´lculo A - Turmas 13 e 14
Prof.a¯ Simone Moraes
Taxas Relacionadas
Na linguagem do Ca´lculo Diferencial, se uma varia´vel y e´ func¸a˜o da varia´vel x, a taxa de
variac¸a˜o (instantaˆnea) de y, em relac¸a˜o a x, e´ a derivada
dy
dx
.
Em muitos problemas, surgem uma ou mais varia´veis que sa˜o func¸o˜es de uma outra varia´vel,
que geralmente e´ o tempo. Digamos, F depende de x e y que, por sua vez, sa˜o ambas func¸o˜es
do tempo t.
Ocorre que normalmente na˜o conhecemos a expressa˜o dessas func¸o˜es de t.
Lembrando que se F e´ func¸a˜o de x, e x e´ func¸a˜o de t, enta˜o pela regra da cadeia a derivada de
F em relac¸a˜o a t e´ dada por:
dF
dt
=
dF
dx
· dx
dt
.
Me´todo de Resoluc¸a˜o Esquematizado
1o Passo Trace um diagrama e defina as diversas grandezas envolvidas no problema, incluindo
as varia´veis dependentes e a varia´vel independente. Explicite claramente quais sa˜o os
dados do problema e qual a taxa de variac¸a˜o que se quer calcular.
2o Passo Use o seu diagrama para determinar uma equac¸a˜o que relacione as varia´veis envol-
vidas no problema.
3o Passo Derive, implicitamente, esta equac¸a˜o em relac¸a˜o a` varia´vel independente.
4o Passo Na equac¸a˜o obtida apo´s o processo de derivac¸a˜o, substitua os valores nume´ricos
dados e resolva a equac¸a˜o resultante em relac¸a˜o a` inco´gnita do problema.
1
Problemas
1. Uma caˆmara de televisa˜o no n´ıvel do solo esta´ filmando a subida de um oˆnibus espacial
que esta´ subindo verticalmente de acordo com a func¸a˜o s(t) = 16t2, sendo s a altura em
metros e t o tempo em segundos. Sabendo que a caˆmara esta´ a 1200 metros do local
do lanc¸amento, determine a taxa de variac¸a˜o da distaˆncia entre ela (a caˆmara) e a base
do oˆnibus espacial, 10 segundos apo´s o lanc¸amento (suponha que a caˆmara e a base do
oˆnibus estavam no mesmo n´ıvel no instante inicial t = 0).
2. Um radar da pol´ıcia rodovia´ria esta´ colocado atra´s de uma a´rvore que fica a 12 metros
de uma rodovia que segue em linha reta por um longo trecho. A 16 metros do ponto da
rodovia mais pro´ximo do radar da pol´ıcia, esta´ um telefone de emergeˆncia. Em um de-
terminado instante o policial, que esta´ fiscalizando a rodovia, mira o canha˜o do radar no
telefone de emergeˆncia e verifica que naquele instante um automo´vel passa pelo telefone.
O radar indica que a distaˆncia entre o policial e o carro esta´ aumentando a uma taxa de
70 km/h. Utilizando taxas relacionadas determine a velocidade do automo´vel neste ins-
tante. Se limite de velocidade neste trecho da rodovia e´ de 80km/h o policial deve ou na˜o
multar o motorista?
3. Um controlador de tra´fego ae´reo localiza dois avio˜es, A e B, a` mesma altitude convergindo
para um ponto formando um aˆngulo reto. Sabe-se que os avio˜es A e B se distanciam a`
velocidade de 750 milhas por hora e que o avia˜o A esta´ se deslocando a` velocidade de 600
milhas por hora. Supondo que no instante em o controlador os localizou o avia˜o A estava
a 200 milhas do ponto de convergeˆncia e que o avia˜o B estava a 150 milhas deste ponto.
Determine:
(a) A que velocidade se desloca o avia˜o B neste instante.
(b) Se houve colisa˜o entre os avio˜es, sabendo que o controlador so´ conseguiria fornecer
uma nova rota aos avio˜es 15 minutos apo´s localizar-los.
4. Uma escada de 13 m esta´ apoiada em uma parede vertical. A base da escada esta´ sendo
empurrada no sentido contra´rio ao da parede , a uma taxa constante de 6 m/min. Qual a
velocidade com a qual o topo da escada se move para baixo, encostada a` parede, quando
a base da escada esta´ a 5 m da parede?
5. Um caminha˜o e um carro esta˜o em estradas diferentes que sa˜o perpendiculares e ambas
sa˜o retas. O caminha˜o esta´ se aproximando do cruzamento com velocidade de 60 km/h e
o carro esta´ se afastando do cruzamento com uma velocidade de 100 km/h. No instante
em que o carro e o caminha˜o esta˜o respectivamente a 5 km e 12 km do cruzamento, eles
esta˜o se aproximando ou se afastando? A que taxa?
6. Um homem com 2 m de altura esta´ correndo a` velocidade de 3 m/s e passa embaixo de
uma laˆmpada num poste a 6 m acima do solo. Encontre:
(a) A velocidade com que o topo de sua sombra se move.
2
(b) A taxa de variac¸a˜o do comprimento de sua sombra.
7. Uma antena de radar esta´ localizada em um navio a 4 km de uma praia reta e sua rotac¸a˜o
e´ de 3 rad/min. Qual e´ a velocidade da frente de onda do radar que se move ao longo da
linha da praia, quando a frente de onda faz um aˆngulo de 45o com a praia?
8. Um homem num cais esta´ puxando um barco a` raza˜o de 2 cm/s por meio de uma corda
. As ma˜os do homem esta˜o a 40 cm acima do n´ıvel do ponto onde a corda esta´ presa no
bote. Com que velocidade varia a medida do aˆngulo de deflexa˜o da corda quando existe
50 cm de corda solta ?
9. Um bala˜o e´ solto ao n´ıvel do olho de um observador que esta´ a 50 m de distaˆncia. O
bala˜o sobe verticalmente a taxa de 5 m/s. Com que rapidez o aˆngulo de elevac¸a˜o esta´
crescendo 6 segundos apo´s o momento da soltura .
Soluc¸a˜o dos problemas no link:
http://www.uff.br/webmat/Calc1 LivroOnLine/Cap12 Calc1.html
Teoria para Resolver Problemas de Otimizac¸a˜o
1 - Teorema de Weierstrass: Se f e´ cont´ınua no intervalo fechado [a, b], enta˜o f tem um
valor ma´ximo e um valor mı´nimo absoluto em [a, b].
2 - Teorema Seja f uma func¸a˜o cont´ınua em um intervalo I que conte´m . Se f(x0) e´ o u´nico
extremo relativo de f no interior de I , enta˜o f(x0) e´ um valor extremo absoluto da f em
I. Ale´m disso,
(i) Se f(x0) e´ um valor ma´ximo relativo f no interior de I, enta˜o f(x0) e´ o valor ma´ximo
absoluto da f em I.
(ii) Se f(x0) e´ um valor mı´nimo relativo f no interior de I, enta˜o f(x0) e´ o valor mı´nimo
absoluto da f em I.
3 - Teste da 2a Derivada para Extremos Relativos Seja x0 um nu´mero cr´ıtico tal que
f ′(x0) = 0. Se f e´ deriva´vel em um intervalo aberto I contendo x0 e existe f ′′(x0), temos:
(i) Se f ′′(x0) < 0, enta˜o f tem um valor ma´ximo relativo em (x0).
(ii) Se f ′′(x0) > 0, enta˜o f tem um valor mı´nimo relativo em (x0).
3
Procedimento para Encontrar Extremos Absolutos
4
Problemas de Otimizac¸a˜o
1. Encontre as dimenso˜es de um cilindro circular reto de maior volume que pode ser inscrito
em um cone circular reto com raio de 5 cm e altura de 12 cm.
2. Um edif´ıcio de 2000 m2 de piso deve ser constru´ıdo, sendo exigido recuos de 5 m na frente
e nos fundos e de 4 m nas laterais. Ache as dimenso˜es do lote com menor a´rea onde esse
edif´ıcio possa ser constru´ıdo.
3. Uma caixa fechada com base quadrada vai ter um volume de 2000 cm3. O material da
tampa e da base vai custar R$ 3, 00 por cent´ımetro quadrado e o material para os lados
R$ 1, 50 por cent´ımetro quadrado. Encontre as dimenso˜es da caixa de modo que o custo
seja mı´nimo.
4. No planejamento de uma lanchonete foi estimado que se existem lugares para de 20 a 80
pessoas, o rendimento semanal sera´ de R$ 70, 00 por lugar. Contudo, se a capacidade de
assentos esta´ acima de 80 lugares, o rendimento semanal, em cada lugar, sera´ reduzido em
50 centavos pelo nu´mero de lugares excedentes. Qual devera´ ser a capacidade de assentos
para se obter o maior rendimento semanal?
5. Uma viga de ac¸o de 12, 5 m de comprimento move-se horizontalmente ao longo de uma
passagem de 2, 7m de largura e deve entrar num corredor que e´ perpendicular a` passagem.
Qual deve ser a menor largura de corredor para que isso acontec¸a?
6. Dois pontos A e B esta˜o diametralmente opostos nas margens de um lago circular de
1 km de diaˆmetro . Um homem deseja ir do ponto A ao ponto B. Ele pode remar a` raza˜o
de 2 km/h e caminhar a` raza˜o de 4 km/h. Encontre o menor tempo poss´ıvel que esse
homem gasta parair de A ate´ B.
7. Um cartaz de 20 dm de altura esta´ localizado em uma parede vertical de tal modo que
seu bordo inferior esta´ 60 dm acima do n´ıvel do olho de um observador. Determine a
que distaˆncia de um ponto diretamente abaixo do cartaz o observador deve se colocar de
modo a maximizar o aˆngulo entre linhas de visa˜o do topo e da base do cartaz.
Soluc¸a˜o dos problemas no link:
http://www.uff.br/webmat/Calc1 LivroOnLine/Cap19 Calc1.html
5